1、2017-2018 学年山西省吕梁市孝义市九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分）在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将正确答案的字母号填入题后括号内1 （3 分）抛物线 y=2x21 的顶点坐标是（ ）A （0 ， 1） B （0，1） C （1，0） D （ 1，0）2 （3 分）如果 x=1 是方程 x2x+k=0 的解，那么常数 k 的值为（ ）A2 B1 C1 D 23 （3 分）已知O 是以坐标原点为圆心， 5 为半径的圆，点 P 的坐标为（3，4） ，则点 P 与O 的位置关系是（ ）A点 P 在O 外 B点 P
2、在O 上 C点 P 在O 内 D无法确定4 （3 分）小明在解方程 x24x15=0 时，他是这样求解的：移项得 x24x=15，两边同时加 4 得 x24x+4=19，（x 2）2=19，x 2= ，x2= ，x 1=2+ ，x 2=2 ，这种解方程的方法称为（ ）A待定系数法 B配方法 C公式法 D因式分解法5 （3 分）下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的 是（ ）A B C D6 （3 分）已知抛物线 y=2x2+x 经过 A（ 1，y 1）和 B（3，y 2）两点，那么下列关系式一定正确的是（ ）A 0y 2y 1 By 1y 20 Cy 2y 10 Dy 20y 17 （3
3、 分）如图，AB 是 O 的直径，点 C，D 在O 上，若DCB=110，则AED 的度数为（ ）A15 B20 C25 D308 （3 分）若关于 x 的方程 4kx212x9=0 有实数根，则实数 k 的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）A B C D 来源:学科网9 （3 分）已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）Aa b c Bcab Ccba Db ac10 （3 分）如图，将ABC 绕着点 B 顺时针旋转 60得到DBE，点 C 的对应点E 恰好落在 AB 的延长线上，连接 AD，AC 与 DB 交于点 P，DE 与 CB 交于点 Q，连接 P
4、Q，若 AD=5cm， = ，则 PQ 的长为（ ）A2cm B cm C3cm D cm二、填空题（本大题共个 5 个小题，每小题 3 分，共 15 分）11 （3 分）在平面直角坐标系中，点 A（0，1）关于原点对称 的点是 12 （3 分）方程 x（x+1）=0 的解是 13 （3 分）如图，已知O 的直径 CD 垂直于弦 AB，A=67.5，弦 AB=4cm，则 CD= cm14 （3 分）二次函数 y=ax2+bx+c（a0）中的部分对应值如下表：x 1 0 1 2y 6 3 2 3则当 x=2 时， y 的值为 15 （3 分）如图，射线 OC 与 x 轴正半轴的夹角为 30，点
5、A 是 OC 上一点，AHx 轴于 H，将AOH 绕着点 O 逆时针旋转 90后，到达DOB 的位置，再将DOB 沿着 y 轴翻折到达GOB 的位置 ，若点 G 恰好在抛物线 y=x2（x0）上，则点 A 的坐标为 三、解答题（本大题共 8 个小题，共 75 分，解答应下厨文字说明、证明过程或演算步骤）16 （10 分） （1）解方程：x （x+5）=5x+25（2）已知点（5，0）在抛物线 y=x2+（k+1）xk 上，求此抛物线的对称轴17 （6 分）如图所示的是水面一桥拱的示意图，它的形状类似于抛物线，在正常水位时，该桥下水面宽度为 20 米，拱顶距离正常水面 4 米，建立平面直角坐标系
6、如图所示，求抛物线的解析式18 （7 分）如图，在平面直角坐标系中，有一直角ABC，已知A 1AC1 是由ABC 绕某点顺时针旋转 90得到的（1）请你写出旋转中心的坐标是 （2）以（1）中的旋转中心为中心，画出A 1AC1 顺时针旋转 90，180后的三角形19 （7 分）已知一元二次方程 x2+x2=0 有两个不相等的实数根，即x1=1，x 2=2（1）求二次函数 y=x2+x2 与 x 轴的交点坐标；（2）若二次函数 y=x2+x+a 与 x 轴有一个交点，求 a 的值20 （12 分）我市某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为 40 元，若销售价为 60 元，每天可售出 20 件
