1、2017-2018 学年广东省广州市越秀区 XX 中学九年级（上）期中数学试卷一、选择意（本大题共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1 （3 分）观察下列图案，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）A B C D2 （3 分）在平面直角坐标系中，点 A（ 3，1）与点 B 关于原点对称，则点 B的坐标为（ ）A （ 3，1） B （3，1） C （3，1） D （3，1）3 （3 分）一元二次方程 x22x7=0 用配方法可变形为（ ）A （x +1） 2=8 B （x+2） 2=11 C （x1） 2=8 D （x2） 2=11
2、4 （3 分）设 x1，x 2 是一元二次方程 x22x3=0 的两根，则 =（ ）A 2 B2 C3 D 35 （3 分）将抛物线 y=2x2 向左平移 3 个单位，再向下平移 4 个单位，所得抛物线为（ ）Ay= 2（x 3） 24 By= 2（x +3） 24 Cy=2（ x3） 2+4 Dy=2（x+3） 2+46 （3 分）若抛物线 y=x2+2x+c 与 y 轴交点为（0， 3） ，则下列说法不正确的是（ ）A抛物线口向上B当 x1 时，y 随 x 的增大而减小C对称轴为 x=1Dc 的值为37 （3 分）设 A（2，y 1） ，B（1，y 2） ，C （2，y 3）是抛物线 y=
3、（x +1） 2+2 上的三点，则 y1，y 2，y 3 的大小关系为（ ）Ay 1y 2y 3 By 1y 3y 2 Cy 3y 2y 1 Dy 3y 1y 28 （3 分）ABC 是等边三角形，点 P 在ABC 内，PA=2，将PAB 绕点 A 逆时针旋转得到P 1AC，则 P1P 的长等于（ ）A2 B C D19 （3 分）在一次会议中，每两人都握了一次手，共握手 21 次，设有 x 人参加会议，则可列方程为（ ）Ax （x +1）=21 Bx（x1）=21 C D10 （3 分）已知二 次函数 y=ax2+bx+c 中，函数 y 与自变量 x 的部分对应值如下表：x 2 1 0 1
4、2 y 11 6 3 2 3 则当 y6 时，x 的取值范围是（ ）A 1 x3 B3x3 Cx1 或 x3 Dx 3二、填空题（共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分）11 （3 分）若 x =2 是一元二次方程 x2+2x+a=0 的一个根，那么 a= 12 （3 分）如图所示，将一个含 30角的直角三角板 ABC 绕点 A 旋转，使得点B，A ，C 在同一条直线上，则三角板 ABC 旋转的角度是 13 （3 分）抛物线 y= +5 的顶点坐标是 14 （3 分）关于 x 的一元二次方程 kx2x+1=0 有实数根，则 k 的取值范围是 15 （3 分）一座石拱桥的桥拱是近似的抛物线
5、形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数关系式为 y= ，当水面离桥拱顶的高度 OC 是 4m 时，水面的宽度 AB 为 m16 （3 分）如图，已知 RtABC 中，AC=BC，C=90，D 为 AB 边的中点，EDF=90，EDF 绕 D 点旋转，它的两边分别交 AC、CB 的延长线于 E、F下面结论一定成立的是 （填序号）CD= AB；DE=DF ；S DEF =2SCEF ；S DEF SCEF =SABC 三、解答题（本大题共 9 小题，满分 102，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17 （10 分） （1）x 22x8=0（2） （x2） （x5）+1=018 （9 分）如
6、图，在平面直角坐标系中，已知ABC 的三个顶点的坐标分别为（1 ，1） ，B （3，1 ） ，C（1，4） （1）画出ABC 绕点 C 顺时针旋转 90后得到的 A1B1C（2）画出ABC 关于点 P（1，0）对称的A 2B2C219 （9 分）某购物网站今年 8 月份的销售额为 110 万元，10 月份的销售额达到133.1 万元，求该购物网站 8 月份到 10 月份销售额的月平均增长率20 （10 分）如图，BAD 是由BEC 在平面内绕点 B 逆时针旋转 60得到，且ABBC，连接 DE（1）DBE 的度数（2）求证：BDE BCE21 （12 分）已知关于 x 的一元二次方程 x2（k
