1、第6讲 一元二次方程,总纲目录,泰安考情分析,基础知识过关,知识点一 一元二次方程的相关概念,1.一元二次方程:只含有 一个 未知数,并且未知数的最高次数是 2 的整式方程叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式是 ax2+bx+c=0(a0) ,其中ax2叫做二次项,a叫做二次项系数,bx 叫做一次项,b叫做一次项系数,c叫做 常数项 . 温馨提示 判定一个方程是不是一元二次方程时要注意以下三 点:(1)只含有一个未知数;(2)未知数的最高次数是2;(3)方程是整式方程. 一元二次方程的一般形式要注意二次项系数a0这一条件.,2.一元二次方程的解:使方程左右两边 相等 的未知数的值叫做一元二
2、次方程的解,也叫做一元二次方程的根.,知识点二 一元二次方程的解法,温馨提示 解一元二次方程时,要根据方程的特点灵活选择合适 的方法,一般优先考虑直接开平方法,然后考虑因式分解法,再次 考虑公式法、配方法,公式法和配方法可以解所有判别式大于或 等于零的一元二次方程.,知识点三 一元二次方程的根的判别式及其应用 关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根的判别式为 b2-4ac ,一般用符号表示. (1)b2-4ac0方程ax2+bx+c=0(a0)有 两个不相等 的实数根; (2)b2-4ac=0方程ax2+bx+c=0(a0)有 两个相等 的实数根; (3)b2-4ac .,解析
3、关于x的一元二次方程x2+(2k-1)x+(k2-1)=0无实数根, =b2-4ac , 故k的取值范围是k . 易错警示 若一元二次方程有实数根,则应该包括有两个不相 等的实数根和有两个相等的实数根两种情况,同时满足二次项系 数不能为零,要注意考虑问题的全面性.,考点四 一元二次方程根与系数的关系 中考解题指导 (1)已知x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的 两根,求关于x1,x2的某个代数式的值,先把这个代数式变形为含有 x1+x2和x1x2的式子,再把x1+x2和x1x2的值整体代入. (2)若给出了关于x1和x2的某个代数式的值或范围,要求未知字母 系数的值或范围,先
4、把这个代数式进行变形,转化为用x1+x2和x1x2 表示的式子,然后根据所给的值或取值范围构造方程或不等式,从 而求出未知字母系数的值或范围.,例4 (2018潍坊)已知关于x的一元二次方程mx2-(m+2)x + =0有两个不相等的实数根x1,x2,若 + =4m,则m的值是 ( A ) A.2 B.-1 C.2或-1 D.不存在,解析 由题意得=-(m+2)2-4m =4m+40,且m0,解得m-1且m0, 由题意知x1+x2= ,x1x2= ,所以 + = = =4m,化简得m2-m -2=0, 解得m1=2,m2 =-1(舍去),所以m 的值为2,故选A.,变式4-1 (2017泰山模
5、拟)一元二次方程x2-3x -2=0的两根为x1,x2,则下列结论正确的是 ( C ) A.x1=-1,x2=2 B.x1=1,x2=-2 C.x1+x2=3 D.x1x2=2,解析 方程x2-3x -2=0的两根为x1,x2, x1+x2=3,x1x2=-2,C选项正确.,考点五 一元二次方程的应用 中考解题指导 列方程解实际问题的关键:(1)找到等量关系.(2) 在得到方程的解后,要检验它是否符合实际意义. 考向1 列方程解决实际问题,例5 某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系,每盆植3 株时,平均每株盈利4元;若每盆增加1株,平均每株盈利减少0.5元, 要使每盆的盈利达到15元,每
6、盆应多植多少株?设每盆多植x株,则 可以列出的方程是 ( A ) A.(x+3)(4-0.5x)=15 B.(x+3)(4+0.5x)=15 C.(x+4)(3-0.5x)=15 D.(x+1)(4-0.5x)=15,解析 由题意得每盆有这种花卉(x+3)株,平均每株盈利(4-0.5x) 元,所以可列出的方程为(x+3)(4-0.5x)=15. 考向2 增长率(降低率)问题的考查,例6 烟台市某养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变成 本,其中固定成本每年均为4万元,可变成本逐年增长,已知该养殖 户第1年的可变成本为2.6万元,设可变成本平均每年增长的百分 率为x. (1)第3年的可变成本用含
