1、第11讲 反比例函数,总纲目录,泰安考情分析,基础知识过关,知识点一 反比例函数的定义一般地,形如 y= (k0)的函数叫做反比例函数,其中k为反比例函数的系数. 温馨提示 (1)y= (k0)可变形为k=xy(k0),用此式可直接求出k的值,得到反比例函数的解析式; (2)y= (k0)可变形为y=kx-1(k0),特别值得注意的是自变量x的指数为-1; (3)对于反比例函数y= ,需要满足k0,x0,y0.,知识点二 反比例函数的图象和性质 1.反比例函数的图象:反比例函数y= (k0)的图象是 双曲线 ,因为x0,所以y0,所以反比例函数的图象无限接近x轴和y轴,但不会与x轴、y轴相交.
2、,2.反比例函数的图象和性质,温馨提示 反比例函数的图象是双曲线,它既是轴对称图形,又是中心对称图形.其对称轴是直线y=x和直线y=-x,对称中心是原点.,知识点三 反比例函数中系数k的几何意义 1.反比例函数y= (k0)中k的几何意义 由双曲线y= (k0)上任意一点向两坐标轴作垂线,两垂线与坐 标轴围成的矩形面积为 |k| . 如图(1)和图(2), =PAPB=|y|x|=|xy|=|k|. 同理可得,SOPA=SOPB= |xy|= |k|.,2.计算与双曲线上的点有关的图形面积SAOP= |k|;SAPB= |k|;SAPP=2|k|.,知识点四 求反比例函数的解析式 1.由反比例
3、函数y= (k0)的解析式中只有一个待定系数k可知, 只需已知一组对应值或图象上一点的坐标即可求出k的值. 2.待定系数法求反比例函数解析式的步骤 (1)设所求反比例函数的解析式为y= (k0); (2)把已知的一对x、y的值(或图象上已知点的坐标)代入解析式, 得到关于k的方程; (3)解出k的值,写出反比例函数解析式.,3.反比例函数的解析式,除了常见的y= 外,还可以表示为y=kx-1或 xy=k(k不为0).,知识点五 反比例函数的应用 解决与反比例函数有关的实际问题时,一般要先确定函数解析式, 再利用图象找出解决问题的方案,要特别注意自变量的取值范围. 具体的过程大致可以总结为建立反
4、比例函数模型求出反比例 函数表达式结合函数表达式、图象性质作出解答,特别要注意 自变量的取值范围.,泰安考点聚焦,考点一 反比例函数的图象和性质 考向1 反比例函数的图象例1 反比例函数y= 在每个象限内的函数值y随x的增大而增 大,则m的取值范围是 ( D ) A.m0 C.m-1 D.m-1,解析 对于反比例函数y= (k是常数,k0),若其在每个象限内的 函数值y随x的增大而增大,则k0,即m+10,所以m-1.,变式1-1 已知反比例函数y= (k0)的图象经过点(3,-1),则当1y3时,自变量x的取值范围是 -3x-1 .,解析 反比例函数y= (k0)的图象经过点(3,-1),
5、k=3(-1)=-3, 反比例函数的解析式为y=- , 反比例函数y=- 中,k=-30,该反比例函数的图象在第二、四 象限内,且在每个象限内y随x的增大而增大,当y=1时,x=-3;当y=3 时,x=-1,当1y3时,自变量x的取值范围是-3x0图象在第 一、三象限在每个象限内y随x的增大而减小;k0图象在第 二、四象限在每个象限内y随x的增大而增大.,考向2 函数值的大小比较 例2 (2017天津)若点A(-1,y1),B(1,y2),C(3,y3)在反比例函数y=- 的图象上,则y1,y2,y3的大小关系是 ( B ) A.y1y2y3 B.y2y3y1 C.y3y2y1 D.y2y1y
6、3,解析 -30,y2y30,函数图象在第一、三象限,且在每个象限 内,y随x的增大而减小,点A在第三象限,函数值为负数,点B 和点C在第一象限,y2y30,y1y3y2.,变式2-2 已知A(x1,y1),B(x2,y2)是反比例函数y= (k0)图象上的两个点,当x1y2,那么一次函数y=kx-k的图象不经过 ( B ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限,解析 由当x1y2,可知当x 0,所以-k0)的图 象上任意一点,ABx轴交反比例函数y=- (x0)刻画(如图所示). (1)根据上述数学模型计算: 喝酒后几小时血液中的酒精含量达到最大值?最大值为多少? 当x=5
7、时,y=45,求k的值; (2)按照国家规定,车辆驾驶人员血液中酒精含量大于或等于20毫 克/百毫升时属于“酒后驾驶”,不能驾车上路.参照上述数学模 型,假设某驾驶员晚上20:00在家喝完半斤低度白酒,第二天早晨7:,(2)按照国家规定,车辆驾驶人员血液中酒精含量大于或等于20毫 克/百毫升时属于“酒后驾驶”,不能驾车上路.参照上述数学模 型,假设某驾驶员晚上20:00在家喝完半斤低度白酒,第二天早晨7: 00能否驾车去上班?请说明理由.,解析 (1)y=-200x2+400x=-200(x-1)2+200, 图象的顶点坐标为(1,200). -20020, 第二天早上7:00不能驾车去上班.
