1、人教版九年级上册数学第22章二次函数综合题中考猜题练习题汇编题型一：线段周长问题1（2023上山西晋城九年级校考期末）如图1，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，顶点为D点P是直线上方抛物线上的一个动点，过点P作轴于点E，交直线于点Q(1)求抛物线的表达式；(2)求线段的最大值；(3)如图2，过点P作x轴的平行线交y轴于点M，连接是否存在点P，使得为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由2（2023上河北张家口九年级张家口东方中学校考期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点P是直线下方抛物线上的一个动点过点P作轴，交直线于点E
2、(1)求抛物线的解析式；(2)若点M是抛物线对称轴上的一个动点，则的最小值是_；(3)求的最大值；3（2023上湖北随州九年级统考期末）已知抛物线与轴交于点，（点在点的左边），与轴交于点，顶点为(1)直接写出点，的坐标；(2)如图1，若平行于轴的直线与抛物线交于点，（点在点的左边），与线段交于点设点的横坐标为，线段的长为，试求关于的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围），并求的最大值；(3)如图2，若点是在轴右侧抛物线上的一动点，过点作轴交线段于点，连接，是否存在这样的点，使是等腰三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由4（2023上重庆渝中九年级统考期末）抛物线 与轴交于点和
3、，与轴交于点，连接点是线段下方抛物线上的一个动点（不与点，重合），过点作轴的平行线交于，交轴于，设点的横坐标为(1)求该抛物线的解析式；(2)用关于的代数式表示线段，求的最大值及此时点的坐标；(3)过点作于点，求点的坐标；连接，在轴上是否存在点，使得为直角三角形，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由5（2023上山东滨州九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴的两个交点为和，与轴的交点为，顶点为点(1)求、的值；(2)若点为该抛物线对称轴上的一个动点，当时，求点的坐标；(3)若点使得是以为斜边的直角三角形，其中，求此时的值6（2023上江苏南京九年级统考期末）抛物线与x轴交于
4、两点，与y轴交于点C(1)求a，b满足的关系式；(2)当时，为抛物线在第二象限内一点，点P到直线的距离为d，则d与n的函数表达式为_；(3)过（其中）且垂直y轴的直线l与抛物线交于M，N两点若对于满足条件的任意t值，线段的长都不小于2，结合函数图像，求a的取值范围7（2023上河南驻马店九年级统考期末）如图，抛物线与x轴交于，两点与y轴交于点C，且，点P为抛物线上的一个动点，过点P作轴于点D，交直线于点E(1)求抛物线的解析式；(2)当点P在x轴下方的抛物线上，且时，求此时点P的坐标；(3)第一象限抛物线上是否在在点P，使点P到直线的距离是点D到直线的距离的5倍？若存在，请直接写出点P的坐标；
5、若不存在，请说明理由8（2023上山西吕梁九年级校考期末）综合与探究如图，抛物线与x轴交于，两点，顶点为P，连接，于点B，Q是（不与点O，B重合）上的一个动点，连接，将沿着对折后，点O落在点C处，交x轴于点D(1)求抛物线的表达式(2)当的面积的面积时，求点Q的坐标(3)在线段上是否存在这样的点Q，使得的值最小，若存在，请直接写出的最小值；若不存在，请说明理由9（2023上辽宁盘锦九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线P：的图象与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，且图象与抛物线Q：的图象关于原点中心对称(1)求抛物线P的表达式；(2)连接BC，点D为线段BC上的一个动点，过点D作轴，
