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人教版九年级上册数学第22章《二次函数》综合题中考猜题练习题汇编(含答案解析)

1、人教版九年级上册数学第22章二次函数综合题中考猜题练习题汇编题型一:线段周长问题1(2023上山西晋城九年级校考期末)如图1,抛物线与x轴交于,两点,与y轴交于点C,顶点为D点P是直线上方抛物线上的一个动点,过点P作轴于点E,交直线于点Q(1)求抛物线的表达式;(2)求线段的最大值;(3)如图2,过点P作x轴的平行线交y轴于点M,连接是否存在点P,使得为等腰三角形?若存在,请直接写出点P的横坐标;若不存在,请说明理由2(2023上河北张家口九年级张家口东方中学校考期末)如图,在平面直角坐标系中,抛物线与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,点P是直线下方抛物线上的一个动点过点P作轴,交直线于点E

2、(1)求抛物线的解析式;(2)若点M是抛物线对称轴上的一个动点,则的最小值是_;(3)求的最大值;3(2023上湖北随州九年级统考期末)已知抛物线与轴交于点,(点在点的左边),与轴交于点,顶点为(1)直接写出点,的坐标;(2)如图1,若平行于轴的直线与抛物线交于点,(点在点的左边),与线段交于点设点的横坐标为,线段的长为,试求关于的函数关系式(不要求写出自变量的取值范围),并求的最大值;(3)如图2,若点是在轴右侧抛物线上的一动点,过点作轴交线段于点,连接,是否存在这样的点,使是等腰三角形?若存在,直接写出点的坐标;若不存在,请说明理由4(2023上重庆渝中九年级统考期末)抛物线 与轴交于点和

3、,与轴交于点,连接点是线段下方抛物线上的一个动点(不与点,重合),过点作轴的平行线交于,交轴于,设点的横坐标为(1)求该抛物线的解析式;(2)用关于的代数式表示线段,求的最大值及此时点的坐标;(3)过点作于点,求点的坐标;连接,在轴上是否存在点,使得为直角三角形,若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由5(2023上山东滨州九年级统考期末)如图,在平面直角坐标系中,抛物线与轴的两个交点为和,与轴的交点为,顶点为点(1)求、的值;(2)若点为该抛物线对称轴上的一个动点,当时,求点的坐标;(3)若点使得是以为斜边的直角三角形,其中,求此时的值6(2023上江苏南京九年级统考期末)抛物线与x轴交于

4、两点,与y轴交于点C(1)求a,b满足的关系式;(2)当时,为抛物线在第二象限内一点,点P到直线的距离为d,则d与n的函数表达式为_;(3)过(其中)且垂直y轴的直线l与抛物线交于M,N两点若对于满足条件的任意t值,线段的长都不小于2,结合函数图像,求a的取值范围7(2023上河南驻马店九年级统考期末)如图,抛物线与x轴交于,两点与y轴交于点C,且,点P为抛物线上的一个动点,过点P作轴于点D,交直线于点E(1)求抛物线的解析式;(2)当点P在x轴下方的抛物线上,且时,求此时点P的坐标;(3)第一象限抛物线上是否在在点P,使点P到直线的距离是点D到直线的距离的5倍?若存在,请直接写出点P的坐标;

5、若不存在,请说明理由8(2023上山西吕梁九年级校考期末)综合与探究如图,抛物线与x轴交于,两点,顶点为P,连接,于点B,Q是(不与点O,B重合)上的一个动点,连接,将沿着对折后,点O落在点C处,交x轴于点D(1)求抛物线的表达式(2)当的面积的面积时,求点Q的坐标(3)在线段上是否存在这样的点Q,使得的值最小,若存在,请直接写出的最小值;若不存在,请说明理由9(2023上辽宁盘锦九年级统考期末)如图,在平面直角坐标系中,抛物线P:的图象与x轴交于点A,B,与y轴交于点C,且图象与抛物线Q:的图象关于原点中心对称(1)求抛物线P的表达式;(2)连接BC,点D为线段BC上的一个动点,过点D作轴,