7、，为迎接“双十一”，专卖店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，经市场调查发现：如果每件童装降价 1 元，那么平均可多售出 2 件，设每件童装降价 x 元（x 0）时，平均每天可盈利 y 元（1）写出 y 与 x 的函数关系式；（2）根（1）中你写出的函数关系式，解答下列问题：当该专卖店每件童装降价 5 元时，平均每天盈利多少元？当该专卖店每件童装降价多少元时，平均每天盈利 400 元？该专卖店要想平均每天盈利 600 元，可能吗？请说明理由21 （7 分）如图，在ABC 中，BC=AC ，以 BC 为直径的O 与边 AB 相交于点D，DEAC，垂足为点 E，连接 OD（1）求证：OD 为AB
8、C 的中位线；（2）若 AC=6cm，求点 O 到 DE 的距离22 （12 分）综合与探究问题情境：（1）如图 1，两块等腰直角三角板ABC 和ECD 如图所示摆放，其中ACB=DCE=90，点 F， H，G 分别是线段 DE，AE，BD 的中点，A ，C ，D 和B，C，E 分别共线，则 FH 和 FG 的数量关系是 ，位置关系是 合作探究：（2）如图 2，若将图 1 中的DEC 绕着点 C 顺时针旋转至 A，C，E 在一条直线上，其余条件不变，那么（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明，若不成立，请说明理由（3）如图 3，若将图 1 中的DEC 绕着点 C 顺时针旋转一个锐角，那么（1）
9、中的结论是否还成立？若成立，请证明，若不成立，请说明理由23 （14 分）综合与实践：如图，二次函数 y= x2+ x+4 的图象与 x 轴交于点 B，点 C（点 B 在点 C 的左边） ，与 y 轴交于点 A，连接 AC，AB （1）求证：AO 2=BOCO；（2）若点 N 在线段 BC 上运动（不与点 B，C 重合） ，过点 N 作 MNAC，交AB 于点 M，求当AMN 的面积取得最大值时 ，直线 AN 的表达式（3）连接 OM，在（2）的结论下，试判断 OM 与 AN 的数量关系，并证明你的结论2017-2018 学年山西省吕梁市孝义市九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择
10、题（本大题共 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分）在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将正确答案的字母号填入题后括号内1 （3 分）抛物线 y=2x21 的顶点坐标是（ ）A （0 ， 1） B （0，1） C （1，0） D （ 1， 0）【解答】解：y=2x 21，顶点坐标为（0，1） ，故选：A2 （3 分）如果 x=1 是方程 x2x+k=0 的解，那么常数 k 的值为（ ）A2 B1 C1 D 2【解答】解：把 x=1 代入方程 x2x+k=0，得1+1+k=0，来源:学*科*网 Z*X*X*K解得 k=2故选：D3 （3 分）已知O 是以坐标原点为圆心， 5
11、 为半径的圆，点 P 的坐标为（3，4） ，则点 P 与O 的位置关系是（ ）A点 P 在O 外 B点 P 在O 上 C点 P 在O 内 D无法确定【解答】解：OM= =5，OM=r=5，点 P 在 O 上，故选：B4 （3 分）小明在解方程 x24x15=0 时，他是这样求解的：移项得 x24x=15，两边同时加 4 得 x24x+4=19，（x 2）2=19，x 2= ，x2= ，x 1=2+ ，x 2=2 ，这种解方程的方法称为（ ）A待定系数法 B配方法 C公式法 D因式分解法【解答】解：根据题意知这种解方程的方法称为配方法，故选：B5 （3 分）下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称
