1、2017-2018 学年福建省福州市马尾区 九年级（上）期中数学试卷一、选择题（每小题 4 分，共 40 分）1 （4 分）已知点（2，1） ，则它关于原点的对称点坐标为（ ）A （1 ，2 ） B （2，1） C （ 2，1） D （ 2，1）2 （4 分）在下列图形中，属于中心对称图形的是（ ）A矩形 B直角三角形 C等边三角形 D正五边形3 （4 分）二次函数 y=3（x1） 2 的最大值是（ ）A3 B0 C1 D 14 （4 分）方程 x（x1）=x 的根是（ ）Ax=2 Bx 1=2，x 2=0 Cx= 2 Dx 1=2，x 2=05 （4 分）用配方法解下列方程，其中应在左右两边
2、同时加上 4 的是（ ）Ax 2+4x=5 B2x 24x=5 Cx 22x=5 Dx 2+2x=56 （4 分）某药品经过两次降价，每瓶零售价由 168 元降为 128 元已知两次降价的百分率相同，每次降价的百分率为 x，根据题意列方程得（ ）A168 （1+x） 2=128 B168（1 x） 2=128 C168 （1 2x）=128D168 （1x 2）=1287 （4 分）如图，A、B、C 是O 上的三点，B=75，则AOC 的度数是（ ）A150 B140 C130 D1208 （4 分）如图，二次函数 y=ax2+bx+c 的图象开口向上，对称轴为直线 x=1，则下列结论中正确的
3、是（ ）Aa 0 B2a+b0 C4acb 20 Da+b +c09 （4 分）将抛物线 y=x21 向下平移 8 个单位长度后与 x 轴的两个交点之间的距 离为（ ）A4 B6 C8 D1010 （4 分）如图，以（1，4）为顶点的二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴负半轴交于 A 点，则一元二次方程 ax2+bx+c=0 的正数解的范围是（ ）来源:Zxxk.ComA2 x3 B3x4 C4x5 D5x6二、填空题（每小题 4 分，共 24 分）11 （4 分）一元二次方程 3x2=x 的根是 12 （4 分） 如图，在直角 OAB 中，AOB=30，将OAB 绕点 O 逆时针
4、旋转100得到OA 1B1，则A 1OB= 13 （4 分）已知ABC 的三边长分别是 6，8，10，则ABC 外接圆的直径是 14 （4 分）写出以下三个函数 y= x2，y=x 2，y= x2 的一个共同性质： 15 （4 分）一个直角三角形的面积为 6，两直角边的和为 7，则它的斜边长为 16 （4 分）已知抛物线 y=ax2+bx+c（a0）过以下三个点：（m，n） ，（m+2，2n） ，和（m+6， n） ，当抛物线上另有点的横坐标为 m+4 时，它的纵坐标为 ；当横坐标为 m2 时，它的纵坐标为 三、解答题（本大题共 9 小题，共 86 分）17 （6 分）x 2+10x+9=01
5、8 （8 分）已知：关于 x 的一元二次方程 x2+4xm2=0（1）若方程有一个根是 1，求 m 的值；（2）求证：无论 m 取何值时，方程总有两个不相等的实数根19 （8 分）如图，在下列正方形网格图中，等腰三角形 ABC 与等腰三角形A1B1C1 的顶点均在格点上，且A BC 与A 1B1C1 关于某点中心对称，已知A，C 1，C 三点的坐标分别是（0，4 ） ， （0，3） ， （0 ，2）（1）求对称中心的坐标；（2）画出ABC 绕点 B 按顺时针旋转 90后的A 2BC2，并写出点 A 的对应点A2 的坐标20 （8 分）如图 1，是一座圆弧形涵洞的入口，图 2 是涵洞的示意图，如
6、果涵洞的拱高 CD 为 6 米，涵洞入口处的地面的宽度 AB 为 4 米，请你求这座涵洞圆弧所在圆的半径长21 （9 分）如图，AB 是半圆 O 的直径，点 C 在半圆外，AC，BC 与半圆交于 D点和 E 点（1）请只用无刻度的直尺作出ABC 的两条高线，并写出作法；（2）若 AC=AB，连接 DE，BE，求证：DE=BE22 （10 分）如图，一块长 6 米宽 4 米的地毯，为了美观设计了两横两纵的配色条纹（图中阴影部分） ，已知配色条纹的宽度相同，所占面积是整个地毯面积的 （1）求配色条纹的宽度；（2）如果地毯配色条纹部分每平方米造价 200 元，其余部分每平方米造价 100元，求地毯的