8、,变式4-1 某药品研究所开发一种抗菌新药,经多年动物试验,首 次用于临床人体试验,测得成人服药后血液中药物浓度y(微克/毫 升)与服药时间x(小时)之间的函数关系如图所示(当4x10时,y 与x成反比例). (1)根据图象分别求出血液中药物浓度上升和下降阶段y与x之间 的函数关系式; (2)求血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间为多少小时.,解析 (1)当0x4时,设直线的解析式为y=kx(k0), 将(4,8)代入得8=4k,解得k=2, 故直线的解析式为y=2x(0x4); 当4x10时,设反比例函数的解析式为y= (a0), 将(4,8)代入得8= ,解得a=32, 故反比例函数
9、的解析式为y= (4x10). 因此血液中药物浓度上升阶段的函数关系式为y=2x(0xy2时,x的取值范围 是 ( D )A.x2 B.x2,解析 反比例函数与正比例函数的图象均关于原点对称, A、B两点关于原点对称,点A的横坐标为2,点B的横坐标为 -2,结合函数图象可知,当-22时,正比例函数y1=k1x的图象 在反比例函数y2= 的图象的上方,当y1y2时,x的取值范围是-22,故选D.,变式5-2 (2017烟台)如图,直线y =x +2与反比例函数 y = 的图象在第一象限交于点P,若OP= ,则k的值为 3 .,解析 点P为两函数图象的交点,设点P(x,x+2),过点P向x轴 作垂
10、线,与x轴相交于点M,在RtOMP中,OP= ,根据勾股定 理,得x=1,P(1,3),代入反比例函数关系式中,得k=3.,考向2 反比例函数与一次函数的相关计算 例6 (2017泰安)如图,在平面直角坐标系中,RtAOB的斜边OA 在x轴的正半轴上,OBA=90,且tanAOB= ,OB=2 ,反比例函 数y= 的图象经过点B. (1)求反比例函数的表达式; (2)若AMB与AOB关于直线AB对称,一次函数y=mx+n的图象 过点M、A,求一次函数的表达式.,解析 (1)过点B作BDOA于点D, 设BD=a,tanAOB = = ,OD =2BD. ODB=90,OB=2 ,a2+(2a)2
11、=(2 )2, 解得a=2(舍去-2), OD=4,B(4,2),k=42=8, 反比例函数的表达式为y= . (2)tanAOB= ,OB=2 , AB= OB = , OA= = =5, A(5,0). 又AMB与AOB关于直线AB对称,B(4,2),ABO=90, ABM=ABO=90,O、B、M三点共线,OM=2OB,M(8, 4).,把点M、A的坐标分别代入y=mx+n,得解得 故一次函数的表达式为y= x- .,变式6-1 (2017菏泽)如图,一次函数y=kx+b与反比例函数y= 的 图象在第一象限交于A,B两点,B点的坐标为(3,2),连接OA,OB,过 点B作BDy轴,垂足为
12、D,交OA于点C,若OC=CA. (1)求一次函数和反比例函数的表达式; (2)求AOB的面积.,解析 (1)如图,过点A作AFx轴交BD于点E,交OB于点G.点B (3,2)在反比例函数y= 的图象上,a=32=6,反比例函数的表 达式为y= .B(3,2),EF=2.BDy轴,OC=CA,AE=EF= AF,AF=4,点A的纵坐标为4.点A在反比例函数y= 的图象上,A .将(3,2), 代入y=kx+b得 ,一次函数的表达式为y=- x+6. (2)B(3,2),直线OB的表达式为y= x,G ,又A , AG=4-1=3, SAOB=SAOG+SABG= .,一、选择题 1.已知甲、乙
13、两地相距20千米,汽车从甲地匀速行驶到乙地,则汽 车行驶时间t(单位:时)关于行驶速度v(单位:千米/时)的函数关系 式是 ( B ) A.t=20v B.t= C.t= D.t=,随堂巩固训练,A.m-5 B.0m5 C.-5m0 D.m-5,2.下图中的曲线是反比例函数y= 的图象的一支,则m的取值 范围是 ( A ),3.,(2017威海)如图,正方形ABCD的边长为5,点A的坐标为(-4,0),点B 在y轴上,若反比例函数y= (k0)的图象过点C,则该反比例函数,的表达式为 ( A ) A.y= B.y= C.y= D.y=,4.反比例函数y= 的图象与直线y=-x+2有两个交点,且