6、交抛物线P的图象于点E,求线段DE长度的最大值;(3)如图,在抛物线P的对称轴上是否存在点M,使是等腰三角形?若存在,求出所有符合条件的点M的坐标;若不存在,请说明理由10(2023上四川广安九年级统考期末)如图,已知抛物线与x轴交于A,B两点,并与直线交于B,C两点,其中C是直线与y轴的交点,连接(1)求B,C两点的坐标以及抛物线的解析式;(2)求证:为直角三角形;(3)在抛物线的对称轴上有一点P,当的周长最小时,求出点P的坐标题型二:面积问题1(2023上河南九年级校联考期末)如图,已知抛物线与直线交于,两点(1)求的值及抛物线的解析式;(2)若点P是位于直线上方的抛物线上的一个动点,求面

7、积的最大值及此时点P的坐标2(2023上安徽安庆九年级统考期末)如图,已知抛物线与轴交于点和点,与轴交于点,连接交抛物线的对称轴于点,是抛物线的顶点(1)求此抛物线的解析式;(2)直接写出点和点的坐标;(3)若点在第一象限内的抛物线上,且,求点坐标3(2023上云南临沧九年级统考期末)如图,抛物线与x轴交于、两点,与y轴交于点C(1)求抛物线的解析式;(2)若点D是抛物线上的一点,当的面积为10时,求点D的坐标;(3)点P是抛物线对称轴上的一点,在抛物线上是否存在一点Q,使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由4(2023上江苏淮安九年级统考

8、期末)如图,在直角坐标系中,二次函数的图像与x轴相交于O、A两点,其中点O为坐标原点(1)求出这个二次函数的表达式;(2)在第一象限内的抛物线上有一点B,使的面积等于6,求点B的坐标5(2023上广西梧州九年级统考期末)如图,抛物线与轴交于点和点,与轴交于点C(1)求抛物线的函数表达式;(2)在抛物线上是否存在一点(不与点重合),使的面积与的面积相等,若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由6(2023上广东东莞九年级统考期末)抛物线与轴交于点,两点,与轴交于点,点是抛物线上的一个动点(1)求抛物线的函数表达式;(2)如图1,点在线段上方的抛物线上运动(不与,重合),过点作,垂足为,交于点,

9、作,垂足为,若点的横坐标为,请用的式子表示,并求的面积的最大值;(3)如图2,点是抛物线的对称轴上的一个动点,在抛物线上是否存在点,使得以点,为顶点的四边形是平行四边形?若存在,直接写出所有符合条件的点的坐标,若不存在,说明理由7(2023上江苏宿迁九年级统考期末)如图,二次函数的图像与x轴交于、两点,与y轴交于点B点P是直线上方抛物线上的一个动点,连接(1)求这个二次函数的表达式;(2)设的面积为S,点P的横坐标为m,求S与m之间的函数表达式;(3)点P在运动过程中,能否使的面积S恰好为整数?若能,请求出m的值;若不能,请说明理由8(2023上辽宁葫芦岛九年级统考期末)如图,抛物线与轴交于,

10、与轴交于点,点在抛物线上(1)求抛物线的解析式;(2)如图1,连接,若点为直线上方抛物线上的点,过点作轴交于点,作轴交于点,若的面积为2,求点坐标;(3)如图2,点为抛物线的顶点,当时,在抛物线上是否存在点使是等腰三角形?若能,请直接写出点的坐标;若不能,请说明理由9(2023上湖南益阳九年级统考期末)如图,抛物线与轴交于,两点,是抛物线的顶点(1)求抛物线的表达式(2)作轴于点,为抛物线上位于点,之间的一点,连接,若恰好平分的面积,求点的坐标(3)在(2)的条件下,平面内是否存在点,使得以,为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出点的坐标;若不存在,请说明理由10(2023上湖南永州九

11、年级校考期末)如图,抛物线与轴交于点,与轴交于点,连接,点为线段上一个动点(不与点,重合),过点作轴交抛物线于点(1)求抛物线的表达式和对称轴;(2)当抛物线上的点在上方运动时,求面积的最大值(3)已知点是抛物线对称轴上的一个点,点是平面直角坐标系内一点,当线段取得最大值时,是否存在这样的点,使得四边形是菱形?若存在,请直接写出点的坐标;若不存在,请说明理由题型三:角度问题1(2023上辽宁大连九年级统考期末)在平面直角坐标系中,抛物线与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,点B的坐标为,将直线沿y轴向上平移3个单位长度后恰好经过B、C两点(1)求直线及抛物线的解析式;(2)

