1、2017-2018 学年四川 XX 学校八年级（上）期中数学试卷一、选择题（共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分）1 （3 分）下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）A B C D2 （3 分）在实数 ，0.21， ， ， ，0.20202 中，无理数的个数为（ ）A1 B2 C3 D43 （3 分）函数 y= 中自变量 x 的取值范围是（ ）Ax 2 Bx2 Cx2 Dx24 （3 分）点 M 到 x 轴的距离为 3，到 y 轴的距离为 4，且点 M 在第二象限，则点 M 的坐标为（ ）A （3 ，4 ） B （4，3）C （ 4，3） （4，3） D （4，3） （ 4，3） （
2、4，3） （4，3）5 （3 分）若一个三角形的三边长为 3、4、x ，则使此三角形是直角三角形的 x的值是（ ）A5 B6 C D5 或6 （3 分）已知一个正数的两个平方根分别是 a+3 和 2a15，则这个正数为（ ）A4 B7 C7 D497 （3 分）如果一个三角形的三边长分别为 1，k，3，则化简 的结果是（ ）Ak 4 Bk2 C4k D2 k8 （3 分）如图，所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形，已知S1=4，S 2=9，S 3=8，S 4=10，则 S=（ ）A25 B31 C32 D409 （3 分）估算 1 的值（ ）A在 2 和 3 之间 B在 3 和 4
3、之间 C在 4 和 5 之间 D在 5 和 6 之间10 （3 分）如图，王大伯家屋后有一块长 12m，宽 8m 的矩形空地，他在以长边 BC 为直径的半圆内种菜，他家养的一只羊平时拴 A 处的一棵树上，为了不让羊吃到菜，拴羊的绳长可以选用（ ）A3m B5m C7m D9m二、填空题（每空 4 分，共 16 分）11 （4 分）36 的算术平方根是 ， 的平方根是 12 （4 分）直角三角形斜边长是 13cm，一直角边长是 5cm，则此直角三角形面积是 13 （4 分）如果最简二次根式 与 可以合并，则 a 为 14 （4 分）如图，将边长为 2 的等边三角形沿 x 轴正方形连续翻折 201
4、7 次，依次得到点 P1，P 2，P 3P2017 则点 P2017 的坐标是 三、计算题（共 54 分）15 （12 分） （1） （2） 16 （6 分）已知 x= +1，y= 1，求代数式 x23xy+y2 的值17 （8 分）如图，在 55 的正方形网格中，每个小正方形的边长都是 1，在所给 网格中按下列要求画出图形：（1）已知点 A 在格点（即小正方形的顶点）上，画一条线段 AB，长度为 ，且点 B 在格点上；（2）以上题中所画线段 AB 为一边，另外两条边长分别是 3，2 ，画一个三角形 ABC，使点 C 在格点上（只需画出符合条件的一个三角形） ；（3）所画的三角形 ABC 的
5、AB 边上高线长为 （直接写出答案）18 （8 分）已知 m，n 在数轴上的位置如图所示，试化简：+ + 2+ 219 （10 分）已知如图，直角三角形 OAB 的斜边 OA 在 x 轴正半轴上，直角顶点 B 在第四象限内，三角形 OAB 的面积为 20，OB：BA=1 ：2，求 A，B 两点的坐标20 （10 分）如图，在离水面高度为 5 米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子 BC 的长为 13 米，此人以 0.5 米每秒的速度收绳， 10 秒后船移动到点 D的位置，问船向岸边移动了多少米？（假设绳子是直的，结果保留根号）一、填空题 （每题 4 分，共 20 分）21 （4 分）若规定符