7、+1）x+ +1=0（1）若方程有两个实数根，求 k 的取值范围（2）若方程的两根 x1，x 2 是一个矩形两邻边的长，矩形的面积为 5，求 k 的值22 （12 分）如图，在一面靠墙的空地上用长为 24 米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽 AB 为 x 米，面积为 S 平方米（1）求 S 与 x 的函数关系式及自变量的取值范围；（2）当 x 取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？来源:Z+xx+k.Com（3）若墙的最大可用长度为 8 米，则求围成花圃的最大面积23 （12 分）已知二次函数 y=x22mx+m23（m 是常数） （1）求证：不论 m 为何值，该函数
8、的图象与 x 轴都有两个交点（2）当 m 的值改变时，该函数的图象与 x 轴两个交点之间的距离是否改变？若不变，请求出距离；若改变，请说明理由24 （14 分）如图所示，已知在直角梯形 OABC 中，ABOC，BCx 轴于点C A（1，1） 、B（3，1） 动点 P 从 O 点出发，沿 x 轴正方向以每秒 1 个单位长度的速度移动过 P 点作 PQ 垂直于直线 OA，垂足为 Q，设 P 点移动的时间为 t 秒（0 t4） ，OPQ 与直角梯形 OABC 重叠部分的面积为 S（1）求经过 O、A、B 三点的抛物线解析式；（2）求 S 与 t 的函数关系式；（3）将OPQ 绕着点 P 顺时针旋转
9、90，是否存 t，使得OPQ 的顶点 O 或 Q在抛物线上？若存在，直接写出 t 的值；若不存在，请说明理由25 （14 分）如图，已知直线 y= x+1 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，将AOB 绕点 O 顺时针旋转 90后得到COD （1）点 C 的坐标是 ，线段 AD 的长等于 （2）点 M 是 CD 的中点，抛物线 y=x2+bx+c 经过点 C、M求 b 和 c 的值如果点 E 在 y 轴上，且位于点 C 的下方，点 F 在直线 AC 上，那么在抛物线y=x2+bx+c 上是否存在点 P，使得以 C，E ，F，P 为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出该菱形的周长 l；若不
10、存在，请说明理由2017-2018 学年广东省广州市越秀区 XX 中学九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择意（本大题共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1 （3 分）观察下列图案，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）A B C D【解答】解：A、不是轴对称图形，不符合题意，故本选项错误；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意，故本选项错误；C、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意，故本选项正确；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意，故本选项错误故选 C2 （3 分）在平面直角坐标系中，点 A（
11、 3，1）与点 B 关于原点对称，则点 B的坐标为（ ）A （ 3，1） B （3，1） C （3，1） D （3，1）【解答】解：点 A 坐标为（ 3，1） ，点 B 的坐标为（3，1） 故选：D3 （3 分）一元二次方程 x22x7=0 用配方法可变形为（ ）A （x +1） 2=8 B （x+2） 2=11 C （x1） 2=8 D （x2） 2=11【解答】解：一元二次方程 x22x7=0 用配方法可变形为（x1） 2=8，故选 C4 （3 分）设 x1，x 2 是一元二次方程 x22x3=0 的两根，则 =（ ）A 2 B2 C3 D 3【解答】解：x 1，x 2 是一元二次方程 x
12、22x3=0 的两根，x 1+x2=2，x 1x2=3， = = =2，故选 A5 （3 分）将抛物线 y=2x2 向左平移 3 个单位，再向下平移 4 个单位，所得抛物线为（ ）Ay= 2（x 3） 24 By= 2（x +3） 24 Cy=2（ x3） 2+4 Dy=2（x+3） 2+4【解答】解：把抛物线 y=2x2 先向左平移 3 个单位，再向下平移 4 个单位，所得的抛物线的解析式是 y=2（x+3） 24，故选 B6 （3 分）若抛物线 y=x2+2x+c 与 y 轴交点为（0， 3） ，则下列说法不正确的是（ ）A抛物线口向上B当 x1 时，y 随 x 的增大而减小C对称轴为 x