12、设抛物线的顶点为D,点P在抛物线的对称轴上,且,求点P的坐标2(2023上安徽滁州九年级校联考期末)如图,抛物线交轴正半轴于点,交轴分别于点点,连接(1)求抛物线的解析式;(2)点为抛物线上第一象限内的一点,过点作轴的垂线,交于点,设点的横坐标为求为何值时,四边形是平行四边形;连接,当时,求点的坐标;3(2023上江苏镇江九年级镇江市外国语学校校考期末)如图,在平面直角坐标系中,二次函数的图像与轴交于,两点(点在点的左侧),顶点为,经过点的直线与轴交于点,与抛物线的另一个交点为(1)直接写出点的坐标、点的坐标(2)如图(1),若顶点的坐标为,连接、,请求出二次函数及一次函数的解析式,并求出四边

13、形的面积;(3)如图(2),连接,当为何值时直线与轴的夹角为?(4)如图(3),点是直线上方的抛物线上的一点,若的面积的最大值为时,请直接写出此时点的坐标4(2023上山东济南九年级统考期末)如图,抛物线经过,两点,与x轴交于另一点A,点D是抛物线的顶点(1)求抛物线的解析式及点D的坐标;(2)如图1,点E在抛物线上,连接并延长交x轴于点F,连接,若是以为底的等腰三角形,求点E坐标(3)如图2,连接、,在抛物线上是否存在点M,使,若存在,求出M点的坐标;若不存在,请说明理由5(2023上山西运城九年级统考期末)综合与探究:如图,二次函数的图象与轴交于两点(点在点的左则),与y轴交于点,点是抛物

14、线的顾点抛物线的对称轴交轴于点,点是第一象限内且在对称轴右侧二次函数图象上的一个动点,设点的横坐标为,点的坐标为,连接分别与轴,对称轴交于点(1)求三点的坐标并直按写出顶点的坐标;(2)当时求点的坐标;(3)试探究:在点运动过程中,是否存在点,使得,若存在,请直接写出的值;若不存在,请说明理由6(2023上江苏泰州九年级校考期末)抛物线经过点和点(1)求a与b的关系式(2)若抛物线的对称轴是轴点C,D均在抛物线上,C点与A点关于轴对称,且点D在第一象限,满足,求点D的坐标;直线与抛物线交于M,N两点(点M在点N的左侧),点P是直线MN下方的抛物线上的一点,点Q在y轴上,且四边形是平行四边形,求

15、点Q的坐标7(2023上云南昆明九年级统考期末)如图,已知抛物线与x轴交于,两点,与y轴交于点C且有(1)求抛物线解析式;(2)点P在抛物线的对称轴上,使得是以为底的等腰三角形,求出点P的坐标;(3)在(2)的条件下,若点Q在抛物线的对称轴上,并且有,直接写出点Q的坐标8(2023上黑龙江哈尔滨九年级校考期末)如图,在平面直角坐标系中,点为坐标原点,抛物线与轴交于、两点,交轴于点,点在抛物线上,且点的坐标为,连接,的面积为24(1)求抛物线的解析式;(2)为第一象限抛物线上一点,连接、,设点的横坐标为,的面积为,求与之间的函数关系式,并直接写出的取值范围;(3)在(2)的条件下,作轴于点,点在

16、线段上,连接,线段和交于点,求点的坐标9(2023上浙江湖州九年级统考期末)如图,在平面直角坐标系中,直线与x轴交于点A,与y轴交于点C,抛物线经过A,C两点,与x轴的另一交点为点B,点P为抛物线上的一个动点(1)求抛物线的函数表达式;(2)当的面积与的面积相等时,求点P的坐标;(3)是否存在点P,使得,若存在,请直接写出点P的横坐标;若不存在,请说明理由10(2023上山东威海九年级统考期末)如图,二次函数的图象与轴交于两点,与轴交于点,顶点的坐标为分别连接(1)求二次函数的表达式;(2)求证:题型四:特殊三角形问题1(2023上辽宁大连九年级统考期末)如图,在平面直角坐标系中,抛物线的图象

17、经过点,点(1)求抛物线的解析式;(2)当时,求二次函数的最大值和最小值;(3)若点C是抛物线对称轴与x轴交点,P是y轴上一点,点Q是该抛物线上一点,当是等腰直角三角形且时,求点Q的坐标2(2023上陕西安康九年级统考期末)如图,已知抛物线的顶点坐标为,与x轴交于A、B两点(点A在点B的右侧),与y轴交于点,点P在所在直线下方的抛物线上,过点P作轴,交于点D备用图(1)求该抛物线的函数解析式;(2)连接,问是否存在点P,使得是直角三角形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由3(2023上山西阳泉九年级统考期末)综合与探究:在平面直角坐标系中,抛物线与轴交于点和点,与轴交于点,过动点作平

