1、第24讲 图形的对称、平移和旋转,总纲目录,泰安考情分析,基础知识过关,知识点一 平移 1.平移的定义:在平面内,把一个图形沿着 一定的方向 移动一定的距离,这种变换叫做平移. 2.平移的性质 (1)通过平移得到的图形与原来的图形是 全等形 ; (2)在平面内,一个图形经过平移后得到的图形与原来图形的对应 线段 相等 ,对应角 相等 ,各对应点所连的线段平行(或在同一条直线上)且相等. 温馨提示 (1)平移的要素:平移的方向和平移的距离. (2)平移只改变图形的位置,不改变图形的形状和大小,知识点二 轴对称与轴对称图形,知识点三 旋转 1.旋转的定义:在平面内,把一个图形绕一个 定点 沿某一个
2、方向(顺时针或逆时针)旋转某个角度,这样的图形运动称为旋转.定点O叫做 旋转中心 ,旋转的角叫做 旋转角 ,如果图形上的点P经过旋转变为点P,那么这两个点叫做这个旋转的对应点. 温馨提示 (1)旋转的要素:旋转中心、旋转方向、旋转角. (2)确定旋转中心的方法:分别作两组对应点所连线段的垂直平分 线,其交点即为旋转中心.,2.旋转的性质 (1)旋转前、后的图形的形状和大小都没有 发生改变 ; (2)对应点到旋转中心的距离 相等 ,对应线段 相等 ,对应角 相等 ; (3)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于 旋转角 .,知识点四 中心对称与中心对称图形,泰安考点聚焦,考点一 识别轴对称图形和中心
3、对称图形 例1 (2018淄博)下列图形中,不是轴对称图形的是( C ),解析 根据轴对称图形的概念,可知选项C中的图形不是轴对称图形.故选C.,变式1-1 (2018德州)下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称 图形的是 ( B ),解析 A是中心对称图形;B既是轴对称图形又是中心对称图形;C是轴对称图形;D既不是轴对称图形又不是中心对称图形.故选B.,考点二 翻折 中考解题指导 翻折具有不变性,正确找到对应点、对应线段、 对应角,常结合勾股定理解题.,例2 如图,矩形ABCD中,E是AD的中点,将ABE沿直线BE折叠 后得到GBE,延长BG交CD于点F,若AB=6,BC=4 ,则FD的长为
4、( B )A.2 B.4 C. D.2,解析 连接EF,ABE沿直线BE折叠后得到GBE,BG=AB= 6,AE=EG,EGB=A=90,E是AD的中点, AE=ED=EG.在RtEDF与RtEGF中,ED=EG,EF=EF,Rt EDFRtEGF,FD=FG,设FD=FG=x,在RtBFC中,BF=6+x, CF=6-x,BC=4 ,由BF2=CF2+BC2,即(6+x)2=(6-x)2+(4 )2,解得x=4,故选B.,变式2-1 (2017枣庄)如图,把正方形纸片ABCD沿对边中点所在 的直线对折后展开,折痕为MN,再过点B折叠纸片,使点A落在MN 上的点F处,折痕为BE.若AB的长为2
5、,则FM的长为 ( B )A.2 B. C. D.1,解析 四边形ABCD为正方形,AB=2,过点B折叠纸片,使点A落 在MN上的点F处, FB=AB=2,BM=1, 则在RtBMF中, FM= = = , 故选B. 方法技巧 折叠前后的两个图形关于折痕所在的直线成轴对 称,折叠前后的两个图形是全等形,对应线段相等,对应角相等.,考点三 平移 中考解题指导 图形的平移和其他知识的综合是泰安中考的热 点问题.,例3 (2018泰安)如图,将正方形网格放置在平面直角坐标系中, 其中每个小正方形的边长均为1,ABC经过平移后得到A1B1C1, 若AC上一点P(1.2,1.4)平移后的对应点为P1,点
6、P1绕原点顺时针方 向旋转180,对应点为P2,则点P2的坐标为 ( A )A.(2.8,3.6) B.(-2.8,-3.6) C.(3.8,2.6) D.(-3.8,-2.6),解析 A(1,1),A1(-3,-4), 图形的平移规律为向下平移5个单位长度,再向左平移4个单位 长度. P(1.2,1.4),点P在AC上,点P平移后的对应点为P1, P1(-2.8,-3.6). 点P1绕原点顺时针方向旋转180,对应点为P2, P2(2.8,3.6),故选A.,变式3-1 如图,两个全等的直角三角形重叠在一起,将其中的一 个三角形沿着点B到C的方向平移到DEF的位置,AB=10,DO=4, 平