13、=1Dc 的值为3【解答】解：y=x 2+2x+c 与 y 轴交点为（0 ， 3） ，c= 3，故 D 正确，不符合题意，抛物线解析式为 y=x2+2x3=（x+1） 24，抛物线开口向上，对称轴为 x=1，当 x 1 时，y 随 x 的增大而增大，故A、C 正确，不符合题意，B 不正确，故选 B7 （3 分）设 A（2，y 1） ，B（1，y 2） ，C （2，y 3）是抛物线 y=（x +1） 2+2 上的三点，则 y1，y 2，y 3 的大小关系为（ ）Ay 1y 2y 3 By 1y 3y 2 Cy 3y 2y 1 Dy 3y 1y 2【解答】解：A（2 ，y 1） ，B（1，y 2）
14、 ，C （2，y 3）是抛物线 y=（x +1） 2+2 上的三点，y 1=（ 2+1） 2+2=1，y 2=（1+1） 2+2=2，y 3=（2+ 1） 2+2=7，12 7，y 1y 2y 3，故选 A8 （3 分）ABC 是等边三角形，点 P 在ABC 内，PA=2，将PAB 绕点 A 逆时针旋转得到P 1AC，则 P1P 的长等于（ ）A2 B C D1【解答】解：ABC 是等边三角形，AC=AB，CAB=60 ，将PAB 绕点 A 逆时针旋转得到P 1AC，CP 1ABPA，AP 1=AP，CAP 1=BAP，CAB=CAP+BAP= CAP+CAP 1=60，即PAP 1=60，A
15、PP 1 是等边三角形，P 1P=PA=2，故选 A9 （3 分）在一次会议中，每两人都握了一次手，共握手 21 次，设有 x 人参加会议，则可列方程为（ ）Ax （x +1）=21 Bx（x1）=21 C D【解答】解：设 x 人参加这次聚会，则每个人需握手：x 1（次） ；依题意，可列方程为： =21；故选：D10 （3 分）已知二次函数 y=ax2+bx+c 中，函数 y 与自变量 x 的部分对应值如下表：x 2 1 0 1 2 y 11 6 3 2来源:学+科 +网 Z+X+X+K 3 则当 y6 时，x 的取值范围是（ ）A 1 x3 B3x3 Cx1 或 x3 Dx 3【解答】解：
16、点（0，3） 、 （1，2） 、 （2，3）在二次函数 y=ax2+bx+c 上，a 0 ，二次函数图象的对称轴为直线 x=1当 x=1 时， y=6，当 x=3 时，y=6 当 y6 时，x 的取值范围为 1x 3故选 A二、填空题（共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分）11 （3 分）若 x=2 是一元二次方程 x2+2x+a=0 的一个根，那么 a= 0 【解答】解：把 x=2 代入 x2+2x+a=0，得（2 ） 2+2（2）+a=0，解得 a=0故答案为：012 （3 分）如图所示，将一个含 30角的直角三角板 ABC 绕点 A 旋转，使得点B，A ，C 在同一条直线上，则三
17、角板 ABC 旋转的角度是 150 【解答】解：直角三角板 ABC 绕点 A 旋转，使得点 B，A，C在同一条直线上，旋转角是CAC=18030=150故答案为：15013 （3 分）抛物线 y= +5 的顶点坐标是 （1，5） 【解答】解：二次函数 y= +5 的顶点坐标是（1，5） 故答案为（1，5） 14 （3 分）关于 x 的一元二次方程 kx2x+1=0 有实数根，则 k 的取值范围是 k 且 k0 【解答】解：关于 x 的一元二次方程 kx2x+1=0 有实数根， ，解得：k 且 k0故答案为：k 且 k015 （3 分）一座石拱桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标
18、系，其函数关系式为 y= ，当水面离桥拱顶的高度 OC 是 4m 时，水面的宽度 AB 为 16 m【解答】 解：根据题意 B 的纵坐标为 4，把 y=4 代入 y= x2，得 x=8，A（8 ，4） ，B（8，4） ，AB=16m即水面宽度 AB 为 16m故答案为：1616 （3 分）如图，已知 RtABC 中，AC=BC，C=90，D 为 AB 边的中点，EDF=90，EDF 绕 D 点旋转，它的两边分别交 AC、CB 的延长线于 E、F下面结论一定成立的是 （填序号）CD= AB；DE=DF ；S DEF =2SCEF ；S DEF SCEF =SABC 【解答】解：连接 CD，如图，
