1、第5讲 一次方程与方程组,总纲目录,泰安考情分析,基础知识过关,知识点一 等式的基本性质及方程的相关概念,1.等式的基本性质 性质1:等式两边都 加上(或减去) 同一个数(或式子),所得的结果仍是等式.即如果a=b,那么a c =b c; 性质2:等式两边都 乘(或除以)同一个不为0 的数(或式子),所得的结果仍是等式.即如果a=b, 那么ac = bc , = (c0).,2.方程:含有未知数的 等式 叫做方程.,3.方程的解:使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解.,4.解方程:求方程的解的过程叫做解方程.,知识点二 一元一次方程及其解法,1.一元一次方程:只含有 一个 未知数,并且含
2、有未知数的项的次数都是 1 ,等号两边都是 整式 的方程叫做一元一次方程.一元一次方程的一般形式是 ax+b=0(a0) .,2.解一元一次方程的步骤 (1)去分母:方程的两边同乘分母的最小公倍数,注意不要漏乘不 含分母的项; (2)去括号:注意括号前是负号时,去掉括号后,原来括号内的每一 项都要改变符号; (3)移项:将含有未知数的项移到方程一边,常数项移到另一边,注 意移项要改变符号; (4)合并同类项:化方程为ax=b(a0)的最简形式; (5)未知数的系数化为1:方程两边同除以未知数的系数,得到未知 数的值,注意分子、分母不要颠倒.,知识点三 二元一次方程(组)及其解法,1.二元一次方
3、程:方程中含有 两个 未知数,并且含有未知数的项的次数都是 1 的 整式方程 叫做二元一次方程.二元一次方程的一般形式是ax +by +c =0(a、b、c是常数,且a0,b0).,2.二元一次方程组:含有两个未知数的一次方程组叫做二元一次方程组.,3.二元一次方程组的解:二元一次方程组中方程的公共解叫做这 个二元一次方程组的解.,4.二元一次方程组的解法:解二元一次方程组的基本思想是 消元 ,方法一般有 代入 消元法和加减消元法.,知识点四 三元一次方程组的解法,1.三元一次方程组:含有三个未知数的一次方程组叫做三元一次 方程组.,2.三元一次方程组的解:三元一次方程组中方程的公共解,叫做这
4、 个三元一次方程组的解.,3.三元一次方程组的解法:三元一次方程组 二元一次方程组一元一次方程.,知识点五 一次方程(组)的应用,1.列一次方程(组)解决实际问题的一般步骤 (1)审:审清题意,分清题目中的已知量和未知量; (2)设:设未知数,可直接设也可间接设; (3)列:找出适当的等量关系,列方程(组); (4)解:解方程(组); (5)验:检验所得答案是否正确以及是否符合题意; (6)答:规范作答.,2.应用题中的常见题型及其基本数量关系,温馨提示 若应用题中的等量关系不止一个,解题时,要选择合适的等量关系设未知数,根据等量关系列方程(组).,泰安考点聚焦,考点一 方程(组)的解 中考解
5、题指导 根据二元一次方程组的特点,选择适当的方法解 方程组.(1)方程中有一个未知数的系数为1或-1时,一般采用代入 消元法.(2)当两个方程中的某个未知数的系数相同或互为相反数 或存在倍数关系时,一般采用加减消元法.,例1 (2018枣庄)若二元一次方程组 的解为 则a-b = .,解析 将 代入方程组 得 +,得4a-4b=7, 则a-b= , 故答案为 .,变式1-1 已知关于x,y的方程x2m-n-2+4ym+n+1=6是二元一次方程,则m,n的值分别是 ( A ) A.1,-1 B.-1,1 C. ,- D.- ,解析 根据二元一次方程的定义可得 解得,变式1-2 已知关于x,y的方
6、程组 其中-3a1,给出 下列结论: 是方程组的解; 当a=-2时,x,y的值互为相反数; 当a=1时,方程组的解也是方程x+y=4-a的解; 若x1,则1y4. 其中正确的是 (填写序号即可).,解析 解原方程组得x=1+2a,y=1-a,-3a1,-5x3,0y 4.结论错误;当a=-2时,x=1+2a=-3,y=1-a=3,x,y的值互为相 反数,结论正确;当a=1时,x+y=2+a=3,4-a=3,方程x+y=4-a两边相 等,结论正确;当x1时,1+2a1,解得a0,且-3a1,-3a0,11-a4,1y4,结论正确,所以正确的为.,变式1-3 解方程组,解析 -得3x=-9,解得x
