1、2017-2018 学年福建省福州市福清市九年级（上）期中数学试卷一、选择题（共 10 小题，每题 4 分，满分 40 分，每小题只有一个正确选项）1 （4 分）一元二次方程 x23x+2=0 的二次项系数，一次项系数，常数项分别是（ ）A1 ，3 ，2 B1，3，2 C0，3，2 D0， 3，22 （4 分）用配方法解方程 x26x+4=0，原方程应变为（ ）A （x +3） 2=13 B （x+3） 2=5 C （x3） 2=13 D （x3） 2=53 （4 分）下列熟悉的几何图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）A等腰直角三角形BC 平行四边形D矩形4 （4 分）把抛物线 y
2、=x2 向左平移 2 个单位得到的抛物线是（ ）Ay= （ x+2） 2 By=（x2） 2 Cy=x 2+2 Dy=x 225 （4 分）已知关于 x 的一元二次方程 x2+mx3=0 一个根为 3，则另一个根为（ ）A1 B1 C2 D 66 （4 分）今年某市的房价不断上涨，6 月份平均每平方米约 10362 元，仅仅过了两个月，到 8 月份，平均每平方米就涨到约 11438，设每个月房价的平均增长率 为 x，则下列方程正确的是（ ）A10362x 2=11438 B10362（1+2x）=11438C 10362（1+x） 2=11438 D10362（1+x）+10362（1+x）
3、2=114387 （4 分）如图，平面直角坐标系中，ABx 轴于点 B，点 A 的坐标为（3，2） ，将AOB 绕原点 O 顺时针旋转 90得到AOB，则 A的坐标是（ ）A （2 ， 3） B （2，3） C （ 2，3） D （3， 2）8 （4 分）已知方程 x2+x+m=0 有两个不相等的实数根，则二次函数y= x2+x+m 的图象可能是（ ）A B C D9 （4 分）如图，在正三角形网格中，其中的一个梯形（阴影部 分）经过旋转变换能得到另一个梯形，则下列四个点中能作为旋转中心的是（ ）来源:学。科。网 Z。X。X 。KA点 P B点 QC点 M D点 N10 （4 分）已知 A（3
4、，n） 、B（m，n +1）是抛物线 y=ax2+4ax+c（a 0 ）上两点，则 m 的值不可能是（ ）A2 B0 C6 D 9二 、填空题（共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分）11 （4 分）点（3，1 ）关于原点对称的点的坐标是 12 （4 分）方程 x2=5x 的根是 13 （4 分）二次函数 y=2017x22018x 有最 值（填“ 大”或“小”）14 （4 分）抛物线 y=x23x20 与 x 轴的其中一个交点是（m，0） ，则 2m26m 的值为 15 （4 分）校运会上 ，一名男生推铅球，出手点 A 距地面 m，出手后的运动路线是抛物线，当铅球运行的水平距离是 4m
5、 时，达到最大高度 3m，那么该名男生推铅球的成绩是 m16 （4 分）如图，将含有 45角的直角三角板 ABC（C=90）绕点 A 顺时针旋转 30得到 ABC，连接 BB，已知 AC=2，则阴影部分面积为 三、解答题（共 9 小题，满分 86 分）17 （7 分）解方程 x23x+1=018 （8 分）已知关于 x 的方程 x2+（m2）x+9=0 有两个相等的实数根，求 m 的值19 （8 分） 算学宝鉴中记载了我国南宋数学家杨辉提出的一个问题：“直田积八百六十四步，之云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？”译文：一个矩形田地的面积等于 864 平方步，且它的宽比长少 12 步，问长与宽各
6、是多少步？请用方程知识求矩形田地的长与宽20 （8 分）若二次函数 y=x2+bx+c 的图象经过（4，1）和（1，2）两点，求此二次函数解析式21 （9 分）已知二次函数 y=x22x3（1）完成下表，并在平面直角坐标系中画出这个函数的图象x y （2）结合图象回答：当 x1 时，y 随 x 的增大而 ；（填“增大 ”或“减小”）不等式 x22x30 的解集是 22 （10 分）如图，矩形 ABCD 中，BC=4，将矩形 ABCD 绕点 C 顺时针旋转得到矩形 ABCD，此时点 B恰好落在边 AD 上（1）画出旋转后的图形；（2）连接 BB，若ABB=75，求旋转角及 AB 长23 （10
7、分）某超市销售一种成本为 40 元/千克的商品，若按 50 元/千克销售，一个月可售出 500 千克，现打算涨价销售，据市场调查，涨价 x 元时，月销售量为 m 千克，m 是 x 的一次函数，部分数据如下表：涨价 x（元） 1 2 3 4 月销售量 m（千克） 490 480 470 460 （1）观察表中数据，直接写出 m 与 x 的函数关系式： ；当涨价 5 元时，计算可得月销售利润时 元；（2）当售价定多少元时会获得月销售最大利润？求出最大利润24 （12 分）已知 RtABC 中，ACB=90，CA=CB=4，另有一块等腰直角三角板的直角顶点放在 C 处， CP=CQ=2，将三角板 C