7、移距离为6,则阴影部分的面积为 ( A )A.48 B.96 C.84 D.42,解析 由平移的性质知,BE=6,DE=AB=10,SABC=SDEF, OE=DE-DO=10-4=6, S四边形ODFC=S梯形ABEO= (AB+OE)BE= (10+6)6=48.故选A. 方法技巧 在平面直角坐标系中,图形的平移与图形上某点的 平移相同.平移中点的变化规律是横坐标右移加,左移减;纵坐标 上移加,下移减.,考点四 旋转 中考解题指导 在理解旋转的特征时,首先要对照图形,找出旋转 中心、旋转方向、对应点、旋转角.旋转中心的确定分两种情况, 即在图形上或在图形外,若在图形上,哪一点在旋转过程中位
8、置没 有改变,哪一点就是旋转中心;若在图形外,对应点连线的垂直平 分线的交点就是旋转中心.,例4 (2017泰安)如图,在正方形网格中,线段AB是线段AB绕某点逆时针旋转角得到的,点A与A对应,则角的大小为( C )A.30 B.60 C.90 D.120,解析 如图.显然,旋转角为90.,变式4-1 (2017威海)如图,A点的坐标为(-1,5),B点的坐标为(3,3),C点的坐标为(5,3),D点的坐标为(3,-1),小明发现:线段AB与线段CD存在一种特殊关系,即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段,你认为这个旋转中心的坐标是(1,1)或(4,4 ) .,解析 当点A的对应
9、点为点C时,连接AC,BD,分别作线段AC,BD的 垂直平分线交于点E,如图1所示. A点的坐标为(-1,5),B点的坐标为(3,3), E点的坐标为(1,1); 当点A的对应点为点D时,连接AD,BC,分别作线段AD,BC的垂直 平分线交于点M,如图2所示, A点的坐标为(-1,5),B点的坐标为(3,3), M点的坐标为(4,4). 综上所述:这个旋转中心的坐标为(1,1)或(4,4).,考点五 坐标系中的图形变换 中考解题指导 考查对称、平移、旋转的作图题时,要细心作图, 找准变换后的对应点;已知图形变换求某点的坐标时,通常需要作 辅助线.,例5 如图,在正方形网格中,ABC的三个顶点都
10、在格点上,结合 所给的平面直角坐标系解答问题: (1)将ABC向右平移5个单位长度,画出平移后的A1B1C1; (2)画出ABC关于x轴对称的A2B2C2; (3)将ABC绕原点O旋转180,画出旋转后的A3B3C3; (4)在A1B1C1、A2B2C2、A3B3C3中, A2B2C2 与 A3B3C3 成轴对称; A1B1C1 与 A3B3C3 成中心对称.,解析 (1)A1B1C1如图所示. (2)A2B2C2如图所示. (3)A3B3C3如图所示. (4)A2B2C2,A3B3C3,A1B1C1,A3B3C3.,变式5-1 如图,AOB为等腰三角形,顶点A的坐标为(2, ),底边 OB在
11、x轴上.将AOB绕点B按顺时针方向旋转一定角度后得A OB,点A的对应点A在x轴上,则点O的坐标为 ( C )A. B. C. D.,解析 如图,过点A作ACOB于点C, 过点O作ODAB于点D. A(2, ), OC=2,AC= , 由勾股定理得,OA=3, AOB为等腰三角形,OB是底边, OB=2OC=22=4,由旋转的性质得,BO=OB=4,ABO=ABO, OD=4 = ,BD=4 = , OD=OB+BD=4+ = ,点O的坐标为 . 故选C.方法技巧 平移的要素是平移的方向和平移的距离,旋转的要 素是旋转中心、旋转方向、旋转角.,考点六 利用轴对称求最短距离 例6 (2017枣庄