6、交抛物线P的图象于点E，求线段DE长度的最大值；(3)如图，在抛物线P的对称轴上是否存在点M，使是等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由10（2023上四川广安九年级统考期末）如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，并与直线交于B，C两点，其中C是直线与y轴的交点，连接(1)求B，C两点的坐标以及抛物线的解析式；(2)求证：为直角三角形；(3)在抛物线的对称轴上有一点P，当的周长最小时，求出点P的坐标题型二：面积问题1（2023上河南九年级校联考期末）如图，已知抛物线与直线交于，两点(1)求的值及抛物线的解析式；(2)若点P是位于直线上方的抛物线上的一个动点，求面
7、积的最大值及此时点P的坐标2（2023上安徽安庆九年级统考期末）如图，已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，连接交抛物线的对称轴于点，是抛物线的顶点(1)求此抛物线的解析式；(2)直接写出点和点的坐标；(3)若点在第一象限内的抛物线上，且，求点坐标3（2023上云南临沧九年级统考期末）如图，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C(1)求抛物线的解析式；(2)若点D是抛物线上的一点，当的面积为10时，求点D的坐标；(3)点P是抛物线对称轴上的一点，在抛物线上是否存在一点Q，使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由4（2023上江苏淮安九年级统考
8、期末）如图，在直角坐标系中，二次函数的图像与x轴相交于O、A两点，其中点O为坐标原点(1)求出这个二次函数的表达式；(2)在第一象限内的抛物线上有一点B，使的面积等于6，求点B的坐标5（2023上广西梧州九年级统考期末）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点C(1)求抛物线的函数表达式；(2)在抛物线上是否存在一点（不与点重合），使的面积与的面积相等，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由6（2023上广东东莞九年级统考期末）抛物线与轴交于点，两点，与轴交于点，点是抛物线上的一个动点(1)求抛物线的函数表达式；(2)如图1，点在线段上方的抛物线上运动（不与，重合），过点作，垂足为，交于点，
9、作，垂足为，若点的横坐标为，请用的式子表示，并求的面积的最大值；(3)如图2，点是抛物线的对称轴上的一个动点，在抛物线上是否存在点，使得以点，为顶点的四边形是平行四边形?若存在，直接写出所有符合条件的点的坐标，若不存在，说明理由7（2023上江苏宿迁九年级统考期末）如图，二次函数的图像与x轴交于、两点，与y轴交于点B点P是直线上方抛物线上的一个动点，连接(1)求这个二次函数的表达式；(2)设的面积为S，点P的横坐标为m，求S与m之间的函数表达式；(3)点P在运动过程中，能否使的面积S恰好为整数？若能，请求出m的值；若不能，请说明理由8（2023上辽宁葫芦岛九年级统考期末）如图，抛物线与轴交于，
10、与轴交于点，点在抛物线上(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，连接，若点为直线上方抛物线上的点，过点作轴交于点，作轴交于点，若的面积为2，求点坐标；(3)如图2，点为抛物线的顶点，当时，在抛物线上是否存在点使是等腰三角形？若能，请直接写出点的坐标；若不能，请说明理由9（2023上湖南益阳九年级统考期末）如图，抛物线与轴交于，两点，是抛物线的顶点(1)求抛物线的表达式(2)作轴于点，为抛物线上位于点，之间的一点，连接，若恰好平分的面积，求点的坐标(3)在（2）的条件下，平面内是否存在点，使得以，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由10（2023上湖南永州九
11、年级校考期末）如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，连接，点为线段上一个动点（不与点，重合），过点作轴交抛物线于点(1)求抛物线的表达式和对称轴；(2)当抛物线上的点在上方运动时，求面积的最大值(3)已知点是抛物线对称轴上的一个点，点是平面直角坐标系内一点，当线段取得最大值时，是否存在这样的点，使得四边形是菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由题型三：角度问题1（2023上辽宁大连九年级统考期末）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点B的坐标为，将直线沿y轴向上平移3个单位长度后恰好经过B、C两点(1)求直线及抛物线的解析式；(2)