6、号“*”的意义是 a*b=abb2，则 2*（ ）的值是 22 （4 分）如果 的小数部分为 a， 的整数部分为 b，则 a+b 的值为 23 （4 分）化简： = 24 （4 分）化简：= 25 （4 分）四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形 ABCD，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为 4 的小正方形 EFGH已知 AM 为 RtABM 较长直角边，AM=2 EF，则正方形 ABCD 的面积为 二解答题（共 30 分）26 （8 分）如图，长方体的透明玻璃鱼缸，假设其长 AD=80cm，高 AB=60cm，水深为 AE=40cm，在水面上紧贴内壁 G 处有一鱼饵，G 在水面线 EF
7、 上，且EG=60cm；一小虫想从鱼缸外的 A 点沿壁爬进鱼缸内 G 处吃鱼饵，求小动物爬行的最短距离 （鱼缸厚度忽略不计）27 （10 分）如图，在平面直角坐标系中，点 O 为坐标原点，四边形 OABC 是长方形，点 A、C 的坐标分别为（10，0） 、 （0，4） （1）求线段 AC 的长及 AC 的中点坐标；（2）点 D 是 0A 的中点，点 P 在 BC 边上运动当ODP 是腰长为 5 的等腰三角形时，求点 P 的坐标28 （12 分）某兴趣小组在学习了勾股定理之后提出：“锐（钝）角三角形有没有类似于勾股定理的结论”的问题首先定义了一个新的概念：如图（1）ABC中，M 是 BC 的中点
8、，P 是射线 MA 上的点，设 =k，若BPC=90，则称 k 为勾股比（1）如图（1） ，过 B、C 分别作中线 AM 的垂线，垂足为 E、D求证：CD=BE（2）如图（2） ，当= 1，且 AB=AC 时，AB 2+AC2= BC 2（填一个恰当的数） 如图（1） ，当 k=1，ABC 为锐角三角形，且 ABAC 时，中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，也请说明理由；对任意锐角或钝角三角形，如图（1） 、 （3） ，请用含勾股比 k 的表达式直接表示 AB2+AC2 与 BC2 的关系（写出锐角或钝角三角形中的一个即可） 2017-2018 学年四川 XX 学校八年级（上）
9、期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分）1 （3 分）下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）A B C D【解答】解：A、 =3，故 A 错误；B、 是最简二次根式，故 B 正确；C、 =2 ，不是最简二次根式，故 C 错误；D、 = ，不是最简二次根式，故 D 错误；故选：B2 （3 分）在实数 ，0.21， ， ， ，0.20202 中，无理数的个数为（ ）A1 B2 C3 D4【解答】解：0.21， ， ，0.20202 是有理数， ， 是无理数，故选：B3 （3 分）函数 y= 中自变量 x 的取值范围是（ ）Ax 2 Bx2 Cx2
10、Dx2【解答】解：由 x+20 可得 x 2，故选：A4 （3 分）点 M 到 x 轴的距离为 3，到 y 轴的距离为 4，且点 M 在第二象限，则点 M 的坐标为（ ）A （3 ，4 ） B （4，3）C （ 4，3） （4，3） D （4，3） （ 4，3） （4，3） （4，3）【解答】解：点 M 到 x 轴的距离为 3，到 y 轴的距离为 4，且点 M 在第二象限，则点 M 的坐标为（ 4，3 ） ，故选：B5 （3 分）若一个三角形的三边长为 3、4、x ，则使此三角形是直角三角形的 x的值是（ ）A5 B6 C D5 或【解答】解：当 4 是直角三角形的斜边时，3 2+x2=42，
11、解得 x= ；当 4 是直角三角形的直角边时，3 2+42=x2，解得 x=5故使此三角形是直角三角形的 x 的值是 5 或 故选：D6 （3 分）已知一个正数的两个平方根分别是 a+3 和 2a15，则这个正数为（ ）A4 B7 C7 D49【解答】解：一个正数的两个平方根分别是 a+3 和 2a15，a +3+2a15=0，解得：a=4，a+3=7，则这个正数为 49，故选：D7 （3 分）如果一个三角形的三边长分别为 1，k，3，则化简 的结果是（ ）Ak 4 Bk2 C4k D2 k【解答】解：三角形的三边长分别为 1，k，3，2k 4， =|k2|=k2，故选：B8 （3 分）如图，