19、C=90， D 为 AB 边的中点，CD=AD=DB，即 CD= AB，所以正确；CA=CB，C=90，ABC=45 ，CD BD，DCE=135，DBF=135，EDF=90，来源:学科网 ZXXKCDE=BDF，在CDE 和BDF 中，CDEBDF，DE=DF，所以 正确；DEF 我等腰直角三角形，DE= EF，S DEF = DE2= EF2，而 EF2=CE2+CF2，S DEF = （CE 2+CF2） ，而 SCEF = CECF，S DEF SCEF = （CE 2+CF2） CECF= （CFCE） 2= （BC +BFCE） 2= BC2= SABC，所以 错误故答案为三、解
20、答题（本大题共 9 小题，满分 102，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17 （10 分） （1）x 22x8=0（2） （x2） （x5）+1=0【解答】解：（1） （x4） （x+2）=0 ，x4=0 或 x+2=0，所以 x1=4，x 2=2；（2）x 27x+11=0，= （ 7） 2411=5，x= ，所以 x1= ，x 2= 18 （9 分）如图，在平面直角坐标系中，已知ABC 的三个顶点的坐标分别为（1 ，1） ，B （3，1 ） ，C（1，4） （1）画出ABC 绕点 C 顺时针旋转 90后得到的 A1B1C（2）画出ABC 关于点 P（1，0）对称的A 2B2C2【解
21、答】解：（1）如图，A 1B1C 即为所求；（2）如图，A 2B2C2 即为所求19 （9 分）某购物网站今年 8 月份 的销售额为 110 万元，10 月份的销售额达到 133.1 万元，求该购物网站 8 月份到 10 月份销售额的月平均增长率【解答】解：设该购物网站平均每年销售额增长的百分率为 x，根据题意，得：110（1+x ） 2=133.1，解得：x 1=0.1=10%，x 2=2.1（不符合题意，舍去） 答：该购物网站 8 月份到 10 月份销售额的月平均增长率为 10%20 （10 分）如图，BAD 是由BEC 在平面内绕点 B 逆时针旋转 60得到，且ABBC，连接 DE（1）
22、DBE 的度数（2）求证：BDE BCE【解答】解：（1）BAD 是由BEC 在平面内绕点 B 旋转 60而得，DB=CB，ABD=EBC，ABE=60，ABBC，ABC=90 ，DBE= CBE=30，（2）证明：在BDE 和 BCE 中， ，BDE BCE（SAS） 21 （12 分）已知关于 x 的一元二次方程 x2（k+1）x+ +1=0（1）若方程有两个实数根，求 k 的取值范围（2）若方程的两根 x1，x 2 是一个矩形两邻边的长，矩形的面积为 5，求 k 的值【解答】解：（1）方程 x2（k+1）x+ +1=0 有实数根，= （k+1） 241（ k2+1）=2k 30，解得：k
23、 （2）根据题意得：x 1x2= k2+1=5，解得：k=4，k ，k=422 （12 分）如图，在一面靠墙的空地上用长为 24 米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽 AB 为 x 米，面积为 S 平方米（1）求 S 与 x 的函数关系式及自变量的取值范围；（2）当 x 取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？（3）若墙的最大可用长度为 8 米，则求围成花圃的最大面积【解答】解：（1）AB=x 米，BC=（24 4x）米，S=ABBC=x（24 4x）=4x 2+24x（0x6） ；（2）S=4x 2+24x=4（x 3） 2+36，0x6，当 x=3 时，S 有最大值为
24、 36 平方米；（3） ，4x6，当 x=4 时，花圃的最大面积为 32 平方米23 （12 分）已知二次函数 y=x22mx+m23（m 是常数） （1）求证：不论 m 为何值，该函数的图象与 x 轴都有两个交点（2）当 m 的值改变时，该函数的图象与 x 轴两个交点之间的距离是否改变？若不变，请求出距离；若改变，请说明理由【解答】 （1）证明：y=x 22mx+m23，a=1，b= 2m，c=m 23，=b 24ac=4m24（m 22） =80，函数的图象与 x 轴有两个公共点；（2）解：设 x22mx+m23=0 的两个根为 x1、x 2，则 x1+x2=2m，x 1x2=m2 3，|
25、x 1x2|= = = = =2 ，当 m 的值改变时，该函数的图象与 x 轴两个交点之间的距离不变，其距离为2 24 （14 分）如图所示，已知在直角梯形 OABC 中，ABOC，BCx 轴于点C A（1，1） 、B（3，1） 动点 P 从 O 点出发，沿 x 轴正方向以每秒 1 个单位长度的速度移动过 P 点作 PQ 垂直于直线 OA，垂足为 Q，设 P 点移动的时间为 t 秒（0 t4） ，OPQ 与直角梯形 OABC 重叠部分的面积为 S（1）求经过 O、A、B 三点的抛物线解析式；（2）求 S 与 t 的函数关系式；（3）将OPQ 绕着点 P 顺时针旋转 90，是否存 t，使得OPQ
