1、1已知集合|24xAx=，则AB=（）A()0,2 B(),2 C(),3 D0 2命题“()0,x+，ln85xx=+”的否定是（）A()0,x+，ln85xx+B()0,x+，ln85xx+C()0,x+，ln85xx=+D()0,x+，ln85xx=+3已知 na是无穷数列，13a=，则“对任意的*,m nN”，都有m nmnaaa+=+”是“na是等差数列”的（）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 4函数()sin2f xx=的图象向左平移4个单位长度，再把横坐标缩短为原来的一半，得到()g x的图象，则()g x=（）Acos4x Bcosx Cc
2、os4x Dsin x 5通常用声强来度量声音的强弱，假设讲话瞬间发出声音的声强为0W，则经过 t 秒后这段声音的声强变为()10W tW e=，其中是一个常数 定义声音的声强衰减到原来的310所需的时间为RT，则RT约为（）附：ln20.7，ln51.6 A148 B6.9 C13.8 D6.72 6已知数列 na的前 n 项和为nS若125nnaan+=+，11a=，则8S=（）A48 B50 C52 D54 学科网（北京）股份有限公司 7 已知函数()f x，对任意的,x yR都有()()()22xyf xyfyf x+=+，且()12f=，则下列说法不正确的是（）A()00f=B()2
3、xf x是奇函数 C()yf x=是 R 上的增函数 D()()*2nf nnn=N 8若函数()eln2xf xxxxa=+有两个零点，则实数 a 的取值范围是（）A(),1 B()1,+C)1,+D(,1 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。分。9若log1ab，则下列不等式一定成立的是（）Aab+C11abab D11abab+在区间0
4、,上有且仅有两个零点和两个极值点，则11 7,12 6 11 若 定 义 在 R 上 的 函 数()f x，()g x满 足()()110fxfx+=，()()32f xg x+=，()()12f xgx+=，则下列结论中正确的是（）学科网（北京）股份有限公司 A()f x是偶函数 B()g x是周期为 4 的周期函数 C()()()()12340ffff+=D()20130ng n=三、填空题：本题共三、填空题：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 15 分。分。12已知正实数 a，b 满足231ab+=，则 ab 的最大值为_ 13设集合2,3,4,5A=，1,2,21B
5、aa=+若*6ABxx=且0 x 时，不等式()21eln04xaxma+恒成立，则正数 m 的取值范围是_ 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 5 小题，共小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15（13 分）已知函数()32231f xxax=+（1）当1a=时，求函数()f x的单调递减区间；（2）若0 x=是函数()f x的极小值点，求实数 a 的取值范围 16（15 分）已知函数()()220252 3cos2sin2024cos32f xxxx=+（1）求曲线()yf x=的对称轴；（2）已知25146fm=，25
6、,36m，求sin2m的值 17（15 分）如图，已知斜三棱柱111ABCABC中，侧面11BBC C 侧面11AAB B，侧面11BBC C是矩形，侧面11AAB B是菱形，160BAA=，22ABBC=，点 E，F，G 分别为棱1AA，1AC，1BB的中点 （1）证明：FG平面 ABC；（2）求二面角11ABCE的余弦值 18（17 分）已知正项数列 na满足11a=，22a=，且对于任意*nN，满足2211nnna aa+=（1）求出数列 na的通项公式；学科网（北京）股份有限公司（2）设21nnba=，证明：数列 nb的前 n 项和53nT；（3）设0313211nnikkSaa=+=
7、，证明：11 18nS 小于()f n，则称数列 na是“()f n控制数列”（1）设()()20A xpxqxr p=+，证明：存在()A x，使得等差数列 na是“()A n控制数列”；（2）设lnnbn=，()211ln2 122B xxx=+，判断数列 nb是否是“()B n控制数列”，并说明理由；（3）仿照上述定义，我们还可以定义：若存在实数 T，使得数列 nc的前 n 项积()122nnTc ccn=小于 T，则称数列 nc是“T 特控数列”设1nnca=+，其中5102a，证明：数列 nc是“2211aaa+特控数列”学科网（北京）股份有限公司 辽宁省沈阳市郊联体辽宁省沈阳市郊联
8、体 2024 年年 9 月高三联考数学月高三联考数学 参考答案及解析参考答案及解析 1【答案】A【解析】由题可知(),2A=，()0,3B=，因此()0,2AB=2【答案】B【解法】根据存在量词命题的否定形式，即可求解【解析】存在量词命题的否定为全称量词命题，所以命题“()0,x+，ln85xx=+”的否定是“()0,x+，ln85xx+”故选：B 3【答案】A【解析】对任意的*,m nN，都有m nmnaaa+=+，令1m=，可以得到11nnaaa+=+，因此 na是公差为1a的等差数列：若21nan=+，则2 112aaa+，故“对任意的*,m nN，都有m nmnaaa+=+”是“na是
