1、第27讲 概率,总纲目录,泰安考情分析,基础知识过关,知识点一 事件的分类,温馨提示 确定事件包括必然事件和不可能事件.随机事件又称不确定事件.,知识点二 概率的计算 1.一个事件发生的可能性的大小,可以用一个数来表示,我们把这 个数叫做这个事件发生的 概率 . 2.一般地,如果在一次试验中,有n种可能的结果,并且它们发生的 可能性都相等,事件A包含其中m种结果,那么事件A发生的概率 P(A)= . 3.列表法和画树状图法求概率:当事件中包含两个因素时,可以用 列表法列举出所有可能的结果,再根据概率公式计算;当事件中涉 及两个或两个以上的因素时,通常采用画树状图列举出所有的结 果,再根据概率公
2、式计算.,知识点三 用频率估计概率 1.当试验次数足够大时,事件A发生的频率 越来越稳定于某个 常数,这个常数就可以当作概率的估计值. 2.一般地,在大量重复试验中,如果事件A发生的频率 稳定在某 个常数p附近,那么事件A发生的概率P(A)= .,3.频率与概率的区别和联系:频率和概率是两个不同的概念,事件 发生的概率是一个确定的值(理论值),而频率是不确定的值(试验 值).当试验次数较少时,频率的大小摇摆不定,当试验的次数较大 时,频率的大小波动变小,逐渐稳定在概率附近. 温馨提示 概率的求法关键是要找准两点:(1)全部情况的总数; (2)符合条件的情况数.二者的比值就是其发生的概率.,知识
3、点四 概率的应用 概率的应用主要是用来评判某项活动是否合理,游戏是否公平.此 类题目通常先计算事件发生的概率,然后利用概率的大小作出评 判并解决问题. (1)评判游戏是否公平的原则:游戏双方获胜的概率如果相等,说 明游戏是公平的,否则说明游戏不公平. (2)游戏规则的修改:对于任何一个游戏,修改它规则的方法不是 唯一的,但最基本的是通过计算,使概率朝着相等的方向修改.,泰安考点聚焦,考点一 判断事件的类型 例1 (2018淄博)下列语句描述的事件中,是随机事件的为( D ) A.水能载舟,亦能覆舟 B.只手遮天,偷天换日 C.瓜熟蒂落,水到渠成 D.心想事成,万事如意 解析 A.水能载舟,亦能
4、覆舟,是必然事件,故此选项错误; B.只手遮天,偷天换日,是不可能事件,故此选项错误; C.瓜熟蒂落,水到渠成,是必然事件,故此选项错误; D.心想事成,万事如意,是随机事件,故此选项正确. 故选D.,变式1-1 下列说法属于不可能事件的是 ( D ) A.四边形的内角和为360 B.对角线相等的菱形是正方形 C.内错角相等 D.存在实数x满足x2+1=0 解析 四边形的内角和为360是必然事件;对角线相等的菱形是 正方形是必然事件;内错角相等是随机事件;存在实数x满足x2+1= 0是不可能事件,故选D.,考点二 简单事件的概率 例2 (2018聊城)某十字路口设有交通信号灯,东西方向信号灯的
5、 开启规律如下:红灯开启30秒后关闭,紧接着黄灯开启3秒后关闭, 再紧接着绿灯开启42秒后关闭,按此规律循环下去.如果不考虑其 他因素,当一辆汽车沿东西方向随机地行驶到该路口时,遇到红灯 的概率是 . 解析 P= = .,变式2-1 (2016泰安)下列图形:从中任取一个图,是中心对称图形的概率是 ( C ) A. B. C. D.1,解析 第1、3、4个图形是中心对称图形,任取一个图,是中心 对称图形的概率是 .故选C. 方法技巧 在一次试验中,求出总的结果数n和该事件包含的 结果数m,然后利用公式P= 计算该事件发生的概率.,考点三 用列表法或画树状图法求概率 中考解题指导 用列表法或画树