12、图形的是（ ）A B C D【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；B、是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确；C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；故选：B6 （3 分）已知抛物线 y=2x2+x 经过 A（ 1，y 1）和 B（3，y 2）两点，那么下列关系式一定正确的是（ ）A0 y 2y 1 By 1y 20 Cy 2y 10 Dy 20y 1【解答】解：x= 1 时，y 1=21=3，x=3 时，y 2=15，y 2y 10，故选：C7 （3 分）如图，AB 是 O 的直径，点 C，D 在O 上
13、，若DCB=110，则AED 的度数为（ ）A15 B20 C25 D30【解答】解：连接 AC，如图，AB 为直径，ACB=90 ，ACD=DCBACB=11090=20，AED= ACD=20 故选：B8 （3 分）若关于 x 的方程 4kx212x9=0 有实数根，则实数 k 的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）A B C D【解答】解：当 k=0 时，方程为12x9=0，解得 x= ，有实数根；当 k0 时， =（12） 244k（ 9）=144 +144k 0，解得 k1，实数 k 的取值范围为 k1，在数轴上可表示为：故选：A9 （3 分）已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象
14、如图所示，则下列结论正确的是（ ）Aa b c Bcab Ccba Db ac【解答】解：由函数图象已知 a0，c 0， =1，b=2a，ba，bac ，故选：D10 （3 分）如图，将ABC 绕着点 B 顺时针旋转 60得到DBE，点 C 的对应点E 恰好落在 AB 的延长线上，连接 AD，AC 与 DB 交于点 P，DE 与 CB 交于点 Q，连接 PQ，若 AD=5cm， = ，则 PQ 的长为（ ）A2cm B cm C3cm D cm【解答】解：ABC 绕点 B 顺时针旋转 60得DBE，ABD=CBE=60 ，AB=BD，ABD 是等边三角形，DAB=60 ，AB=AD=5， ，P
15、B=2，AB=BD， BAP=BDQ，ABP=DBQ=60，ABPDBQ，PB=QB，PQB 是等边三角形，PQ=PB=2cm，故选：A二、填空题（本大题共个 5 个小题，每小题 3 分，共 15 分）11 （3 分）在平面直角坐标系中，点 A（0，1）关于原点对称的点是 （0，1） 【解答】解：点（0，1）关于原点 O 对称的点是 （0， 1） ，故答案为：（0，1） 12 （3 分）方程 x（x+1）=0 的解是 0 或1 【解答】解：x（x+1）=0x=0 或 x+1=0x1=0，x 2=1故本题的答案是 x1=0，x 2=113 （3 分）如图，已知O 的直径 CD 垂直于弦 AB，A
16、=67.5，弦 AB=4cm，则 CD= 4 cm【解答】解：连接 OA，如图，CDAB，CEA=90 ，AE=BE= AB=2，A=67.5，C=22.5，AOE=2C=45，AOE 为等腰直角三角形，OA= AE=2 ，CD=2OA=4 （cm） 故答案为 4 14 （3 分）二次函数 y=ax2+bx+c（a0）中的部分对应值如下表：x 1 0 1 2y 6 3 2 3则当 x=2 时， y 的值为 11 【解答】解：由表可知，该抛物线的顶点坐标为（1，2） ，设函数解析式为 y=a（x1 ） 2+2，将（0，3）代入得，a（01） 2+2=3，解得 a=1，所以，抛物线解析式为 y=（