18、行于轴的直线,直线与抛物线相交于点,(1)求抛物线的表达式;(2)求的取值范围;(3)直线上是否存在一点,使得是以为直角边的等腰直角三角形?若存在,求的值;若不存在,请说明理由4(2023上山西阳泉九年级统考期末)综合与实践如图,抛物线与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,点B的坐标是,点C的坐标是,抛物线的对称轴交x轴于点D连接(1)求抛物线的解析式:(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P,使是以为腰的等腰三角形?如果存在,求出点P的坐标;如果不存在,请说明理由;(3)点E在x轴上运动,点F在抛物线上运动,当以点B,C,E,F为顶点的四边形是平行四边形,直接写出点E的坐标5

19、(2023上山西长治九年级统考期末)综合与实践如图,抛物线与轴交于和两点(点在点的右侧),与轴交于点,抛物线的顶点是点(1)求点,和点四点的坐标;(2)如图1,连接,和,求的面积;(3)点在抛物线的对称轴上运动,是以为直角边的直角三角形,借助图2,直接写出点的坐标6(2023上山东泰安九年级东平县实验中学校考期末)如图,抛物线经过点,与轴正半轴交于点,且,对称轴交轴于点直线经过,两点(1)求抛物线及直线的函数表达式;(2)点是直线上方抛物线上一点,是否存在点F使的面积最大,若有则求出点F坐标及最大面积;(3)连接,若点是抛物线上对称轴右侧一点,点是直线上一点,试探究是否存在以点E为直角顶点的,

20、且满足若存在,求出点的坐标,若不存在,请说明理由7(2023上安徽滁州九年级校联考期末)抛物线与x轴交于A,B两点,A点在B点左边,与y轴交于C点,顶点为M(1)当时,求点A,B,M的坐标;(2)如图1,在(1)的条件下,若P为抛物线对称轴上一个动点,且为等腰三角形,求P点坐标;(3)如图2,若一次函数的图象过A点且与抛物线交于另一点F,交对称轴于E,轴,若,求的值8(2023上山东东营九年级校考期末)如图,抛物线交x轴于A、B两点,交y轴于点C,点A的坐标为,点C坐标为,对称轴为点M为线段上的一个动点(不与两端点重合),过点M作轴,交抛物线于点P,交于点Q(1)求抛物线及直线的表达式;(2)

21、过点P作,垂足为点N求线段的最大值;(3)试探究点M在运动过程中,是否存在这样的点Q,使得以A,C,Q为顶点的三角形是等腰三角形若存在,请求出此时点Q的坐标;若不存在,请说明理由题型五:特殊四边形问题1(2022上辽宁葫芦岛九年级统考期末)如图,在平面直角坐标系中,抛物线与轴交于点,与轴交于点(1)求抛物线的函数解析式(2)如图1,点为直线下方抛物线上一动点,过点作轴的平行线交于点,过点作轴的平行线交轴于点,过点作轴的平行线交轴于点,得到矩形,求矩形的周长最大值及此时点的坐标;(3)点是直线上一动点,点是在平面内一点,当以点,为顶点的四边形是菱形时,请直接写出点的坐标(参考数据:)2(2023

22、上辽宁葫芦岛九年级统考期末)如图,抛物线与轴交于点和点,与轴交于点,过点作轴的平行线交抛物线于点,点在直线上运动(1)求抛物线的解析式;(2)当点在线段上,点关于直线的对称点恰好落在轴上时,求点坐标;(3)点在抛物线上,点在坐标平面内,在点移动的过程中,当以点,为顶点的四边形是正方形时,请直接写出点的坐标3(2023上山东东营九年级东营市胜利第一初级中学校考期末)如图,在平面直角坐标系中,直线分别交轴、轴于,两点,经过,两点的抛物线与轴的正半轴相交于点(1)求抛物线的解析式;(2)若为线段上一点,求的长;(3)在(2)的条件下,设是轴上一点,试问:抛物线上是否存在点,使得以,为顶点的四边形为平