6、状图法求概率是泰安中考必考 知识点,题目较为简单.列表法适合于两步完成的事件,画树状图 法适合两步或两步以上完成的事件.,例3 (2017泰安)袋内装有标号分别为1、2、3、4的4个球,从袋 内随机取出一个小球,让其标号为一个两位数的十位数字,放回搅 匀后,再随机取出一个小球,让其标号为这个两位数的个位数字, 则组成的两位数是3的倍数的概率为 ( B ) A. B. C. D.,解析 列表如下:,共有16种等可能的结果,组成的两位数是3的倍数的有12,21,24, 33,42,共有5种情况,组成的两位数是3的倍数的概率是 ,故选 B.,变式3-1 (2016泰安)在-2,-1,0,1,2这五个
7、数中任取两数m,n,则抛物线y=(x-m)2+n的顶点在坐标轴上的概率为 ( A ) A. B. C. D.,解析 画树状图得:-2,-1,0,1,2这五个数中任取两数m,n,一共有20种可能,其中符合条件的有8种可能,顶点在坐标轴上的概率为 = .,变式3-2 (2018滨州)若从-1,1,2这三个数中,任取两个数分别作 为点M的横、纵坐标,则点M在第二象限的概率是 . 解析 列表如下:,由表可知,共有6种等可能结果,其中点M在第二象限的结果有2种, 所以点M在第二象限的概率是 = , 故答案为 . 方法技巧 注意列表法或画树状图法必须要不重复不遗漏地 列出所有可能的结果,再利用概率公式求得
8、答案.,考点四 用频率估计概率 中考解题指导 当试验次数很多或试验样本容量足够大时,该事 件发生的频率与相应的概率会非常接近.此时,我们可以用事件发 生的频率来估计这一事件发生的概率.,例4 在一个不透明的布袋中,红色、黑色、白色的玻璃球共有4 0个,除颜色外其他完全相同,小明通过多次摸球试验后发现其中 摸到红色球、黑色球的频率稳定在15%和45%,则口袋中白色球 的个数可能是 ( C ) A.24 B.18 C.16 D.6 解析 摸到红色球、黑色球的频率稳定在15%和45%, 摸到白球的频率为1-15%-45%=40%, 故口袋中白色球的个数可能是4040%=16.故选C.,变式4-1 甲
9、、乙两名同学在一次用频率去估计概率的试验中统 计了某一结果出现的频率,绘出的统计图如图所示,则符合这一结 果的试验可能是 ( A )A.从一装有2个白球和1个红球的袋子中任取一球,取到红球的概 率 B.掷一枚正六面体的骰子,出现1点的概率 C.抛一枚硬币,出现正面的概率 D.任意写一个整数,它能被2整除的概率,解析 A.从一装有2个白球和1个红球的袋子中任取一球,取到红 球的概率是 0.33; B.掷一枚正六面体的骰子,出现1点的概率是 ; C.抛一枚硬币,出现正面的概率为 ; D.任意写一个整数,它能被2整除的概率,即为偶数的概率为 . 由用频率去估计概率的统计图可知当试验次数到600次时频
10、率稳 定在33%左右,故符合条件的只有A. 方法技巧 在一次试验中,当可能出现的结果有无限个,或各种 可能的结果发生的可能性不相等时,一般用频率估计概率.,考点五 概率的应用 例5 (2018青岛)小明和小亮计划暑期结伴参加志愿者活动.小明 想参加敬老服务活动,小亮想参加文明礼仪宣传活动.他们想通过 做游戏的方式来决定参加哪个活动,于是小明设计了一个游戏,游 戏规则是在三张完全相同的卡片上分别标记4、5、6三个数字, 一人先从三张卡片中随机抽出一张,记下数字后放回,另一人再从 中随机抽出一张,记下数字,若抽出的两张卡片标记的数字之和为 偶数,则按照小明的想法参加敬老服务活动;若抽出的两张卡片标
11、 记的数字之和为奇数,则按照小亮的想法参加文明礼仪宣传活动. 你认为这个游戏公平吗?请说明理由.,解析 不公平. 理由如下:列表表示所有可能的结果:,由上表可知,共有9种等可能的结果,其中和为偶数的结果有5 种,和为奇数的结果有4种, 设事件A为“参加敬老服务活动”,事件B为“参加文明礼仪宣传 活动”, P(A)= ,P(B)= . ,这个游戏不公平.,变式5-1 小明和小亮用如图所示的两个转盘做配紫色游戏,游 戏规则:分别转动两个转盘,若其中一个转盘转出红色,另一个转 出蓝色,则可以配成紫色,此时小明得一分,否则小亮得一分. (1)用画树状图法或列表法求出小明获胜的概率; (2)这游戏对双方
