1、20242025学年度上学期2022级9月月考数学试卷命题人：郑华 审题人：裴艳考试时间：2024年9月25日一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.C集合，若，则集合可以为（ ）A.B.C.D.C 【详解】若复数，则（）A0B. C. 1D. 2B已知，若与的夹角为，则在上的投影向量为（）ABCDD 【详解】由题意知，所以，两边取以10为底的对数，得，所以纯电动汽车是以车载电源为动力，用电机驱动车轮行驶，符合道路交通、安全法规各项要求的车辆，它使用存储在电池中的电来发动因其对环境影响较小，逐
2、渐成为当今世界的乘用车的发展方向研究发现电池的容量随放电电流的大小而改变，1898年Peukert提出铅酸电池的容量、放电时间和放电电流之间关系的经验公式：，其中为与蓄电池结构有关的常数（称为Peukert常数），在电池容量不变的条件下，当放电电流为时，放电时间为；当放电电流为时，放电时间为，则该蓄电池的Peukert常数约为（参考数据：，）（）A1.12 B1.13 C1.14 D1.15C【详解】因为所以则所以则，因为，所以，又则，所以故因为所以则.解法二：，故选C已知，且，则（ ） A B C DB 【详解】恒成立，设，则当时，时，即，已知函数恒成立，则实数的最小值为（ ）ABCDA 【
3、详解】设，的定义域为， 当时，此时的图象与的图象没有交点， 当时，此时两图象没有交点， 当时，此时两图象有一个交点， 当时，此时两图象没有交点， 当时，此时两图象有一个交点，当时，设在上单调递减，且趋于时，趋于正无穷，存在使得，且时，在上单调递减，即，结合以上分析，画出fx,gx在上的函数图象可知，两图象在上有一个交点， 当时，由对称性可知，两图象在上有一个交点，当时，此时两图象有一个交点，当时，注意到，画出fx,gx在上的函数图象可知，两图象在上有一个交点，当时，此时两图象没有交点；综上所述，函数与函数的图象交点个数为6.函数与函数的图象交点个数为（ ）A6B7C8D9A 【详解】由题知是的
4、正整数解，故，取指数得，同除得，故，即，根据是递增数列可以得到也是递增数列，于是原不等式转化为.而可以得到满足要求的的最大值为5，故A正确.斐波拉契数列因数学家斐波拉契以兔子繁殖为例而引入，又称“兔子数列”. 这一数列如下定义：设为斐波拉契数列，其通项公式为，设是的正整数解，则的最大值为（）A5B6C7D8二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.BD 【详解】对于A选项，去掉后的平均数为，方差为，故A选项错误；对于B选项，由于随机变量服从正态分布，则，关于1对
5、称，则故B选项正确；对于C选项，因为，所以，又因为回归方程为，所以，所以，故C选项错误；对于D选项，对于独立性检验，随机变量的值越大，则两变量有关系的程度的错误率更低，故越大，判定“两变量有关系”的错误率更低，D选项正确故选:ABD.给出下列命题，其中正确命题为（）A已知数据，满足：，若去掉后组成一组新数据，则新数据的方差为168B随机变量服从正态分布，若，则C一组数据的线性回归方程为，若，则D对于独立性检验，随机变量的值越大，则推断“两变量有关系”犯错误的概率越小ACD 【详解】对A，如图，令中点为,中点为,连接，又正方体中，为棱的中点，可得,，平面,平面,又，且平面，平面平面,又平面，且平
6、面，平面，又为正方形内一个动点（包括边界），平面平面，而平面平面，即的轨迹为线段.由棱长为2的正方体得线段的长度为，故选项A正确；对B，当为线段中点时，由可得,又中点为,中点为,，而，,故选项B不正确；对C，由正方体侧棱底面，三棱锥体积为，所以面积最小时，体积最小，如图，易得在处时最小，此时,所以体积最小值为，故选项C正确；对D，如图，当在处时，三棱锥的体积最大时，由已知得此时,所以在底面的射影为底面外心，,所以底面为直角三角形，所以在底面的射影为中点，设为，如图，设外接球半径为,由,可得外接球半径，外接球的表面积为，故选项D正确.故选：ABD.如图，棱长为2的正方体中，为棱的中点，为正方形内