23、行四边形?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由4(2023上重庆开州九年级统考期末)如图1,抛物线与轴交于,与轴交于点(1)求抛物线的解析式;(2)如图2,点、为直线下方抛物线上的两点,点的横坐标比点的横坐标大1,过点作轴交于点,过点作轴交于点,求的最大值及此时点的坐标;(3)如图3,将抛物线先向右平移1个单位长度,再向下平移1个单位长度得到新的抛物线,在的对称轴上有一点,坐标平面内有一点,使得以点、为顶点的四边形是矩形,请直接写出所有满足条件的点的坐标5(2023上湖南湘西九年级统考期末)如图,在平面直角坐标系中,二次函数与x轴交于A、B两点(A点在B点的左侧),直线与抛物线交于A、C

24、两点(1)求点C的坐标;(2)点P为直线下方抛物线上一点,过点P作y轴平行线交于E点,当最长时求此时点P的坐标;(3)抛物线顶点为M,在平面内是否存在点N,使以为顶点的四边形为平行四边形?若存在请求出N点坐标并在备用图中画出图形;若不存在,请说明理由题型六:相似三角形问题 1(2023上山东威海九年级统考期末)如图,直线与x轴,y轴分别交于点,经过B,C两点的抛物线与x轴的另一个交点为A,顶点为P(1)求该抛物线的解析式及点P的坐标;(2)当时,在抛物线上存在点E,使的面积有最大值,求点E的坐标;(3)连接,点N在x轴上,是否存在以B,P,N为顶点的三角形与相似?若存在,求出点N的坐标;若不存

25、在,说明理由2(2023上广西百色九年级统考期末)如图,二次函数的图像与x轴交于点,与y轴相交于点C(1)求这个二次函数的解析式;(2)若点M在此抛物线上,且在y轴的右侧与y轴相切,过点M作轴,垂足为点D以C,D,M为顶点的三角形与相似,求点M的坐标3(2023上湖北十堰九年级统考期末)如图,二次函数的图象与x轴交于点,B两点,与y轴交于点C,并且,D是抛物线的一个动点,轴于点F,交直线于点E(1)求出二次函数解析式及所在直线的表达式;(2)在点D运动的过程中,试求使以O,C,D,E为顶点的四边形为平行四边形的点D的坐标;(3)连接,在点D运动的过程中,抛物线上是否存在点D,使得以点D,C,E

26、为顶点的三角形与相似?如果存在,求出点D的坐标,如果不存在,请说明理由4(2023上广东河源九年级校考期末)如图,抛物线经过点和点,与y轴交于点C,顶点为D,连接、,与抛物线的对称轴l交于点E.(1)求该抛物线的函数表达式;(2)点P是第一象限抛物线上的动点,连接,当四边形面积取最大值时,求点P的坐标;(3)点N是对称轴l右侧抛物线上的动点,在射线ED上是否存在点M,使得以M,N,E为顶点的三角形与相似?若存在,直接写出点M的坐标,若不存在,请说明理由.5(2023上河北保定九年级校考期末)如图,抛物线与x轴交于O,A两点,是抛物线的顶点,轴于点D(1)求抛物线的解析式(2)P为抛物线上位于点

27、A,C之间的一点,连接,若恰好平分的面积,求点P的坐标(3)Q为抛物线上位于点A,C之间的一点,连接OQ,作轴于点E,是否存在点Q使得与相似若存在,请直接写出点Q的横坐标的值;若不存在,请说明理由6(2023上河南省直辖县级单位九年级校联考期末)已知抛物线与x轴分别交于点,对称轴与x轴交于点C,顶点为D(1)求抛物线的解析式;(2)若点P为右侧抛物线上的一个动点(点P与顶点D不重合),于点Q,当与相似时,求点P的坐标第 45 页 共 179 页答案与解析题型一:线段周长问题1(2023上山西晋城九年级校考期末)如图1,抛物线与x轴交于,两点,与y轴交于点C,顶点为D点P是直线上方抛物线上的一个

28、动点,过点P作轴于点E,交直线于点Q(1)求抛物线的表达式;(2)求线段的最大值;(3)如图2,过点P作x轴的平行线交y轴于点M,连接是否存在点P,使得为等腰三角形?若存在,请直接写出点P的横坐标;若不存在,请说明理由【答案】(1)(2)3(3)存在一点P,当点P的横坐标为时,为等腰三角形【分析】(1)利用待定系数法求解即可;(2)先求出点C的坐标,进而求出直线的解析式,设,则,则,由此即可求出答案;(3)先证明,则当为等腰三角形,只存在这一种情况,设,则,则,解方程即可【详解】(1)解:把,代入中得:,抛物线解析式为;(2)解:设直线的解析式为,在中,当时,把,代入中得,直线的解析式为,设,