12、设抛物线的顶点为D，点P在抛物线的对称轴上，且，求点P的坐标2（2023上安徽滁州九年级校联考期末）如图，抛物线交轴正半轴于点，交轴分别于点点，连接(1)求抛物线的解析式；(2)点为抛物线上第一象限内的一点，过点作轴的垂线，交于点，设点的横坐标为求为何值时，四边形是平行四边形；连接，当时，求点的坐标；3（2023上江苏镇江九年级镇江市外国语学校校考期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与轴交于，两点（点在点的左侧），顶点为，经过点的直线与轴交于点，与抛物线的另一个交点为(1)直接写出点的坐标、点的坐标(2)如图（1），若顶点的坐标为，连接、，请求出二次函数及一次函数的解析式，并求出四边
13、形的面积；(3)如图（2），连接，当为何值时直线与轴的夹角为？(4)如图（3），点是直线上方的抛物线上的一点，若的面积的最大值为时，请直接写出此时点的坐标4（2023上山东济南九年级统考期末）如图，抛物线经过，两点，与x轴交于另一点A，点D是抛物线的顶点(1)求抛物线的解析式及点D的坐标；(2)如图1，点E在抛物线上，连接并延长交x轴于点F，连接，若是以为底的等腰三角形，求点E坐标(3)如图2，连接、，在抛物线上是否存在点M，使，若存在，求出M点的坐标；若不存在，请说明理由5（2023上山西运城九年级统考期末）综合与探究：如图，二次函数的图象与轴交于两点（点在点的左则），与y轴交于点，点是抛物
14、线的顾点抛物线的对称轴交轴于点，点是第一象限内且在对称轴右侧二次函数图象上的一个动点，设点的横坐标为，点的坐标为，连接分别与轴，对称轴交于点(1)求三点的坐标并直按写出顶点的坐标；(2)当时求点的坐标；(3)试探究：在点运动过程中，是否存在点，使得，若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由6（2023上江苏泰州九年级校考期末）抛物线经过点和点(1)求a与b的关系式(2)若抛物线的对称轴是轴点C，D均在抛物线上，C点与A点关于轴对称，且点D在第一象限，满足，求点D的坐标；直线与抛物线交于M，N两点（点M在点N的左侧），点P是直线MN下方的抛物线上的一点，点Q在y轴上，且四边形是平行四边形，求
15、点Q的坐标7（2023上云南昆明九年级统考期末）如图，已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C且有(1)求抛物线解析式；(2)点P在抛物线的对称轴上，使得是以为底的等腰三角形，求出点P的坐标；(3)在（2）的条件下，若点Q在抛物线的对称轴上，并且有，直接写出点Q的坐标8（2023上黑龙江哈尔滨九年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线与轴交于、两点，交轴于点，点在抛物线上，且点的坐标为，连接，的面积为24(1)求抛物线的解析式；(2)为第一象限抛物线上一点，连接、，设点的横坐标为，的面积为，求与之间的函数关系式，并直接写出的取值范围；(3)在（2）的条件下，作轴于点，点在
16、线段上，连接，线段和交于点，求点的坐标9（2023上浙江湖州九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线经过A，C两点，与x轴的另一交点为点B，点P为抛物线上的一个动点(1)求抛物线的函数表达式；(2)当的面积与的面积相等时，求点P的坐标；(3)是否存在点P，使得，若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由10（2023上山东威海九年级统考期末）如图，二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，顶点的坐标为分别连接(1)求二次函数的表达式；(2)求证：题型四：特殊三角形问题1（2023上辽宁大连九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象