12、所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形，已知S1=4，S 2=9，S 3=8，S 4=10，则 S=（ ）A25 B31 C32 D40【解答】解：如图，由题意得：AB2=S1+S2=13，AC2=S3+S4=18，BC 2=AB2+AC2=31，S=BC 2=31，故选：B9 （3 分）估算 1 的值（ ）A在 2 和 3 之间 B在 3 和 4 之间 C在 4 和 5 之间 D在 5 和 6 之间【解答】解：3 4，3 1 1 41，即 2 13，故选：A10 （3 分）如图，王大伯家屋后有一块长 12m，宽 8m 的矩形空地，他在以长边 BC 为直径的半圆内种菜，他家养的一只羊平
13、时拴 A 处的一棵树上，为了不让羊吃到菜，拴羊的绳长可以选用（ ）A3m B5m C7m D9m【解答】解：连接 OA，交半圆 O 于 E 点，在 RtOAB 中， OB=6，AB=8，所以 OA= =10；又 OE=OB=6，所以 AE=OAOE=4因此选用的绳子应该不大于 4m，故选：A二、填空题（每空 4 分，共 16 分）11 （4 分）36 的算术平方根是 6 ， 的平方根是 2 【解答】解：36 的算术平方根是 =6；=4， 的平方根是 =2故答案为：6，212 （4 分）直角三角形斜边长是 13cm，一直角边长是 5cm，则此直角三角形面积是 30cm 2 【解答】解；一个直角三
14、角形的一条直角边长为 5cm，斜边长为 13cm，由勾股定理得另一直角边长= =12（cm） ，则 S = 512=30（cm 2） 故答案为：30cm 213 （4 分）如果最简二次根式 与 可以合并，则 a 为 1 【解答】解：由题意可知：1a=4 +2aa=1故答案为： 114 （4 分）如图，将边长为 2 的等边 三角形沿 x 轴正方形连续翻折 2017 次，依次得到点 P1，P 2，P 3P2017 则点 P2017 的坐标是 （4033， ） 【解答】解：边长为 2 的等边三角形，P 1（ 1， ） ，而 P1P2=P2P3=2，P 2（ 3， ） ，P 3（5， ） ；依此类推，
15、P n（1+2n2， ） ，即 Pn（2n 1， ） ；当 n=2017 时，P 2017（4033， ） 故答案为：（4033， ） 三、计算题（共 54 分）15 （12 分） （1） （2） 【解答】解：（1）原式= =1；（2）原式= 2+1+4+2=516 （6 分）已知 x= +1，y= 1，求代数式 x 23xy+y2 的值【解答】解：x= +1，y= 1， 来源:学科网 ZXXKx+y=（ +1）+（ 1）=2 ，xy=（ +1） （ 1）=31=2，x 23xy+y2=（ x+y） 25xy=（2 ） 252=217 （8 分）如图，在 55 的正方形网格中，每个小正方形的边
16、长都是 1，在所给网格中按下列要求画出图形：（1）已知点 A 在格点（即小正方形的顶点）上，画一条线段 AB，长度为 ，且点 B 在格点上；（2）以上题中所画线段 AB 为一边，另外两条边长分别是 3 ，2 ，画一个三角形 ABC，使点 C 在格点上（只需画出符合条件的一个三角形） ；（3）所画的三角形 ABC 的 AB 边上高线长为 （直接写出答案）【解答】解：（1）如图所示：（2）如图所示：（3）三角形 ABC 的 AB 边上高线长为： 322=32= 故答案为： 18 （8 分）已知 m，n 在数轴上的位置如图所示，试化简：+ + 2+ 2【解答】解：由图可知：0m1，1n 0，|m|n
17、|，原式= |m|+|n|+|mn|+|m1|n1|=mn+mn+1m1+n，=mn19 （10 分）已知如图，直角三角形 OAB 的斜边 OA 在 x 轴正半轴上，直角顶点 B 在第四象限内，三角形 OAB 的面积为 20，OB：BA=1 ：2，求 A，B 两点的坐标【解答】解：OB：AB=1：2，设 OB=x，则 AB=2x，OA= = x，三角形 OAB 的面积为 20， OBAB=20， x2x=20，x 2=20，x=2 ，OA= 2 =10，点 A 的坐标是（10，0） ；过点 B 作 BCOA 交 OA 于 C，SAOB= AOBC=20，BC=4，B 在第四象限，B 的纵坐标为