7、总造价 （供参考数据：105 2 =11025，115 2=13225，125 2=15625）23 （11 分）有一家苗圃计划种植桃树和柏树根据市场调查与预测，种植桃树的利润 y1（万元）与投资成本 x（万元）满足如图 所示的二次函数 y1=ax2；种植柏树的利润 y2（万元）与投资成本 x（万元）满足如图 所示的正比例函数 y2=kx（1）分别求出利润 y1（万元）和利润 y2（万元）关于投资成本 x（万元）的函数关系式；（2）如果这家苗圃投入 10 万元资金种植桃树和柏树，苗圃至少能获得多少利润？若要使这 家苗圃获得 5 万元利润，资金投入如何分配（桃树和柏树都要种植）？24 （13 分
8、）如图，MON=120 ，ABC 是等边三角形，O 点是边 BC 的中点，将ABC 绕点 O 逆时针旋转一定的角度，OM 与边 AB 相交于点 D，ON 与边AC（或 AC 的延长线）相交于点 E（1）如图 1，若 ODAB，垂足为 D，BC=4 ，求 CE 的长；（2）如图 2，当 ON 与 AC 边交于点 E 时，求证 ：BD+CE= BC；（3）如图 3，当 ON 与 AC 边的延长线交于点 E 时， （2）中的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请直接写出线段 BD、BC、CE 之间的数量关系25 （13 分）已知抛物线 y=x2+bx+c（b 、c 是常数）与 x 轴有两个交
9、点，其中有一点的坐标为 A（1，0） ，点 P（m，t） （m0）为抛物线上的一个动点（1）设 y=m+t，写出 y关于 m 的函数解析式，并求出该函数图象的对称轴（用含 c 的代数式表示） ；（2）在（1）的条件下，当 m3 时，与其对应的函数 y的最小值为 ，求抛物线 y=x2+bx+c 的解析式；（3）在（2）的条件下，P 点关于原点的对称点为 P，且 P落在第一象限内，当 PA2 取得最小值时，求 m 与 t 的值2017-2018 学年福建省福州市马尾区九年级（上）期中数学试卷参考答案与试 题解析一、选择题（每小题 4 分，共 40 分）1 （4 分）已知点（2，1） ，则它关于原点
10、的对称点坐标为（ ）A （1 ，2 ） B （2，1） C （ 2，1） D （ 2，1）【解答】解：（2，1）关于原点的对称点坐标为（2， 1） ，故选：D2 （4 分）在下列图形中，属于中心对称图形的是（ ）A矩形 B直角三角形 C等边三角形 D正五边形【解答】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故选项正确；B、不是中心对称图形，故选项错误；C、不是中心对称图形，故选项错误；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项错误故选：A3 （4 分）二次函数 y=3（x1） 2 的最大值是（ ）A3 B0 C1 D 1【解答】解：y=3（x1） 2，此函数的顶点坐标是（1，0） ，即当 x=1
11、 时，函数有最大值 0故选：B4 （4 分）方程 x （x1）=x 的根是（ ）Ax=2 Bx 1=2，x 2=0 Cx= 2 Dx 1=2，x 2=0【解答】解：x（x1）=x，x（x 1）x=0，x（x 11）=0 ，x11=0，x=0，x1=2，x 2=0故选：D来源:Zxxk.Com5 （4 分）用配方法解下列方程，其中应在左右两边同时加上 4 的是（ ）Ax 2+4x=5 B2x 24x=5 Cx 22x=5 Dx 2+2x=5【解答】解：A、x 24x=5x 24x+4=5+4；故该选项正确，B、2x 24x=5x 22x+1= +1；故该选项错误，C、 x 22x=5x 22x+
12、1=5+1；故该选项错误，D、x 2+2x=5，x 2+2x+1=5+1故该选项错误故选：A6 （4 分）某药品经过两次降价，每瓶零售价由 168 元降为 128 元已知两次降价的百分率相同，每次降价的百分率为 x，根据题意列方程得（ ）A168 （1+x） 2=128 B168（1 x） 2=128 C168 （1 2x）=128D168 （1x 2）=128【解答】解：根据题意得：168（1x） 2=128，故选：B7 （4 分）如图，A、B、C 是O 上的三点，B =75，则AOC 的度数是（ ）A150 B140 C130 D120【解答】解：A、B、C 是O 上的三点，B=75，AO