17、经过点，点(1)求抛物线的解析式；(2)当时，求二次函数的最大值和最小值；(3)若点C是抛物线对称轴与x轴交点，P是y轴上一点，点Q是该抛物线上一点，当是等腰直角三角形且时，求点Q的坐标2（2023上陕西安康九年级统考期末）如图，已知抛物线的顶点坐标为，与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点，点P在所在直线下方的抛物线上，过点P作轴，交于点D备用图(1)求该抛物线的函数解析式；(2)连接，问是否存在点P，使得是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由3（2023上山西阳泉九年级统考期末）综合与探究：在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，过动点作平
18、行于轴的直线，直线与抛物线相交于点，(1)求抛物线的表达式；(2)求的取值范围；(3)直线上是否存在一点，使得是以为直角边的等腰直角三角形？若存在，求的值；若不存在，请说明理由4（2023上山西阳泉九年级统考期末）综合与实践如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点B的坐标是，点C的坐标是，抛物线的对称轴交x轴于点D连接(1)求抛物线的解析式：(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使是以为腰的等腰三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；(3)点E在x轴上运动，点F在抛物线上运动，当以点B，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点E的坐标5
19、（2023上山西长治九年级统考期末）综合与实践如图，抛物线与轴交于和两点（点在点的右侧），与轴交于点，抛物线的顶点是点(1)求点，和点四点的坐标；(2)如图1，连接，和，求的面积；(3)点在抛物线的对称轴上运动，是以为直角边的直角三角形，借助图2，直接写出点的坐标6（2023上山东泰安九年级东平县实验中学校考期末）如图，抛物线经过点，与轴正半轴交于点，且，对称轴交轴于点直线经过，两点(1)求抛物线及直线的函数表达式；(2)点是直线上方抛物线上一点，是否存在点F使的面积最大，若有则求出点F坐标及最大面积；(3)连接，若点是抛物线上对称轴右侧一点，点是直线上一点，试探究是否存在以点E为直角顶点的，
20、且满足若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由7（2023上安徽滁州九年级校联考期末）抛物线与x轴交于A，B两点，A点在B点左边，与y轴交于C点，顶点为M(1)当时，求点A，B，M的坐标；(2)如图1，在（1）的条件下，若P为抛物线对称轴上一个动点，且为等腰三角形，求P点坐标；(3)如图2，若一次函数的图象过A点且与抛物线交于另一点F，交对称轴于E，轴，若，求的值8（2023上山东东营九年级校考期末）如图，抛物线交x轴于A、B两点，交y轴于点C，点A的坐标为，点C坐标为，对称轴为点M为线段上的一个动点（不与两端点重合），过点M作轴，交抛物线于点P，交于点Q(1)求抛物线及直线的表达式；(2)
21、过点P作，垂足为点N求线段的最大值；(3)试探究点M在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由题型五：特殊四边形问题1（2022上辽宁葫芦岛九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点(1)求抛物线的函数解析式(2)如图1，点为直线下方抛物线上一动点，过点作轴的平行线交于点，过点作轴的平行线交轴于点，过点作轴的平行线交轴于点，得到矩形，求矩形的周长最大值及此时点的坐标；(3)点是直线上一动点，点是在平面内一点，当以点，为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点的坐标（参考数据：）2（2023
22、上辽宁葫芦岛九年级统考期末）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，过点作轴的平行线交抛物线于点，点在直线上运动(1)求抛物线的解析式；(2)当点在线段上，点关于直线的对称点恰好落在轴上时，求点坐标；(3)点在抛物线上，点在坐标平面内，在点移动的过程中，当以点，为顶点的四边形是正方形时，请直接写出点的坐标3（2023上山东东营九年级东营市胜利第一初级中学校考期末）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴于，两点，经过，两点的抛物线与轴的正半轴相交于点(1)求抛物线的解析式；(2)若为线段上一点，求的长；(3)在（2）的条件下，设是轴上一点，试问：抛物线上是否存在点，使得以，为顶点的四边形为平