18、4，OB=2 ，BC=4 ，OC= =2，B 的横坐标是 2，B 的坐标为（2，4） 20 （10 分）如图，在离水面高度为 5 米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子 BC 的长为 13 米，此人以 0.5 米每秒的速度收绳， 10 秒后船移动到点 D的位置，问船向岸边移动了多少米？（假设绳子是直的，结果保留根号）【解答】解：在 RtABC 中：CAB=90 ，BC=13 米，AC=5 米，AB= =12（米） ，此人以 0.5 米每秒的速度收绳，10 秒后船移动到点 D 的位置，CD=130.5 10=8（米） ，AD= = = （米） ，BD=ABAD=12 （米） ，答：船向岸边移动
19、了（12 ）米一、填空题 （每题 4 分，共 20 分）21 （4 分）若规定符号“*”的意义 是 a*b=abb2，则 2*（ ）的值是 4 5 【解答】解：由题意得：2*（ ）=2 （ 1） =4 5故答案为：4 522 （4 分）如果 的小数部分为 a， 的整数部分为 b，则 a+b 的值为 1 【解答】解：479，2 3 的小数部分为 a，a= 2913 16 ，3 4b=3a +b = 2+3 =1故答案为：123 （4 分）化简： = x 【解答】解：原式=x 3 =x ，来源: 学科网 ZXXK故答案为：x 24 （4 分）化简：= 【解答】解：原式= + + +=故答案为：25
20、 （4 分）四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形 ABCD，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为 4 的小正方形 EFGH已知 AM 为 RtABM 较长直角边，AM=2 EF，则正方形 ABCD 的面积为 36 【解答】解：设 AM=2a BM=b则正方形 ABCD 的面积=4a 2+b2由题意可知 EF=（2ab）2（ab ）=2a b2a+2b=b，AM=2 EF，2a=2 b，a= b，正方形 EFGH 的面积为 4，b 2=4，正方形 ABCD 的面积=4a 2+b2=9b2=36，故答案为：36来源 :Z+xx+k.Com二解答题（共 30 分）26 （8 分）如图，长方体的
21、透明玻璃鱼缸，假设其长 AD=80cm，高 AB=60cm，水深为 AE=40cm，在水面上紧贴内壁 G 处有一鱼饵，G 在水面线 EF 上，且EG=60cm；一小虫想从鱼缸外的 A 点沿壁爬进鱼缸内 G 处吃鱼饵，求小动物爬行的最短距离 （鱼缸厚度忽略不计）来源:学*科*网【解答】解：如图所示作点 A 关于 BC 的对称点 A，连接 AG 交 BC 与点 Q，小虫沿着 AQG 的路线爬行时路程最短在直角AEG 中，AE=80cm ，EG=60cm ，AQ+ QG=AQ+QG=AG= =100cm最短路线长为 100cm27 （10 分）如图，在平面直角坐标系中，点 O 为坐标原点，四边形 O
22、ABC 是长方形，点 A、C 的坐标分别为（10，0） 、 （0，4） （1）求线段 AC 的长及 AC 的中点坐标；（2）点 D 是 0A 的中点，点 P 在 BC 边上运动当ODP 是腰长为 5 的等腰三角形时，求点 P 的坐标【解答】解：（1）四边形 OABC 是长方形，AOC=90，点 A、C 的坐标分别为（10，0） 、 （0，4） ，OC=4，OA=10，AC= =2 ，AC 的中点坐标是（5，2） ；（2）A（10，0） ，C （0 ，4 ） ，且四边形 OABC 是矩形，OA=BC=10，OC=AB=4，D 是 OA 的中点，OD=5，当ODP 是腰长为 5 的等腰三角形时，则