17、x 1） 2+2，来源: 学_科_网 Z_X_X_K当 x=2 时，y=（21 ） 2+2=9+2=11故答案为：1115 （3 分）如图，射线 OC 与 x 轴正半轴的夹角为 30，点 A 是 OC 上一点，AHx 轴于 H，将AOH 绕着点 O 逆时针旋转 90后，到达DOB 的位置，再将DOB 沿着 y 轴翻折到达GOB 的位置，若点 G 恰好在抛物线 y=x2（x0）上，则点 A 的坐标为 （3， ） 【解答】解：点 G 的坐标为（a ，a 2） ，则点 D 的坐标为（ a，a 2） ，点 A 的坐标为（a 2，a） ，射线 OC 与 x 轴正半轴的夹角为 30，tan30= ，即 ，
18、解得，a= ，点 A 的坐标为（3， ） 三、解答题（本大题共 8 个小题，共 75 分，解答应下厨文字说明、证明过程或演算步骤）16 （10 分） （1）解方程：x （x+5）=5x+25（2）已知点（5，0）在抛物线 y=x2+（k+1）xk 上，求此抛物线的对称轴【解答】解：（1）x（ x+5）=5x+25，x（x+5） 5（x+5）=0，（x+5） （x5）=0，则 x+5=0 或 x5=0，解得：x=5 或 x=5；（2）将点（5，0）代入，得：25+5（k+1）k=0 ，解得：k =5，抛物线解析式为 y=x2+6x5，则抛物线的对称轴为 x= =317 （6 分）如图所示的是水面
19、一桥拱的示意图，它的形状类似于抛物线，在正常水位时，该桥下水面宽度为 20 米，拱顶距离正常水面 4 米，建立平面直角坐标系如图所示，求抛物线的解析式【解答】解：设抛物线解析式为 y=ax2，把点 B（10，4）代入解析式得：4=a10 2，解得：a= ，抛物线的解析式为 y= x218 （7 分）如图，在平面直角坐标系中，有一直角ABC，已知A 1AC1 是由ABC 绕某点顺时针旋转 90得到的（1）请你写出旋转中心的坐标是 （0，0） （2）以（1）中的旋转中心为中心，画出A 1AC1 顺时针旋转 90，180后的三角形【解答】解：（1）旋转中心的坐标是（0，0） ；故答案为（0，0） ；
20、来源: 学& 科&网 Z&X&X&K（2）如图，A 1A2C2 和A 2BC3 为所作；19 （7 分）已知一元二次方程 x2+x2=0 有两个不相等的实数根，即x1=1，x 2=2（1）求二次函数 y=x2+x2 与 x 轴的交点坐标；（2）若二次函数 y=x2+x+a 与 x 轴有一个交点，求 a 的值【解答】解：（1）一元二次方程 x2+x2=0 有两个不相等的实数根，即x1=1，x 2=2，二次函数 y=x2+x2 与 x 轴的交点坐标为（1，0） ， （2，0） ；（2）二次函数 y=x2+x+a 与 x 轴有一个交点，令 y=0， x2+x+a=0，有两个相等的实数根，=1+4a=
21、0 ，a= 20 （12 分）我市某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为 40 元，若销售价为 60 元，每天可售出 20 件，为迎接“ 双十一”，专卖店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，经市场调查发现：如果每件童装降价 1 元，那么平均可多售出 2 件，设每件童装降价 x 元（x 0）时，平均每天可盈利 y 元（1）写出 y 与 x 的函数关系式；（2）根（1）中你写出的函数关系式，解答下列问题：当该专卖店每件童装降价 5 元时，平均每天盈利多少元？当该专卖店每件童装降价多少元时，平均每天盈利 400 元？该专卖店要想平均每天盈利 600 元，可能吗？请说明理由【解答】解：（1 ）
22、根据题意得，y 与 x 的函数关系式为 y=（20+2x ） （60 40x）= 2x2+20x+400；（2）当 x=5 时，y= 252+205+400=450故平均每天盈利 450 元；当 y=400 时，400=2x 2+20x+400，解得 x1=10， x2=0（不合题意舍去） 故当该专卖店每件童装降价 10 元时，平均每天盈利 400 元；该专卖店不可能平均每天盈利 600 元当 y=400 时，600=2x 2+20x+400，整理得 x210x+100=0，= （ 10） 241100=3000，方程没有实数根，即该专卖店不可能平均每天盈利 600 元21 （7 分）如图，在