23、行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由4（2023上重庆开州九年级统考期末）如图1，抛物线与轴交于，与轴交于点(1)求抛物线的解析式；(2)如图2，点、为直线下方抛物线上的两点，点的横坐标比点的横坐标大1，过点作轴交于点，过点作轴交于点，求的最大值及此时点的坐标；(3)如图3，将抛物线先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到新的抛物线，在的对称轴上有一点，坐标平面内有一点，使得以点、为顶点的四边形是矩形，请直接写出所有满足条件的点的坐标5（2023上湖南湘西九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数与x轴交于A、B两点（A点在B点的左侧），直线与抛物线交于A、C
24、两点(1)求点C的坐标；(2)点P为直线下方抛物线上一点，过点P作y轴平行线交于E点，当最长时求此时点P的坐标；(3)抛物线顶点为M，在平面内是否存在点N，使以为顶点的四边形为平行四边形？若存在请求出N点坐标并在备用图中画出图形；若不存在，请说明理由题型六：相似三角形问题 1（2023上山东威海九年级统考期末）如图，直线与x轴，y轴分别交于点，经过B，C两点的抛物线与x轴的另一个交点为A，顶点为P(1)求该抛物线的解析式及点P的坐标；(2)当时，在抛物线上存在点E，使的面积有最大值，求点E的坐标；(3)连接，点N在x轴上，是否存在以B，P，N为顶点的三角形与相似？若存在，求出点N的坐标；若不存
25、在，说明理由2（2023上广西百色九年级统考期末）如图，二次函数的图像与x轴交于点，与y轴相交于点C(1)求这个二次函数的解析式；(2)若点M在此抛物线上，且在y轴的右侧与y轴相切，过点M作轴，垂足为点D以C，D，M为顶点的三角形与相似，求点M的坐标3（2023上湖北十堰九年级统考期末）如图，二次函数的图象与x轴交于点，B两点，与y轴交于点C，并且，D是抛物线的一个动点，轴于点F，交直线于点E(1)求出二次函数解析式及所在直线的表达式；(2)在点D运动的过程中，试求使以O，C，D，E为顶点的四边形为平行四边形的点D的坐标；(3)连接，在点D运动的过程中，抛物线上是否存在点D，使得以点D，C，E
26、为顶点的三角形与相似？如果存在，求出点D的坐标，如果不存在，请说明理由4（2023上广东河源九年级校考期末）如图，抛物线经过点和点，与y轴交于点C，顶点为D，连接、，与抛物线的对称轴l交于点E.(1)求该抛物线的函数表达式；(2)点P是第一象限抛物线上的动点，连接，当四边形面积取最大值时，求点P的坐标；(3)点N是对称轴l右侧抛物线上的动点，在射线ED上是否存在点M，使得以M，N，E为顶点的三角形与相似？若存在，直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由.5（2023上河北保定九年级校考期末）如图，抛物线与x轴交于O，A两点，是抛物线的顶点，轴于点D(1)求抛物线的解析式(2)P为抛物线上位于点
27、A，C之间的一点，连接，若恰好平分的面积，求点P的坐标(3)Q为抛物线上位于点A，C之间的一点，连接OQ，作轴于点E，是否存在点Q使得与相似若存在，请直接写出点Q的横坐标的值；若不存在，请说明理由6（2023上河南省直辖县级单位九年级校联考期末）已知抛物线与x轴分别交于点，对称轴与x轴交于点C，顶点为D(1)求抛物线的解析式；(2)若点P为右侧抛物线上的一个动点（点P与顶点D不重合），于点Q，当与相似时，求点P的坐标第 45 页 共 179 页答案与解析题型一：线段周长问题1（2023上山西晋城九年级校考期末）如图1，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，顶点为D点P是直线上方抛物线上的一个
28、动点，过点P作轴于点E，交直线于点Q(1)求抛物线的表达式；(2)求线段的最大值；(3)如图2，过点P作x轴的平行线交y轴于点M，连接是否存在点P，使得为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由【答案】(1)(2)3(3)存在一点P，当点P的横坐标为时，为等腰三角形【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）先求出点C的坐标，进而求出直线的解析式，设，则，则，由此即可求出答案；（3）先证明，则当为等腰三角形，只存在这一种情况，设，则，则，解方程即可【详解】（1）解：把，代入中得：，抛物线解析式为；（2）解：设直线的解析式为，在中，当时，把，代入中得，直线的解析式为，设，