7、x的代数式表示为 2.6(1+x)2 万元; (2)如果该养殖户第3年的养殖成本为7.146万元,求可变成本平均 每年增长的百分率x.,解析 (1)2.6(1+x)2.由第1年的可变成本为2.6万元可以表示出第2 年的可变成本,为2.6(1+x)万元,则第3年的可变成本为2.6(1+x)2万 元. (2)由养殖成本=固定成本+可变成本,得4+2.6(1+x)2=7.146,解得x1 =0.1,x2=-2.1(不符合题意,舍去). 所以可变成本平均每年增长的百分率为10%.,考向3 利润问题的考查 例7 某烘焙店生产的蛋糕礼盒分为六个档次,第一档次(即最低 档次)的产品每天生产76件,每件利润为
8、10元.调查表明:生产的蛋 糕产品每提高一个档次,该产品每件的利润增加2元. (1)若生产的某批次蛋糕每件利润为14元,则此批次蛋糕属于第几 档次的产品? (2)由于生产工序不同,蛋糕产品每提高一个档次,一天产量会减 少4件.若生产的某档次产品一天的总利润为1 080元,则该烘焙店 生产的是第几档次的蛋糕产品?,解析 (1)根据生产的蛋糕产品每提高一个档次,每件产品的利润 增加2元得(14-10)2+1=3, 所以每件利润14元的蛋糕为第三档次产品. (2)设烘焙店生产的是第x档次的蛋糕产品,根据题意得 2(x -1)+1076-4(x -1)=1 080, 整理得x2-16x+55=0, 解
9、得x1=5,x2=11(不合题意,舍去). 答:该烘焙店生产的是第五档次的蛋糕产品.,考向4 几何问题的考查 例8 王叔叔从市场上买了一块长80 cm、宽70 cm的矩形铁皮, 准备制作一个工具箱.如图,他将矩形铁皮的四个角各剪掉一个边 长为x cm的正方形后,剩余的部分刚好能围成一个底面积为3 000 cm2的无盖长方体工具箱,根据题意列方程为 ( C )A.(80-x)(70-x)=3 000 B.8070-42=3 000 C.(80-2x)(70-2x)=3 000 D.8070-42-(70+80)x =3 000,解析 由题意得剩余部分围成的工具箱的底面是长(80-2x)cm,宽
10、(70-2x)cm的长方形, 则由题意得(80-2x)(70-2x)=3 000.,考向5 单(双)循环问题的考查 例9 学校要组织足球比赛,赛制为单循环形式(每两队之间赛一 场).计划安排21场比赛,应邀请多少支球队参赛?设邀请x支球队 参赛.根据题意,下面所列方程正确的是 ( B ) A.x2=21 B. x(x -1)=21 C. x2=21 D.x(x -1)=21,解析 邀请x个队参赛,则每个队都要进行(x -1)场比赛,但两队之 间只有一场比赛,由题意得: x(x -1)=21.方法技巧 列一元二次方程解决实际问题时,首先是将问题进 行归类,明确其中的等量关系,其次是判断所求的解是
11、否符合题 意,舍去不合题意的解.,一、选择题 1.(2017岱岳二模)将一元二次方程x2-6x -5=0配方后可变形为 ( A ) A.(x-3)2=14 B.(x-3)2=4 C.(x+3)2=14 D.(x+3)2=4,随堂巩固训练,2.(2017肥城一模)下列选项中,使关于x的一元二次方程ax2-4x+c= 0一定有实数根的是 ( D ) A.a0 B.a=0 C.c0 D.c=0,3.(2017烟台)若x1,x2是方程x2-2mx +m2-m-1=0的两个根,且x1+x2=1-x1x2,则m的值为 ( D ) A.-1或2 B.1或-2 C.-2 D,二、填空题,4.(2018德州)若
12、x1,x2是一元二次方程x2+x -2=0的两个实数根,则x1+x2+x1x2= -3 .,5.(2017新泰模拟)已知关于x的一元二次方程(a -1)x2-2x +1=0有两个不相等的实数根,则a的取值范围是 a0,解得a2, 又二次项系数不为0, a-10,即a1. 故a的取值范围是a0)的两个根分别为m +1和2m -4, 则 = 4 .,解析 易知x2= (ab0),所以x = ,所以方程的两个根互为相反 数,即m+1+2m-4=0,解得m=1,所以方程的两个根为2和-2,所以 = 2,故 =4.,三、解答题 7.2016年某市某楼盘以每平方米6 500元的均价对外销售,因为楼 盘滞销
13、,房地产开发商为了加快资金周转,决定进行降价促销,经 过连续两年下调,2018年的均价为每平方米5 265元. (1)求平均每年下调的百分率; (2)假设2019年的均价仍然下调相同的百分率,张强准备购买一套 100平方米的住房,他持有现金20万元,可以在银行贷款30万元,张 强的愿望能否实现?(房价每平方米按照均价计算),解析 (1)设平均每年下调的百分率为x,根据题意得,6 500(1-x)2= 5 265,解得x1=0.1=10%,x2=1.9(舍去).故平均每年下调的百分率为 10%. (2)由题意可知2019年的均价为每平方米5 265(1-10%)=4 738.5 元,则100平方米的住房总房款为1004 738.5=47.385万元,因 20+3047.385,所以张强的愿望能够实现.,