26、 的顶点 O 或 Q在抛物线上？若存在，直接写出 t 的值；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）解法一：由图象可知：抛物线经过原点，设抛物线解析式为 y=ax2+bx（a0） 把 A（1，1 ） ，B（3，1 ）代入上式得 ，解得 ，所求抛物线解析式为 y= x2+ x；解法二：A（1，1） ， B（3，1） ，抛物线的对称轴是直线 x=2设抛物线解析式为 y=a（x 2） 2+h（a0 ） ，把 O（0，0） ，A（1，1）代入得解得 所求抛物线解析式为：y= （x 2） 2+ （2）分三种情况：当 0t2，重叠部分的面积是 SOPQ ，过点 A 作 AFx 轴于点 F，A（1，1 ） ，
27、在 RtOAF 中，AF=OF=1 ，AOF=45，在 RtOPQ 中，OP=t， OPQ=QOP=45 ，PQ=OQ=tcos45= t，来源:学科网 来源:Zxxk.ComS= （ t） 2= t2当 2t3，设 PQ 交 AB 于点 G，作 GHx 轴于点 H，OPQ=QOP=45，则四边形 OAGP 是等腰梯形，重叠部分的面积是 S 梯形 OAGPAG=FH=t2 ，S= （AG+ OP）AF= （t+t 2）1=t1当 3t4，设 PQ 与 AB 交于点 M，交 BC 于点 N，重叠部分的面积是 S 五边形 OAMNC因为PNC 和BMN 都是等腰直角三角形，所以重叠部分的面积是 S
28、 五边形 OAMNC=S 梯形 OABCSBMN B（3，1） ，OP=t，PC=CN=t3，BM=BN=1（t3）=4t ，S= （2+3） 1 （4t） 2 S= t2+4t ；（3）存在 t1=1，t 2=2将OPQ 绕着点 P 顺时针旋转 90，此时 Q（t+ ， ） ，O（t，t ）当点 Q 在抛物线上时， = （t+ ） 2+ （t+ ） ，解得 t=2；当点 O 在抛物线上时，t= t2+ t，解得 t=125 （14 分）如图，已知直线 y= x+1 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，将AOB 绕点 O 顺时针旋转 90后得到COD （1）点 C 的坐标是 （0，3）
29、 ，线段 AD 的长等 于 4 （2）点 M 是 CD 的中点，抛物线 y=x2+bx+c 经过点 C、M求 b 和 c 的值如果点 E 在 y 轴上，且位于点 C 的下方，点 F 在直线 AC 上，那么在抛物线y=x2+bx+c 上是否存在点 P，使得以 C，E ，F，P 为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出该菱形的周长 l；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）当 y=0 时， x+1=0，解得 x=3，则 A（ 3，0） ，当 x=0 时，y= x+1=1，则 B（0，1） ，OA=3，OB=1，AOB 绕点 O 顺时针旋转 90后得到COD ，OC=OA=3， OD=OB=1，C （0
30、，3） ，AD=OA+OD=3+1=4；故答案为（0，3） ，4；（2）C（ 0，3） ，D（ 1，0） ，而点 M 是 C D 的中点，M（ ， ） ；把 C（ 0，3） ，M（ ， ）代入 y=x2+bx+c 得 ，解得 b= ，c=3；存在抛物线的解析式为 y=x2 x+3，易得直线 AC 的解析式为 y=x+3，当 OE 为对角线时，如图 1，C 、E 点在 y 轴上，四边形 CFEP 为菱形，点 F 与点 P 关于 y 轴对称，设 F（t，t+3） ，则 P（t ，t +3） ，把 P（ t，t+3）代入 y=x2 x+3 得 t2+ t+3=t+3，解得 t1=0（舍去） ，t 2= ，此时 F（ ， ） ，CF= = ，菱形 CFEP 的周长 l=10 ；当 OE 为边时，如图 2，设 F（t，t +3） ，则 CF= = t，四边形 CEPF 为菱形，PF CE，PF=CF，P（t ，t +3 t） ，把 P（ t，t +3 t）代入 y=x2 x+3 得 t2 t+3=t+3 t，解得 t1=0（舍去） ，t 2= ，此时菱形 CFEP 的周长 l=4 t=4 （ ）=18 8，综上所述，菱形 CFEP 的周长 l 为 10 或 18 8