1、专题训练(三) 求二次函数表达式的常见类型 类型一 已知三点求表达式1已知：如图 3ZT1，二次函数 yax 2bxc 的图象经过 A，B，C 三点，求此抛物线的表达式图 3ZT12如图 3ZT2，已知抛物线 yax 2bxc 经过点 A(0，3)，B(3，0) ，C(4，3) (1)求抛物线的表达式；(2)求抛物线的顶点坐标和对称轴；(3)把抛物线向上平移，使得顶点落在 x 轴上，直接写出两条抛物线、对称轴和 y 轴围成的图形的面积 S(图中阴影部分)图 3ZT2 类型二 已知顶点或对称轴求表达式3如图 3ZT3，已知抛物线 yx 2bxc 的对称轴为直线 x1，且与 x 轴的一个交点为(3
2、 ，0)，那么它对应的函数表达式是_ 图 3ZT34在平面直角坐标系内，二次函数图象的顶点为 A(1， 4)，且过点 B(3，0)，求该二次函数的表达式5已知抛物线经过点 A(1， 0)，B(0，3)，且对称轴是直线 x2，求该抛物线的表达式6如图 3ZT4，已知抛物线的顶点为 A(1，4) ，与 y 轴交于点 B(0，3)，与 x 轴交于 C，D 两点，点 P 是 x 轴上的一个动点(1)求此抛物线的表达式；(2)当 PAPB 的值最小时，求点 P 的坐标图 3ZT4 类型三 已知抛物线与 x 轴的交点求表达式7抛物线与 x 轴交于点(1 ，0) 和(3，0) ，与 y 轴交于点(0 ，3)
3、，则此抛物线的表达式为( )Ayx 22x3 Byx 22x3Cyx 22x3 Dyx 22x38如图 3ZT5，已知抛物线过 A，B，C 三点，点 A 的坐标为( 1，0)，点 B 的坐标为(3， 0)，且 3AB4OC，则抛物线的表达式为_ 图 3ZT59已知抛物线的顶点坐标为(1，9) ，它与 x 轴有两个交点 ，两交点间的距离为 6，求抛物线的表达式 类型四 根据图形平移求表达式10一个二次函数图象的形状与抛物线 y2x 2 相同，顶点坐标为(2，1) ，则这个二次函数的表达式为_11将抛物线 y x2 平移，使顶点的坐标为(t，t 2)，并且经过点(1，1) ，求平移后抛物12线对应
4、的函数表达式12把抛物线 yx 2 先向左平移 1 个单位长度，再向下平移 4 个单位长度，得到如图3ZT 6 所示的抛物线(1)求此抛物线的表达式；(2)在抛物线上存在一点 M， 使ABM 的面积为 20，请直接写出点 M 的坐标图 3ZT613如图 3ZT7，经过点 A(0，6) 的抛物线 y x2bxc 与 x 轴相交于12B(2，0) ，C 两点(1)求此抛物线的表达式和顶点 D 的坐标；(2)将(1)中求得的抛物线先向左平移 1 个单位长度，再向上平移 m(m0)个单位长度得到新抛物线 y1，若新抛物线 y1 的顶点 P 在ABC 内，求 m 的取值范围图 3ZT7详解详析1解：把(
5、1，0)，(0 ，3) ，(4，5)代入 yax 2bxc，得 解得a b c 0，c 3，16a 4b c 5， )a 1，b 2，c 3.)所以此抛物线的表达式为 yx 22x 3.2解：(1)把(0，3)，(3，0)，(4，3) 代入 yax 2bxc，得解得c 3，9a 3b c 0，16a 4b c 3， ) a 1，b 4，c 3. )所以抛物线的表达式为 yx 24x 3.(2)因为 yx 24x 3(x 2) 21，所以抛物线的顶点坐标为(2， 1) ，对称轴是直线 x2.(3)阴影部分的面积为 2.3答案 yx 22x3解析 抛物线 yx 2bxc 的对称轴为直线 x1， 1