7、一个动点（包括边界），且平面，则下列说法正确的有（）A动点轨迹的长度为B与不可能垂直C三棱锥体积的最小值为D当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为ABD 【详解】由题意可知：抛物线的焦点为，准线为，即，设，则，可得，因为，即，可知为等边三角形，即，且x轴，可知直线的倾斜角为，斜率为，故A正确；则直线，联立方程，解得或，即，则，可得，在中，且，可知为最大角，且为锐角，所以是锐角三角形，故B正确；四边形的面积为，故C错误；因为，所以，故D正确；故选：ABD.已知抛物线的焦点为，准线交轴于点，直线经过且与交于 两点，其中点A在第一象限，线段的中点在轴上的射影为点.若，则（）A的斜率为 B是锐角三角
8、形C四边形的面积是 D三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分.【详解】因为“使”为假命题，所以“，”为真命题，其等价于在上恒成立，又因为对勾函数在上单调递减，在上单调递增，而，所以，所以，即实数的取值范围为.若“使”为假命题，则实数的取值范围为_.在中，D为线段AB靠近点的三等分点，E为线段CD的中点，若，则的最大值为_.360【解析】，列举可知：（1，2，3）（1，2，6）有4个；（1，3，4），（1，3，6）有3个；（1，4，5）有1个；（2，3，4），（2，3，5） 有2个；故共有10个组合，共计有个这样的数列。将这七个数随机地排成一个数列，记第i项为，若，则这样的数列共有
9、个四、解答题：本题共5 小题，共77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.【解析】（1）设，在中，由正弦定理得，代入已知化简得，又在中有：，即，【方法一】，即，所以，所以.【方法二】，即，所以，所以.（2）在中有，由正弦定理得：，因在中，所以，当时，等号成立，周长的取值范围是.已知的内角，的对边分别为，若.（1）求的值；（2）若的面积为，求周长的取值范围.【解析】（1），当时，两式相减得：，整理得， 4分，当时，（舍）或， 6分是以1为首项，1为公差的等差数列，则； 7分（2）由（1）知，9分，10分 由，令，11分则时， 13分所以，即随着增大，减小，所以 15分已知正项数列的前项
10、和为，且（1）求数列的通项公式；（2）设，若数列满足，且数列的前n项和为，若恒成立，求的取值范围【详解】（1）取弧中点，则，以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，连接，在中，则，于是，设，则，其中，因此，即，所以.（2）由平面平面，得，又，则，而平面，则平面，即为平面的一个法向量，由平面，得，又，解得，此时，设是平面的法向量，则，取，得，设是平面的法向量，则，取，得，则平面FOD与平面夹角的余弦值为.（3），则点到直线的距离，当时，即的坐标为时，点到直线的距离取最大值为如图所示，半圆柱与四棱锥拼接而成的组合体中，是半圆弧上（不含）的动点，为圆柱的一条母线，点在半圆柱下底面所在平面内，.
11、(1)求证：；(2)若平面，求平面与平面夹角的余弦值；(3)求点到直线距离的最大值.【详解】（1）渐近线方程为，可设双曲线方程为，点在双曲线上，所以的方程为；（2）当直线中又一条直线的斜率为，另一条直线的斜率不存在是，直线与轴重合，不符合题意；所以直线的斜率均存在且不为，解法一：Ax1,y1，Bx2,y2，设的方程为，由，得，恒成立，同理因为、三点共线，所以，化简得：；解法二：设的方程为，Ax1,y1，Bx2,y2，由，得，则，所以，所以，则，所以，同理可得，因为、三点共线，所以，又，所以，因为，所以；，所以，设，则，所以，故.已知双曲线的中心为坐标原点，渐近线方程为，点在双曲线上. 互相垂直
12、的两条直线均过点，且，直线交于两点，直线交于两点，分别为弦和的中点.(1)求的方程；(2)若直线交轴于点，设.求；记，求.【详解】（1），其中 为常数.而 ，即 ，所以 ，所以.（2）联立 ，解得 ，当时，令 ，则围成的面积（3）令 ，由题意可知，满足，即，即在 上单调递增，进而在 恒成立，在 恒成立. ，若，则在上恒成立，故在上为增函数，故；若，则时，故在上为减函数，故时，与题设矛盾；故.【点睛】关键点点睛：本题第三步关键在于利用，都满足，得出函数在 上单调递增，再结合导数的符号分类讨论后可得参数的取值范围.如果函数 Fx的导数为，可记为 ，若 ，则表示曲线 y=f(x)，直线 以及轴围成的“曲边梯形”的面积. 如：，其中 为常数； ，则表 及轴围成图形面积为4.(1)若 ，求 的表达式；(2)求曲线 与直线 所围成图形的面积；(3)若 ，其中 ，对 ，若，都满足，求 的取值范围.