7、=-3, 把x=-3代入中,得y=4,即方程组的解为,变式1-4 解方程组,解析 由得y=3x-2,将y=3x-2代入中得5x+2(3x-2)=7,解得x=1,所以y=1,所以方程组的解为 方法技巧 方程(组)的解一定适合原方程(组),把方程(组)的解代入原方程(组)得到关于未知数的方程(组),进而求出未知数的值及关于未知数的代数式的值.,例2 (2018泰安)夏季来临,某超市试销A、B两种型号的风扇,两 周内共销售30台,销售收入5 300元,A型风扇每台200元,B型风扇 每台150元,则A、B两种型号的风扇分别销售了多少台?若设A型 风扇销售了x台,B型风扇销售了y台,则根据题意列出方程
8、组为 ( C ) A. B. C. D.,考点二 一次方程(组)的应用,变式2-1 (2016泰安)某学校是乒乓球体育传统项目学校,为进一步推动该项目的开展,学校准备到体育用品店购买直拍球拍和横 拍球拍若干副,并且每买一副球拍必须要买10个乒乓球,乒乓球的 单价为2元,若购买20副直拍球拍和15副横拍球拍花费9 000元;购 买10副横拍球拍比购买5副直拍球拍多花费1 600元.求两种球拍 每副各多少元.,解析 设直拍球拍每副x元,横拍球拍每副y元,由题意得,解得 答:直拍球拍每副220元,横拍球拍每副260元.,变式2-2 (2017肥城模拟)在肥城中学举行的“我爱祖国”征文 活动中,七年级
9、和八年级共收到征文118篇,且七年级收到的征文 篇数是八年级收到的征文篇数的一半还少2篇,求七年级收到的 征文有多少篇.,解析 设八年级收到的征文有x篇,则七年级收到的征文有 篇,根据题意列方程得x+ =118,解得x=80,所以 -2=38. 答:七年级收到的征文有38篇.方法技巧 1.列方程(组)解应用题的关键是准确找出题目中的 相等关系,正确列出方程(组).,2.设未知数可以采用直接设法也可以采用间接设法.,3.要根据应用题的实际意义检验求得的解是否符合题意,不符合 题意的要舍去,一、选择题 1.(2017东平一模)方程2x+3=7的解是 ( D ) A.X =5 B.x =4 C.X
10、=3.5 D.x =2,随堂巩固训练,2.若代数式4x-5与 的值相等,则x的值是 ( B ) A.1 B. C. D.2 二、填空题,3.(2018滨州)若关于x、y的二元一次方程组 的解是则关于a、b的二元一次方程组 的解是 .,解析 解法一: 关于x、y的二元一次方程组 的解是 将 代入方程组 可得m =-1,n =2, 关于a、b的二元一次方程组 可整理为 解得,关于x、y的二元一次方程组 的解是 关于a、b的二元一次方程组 可知 解得 故答案为,解法二:,4.(2017泰山二模)王经理到襄阳出差带回襄阳特产孔明菜若 干袋,分给朋友们品尝,如果每人分5袋,还余3袋;如果每人分6袋, 还
11、差3袋,则王经理带回孔明菜 33 袋.,解析 设王经理分给了x个朋友, 由题意得5x+3=6x-3,解得x=6, 5x+3=33(袋), 故王经理带回孔明菜33袋.,5.(2017新泰一模)用一条长40 cm的绳子围成一个面积为64 cm2 的矩形.设矩形的一边长为x cm,则可列方程为 x(20-x)=64 .,解析 因为矩形的一边长为x cm,则该边的邻边长为(20-x)cm,因 为矩形的面积为64 cm2,所以x(20-x)=64.,6.某运动员在一场篮球比赛中的技术统计如下表所示:,注:表中出手投篮次数和投中次数均不包括罚球. 根据以上信息,求本场比赛中该运动员投中2分球和3分球各几个.,三、解答题,解析 设本场比赛中该运动员投中2分球x个,3分球y个,列方程组 得 解得 答:本场比赛中该运动员投中2分球16个,3分球6个.,