6、，解得 b2.b2抛物线与 x 轴的一个交点为(3，0) ，096c ，解得 c3，故抛物线对应的函数表达式为 yx 22x 3.4解：二次函数图象的顶点为 A(1，4) ，设该二次函数的表达式为 ya(x1) 24.将(3 ，0)代入表达式 ，得 a1，故该二次函数的表达式为 y(x1) 24，即 yx 22x 3.5解：抛物线的对称轴是直线 x2 且经过点 A(1，0)，由抛物线的对称性可知，抛物线还经过点(3，0) 设抛物线的表达式为 ya( x1)(x3)把(0，3)代入表达式，得 33a，a1，该抛物线的表达式为 y( x1)(x3)，即 yx 24x 3.6解：(1)抛物线的顶点坐
7、标为(1 ，4)，设此抛物线的表达式为 ya(x1) 24.抛物线过点 B(0，3) ，3a(01) 24，解得 a1，此抛物线的表达式为 y(x1) 24，即 yx 22x 3.(2)作点 B 关于 x 轴的对称点 E(0，3) ，连接 AE 交 x 轴于点 P.设直线 AE 的表达式为 ykxb，则 解得k b 4，b 3， ) k 7，b 3， )直线 AE 的表达式为 y7x3.当 y0 时，x ，37当 PAPB 的值最小时，点 P 的坐标为( ，0)377解析 B 由抛物线与 x 轴交于点( 1，0)和(3，0) ，设此抛物线的表达式为ya( x 1)(x3)又因为抛物线与 y 轴
8、交于点(0，3) ，把 x0，y3 代入 ya(x 1)(x3)，得3a(0 1)(0 3)，即3a3，解得 a1，故此抛物线的表达式为 y(x 1)(x3)x 22x3.故选 B.8答案 yx 22x39解：由抛物线的对称性可知抛物线与 x 轴的两个交点分别为(2，0) 和(4，0)，所以设其表达式为 ya( x2)(x4)将(1，9)代入表达式，得 9a(12)(14) ，解得 a1.所以抛物线的表达式为 y(x2)(x4)，即 yx 22x 8.10答案 y2x 28x7 或 y2x 28x 911解：根据题意，得平移后的抛物线的表达式为 y (xt )2t 2.12平移后的抛物线经过点
9、(1， 1)，1 (1t) 2 t2，解得 t1 或 t ，12 13平移后抛物线对应的函数表达式为 y (x1) 21 或 y (x )2 ，12 12 13 19即 y x2x 或 y x2 x .12 32 12 13 1612解：(1)此抛物线的表达式为 y(x1) 24，即 yx 22x 3.(2)当 y0 时，x 22x 3 0，解得 x13，x 21，A(1，0) ，B(3，0)，AB 4.设点 M 的坐标为(m，n) ABM 的面积为 20， AB|n|20，解得 n10.12当 n10 时，m 22m310，解得 m1 或 m1 ，14 14M(1 ，10) 或 M(1 ，1
10、0)；14 14当 n10 时，m 22m310，此方程无解故点 M 的坐标为(1 ，10) 或(1 ，10)14 1413解：(1)点 A 的坐标为(0 ，6)，y x2bx 6.12该抛物线过点 B(2，0) ， (2) 22b60，解得 b2，12此抛物线的表达式为 y x22x 6.12y x22x 6 (x2) 28，12 12抛物线的顶点 D 的坐标为 (2，8)(2)平移后所得新抛物线的表达式为 y1 (x21) 28m，12即 y1 (x1) 28m，12顶点 P 的坐标为(1，m8)对于 y x22x 6，令 y0，得 x22x60，解得 x16，x 22，12 12C(6，0)，直线 AC 的表达式为 yx6，当 x1 时，y5.点 P 在ABC 内， 解得 3m8.m 8 0，m 8 5， )