29、则,当时,有最大值,最大值为;(3)解:轴,轴,当为等腰三角形,只存在这一种情况,设,则,同理可得,又,解得或,存在一点P,当点P的横坐标为时,为等腰三角形【点睛】本题主要考查了二次函数综合,一次函数与几何综合,待定系数法求函数解析式,等腰三角形的定义等等,熟知二次函数的相关知识是解题的关键2(2023上河北张家口九年级张家口东方中学校考期末)如图,在平面直角坐标系中,抛物线与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,点P是直线下方抛物线上的一个动点过点P作轴,交直线于点E(1)求抛物线的解析式;(2)若点M是抛物线对称轴上的一个动点,则的最小值是_;(3)求的最大值;【答案】(1)(2)(3)【分

30、析】(1)利用待定系数法求出抛物线的解析式即可;(2)先求出点C的坐标为,根据、B关于抛物线的对称轴对称,点M在抛物线的对称轴上,得出,根据,两点之间线段最短,当点A、M、C在同一直线上时,最小,即最小,求出最小值即可;(3)求出直线的解析式为,设,其中,则,求出,得出当时,取得最大值【详解】(1)解:,将点A,的坐标代入,得,解得:,(2)解:把代入得:,点C的坐标为,、B关于抛物线的对称轴对称,点M在抛物线的对称轴上,两点之间线段最短,当点A、M、C在同一直线上时,最小,即最小,的最小值为的长,的最小值为故答案为:(3)解:设直线的解析式为,将点A,的坐标代入,得:,解得:,直线的解析式为

31、,设,其中,则,当时,取得最大值,即的最大值为【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用,求二次函数解析式,求一次函数解析式,轴对称的性质,解题的关键是数形结合,熟练掌握二次函数的性质3(2023上湖北随州九年级统考期末)已知抛物线与轴交于点,(点在点的左边),与轴交于点,顶点为(1)直接写出点,的坐标;(2)如图1,若平行于轴的直线与抛物线交于点,(点在点的左边),与线段交于点设点的横坐标为,线段的长为,试求关于的函数关系式(不要求写出自变量的取值范围),并求的最大值;(3)如图2,若点是在轴右侧抛物线上的一动点,过点作轴交线段于点,连接,是否存在这样的点,使是等腰三角形?若存在,直接写出点的

32、坐标;若不存在,请说明理由【答案】(1),(2),(3)存在,【分析】(1)将解析式化为顶点式即可求得点顶点坐标,分别令,得出点的坐标;(2)得出的解析式,根据题意得出m关于t的函数关系式为,根据二次函数的性质即可求解;(3)根据题意分三种情况,根据等腰三角形的性质分别求解即可【详解】(1)解:,顶点,令,则,令,则,解得:,;(2)设直线的解析为,则,将点代入得,轴,设,m关于t的函数关系式为,的最大值为(3)解:存在点P,使是等腰三角形,是等腰直角三角形,设直线的解析式为,将点代入得,轴,设,则当时,是等腰直角三角形,设交轴于点,则解得:(舍去)或(舍去)或;当时,则重合, ,解得:,(舍

33、去);当时,解得:或(舍去)当时,综上所述,存在点P,使是等腰三角形,满足条件的点P的坐标为,【点睛】本题考查了二次函数综合问题,求抛物线与坐标轴交点问题,线段最值问题,特殊三角形问题,掌握二次函数的性质是解题的关键4(2023上重庆渝中九年级统考期末)抛物线 与轴交于点和,与轴交于点,连接点是线段下方抛物线上的一个动点(不与点,重合),过点作轴的平行线交于,交轴于,设点的横坐标为(1)求该抛物线的解析式;(2)用关于的代数式表示线段,求的最大值及此时点的坐标;(3)过点作于点,求点的坐标;连接,在轴上是否存在点,使得为直角三角形,若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由【答案】(1)(2)

34、,(3);存在,或【分析】(1)将点和代入解析式,列方程组求解即可得到答案;(2)令求出点C坐标,从而求出直线解析式,用t表示点P点坐标,从而得到关于t的函数,求出最值即可得到答案;(3)根据题意用t表示点H的坐标根据面积列方程求解即可得到答案;设出点坐标,分,两类讨论,根据勾股定理逆定理即可得到答案【详解】(1)将点和代入解析式,得,解得,该抛物线的解析式为;(2)由题意可得P点坐标为,令得,点C坐标为,设直线的解析式为,将B、C坐标代入,得,解得,直线的解析式为,轴,点M的坐标为,当时,的值最大, ,此时点的坐标为:;(3)由题意可得,如图1,轴,点C、H纵坐标相同,点N、H、P的横坐标相