13、C=2B=150故选：A8 （4 分）如图，二次函数 y=ax2+bx+c 的图象开口向上，对称轴为直线 x=1，则下列结论中正确的是（ ）Aa 0 B2a+b0 C4acb 20 Da+b +c0【解答】解：二次函数 图象开口向上，a 0 ，故 A 错误；二次函数图象的对称轴是直线 x=1， =1，2a+b=0，故 B 错误；当 x=1 时，y0 ，即 a+b+c0，故此选项 D 错误；二次函数与 x 轴有两个交点，b 24ac0，则 4acb20，故选项 C 正确，故选：C9 （4 分）将抛物线 y=x21 向下平移 8 个单位长度后与 x 轴的两个交点之间的距离为（ ）A4 B6 C8
14、D10【解答】解：将抛物线 y=x21 向下平移 8 个单位长度，其解析式变换为：y=x 29而抛物线 y=x29 与 x 轴的交点的纵坐标为 0，所以有：x 29=0解得：x 1=3，x 2=3，则抛物线 y=x29 与 x 轴的交点为（3，0） 、 （3，0） ，所以，抛物线 y=x21 向下平移 8 个单位长度后与 x 轴的两个交点之间的距离为6故选：B10 （4 分）如图，以（1，4）为顶点的二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴负半轴交于 A 点，则一元二次方程 ax2+bx+c=0 的正数解的范围是（ ）A2 x3 B3x4 C4x5 D5x6【解答】解：二次函数 y=a
15、x2+bx+c 的顶点为（1，4） ，对称轴为 x=1，而对称轴左侧图象与 x 轴交点横坐标的取值范围是3x2，右侧交点横坐标的取值范围是 4x5 故选：C二、填空题（每小题 4 分，共 24 分）11 （4 分）一元二次方程 3x2=x 的根是 x 1=0，x 2= 【解答】解：3x 2=x，x（3x 1）=0，x=0 或 3x1=0，x 1=0，x 2= 故答案为 x1=0，x 2= 12 （4 分）如图，在直角OAB 中，AOB=30，将OAB 绕点 O 逆时针旋转100得到OA 1B1，则A 1OB= 70 【解答】解：将OAB 绕点 O 逆时针旋转 100得到OA 1B1，AOB=3
16、0 ，OABOA 1B1，A 1OB1=AOB=30A 1OB=A 1OAAOB=70 故答案为：7013 （4 分）已知ABC 的三边长分别是 6，8，10，则ABC 外接圆的直径是 10 【解答】解：AC=6，BC=8，AB=10，AC 2+BC2=AB2，C=90，ABC 的外接圆的半径是 10=5，即外接圆的直径是 10，故答案为：1014 （4 分）写出以下三个函数 y= x2，y=x 2，y= x2 的一个共同性质： 对称轴是 y 轴（或顶点是原点） 【解答】解：函数 y= x2 的图象开口向上，对称轴为 y 轴，顶点坐标为（0，0） ；函数 y=x2 的图象开口向上，对称轴为 y
17、 轴，顶点坐标为（0，0） ；函数 y=x2 的图象开口向下，对称轴为 y 轴，顶点坐标为（ 0，0） ，来源:学科网 ZXXK三个函数的共同性质为：对称轴是 y 轴和顶点是原点故答案为：对称轴是 y 轴（或顶点是原点） 15 （4 分）一个直角三角形的面积为 6，两直角边的和为 7，则它的斜边长为 5 【解答】解：设两直角边长为 a 和 b，则，解方程组得 a=3，b=4 或 b=3，a=4，所以斜边 c= =5故答案为：516 （4 分）已知抛物线 y=ax2+bx+c（a0）过以下三个点：（m，n） ，（m+2，2n） ，和（m+6， n） ，当抛物线上另有点的横坐标为 m+4 时，它的
18、纵坐标为 2n ；当横坐标为 m2 时，它的纵坐标为 n 【解答】解：抛物线 y=ax2+bx+c 过点（m，n ） 、 （m+6，n） ，抛物线的对称轴为直线 x=m+3，当 x=m+4 与 x=m+2 时 y 值相等，此时 y=2n，抛物线的解析式为 y=a（x m3） 2+ m+2+m +4=2（m +3） ，当 x=m+4 与 x=m+2 时 y 值相等，此时 y=2n抛物线 y=a（xm 3） 2+ 过点（m，n） 、 （m+2，2n） ， ，8a=n，a + +38a=2n3n=n，当 x=m2 时，y=n故答案为：2n；n三、解答题（本大题共 9 小题，共 86 分）17 （6