14、两交点 横坐标的积为负数,则t的取值范围是( B ) A.t C.t D.t,二、填空题 5.(2018威海)如图,直线AB与双曲线y= (kS2时,点P的横坐标x的取值范围为-6xS2时,点P在线段AB上, 点P的横坐标x的取值范围为-6x-2.,6.(2018滨州)若点A(-2,y1)、B(-1,y2)、C(1,y3)都在反比例函数y= (k为常数)的图象上,则y1、y2、y3的大小关系为y2y10, t0. 点A(-2,y1)、B(-1,y2)、C(1,y3)都在反比例函数y= (k为 常数)的图象上,y1=- ,y2=-t,y3=t, -t- t,y2y1y3.,7.(2018德州)如
15、图,反比例函数y= 的图象与一次函数y=x-2的图 象在第三象限交于点A.点B的坐标为(-3,0),点P是y轴左侧的一点. 若以A、O、B、P为顶点的四边形为平行四边形.则点P的坐标为 (-4,-3)或(-2,3) .,解析 由题意得 解得 或 反比例函数y= 的图象与一次函数y=x-2的图象在第三象限交 于点A,A(-1,-3). 当以AB为对角线时,AB的中点M的坐标为(-2,-1.5).平行四边形 的对角线互相平分,M为OP中点,设P点坐标为(x,y),则 =-2,=-1.5,解得x=-4,y=-3,P(-4,-3); 当OB为对角线时,由O、B坐标可求得OB的中点M的坐标为 ,设P点坐
16、标为(x,y),由平行四边形的性质可知M为AP的中,点,结合中点坐标公式可得 =- , =0,解得x=-2,y=3, P(-2,3); 当以OA为对角线时,由O、A坐标可求得OA的中点M的坐标为 ,设P点坐标为(x,y),由平行四边形的性质可知M为BP中 点,结合中点坐标公式可得 =- , =- ,解得x=2,y=-3, P(2,-3)(不合题意,舍去). 综上所述,P点的坐标为(-4,-3)或(-2,3).,8.如图,函数y= 和y=- 的图象分别是l1和l2.设点P在l1上,PCx轴, 垂足为点C,交l2于点A,PDy轴,垂足为点D,交l2于点B,则PAB的 面积为 8 .,点P在y= 的
17、图象上,|xP|yP|=|k|=1,设P的坐标是 (a为正数),点A ,点B ,PA= ,PB=4a, SPAB= PAPB = 4a=8.,9.如图,点A是反比例函数图象上一点,过点A作ABy轴于点B,点 C、D在x轴上,且BCAD,四边形ABCD的面积为3,则这个反比例 函数的解析式为 y=- .,解析 根据反比例函数中k的几何意义及四边形ABCD的面积为 3,可得|k|=3,该反比例函数的图象在第二、四象限,k=-3,即函数的解析式为y=- .,三、解答题 10.(2018滨州)如图,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,菱形 OABC的顶点A在x轴的正半轴上,顶点C的坐标为(1, ).
18、(1)求图象过点B的反比例函数的解析式; (2)求图象过点A,B的一次函数的解析式; (3)在第一象限内,当以上所求一次函数的图象在所求反比例函数 的图象下方时,请直接写出自变量x的取值范围.,解析 (1)由C的坐标为(1, ),得到OC=2, 菱形OABC, BC=OC=OA=2,BCx轴, B(3, ), 设反比例函数解析式为y= , 把B的坐标代入得k=3 , 则反比例函数解析式为y= . (2)设直线AB的解析式为y=mx+n, 把A(2,0),B(3, )代入得,解得 则直线AB的解析式为y= x-2 . (3)联立得 解得 或 即一次函数图象与反比例函数图象的交 点坐标为(3, )
19、或(-1,-3 ). 则当一次函数的图象在反比例函数的图象下方时,自变量x的取 值范围为x-1或0x3.,11.某中学组织学生到商场参加社会实践活动,他们参与了某种品 牌运动鞋的销售工作,已知该运动鞋每双的进价为120元,为寻求 合适的销售价格进行了4天的试销,试销情况如表所示:,(1)观察表中数据,x,y满足什么函数关系?请求出这个函数关系式; (2)若商场计划每天的销售利润为3 000元,则其单价应定为多少 元?,解析 (1)由题表中数据可得xy=6 000, y是x的反比例函数. 所求函数解析式为y= . (2)由题意,得(x-120)y=3 000, 将y= 代入,可得(x-120) =3 000,解得x=240. 经检验,x=240是原方程的解,且符合题意. 答:其单价应定为240元.,12.在平面直角坐标系xOy中,双曲线y= 与直线y=-2x+2交于点A (-1,a),B. (1)求a、m的值; (2)求B的坐标.,解析 (1)点A(-1,a)在直线y=-2x+2上, a=-2(-1)+2=4, 点A的坐标是(-1,4),将其代入y= 中,得m =-4.(2)解方程组 得 或 点B的坐标为(2,-2).,