8、PQ 绕点 C 旋转（保持点 P 在ABC 内部） ，连接 AP、BP、BQ（1）求证：AP=BQ；（2）当 PQ BQ 时，求 AP 的长；（3）设射线 AP 与射线 BQ 相交于点 E，连接 EC，直接写出旋转过程中EP、EQ、EC 之间的数量关系25 （14 分）已知抛物线 y=x2+bx+c 与 x 轴交于点 A（ 2，0）（1）填空：c= ；（用含 b 的式子表示）（2）b4求证：抛物线与 x 轴有两个交点；设抛物线与 x 轴的另一个交点为 B，当线段 AB 上恰有 5 个整点（横坐标、纵坐标都是整数的点） ，求 b 的取值范围；（3）平移抛物线，使其顶点 P 落在直线 y=3x2
9、上，设抛物线与直线的另一个交点为 Q，C 在该直线下方的抛物线上，求CPQ 面积的最大值2017-2018 学年福建省福州市福清市九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共 10 小题，每题 4 分，满分 40 分，每小题只有一个正确选项）1 （4 分）一元二次方程 x23x+2=0 的二次项系数，一次项系数，常数项分别是（ ）A1 ，3 ，2 B1，3，2 C0，3，2 D0， 3，2【解答】解：x 23x+2=0 的二次项系数是 1，一次项系数是3，常数项是 2，故选：B2 （4 分）用配方法解方程 x26x+4=0，原方程应变为（ ）A （x +3） 2=13 B （x+3
10、） 2=5 C （x3） 2=13 D （x3） 2=5【解答】解：x 26x+4=0x26x+9=94（x3） 2=5故选：D3 （4 分）下列熟悉的几何图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）A等腰直角三角形B正五边形C 平行四边形D矩形【解答】解：A、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不符合题意；B、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不符合题意；C、是中心对称图形但不是轴对称图形，故本选项符合题意；D、是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项不符合题意故选：C4 （4 分）把抛物线 y=x2 向左平移 2 个单位得到的抛物线是（ ）Ay= （ x+2） 2 By=（x
11、2） 2 Cy=x 2+2 Dy=x 22【解答】解：抛物线 y=x2 向左平移 2 个单位后的顶点坐标为（2，0） ，得到的抛物线是 y=（x +2） 2故选：A5 （4 分）已知关于 x 的一元二次方程 x2+mx3=0 一个根为 3，则另一个根为（ ）A1 B1 C2 D 6【解答】解：设方程的另一根为 x，方程 x2+mx3=0 一个根为 3，3x=3，解得 x=1，即方程的另一根为 1，故 选： B6 （4 分）今年某市的房价不断上涨，6 月份平均每平方米约 10362 元，仅仅过了两个月，到 8 月份，平均每平方米就涨到约 11438，设每个月房价的平均增长率为 x，则下列方程正确
12、的是（ ）A10362x 2=11438 B10362（1+2x）=11438C 10362（1+x） 2=11438 D10362（1+x）+10362（1+x） 2=11438【解答】解：设每个月房价的平均增长率为 x，依题意得：10362（1 +x） 2=11438故选：C7 （4 分）如图，平面直角坐标系中，ABx 轴于点 B，点 A 的坐标为（3，2） ，将AOB 绕原点 O 顺时针旋转 90得到AOB，则 A的坐标是（ ）A （2 ， 3） B （2，3） C （ 2，3） D （3， 2）【解答】解：如图将AOB 绕原点 O 顺时针旋转 90得到AOB，AB=AB=2， OB=O
13、B=3A（2，3） 故选：A8 （4 分）已知方程 x2+x+m=0 有两个不相等的实数根，则二次函数y= x2+x+m 的图象可能是（ ）A B C D【解答】解：方程 x2+x+m=0 有两个不相等的实数根，二次函数 y= x2+x+m 的图象与 x 轴有两个交点，故 A 选项错误；a= 0，抛物线开口向上，故 B 选项错误；对称轴是直线 x= =10，故 C 选项错误故选：D9 （4 分）如图，在正三角形网格中，其中的一个梯形（阴影部分）经过旋转变换能得到另一个梯形，则下列四个点中能作为旋转中心的是（ ）A点 P B点 QC点 M D点 N【解答】解：如图所示：连接两对对应点，分别作出垂