23、有 PO=OD=5、PD=OD=5 或 PO=PD=5，当 PO=OD=5 时，在 RtOPC 中，OC=4，OP=5 ，由勾股定理可求得 PC=3，此时P 点坐标为（3，4） ；当 PD=OD=5 时，过 P 作 PEOA 于点 E，如图 1，在 RtPED 中，PE=OC=4，PD=5 ，由勾股定理可求得 DE=3，且 OD=5，则OE=53=2，此时 P 点坐标为（ 2，4） ， （8，4） ；当 PO=PD=5 时，过 P 作 PFOA 于点 F，如图 2，在 RtPOF 中，PF=4 ，PO=5 ，由勾股定理可求得 OF=3，则 OD=6，与已知矛盾，故该情况不存在综上可知点 P 的
24、坐标为（3，4）或（8，4 ）或（2 ，4） 28 （12 分）某兴趣小组在学习了勾股定理之后提出：“锐（钝）角三角形有没有类似于勾股定理的结论”的问题首先定义了一个新的概念：如图（1）ABC中，M 是 BC 的中点，P 是射线 MA 上的点，设 =k，若BPC=90，则称 k 为勾股比来源:学.科.网（1）如图（1） ，过 B、C 分别作中线 AM 的垂线，垂足为 E、D求证：CD=BE（2）如图（2） ，当=1，且 AB=AC 时，AB 2+AC2= 2.5 BC 2（填一个恰当的数）如图（1） ，当 k=1， ABC 为锐角三角形，且 ABAC 时，中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过
25、程；若不成立，也请说明理由；对任意锐角或钝角三角形，如图（1） 、 （3） ，请用含勾股比 k 的表达式直接表示 AB2+AC2 与 BC2 的关系（写出锐角或钝角三角形中的一个即可） 【解答】 （1）证明：M 是 BC 的中点，BM=CM，BE AM 于 E，CD AM 于 D，E=CDM=90，在BME 和 CMD 中，BME CMD（AAS） ，CD=BE；（2）AB 2+AC2=2.5BC2理由如下：AM 是ABC 的中线，PM=BM=CM= BC，k=1，AP=PM，AM=2PM=BC，在 RtABM 中，AB 2=AM2+BM2=BC2+ BC2= BC2，在 RtACM 中，AC
26、 2=AM2+CM2=BC2+ BC2= BC2，AB 2+AC2= BC2+ BC2=2.5BC2；即 AB2+AC2=2.5BC2；结论仍然成立设 EM=DM=a，则 AE=AM+a，AD=AM a，在 RtABE 中， AB2=AE2+BE2=（AM+a） 2+BE2=AM2+2AMa+a2+BE2，在 RtACD 中， AC2=AD2+CD2=（AMa） 2+CD2=AM22AMa+a2+CD2，AB 2+AC2=2AM2+（a 2+BE2）+（a 2+CD2） ，BE AM 于 E，CD AM 于 D，E=CDM=90，a 2+BE2=BM2= BC2，a 2+CD2=CM2= BC
27、2，AB 2+AC2=2AM2+ BC2， =1，AP=PM，BPC=90，AM 是ABC 的中线，PM= BC，若ABC 是锐角三角形，则 AM=AP+PM=PM+PM=（1+1）PM=BC，AB 2+AC2=2BC2+ BC2= BC2，即 AB2+AC2=2.5BC2；结论：锐角三角形：AB 2+AC2= BC2，钝角三角形：AB 2+AC2= BC2，理由如下：设 EM=DM=a，则 AE=AM+a，AD=AM a，在 RtABE 中， AB2=AE2+BE2=（AM+a） 2+BE2=AM2+2AMa+a2+BE2，在 RtACD 中， AC2=AD2+CD2=（AMa） 2+CD2
28、=AM22AMa+a2+CD2，AB 2+AC2=2AM2+（a 2+BE2）+（a 2+CD2） ，BE AM 于 E，CD AM 于 D，E=CDM=90，a 2+BE2=BM2= BC2，a 2+CD2=CM2= BC2，AB 2+AC2=2AM2+ BC2， =k，AP=kPM，BPC=90，AM 是ABC 的中线，PM= BC，若ABC 是锐角三角形，则 AM=AP+PM=kPM+PM=（k +1）PM= BC，AB 2+AC2=2（ BC） 2+ BC2= BC2，即 AB2+AC2= BC2；若ABC 是钝角三角形，则 AM=PMAP=PMkPM=（1k）PM= BC，AB2+AC2=2（ BC） 2+ BC2= BC2，即 AB2+AC2= BC2