19、分）x 2+10x+9=0【解答】解：x 2+10x+9=0，（x+9） （x +1）=0，则 x+9=0，x+1=0，解得：x 1=9，x 2=118 （8 分）已知：关于 x 的一元二次方程 x2+4xm2=0（1）若方程有一个 根是 1，求 m 的值；（2）求证：无论 m 取何值时，方程总有两个不相等的实数根【解答】 （1）解：将 x=1 代入原方程，得 1+4m2=0，即 m2=5，解得：m= （2）证明：=4 241（ m2）=4m 2+16m 20，4m 2+160，即0，无论 m 取何值时，方程总有两个不相等的实数根19 （8 分）如图，在下列正方形网格图中，等腰三角形 ABC
20、与等腰三角形A1B1C1 的顶点均在格点上，且ABC 与A 1B1C1 关于某点中心对称，已知A，C 1，C 三点的坐标分别是（0，4 ） ， （0，3） ， （0 ，2）（1）求对称中心的坐标；（2）画出ABC 绕点 B 按顺时针旋转 90后的A 2BC2，并写出点 A 的对应点A2 的坐标【解答】解：（1）C 1，C 是对称点，来源:Zxxk.Com对称中心是（0， ） ；（2）如图所示，A 2BC2 即为所求；点 A2 的坐标为（1，1） 20 （8 分）如图 1，是一座圆弧形涵洞的入口，图 2 是涵洞的示意图，如果涵洞的拱高 CD 为 6 米，涵洞入口处的地面的宽度 AB 为 4 米，
21、请你求这座涵洞圆弧所在圆的半径长【解答】解：依题意，CD 过点 O 且垂直于 AB，连接 OA，设半径为 x 米，所以 AD=DB=2，在 RtADO 中，由勾投定理，有 OA2=OD2+AD2，即 x2=（6x） 2+22，得 答：半径为 米21 （9 分）如图，AB 是半圆 O 的直径，点 C 在半圆外，AC，BC 与半圆交于 D点和 E 点（1）请只用无刻度的直尺作出ABC 的两条高线，并写出作法；（2）若 AC=AB，连接 DE，BE，求证：DE=BE【解答】 （1）解：如图所示：作法：连接 AE 与 AD，则 AE，BD 是ABC 的两条高线；（2）证明：AB 是O 的直径，AEB=
22、90，即 AEBC 又 AC=AB，1=2连接 OD，OE ，DOE=BOEDE=BE22 （10 分）如图，一块长 6 米宽 4 米的地毯，为了美观设计了两横两纵的配色条纹（图中阴影部分） ，已知配色条纹的宽度相同，所占面积是整个地毯面积的 （1）求配色条纹的宽度；（2）如果地毯配色条纹部分每平方米造价 200 元，其余部分每平方米造价 100元，求地毯的总造价 （供参考数据：105 2=11025，115 2=13225，125 2=15625）【解答】解：（1）设配色条纹的宽度为 x 米，根据题意得：26x+24x4x 2= 64，整理得：25x 2125x+24=0，解得：x 1= （
23、不符合题意，舍去） ，x 2= 答：配色条纹的宽度为 米（2）地毯总造价为： 64200+（1 ）46100=2784（元） 答：地毯的总造价为 2784 元23 （11 分）有一家苗圃计划种植桃树和柏树根据市场调查与预测，种植桃树的利润 y1（万元）与投资成本 x（万元）满足如图 所示的二次函数 y1=ax2；种植柏树的利润 y2（万元）与投资成本 x（万元）满足如图 所示的正比例函数 y2=kx（1）分别求出利润 y1（万元）和利润 y2（万元）关于投资成本 x（万元）的函数关系式；（2）如果这家苗圃投入 10 万元资金种植桃树和柏树，苗圃至少能获得多少利润？若要使这家苗圃获得 5 万元利
24、润，资金投入如何分配（桃树和柏树都要种植）？【解答】解：（1）抛物线 y1=ax2 经过点（4，1） ，4 2a=1，解得：a= ，y 1 关于 x 的函数关系式为 y1= x2y 2=kx 经过点（2，1） ，2k=1，解得 k= ， 来源: 学科网y 2 关于 x 的函数关系式为 y2= x（2）设种植桃树的资金投入为 x 万元，两项投入所获得的总利润为 y 万元，则种植柏树的资金投入为（10x） 万元，根据题意得：y= x2+ （10 x）= （x4） 2+4a= 0，抛物线的开口向上，当 x=4 时，y 有最小值，y 最小 =4 万元当 （x4） 2+4=5 时，解得：x 1=8， x