23、ABC 中，BC=AC ，以 BC 为直径的O 与边 AB 相交于点D，DEAC，垂足为点 E，连接 OD（1）求证：OD 为ABC 的中位线；（2）若 AC=6cm，求点 O 到 DE 的距离【解答】解：（1）连接 CD，BC 是圆的直径，BDC=90，CDAB，又AC=BC，AD=BD，又OC=OB ，OD 为ABC 的中位线（2）连接 OD，AD=BD，OB=OC，DO 是ABC 的中位线，DOAC，OD= AC= 6=3，又DEAC，DEDO，点 O 到直线 DE 的距离为 322 （12 分）综合与探究问题情境：（1）如图 1，两块等腰直角三角板ABC 和ECD 如图所示摆放，其中A
24、CB=DCE=90，点 F， H，G 分别是线段 DE，AE，BD 的中点，A ，C ，D 和B，C，E 分别共线，则 FH 和 FG 的数量关系是 FH=FG ，位置关系是 FGFG 合作探究：（2）如图 2，若将图 1 中的DEC 绕着点 C 顺时针旋转至 A，C，E 在一条直线上，其余条件不变，那么（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明，若不成立，请说明理由（3）如图 3，若将图 1 中的DEC 绕着点 C 顺时针旋转一个锐角，那么（1）中的结论是否还成立？若成立，请证明，若不成立，请说明理由【解答】 （1）解：如图 1 中，CE=CD，AC=BC ，ECA=DCB=90 ，BE=AD，
25、F 是 DE 的中点，H 是 AE 的中点，G 是 BD 的中点，FH= AD，FH AD ，FG= BE，FGBE，FH=FG，ADBE，FH FG，故答案为：FG=FH ，FG FH（2） （1）中结论成立，证明：如图 2，CE=CD，ECD= ACD=90，AC=BC，ACDBCEAD=BE，由（1）知：FH= AD，FHAD，FG= BE，FGBE，FH=FG，FHFG，（1）中的结论成立（3） （1）中的结论成立，结论是 FH=FG，FHFG理由：如图 3，连接 AD， BE，两线交于 Z，AD 交 BC 于 X，同（1）可证 FH= AD，FHAD，FG= BE，FGBE，ECD、
26、ACB 是等腰直角三角形，CE=CD，AC=BC ，ECD=ACB=90，ACD=BCE，在ACD 和BCE 中， ，ACDBCE ，AD=BE， EBC=DAC ，DAC+CXA=90，CXA=DXB ，DXB+EBC=90，EZA=18090=90 ，即 ADBE，FH AD，FGBE，FH FG，FH=FG，FHFG，即：（1）中结论成立23 （14 分）综合与实践：如图，二次函数 y= x2+ x+4 的图象与 x 轴交于点 B，点 C（点 B 在点 C 的左边） ，与 y 轴交于点 A，连接 AC，AB （1）求证：AO 2=B OCO；（2）若点 N 在线段 BC 上运动（不与点
27、B，C 重合） ，过点 N 作 MNAC，交AB 于点 M，求当AMN 的面积取得最大值时，直线 AN 的表达式（3）连接 OM，在（2）的结论下，试判断 OM 与 AN 的数量关系，并证明你的结论【解答】解：（1）当 y=0 时，0= x2+ x+4，整理得：x 26x16=0，解得：x1=2， x2=8B（2，0 ） ，C （8，0） 令 x=0 得：y=4，A（0，4 ） OA=4，OB=2，OC=8，OA 2=OBCO（2）设点 N（n，0 ） （2n8） ，则 BN=n+2，CN=8nMNAC， = = OA=4，BC=10，S ABC = BCOA= 410=20，S BNM = BNOA= （n+2）4=2n +4 = = = ，S AMN = SBMN = （2n +4）= （8n） （n+2）= （n3） 2+5当 n=3 时，即 N（3，0） ，AMN 的面积最大设直线 AN 的表达式为 y=kx+b将点 A 和 N 的坐标代入得： ，解得 直线 AN 的表达式为 y= x+4（3）N（3 ，0 ） ，ON=3CN=83=5 BC=10，N 为线段 BC 的中点MNAC，M 为 AB 的中点，AB= = =2 AOB=90，OM= AM= AN= = =5OM 2=AN即 OM 与 AN 的数量关系是 OM2=AN