29、则，当时，有最大值，最大值为；（3）解：轴，轴，当为等腰三角形，只存在这一种情况，设，则，同理可得，又，解得或，存在一点P，当点P的横坐标为时，为等腰三角形【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，待定系数法求函数解析式，等腰三角形的定义等等，熟知二次函数的相关知识是解题的关键2（2023上河北张家口九年级张家口东方中学校考期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点P是直线下方抛物线上的一个动点过点P作轴，交直线于点E(1)求抛物线的解析式；(2)若点M是抛物线对称轴上的一个动点，则的最小值是_；(3)求的最大值；【答案】(1)(2)(3)【分
30、析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式即可；（2）先求出点C的坐标为，根据、B关于抛物线的对称轴对称，点M在抛物线的对称轴上，得出，根据，两点之间线段最短，当点A、M、C在同一直线上时，最小，即最小，求出最小值即可；（3）求出直线的解析式为，设，其中，则，求出，得出当时，取得最大值【详解】（1）解：，将点A，的坐标代入，得，解得：，（2）解：把代入得：，点C的坐标为，、B关于抛物线的对称轴对称，点M在抛物线的对称轴上，两点之间线段最短，当点A、M、C在同一直线上时，最小，即最小，的最小值为的长，的最小值为故答案为：（3）解：设直线的解析式为，将点A，的坐标代入，得：，解得：，直线的解析式为
31、，设，其中，则，当时，取得最大值，即的最大值为【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数解析式，求一次函数解析式，轴对称的性质，解题的关键是数形结合，熟练掌握二次函数的性质3（2023上湖北随州九年级统考期末）已知抛物线与轴交于点，（点在点的左边），与轴交于点，顶点为(1)直接写出点，的坐标；(2)如图1，若平行于轴的直线与抛物线交于点，（点在点的左边），与线段交于点设点的横坐标为，线段的长为，试求关于的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围），并求的最大值；(3)如图2，若点是在轴右侧抛物线上的一动点，过点作轴交线段于点，连接，是否存在这样的点，使是等腰三角形？若存在，直接写出点的
32、坐标；若不存在，请说明理由【答案】(1)，(2)，(3)存在，【分析】（1）将解析式化为顶点式即可求得点顶点坐标，分别令，得出点的坐标；（2）得出的解析式，根据题意得出m关于t的函数关系式为，根据二次函数的性质即可求解；（3）根据题意分三种情况，根据等腰三角形的性质分别求解即可【详解】（1）解：，顶点，令，则，令，则，解得：，；（2）设直线的解析为，则，将点代入得，轴，设，m关于t的函数关系式为，的最大值为（3）解：存在点P，使是等腰三角形，是等腰直角三角形，设直线的解析式为，将点代入得，轴，设，则当时，是等腰直角三角形，设交轴于点，则解得：（舍去）或（舍去）或；当时，则重合， ，解得：，（舍
33、去）；当时，解得：或（舍去）当时，综上所述，存在点P，使是等腰三角形，满足条件的点P的坐标为，【点睛】本题考查了二次函数综合问题，求抛物线与坐标轴交点问题，线段最值问题，特殊三角形问题，掌握二次函数的性质是解题的关键4（2023上重庆渝中九年级统考期末）抛物线 与轴交于点和，与轴交于点，连接点是线段下方抛物线上的一个动点（不与点，重合），过点作轴的平行线交于，交轴于，设点的横坐标为(1)求该抛物线的解析式；(2)用关于的代数式表示线段，求的最大值及此时点的坐标；(3)过点作于点，求点的坐标；连接，在轴上是否存在点，使得为直角三角形，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由【答案】(1)(2)