14、直平分线，其交点 Q 即为旋转中心，能作为旋转中心的是点 Q，故选：B10 （4 分）已知 A（3，n） 、B（m，n +1）是抛物线 y=ax2+4ax+c（a 0 ）上两点，则 m 的值不可能是（ ）A2 B0 C6 D 9【解答】解：y=ax 2+4ax+c（a0）的对称轴为 x= =2，开口向下，在对称轴的右边函数 y 随 x 的增大而减小，32，2 m3，A（3，n）关于对称轴的对称点为（7，n ） ，在对称轴的右边函数 y 随 x 的增大而增大，7 m2，故 m 不可能为9，故选：D二、填空题（共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分）11 （4 分）点（3，1 ）关于原点对称
15、的点的坐标是 （ 3，1） 【解答】解：点（3，1）关于原点对称的点的坐标是（ 3，1） 故答案为：（3，1） 12 （4 分）方程 x2=5x 的根是 x 1=0，x 2=5 【解答】解：x 25x=0，x（x5 ）=0，x=0 或 x5=0，x 1=0，x 2=5故答案为 x1=0，x 2=513 （4 分）二次函数 y=2017x22018x 有最 小 值（填“ 大”或“小”）【解答】解：a=2017 0，抛物线开口向上，有最小值，故答案为小14 （4 分）抛物线 y=x23x20 与 x 轴的其中一个交点是（m，0） ，则 2m26m 的值为 40 【解答】解：把（m，0）代入抛物线的
16、解析式 y=x23x20，得到：m 23m20=0，m 23m=20，2m 26m=40，故答案为 4015 （4 分）校运会上，一名男生推铅球，出手点 A 距地面 m，出手后的运动路线是抛物线，当铅球运行的水平距离是 4m 时，达到最大高度 3m，那么该名男生推铅球的成绩是 10 m【解答】解：设二次函数的解析式为 y=a（x 4） 2+3，把（0， ）代入 y=a（x4） 2+3，解得，a= ，则二次函数的解析式为：y= （x4） 2+3= x2+ x+ ；令 y=0 得到： x2+ x+ =0，解得，x 1=2（舍去） ，x 2=10，则铅球推出的距离为 10m故答案为 1016 （4
17、分）如图，将含有 45角的直角三角板 ABC（C=90）绕点 A 顺时针旋转 30得到 ABC，连接 BB，已知 AC=2，则阴影部分面积为 【解答】解：在 RtABC 中，C=90，ABC=45，AC=2，AB= AC=2 S 阴影 =SABC +S 扇形 ABBSABC =S 扇形 ABB= = 故答案为： 三、解答题（共 9 小题，满分 86 分）17 （7 分）解方程 x23x+1=0【解答】解：x 23x+1=0，=94=5 0，x 1= ，x 2= 18 （8 分）已知关于 x 的方程 x2+（m2）x+9=0 有两个相等的实数根，求 m 的值【解答】解：关于 x 的方程 x2+（
18、m2）x+9=0 有两个相等的实数根，= （ m2） 2419=m24m32=0，即（m+4） （ m8）=0，解得：m 1=4，m 2=8故 m 的值为4 或 819 （8 分） 算学宝鉴中记载了我国南宋数学家杨辉提出的一个问题：“直田积八百六十四步，之云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？”译文：一个矩形田地的面积等于 864 平方步，且它的宽比长少 12 步，问长与宽各是多少步？请用方程知识求矩形田地的长与宽【解答】解：设矩形田地长为 x 步，宽为（x 12）步，根据题意列方程得：x（x 12）=864 ，x212x864=0解得 x1=36， x2=24（舍） x12=24答：该矩形田地
19、的长 36 步，宽 24 步20 （8 分）若二次函数 y=x2+bx+c 的图象经过（4，1）和（1，2）两点，求此二次函数解析式【解答】解：二次函数 y=x2+bx+c 的图象经过（4，1）和（1，2）两点，解得二次函数的表达式为 y=x24x+121 （9 分）已知二次函数 y=x22x3（1）完成下表，并在平面直角坐标系中画出这个函数的图象x 1 0 1 2 3 y 0 3 4 3 0 来源:学科网 （2）结合图象回答：当 x1 时，y 随 x 的增大而 增大 ；（填“增大 ”或“减小”）不等式 x22x30 的解集是 1x 3 【解答】解：（1）完成表格如下：x 1 0 1 2 3