35、同,点H的坐标为,点N的坐标为,即,解得,(不符合题意舍去)点P的坐标为;当时,如图2所示,点Q、P的纵坐标相同,此时Q点坐标为,即;当时,如图3所示,设,根据勾股定理得,解得 ,综上所述,点的坐标为或【点睛】本题考查了二次函数的几何综合,根据二次函数性质求最值问题,动点围成直角三角形问题,解题的关键是根据题意设出点的坐标,利用性质列式求解5(2023上山东滨州九年级统考期末)如图,在平面直角坐标系中,抛物线与轴的两个交点为和,与轴的交点为,顶点为点(1)求、的值;(2)若点为该抛物线对称轴上的一个动点,当时,求点的坐标;(3)若点使得是以为斜边的直角三角形,其中,求此时的值【答案】(1)(2

36、)(3)或【分析】(1)待定系数法求解析式即可求解;(2)根据题意,设,根据勾股定理得出,进而解方程即可求解;(3)设点为的中点,则,如图所示,以为圆心为半径作圆,交轴于点,根据勾股定理即可求解【详解】(1)解:将和代入得,解得:抛物线解析式为,(2)由,令,解得:,顶点坐标为,对称轴为直线,点为该抛物线对称轴上的一个动点,设,解得:点的坐标为;(3)解:,点,其中,使得是以为斜边的直角三角形,设点为的中点,则,如图所示,以为圆心为半径作圆,交轴于点,即,解得:或【点睛】本题考查了二次函数综合,待定系数法求解析式,线段问题,特殊三角形问题,直径所对的圆周角是直角,掌握以上知识是解题的关键6(2

37、023上江苏南京九年级统考期末)抛物线与x轴交于两点,与y轴交于点C(1)求a,b满足的关系式;(2)当时,为抛物线在第二象限内一点,点P到直线的距离为d,则d与n的函数表达式为_;(3)过(其中)且垂直y轴的直线l与抛物线交于M,N两点若对于满足条件的任意t值,线段的长都不小于2,结合函数图像,求a的取值范围【答案】(1)(2)(3)或【分析】(1)根据题意知,点A、B关于对称轴对称,由此求得a,b满足的关系式;(2)过P作于H,过P作轴交于K,求出二次函数解析式,证明是等腰直角三角形,得,再求出直线解析式为,设可得,故,即可得,进而可求出d与n的函数表达式;(3)由与x轴交于两点,可得,然

38、后分当时和当时两种情况求解【详解】(1)抛物线与x轴交于两点,抛物线对称轴为直线,整理得:;(2)过P作于H,过P作轴交于K,如图:,将代入得:,解得,令得,由可得, ,轴,是等腰直角三角形,设直线解析式为,把代入得,直线解析式为为抛物线在第二象限内一点,在中,令得,点P到直线的距离为d,即,;故答案为:;(3)与x轴交于两点,解得,由(1)知抛物线对称轴为直线,当时,如图:线段的长不小于2,M到直线的距离不小于1,在中,当时,解得;当时,如图:线段的长不小于2,M到直线的距离不小于1,在中,当时,解得;综上所述,a的取值范围是或【点睛】本题考查了二次函数的综合,涉及待定系数法,二次函数图象上

39、点坐标的特征,解题的关键是分类讨论思想和数形结合思想的应用7(2023上河南驻马店九年级统考期末)如图,抛物线与x轴交于,两点与y轴交于点C,且,点P为抛物线上的一个动点,过点P作轴于点D,交直线于点E(1)求抛物线的解析式;(2)当点P在x轴下方的抛物线上,且时,求此时点P的坐标;(3)第一象限抛物线上是否在在点P,使点P到直线的距离是点D到直线的距离的5倍?若存在,请直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由【答案】(1)(2)(3)存在,【分析】(1)用待定系数法求函数的解析式即可;(2)求出直线的解析式,设,则,由,即可求P点坐标;(3)过点D作交于G,过点P作交于H,由,可得,设,则,再由,即可求【详解】(1),将于,代入,(2)设直线的解析式为