25、2=0（不合题意，舍去） 10x=108=2答：苗圃至少获得 4 万元利润；若要使这家苗圃获得 5 万元利润，要投入 8 万元种植桃树，投入 2 万元种植柏树24 （13 分）如图，MON=120 ，ABC 是等边三角形，O 点是边 BC 的中点，将ABC 绕点 O 逆时针旋转一定的角度，OM 与边 AB 相交于点 D，ON 与边AC（或 AC 的延长线）相交于点 E（1）如图 1，若 ODAB，垂足为 D，BC=4 ，求 CE 的长；（2）如图 2，当 ON 与 AC 边交于点 E 时，求证：BD+CE= BC；（3）如图 3，当 ON 与 AC 边的延长线交于点 E 时， （2）中的结论还
26、成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请直接写出线段 BD、BC、CE 之间的数量关系【解答】解：（1）如图 1，ABC 是等边三角形，B= C=60，点 O 是线段 BC 的中点，BO=OC= BC=2ODAB，得 ODB= ODA=90，BOD=180 6090=30，在 RtOBD 中，BD= OB= 2=1；又OEA=36060 90120=90，OEC=90，OBD OCE，CE=BD=1；（2）过点 O 作 OPAB 于 P，作 OQAC 于 Q，如图 2，则有OPD= OQE=90同（1）的方法得，OBPOCQ，OP=OQA=60，POQ=360 609090=120DOE=12
27、0 ，POD= QOEPODQOE，PD=EQBD+CE=BP +PD+CE=BP+EQ+CE=BP+CQ=2BP=2 OB= BC（3） （2）中的结论不成立，线段 BD、BC、CE 之间的数量关系为 BDCE= BC理由：如图 3，过点 O 作 OPAB 于 P，作 OQAC 于 Q，则有OPD= OQE=90由（1）知OBPOCQ，BP=CQ，OP=OQA=60，POQ=360 609090=120DOE=120 ，POD= QOEPODQOE，PD=EQ在 RtBOP 中，B=60，BP= OB= BCBDCE=BP +PDCE=CQ+EQCE=CQ+CQ+CECE=2CQ=2BP=2
28、 BC= BC25 （13 分）已知抛物线 y=x2+bx+c（b 、c 是常数）与 x 轴有两个交点，其中有一点的坐标为 A（1，0） ，点 P（m，t） （m0）为抛物线上的一个动点（1）设 y=m+t，写出 y关于 m 的函数解析式，并求出该函数图象的对称轴（用含 c 的代数式表示） ；（2）在（1）的条件下，当 m3 时，与其对应的函数 y的最小值为 ，求抛物线 y=x2+bx+c 的解析式；（3）在（2）的条件下，P 点关于原点的对称点为 P，且 P落在第一象限内，当 PA2 取得最小值时，求 m 与 t 的值【解答】解：（1）t=m 2+bm+cy=m +t=m+m2+bm+c=m
29、2+（ b+1）m+c ，将 A（1，0 ）代入 y=x2+bx+c，得 1+b+c=0，b+1=c，y=m 2cm+c该函数图象的对称轴为 m= c；（2）由（1）知，y=m 2cm+c，对称轴为 m= c；当 c 3 时，即：c6，此时，m=3 时，抛物线 y=m2cm+c 取最小值，点 P（m ，t） ，点 P 的横坐标是 3，即：点 P 是定点，不是动点，不符合题意，当 c 3 时，即：c6，此时，m= c 时，抛物线 y=m2cm+c 取最小值，即： c2c c+c= ，c= 3 或 c=7（舍去） ，当 c=3 时，b=c1=2y=x 2+2x3；（3）当 y=x2+2x3 时，P 关于原点的对称点为 P，有 P（m， t） 由 P（m，t ）在第一象限，m0，t 0即 m0，t 0由抛物线 y=x2+2x3 的顶点为（1， 4）4 t0 由 A 点坐标为（1，0） ，PA 2=（ m1） 2+t2=（m+1） 2+t2，t=m 2+2m3=（m+1） 24，（m+1） 2=t+4，PA 2=t2+t+4=（t + ） 2+当 t = 时， PA2 取得最小值把 t= 代入 t=m2+2m3，得 =m2+2m3解得 m= 或 m= （舍）当 t= 时，m= ，