20、y 0 3 4 3 0 函数图象如下：（2）由函数图象可知，当 x1 时，y 随 x 的增大而增大；来源:学+科+网 Z+X+X+K不等式 x22x30 的解集是 1x 3；故答案为：增大； 1x322 （10 分）如图，矩形 ABCD 中，BC=4，将矩形 ABCD 绕点 C 顺时针旋转得到矩形 ABCD，此时点 B恰好落在边 AD 上（1）画出旋转后的图形；（2）连接 BB，若ABB=75，求旋转角及 AB 长【解答】解：（1）如图所示：（2）连接 BB，作 BEBC 于 E，ABB=75 ， ABB=15，CBB=75，CB=CB=4，CBB=CBB=75，BCB=18075 75=30
21、，BE= CB=2，AB=2故旋转角是 30，AB 长 223 （10 分）某超市销售一种成本为 40 元/千克的商品，若按 50 元/千克销售，一个月可售出 500 千克，现打算涨价销售，据市场调查，涨价 x 元时，月销售量为 m 千克，m 是 x 的一次函数，部分数 据如下表：涨价 x（元） 1 2 3 4 月销售量 m（千克） 490 480 470 460 （1）观察表中数据，直接写出 m 与 x 的函数关系式： m=10x+500 ；当涨价 5 元时，计算可得月销售利润时 6750 元；（2）当售价定多少元时会获得月销售最大利润？求出最大利润【解答】解：（1）设 m 与 x 的函数关
22、系式为：m=kx +b，把x=1，m=490，x=2，m=480 代入，可得： ，解得： ，所以 m 与 x 的函数关系式为：m=10x+500；由题意得：y=（x 40）5001 0（x50）=10x2+1400x40000；当涨价 5 元时，即 x=55，把 x=55 代入销售利润：y=10552+140055 40000=6750（元） ；故答案为：m=10x+500，6750；（2）当 x= =70 时，y 最大 = =9000（元） 即当售价定为 70 元时会获最大利润，最大利润为 9000 元24 （12 分）已知 RtABC 中，ACB=90，CA=CB=4，另有一块等腰直角三角
23、板的直角顶点放在 C 处， CP=CQ=2，将三角板 CPQ 绕点 C 旋转（保持点 P 在ABC 内部） ，连接 AP、BP、BQ（1）求证：AP=BQ；（2）当 PQ BQ 时，求 AP 的长；（3）设射线 AP 与射线 BQ 相交于点 E，连接 EC，直接写出旋转过程中EP、EQ、EC 之间的数量关系【解答】 （1）证明：如图 1 中，CA=CB，CP=CQ，ACB=PCQ=90 ，ACP= BCQ ，ACPBCQ，PA=BQ（2）解：如图 2 中，作 CHPQ 于 HPQ BQ，PQB=90 ，CQP=CPQ=45，CQB=135，ACPCBQ，APC= CQB=135 ，APC+CP
24、Q=180，A、P 、Q 共线，PC=2，CH=PH= ，在 RtACH 中，AH= = = ，PA=AHPH= （3）解：结论：EP+EQ= EC理由：如图 3 中，作 CM BQ 于 M，CN EP 于 N，设 BC 交 AE 于 OACPBCQ，CAO=OBE，AOC=BOE，OEB=ACO=90 ，M=CNE=MEN=90，MCN=PCQ=90 ，PCN=QCM，PC=CQ，CNP=M=90，CNPCMQ ，CN=CM，QM=PN，CE=CE，CEM CEN，EN=EM， CEM=CEN=45EP+EQ=EN +PN+EMMQ=2EN，EC= EN，EP+EQ= EC25 （14 分）
25、已知抛物线 y=x2+bx+c 与 x 轴交于点 A（ 2，0）（1）填空：c= 2b 4 ；（用含 b 的式子表示）（2）b4求证：抛物线与 x 轴有两个交点；设抛物线与 x 轴的另一个交点为 B，当线段 AB 上恰有 5 个整点（横坐标、纵坐标都是整数的点） ，求 b 的取值范围；（3）平移抛物线，使其顶点 P 落在直线 y=3x2 上，设抛物线与直线的另一个交点 为 Q，C 在该直线下方的抛物线上，求 CPQ 面积的最大值【解答】解：（1）将点 A 的坐标代入得：4 2b+c=0，c=2b4故答案为：2b4（2）由（1）可知 抛物线的解析式为 y=x2+bx+2b4来源:Z。xx 。k.
26、Com=b 24（2b4）=b 28b+16=（b 4） 2又b4，0，抛物线与 x 轴有两个交点当点 B 在点 A 的右侧时线段 AB 上恰有 5 个整点，0 ，即 0 b1 b0当点 B 在点 A 的左侧时线段 AB 上恰有 5 个整点，4.5 4，即4.5 b 48b9解得：1b0 或 8b9又b4b 的取值范围是：1b0（3）如图所示：以平移后抛物线的顶点为坐标原点建立坐标系，则在新坐标系内抛物线的解析式为 y=x2，直线的解析式为 y=3x过点 C 作 CDy 轴，交直线与点 D将 y=3x 代入 y=x2 得 3x=x2，解得：x=0 或 x=3设点 C 的坐标为（ x，x 2） ，则点 D 的坐标为（x，3x） 则 DC=3xx2PQC 的面积= DC|xQxP|= 3（3xx 2）= x2+ = （x ）2+ CPQ 面积的最大值为