34、，(3)；存在，或【分析】（1）将点和代入解析式，列方程组求解即可得到答案；（2）令求出点C坐标，从而求出直线解析式，用t表示点P点坐标，从而得到关于t的函数，求出最值即可得到答案；（3）根据题意用t表示点H的坐标根据面积列方程求解即可得到答案；设出点坐标，分，两类讨论，根据勾股定理逆定理即可得到答案【详解】（1）将点和代入解析式，得，解得，该抛物线的解析式为；（2）由题意可得P点坐标为，令得，点C坐标为，设直线的解析式为，将B、C坐标代入，得，解得，直线的解析式为，轴，点M的坐标为，当时，的值最大， ，此时点的坐标为：；（3）由题意可得，如图1，轴，点C、H纵坐标相同，点N、H、P的横坐标相
35、同，点H的坐标为，点N的坐标为，即，解得，（不符合题意舍去）点P的坐标为；当时，如图2所示，点Q、P的纵坐标相同，此时Q点坐标为，即；当时，如图3所示，设，根据勾股定理得，解得 ，综上所述，点的坐标为或【点睛】本题考查了二次函数的几何综合，根据二次函数性质求最值问题，动点围成直角三角形问题，解题的关键是根据题意设出点的坐标，利用性质列式求解5（2023上山东滨州九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴的两个交点为和，与轴的交点为，顶点为点(1)求、的值；(2)若点为该抛物线对称轴上的一个动点，当时，求点的坐标；(3)若点使得是以为斜边的直角三角形，其中，求此时的值【答案】(1)(2
36、)(3)或【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；（2）根据题意，设，根据勾股定理得出，进而解方程即可求解；（3）设点为的中点，则，如图所示，以为圆心为半径作圆，交轴于点，根据勾股定理即可求解【详解】（1）解：将和代入得，解得：抛物线解析式为，（2）由，令，解得：，顶点坐标为，对称轴为直线，点为该抛物线对称轴上的一个动点，设，解得：点的坐标为；（3）解：，点，其中，使得是以为斜边的直角三角形，设点为的中点，则，如图所示，以为圆心为半径作圆，交轴于点，即，解得：或【点睛】本题考查了二次函数综合，待定系数法求解析式，线段问题，特殊三角形问题，直径所对的圆周角是直角，掌握以上知识是解题的关键6（2
37、023上江苏南京九年级统考期末）抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C(1)求a，b满足的关系式；(2)当时，为抛物线在第二象限内一点，点P到直线的距离为d，则d与n的函数表达式为_；(3)过（其中）且垂直y轴的直线l与抛物线交于M，N两点若对于满足条件的任意t值，线段的长都不小于2，结合函数图像，求a的取值范围【答案】(1)(2)(3)或【分析】（1）根据题意知，点A、B关于对称轴对称，由此求得a，b满足的关系式；（2）过P作于H，过P作轴交于K，求出二次函数解析式，证明是等腰直角三角形，得，再求出直线解析式为，设可得，故，即可得，进而可求出d与n的函数表达式；（3）由与x轴交于两点，可得，然
38、后分当时和当时两种情况求解【详解】（1）抛物线与x轴交于两点，抛物线对称轴为直线，整理得：；（2）过P作于H，过P作轴交于K，如图：，将代入得：，解得，令得，由可得， ，轴，是等腰直角三角形，设直线解析式为，把代入得，直线解析式为为抛物线在第二象限内一点，在中，令得，点P到直线的距离为d，即，；故答案为：；（3）与x轴交于两点，解得，由（1）知抛物线对称轴为直线，当时，如图：线段的长不小于2，M到直线的距离不小于1，在中，当时，解得；当时，如图：线段的长不小于2，M到直线的距离不小于1，在中，当时，解得；综上所述，a的取值范围是或【点睛】本题考查了二次函数的综合，涉及待定系数法，二次函数图象上
39、点坐标的特征，解题的关键是分类讨论思想和数形结合思想的应用7（2023上河南驻马店九年级统考期末）如图，抛物线与x轴交于，两点与y轴交于点C，且，点P为抛物线上的一个动点，过点P作轴于点D，交直线于点E(1)求抛物线的解析式；(2)当点P在x轴下方的抛物线上，且时，求此时点P的坐标；(3)第一象限抛物线上是否在在点P，使点P到直线的距离是点D到直线的距离的5倍？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由【答案】(1)(2)(3)存在，【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；（2）求出直线的解析式，设，则，由，即可求P点坐标；（3）过点D作交于G，过点P作交于H，由，可得，设，则，再由，即可求【详解】（1），将于，代入，（2）设直线的解析式为