12、公平吗?请说明理由.若不公平,如何修改规则才 能使游戏对双方公平?,解析 (1)列表如下:,共有6种等可能的结果,其中可以配成紫色的结果数为1,所以 小明获胜的概率为 . (2)不公平.因为P(配成紫色)P(没配成紫色). 修改:配成紫色小明得5分,否则小亮得1分. 方法技巧 游戏的公平性是指参加游戏的双方获胜的概率相 同,但不一定都是 .主要方法是分别求出游戏双方获胜的概率,然 后进行比较.,一、选择题 1.(2018烟台)下列说法正确的是 ( A ) A.367人中至少有2人生日相同 B.做生意掷一枚均匀的骰子,掷出的点数是偶数的概率是 C.天气预报说明天的降水概率为90%,则明天一定会下
13、雨 D.某种彩票中奖的概率是1%,则买100张彩票一定有1张中奖,随堂巩固训练,解析 B.掷出的点数是偶数的概率是 ,此选项错误; C.天气预报说明天的降水概率为90%,则明天可能会下雨,此选项 错误; D.某种彩票中奖的概率是1%,则买100张彩票可能有1张中奖,此 选项错误,故选A.,2.(2018临沂)2018年某市初中学业水平实验操作考试要求每名学 生从物理、化学、生物三个学科中随机抽取一科参加测试,小华 和小强都抽到物理学科的概率是 ( D ) A. B. C. D. 解析 如图所示:,一共有9种可能,符合题意的结果有1种, 故小华和小强都抽到物理学科的概率是 .故选D.,3.在一个
14、不透明的盒子中装有8个白球,若干个黄球,它们除颜色 不同外,其余均相同.若从中随机摸出一个小球,它是白球的概率 为 ,则黄球的个数为 ( A ) A.4 B.6 C.12 D.16 解析 盒子中球的总个数=8 =12, 黄球的个数为12-8=4.,二、填空题 4.(2018天津)不透明袋子中装有11个球,其中有6个红球,3个黄球, 2个绿球,这些球除颜色外无其他差别.从袋子中随机取出1个球, 则它是红球的概率是 .,解析 袋子中共有11个小球,其中红球有6个, P(取出一个球是红球)= .,5.甲、乙、丙3人站成一排合影留念,甲站在中间的概率为 ; 甲、乙两人恰好相邻的概率为 . 解析 画树状
15、图得:甲站在中间的概率为 .甲、乙两人恰好相邻的概率为 = .,6.有4张看上去无差别的卡片,上面分别写着2,3,4,5.随机抽取1张 后,放回并混合在一起,再随机抽取1张,则第二次抽出的数字能够 整除第一次抽出的数字的概率是 .,解析 列表得:,共有16种情况,第二次抽出的数字恰好能整除第一次抽出的数字 的有5种,P(第二次抽出的数字能够整除第一次抽出的数字)= .,三、解答题 7.(2018重庆)某初中学校举行毛笔书法大赛,对各年级同学的获 奖情况进行了统计,并绘制了两幅不完整的统计图,请结合图中相 关数据解答问题.,(1)请将条形统计图补全; (2)获得一等奖的同学中有 来自七年级,有
16、来自八年级,其他同 学均来自九年级.现准备从获得一等奖的同学中任选两人参加市 内毛笔书法大赛,请通过列表或画树状图的方法求所选出的两人 中既有七年级又有九年级同学的概率.,解析 (1)1025%=40(人),40-8-6-12-10=4(人).故获得一等奖的人 数为4. 补全条形统计图,如图所示.(2)由(1)得,七年级有1人获得一等奖,八年级有1人获得一等奖,九,年级有2人获得一等奖,设七年级同学为甲,八年级同学为乙,九年 级同学为丙、丁,则用如图所示的树状图列举出所有可能出现的 结果,或用表格列举出所有可能出现的结果.,由上可知,出现等可能的结果共12种,其中既有七年级同学又有九 年级同学的结果有4种,所以P(所选出的两人中既有七年级同学 又有九年级同学)= = .,