12、)如图,直线y= x+4与x轴、y轴分别交于点A和点 B,点C,D分别为线段AB,OB的中点,点P为OA上一动点,PC+PD值 最小时点P的坐标为 ( C )A.(-3,0) B.(-6,0) C. D.,解析 作点D关于x轴的对称点D,连接CD交x轴于点P,此时PC+ PD值最小,如图所示.令y= x+4中x=0,则y=4, 点B的坐标为(0,4). 令y= x+4中y=0,则 x+4=0,解得x=-6,点A的坐标为(-6,0). 点C,D分别为线段AB,OB的中点, 点C(-3,2),点D(0,2). 点D和点D关于x轴对称, 点D的坐标为(0,-2). 设直线CD的解析式为y=kx+b,
13、 直线CD过点C(-3,2),D(0,-2), 有 解得 直线CD的解析式为y=- x-2.,令y=- x-2中y=0,则0=- x-2,解得x=- , 点P的坐标为 .故选C. 方法技巧 此类问题一般是已知直线同侧存在两点,在直线上 取一点,使得该点到已知两点距离之和最短,其解决方法是作其中 一点关于直线的对称点,此两点所在直线与已知直线的交点即为 所求的点.,一、选择题 1.(2017泰安)下列图案,其中,中心对称图形是 ( D ) A. B. C. D.,随堂巩固训练,2.(2018河北)图中是由“ ”和“ ”组成的轴对称图形,则该 图形的对称轴是直线 ( C ) A.l1 B.l2 C
14、.l3 D.l4,3.(2018青岛)如图,将线段AB绕点P按顺时针方向旋转90,得到线 段AB,其中点A、B的对应点分别是点A、B,则点A的坐标是 ( D ),A.(-1,3) B.(4,0) C.(3,-3) D.(5,-1),4.如图,把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后,点A落在CD边上的点 A处,点B落在点B处.若2=40,则图中1的度数为( A )A.115 B.120 C.130 D.140,5.(2017潍坊)小莹和小博士下棋,小莹执圆子,小博士执方子.如图,棋盘中心方子的位置用(-1,0)表示,右下角方子的位置用(0,-1)表示.小莹将第4枚圆子放入棋盘后,所有棋子构成一个轴对
15、称图. 她放的位置是( B )A.(-2,1) B.(-1,1) C.(1,-2) D.(-1,-2),二、填空题 6.如图,将一矩形纸片ABCD折叠,使两个顶点A,C重合,折痕为FG. 若AB=4,BC=8,则ABF的面积为 6 .,解析 由折叠知AF=FC,设BF=x,则AF=FC=8-x,在RtABF中,AB2+BF2=AF2,即42+x2=(8-x)2,解得x=3.所以SABF= ABBF=6.,7.(2017东营)如图,已知菱形ABCD的周长为16,面积为8 ,E为AB 的中点,若P为对角线BD上一动点,则EP+AP的最小值为 2 .,解析 如图作CEAB于E,交BD于P,连接AC,
16、AP.已知菱形ABCD的周长为16,面积为8 , AB=BC=4,ABCE=8 ,CE=2 . 在RtBCE中,BE= =2, BE=EA=2,E与E重合. 四边形ABCD是菱形,BD垂直平分AC, A,C关于BD对称, 当P与P重合时,PA+PE的值最小,最小值为CE的长=2 .,8.(2018潍坊)如图,正方形ABCD的边长为1,点A与原点重合,点B在 y轴的正半轴上,点D在x轴的负半轴上,将正方形ABCD绕点A逆时 针方向旋转30至正方形ABCD的位置,BC与CD相交于点M,则 点M的坐标为 .,解析 连接AM,在RtABM和RtADM中,RtABMRtADM. DAM=BAM= =30
17、.,在RtADM中, tan DAM= =tan 30, DM=ADtan 30=1 = . M .,三、解答题 9.如图,在正方形ABCD中,E,F是对角线BD上两点,且EAF=45, 将ADF绕点A顺时针旋转90后,得到ABQ,连接EQ,求证: (1)EA是QED的平分线; (2)EF2=BE2+DF2.,证明 (1)将ADF绕点A顺时针旋转90后,得到ABQ, QAF=90,AF=AQ. EAF=45,QAE=45. 在AQE和AFE中,AQEAFE(SAS), QEA=FEA, EA是QED的平分线. (2)将ADF绕点A顺时针旋转90后,得到ABQ,QB=DF, AQEAFE,QE=EF. ABD=ADB=45,ABQ=ADB=45, QBE=90. 在RtQBE中,QB2+BE2=QE2, 即EF2=BE2+DF2.,