9、等差数列”的充分不必要条件 4【答案】A【解法】由三角函数图象的平移与伸缩变换求解即可【解析】()sin2f xx=的图象向左平移4个单位长度，得到sin2sin 2cos242yxxx=+=+=的图象，再把横坐标缩短为原来的一半，得到()cos4g xx=的图象 故选：A 5【答案】B【解法】根据已知公式及对数运算可得结果【解析】由题意，()3010RW TW=，即3e10RT=，等号两边同时取自然对数得 3lneln10RT=，即3ln10RT=，所以()3ln103ln2ln56.9RT=+故选：B 6【答案】C【解法】法一：由125nnaan+=+，当2n 时，()1215nnaan+
10、=+，两式相减可证明 na中奇数项成等差数列，偶数项成等差数列，公差均为 2，由等差数列的前 n 项和公式求解即可；法二：由题意可得，数列212nnaa+是以 7 为首项，4 为公差的等差数列，由等差数列的前 n 项和公式求解即可 学科网（北京）股份有限公司【解析】法一：125nnaan+=+，当2n 时，()1215nnaan+=+，-得当2n 时，112nnaa+=，na中奇数项成等差数列，偶数项成等差数列，公差均为 2 11a=，当 n 为奇数时，1122nnaan=+=；当 n 为偶数时，1254nnanan+=+=+()()()()81357246841 746 125222Saaa
11、aaaaa+=+=+=法二：125nnaan+=+，()23225nnaan+=+，127aa+=，数列212nnaa+是以 7 为首项，4 为公差的等差数列，81234784 34 74522Saaaaaa=+=+=故选：C 7【答案】C【解析】令0 xy=，得到()()()000fff=+，因此()00f=，所以选项 A 正确；令yx=，得到()()022xxfxf x=+，即()()22xxxf xf=，所以选项 B 正确；条件可以化为()()()222x yxyf xyf xfy+=+，记()()2xf xg x=，因此()()()g xyg xg y+=+，()g xx=符合条件，从
12、而()2xf xx=，不是 R 上的增函数，所以选项 C 不正确；令xn=，1y=，得()()()1212nf nff n+=+，即()()()1111222nnf nf nf+=+，又()1112f=，所以()2nf n是首项为 1，公差为 1 的等差数列，()()11 12nf nnn+=，所以 D 选项正确 8【答案】A【解法】进行合理换元和同构，转化为()tg tet=的图象与直线2ya=有两个交点，转化为交点问题，再利用导数研究函数的单调性、最值，最后得到参数的取值范围即可【解析】令()eln20 xf xxxxa=+=，学科网（北京）股份有限公司 即()lnelneln2xxxxx
13、xxxa+=+=令()()lnelnxxF xxx+=+，定义域为()0,+，2ya=令lntxx=+，易知()t x在()0,+上单调递增，且tR 所以()()etF xg tt=，则函数()f x有两个零点转化为函数()tg tet=的图象与直线2ya=有两个交点 则()1tg te=，当0t 时，()0g t时，()0g t，即()tg tet=在(),0上单调递减，在()0,+上单调递增，所以()()00e01g tg=，当t 时，()g t +；当t +时，()g t +，则21ya=，解得1a，分类讨论01a时的情况可判断选项 A，B；取特殊值可判断选项 C；根据1yxx=+的单调
14、性可判断选项 D【解析】因为log1ab，所以loglogaaba，当01a时，解得01ba时，解得1ab，即1abab+，选项 B 正确；当2a=，3b=时，11abaa，选项 C 错误；因为1yxx=+在()0,1上单调递减，在()1,+上单调递增，所以11abab+，所以22T=，选项 A 正确；即()()2sin 2f xx=+，由2sin2126f=，得262k=+，kZ，学科网（北京）股份有限公司 解得223k=+，kZ，又，由0 x，得22222333x+，若函数()()0fx在区间0,上有且仅有两个零点和两个极值点，则522323+，解得117126，选项 D 错误 故选：AB
15、 11【答案】ABC【解法】利用赋值法结合抽象函数的奇偶性、对称性、周期性进行计算，逐一判断即可【解析】因为()()12f xgx+=，所以()()12fxg x+=又因为()()32f xg x+=，所以()()31f xfx+=又()()110fxfx+=，则()()130fxf x+=，即()()2f xf x+=，所以()()4f xf x+=，故()f x是周期为 4 的周期函数 因为()()32f xg x+=，所以()g x也是周期为 4 的周期函数，选项 B 正确；因为()()110fxfx+=，则()()2f xfx+=，即()()f xfx=，所以()()fxf x=，所以
16、()f x为偶函数，选项 A 正确；学科网（北京）股份有限公司 因为()()2f xf x+=，令1x=，得()()31ff=，即()()130ff+=，令2x=，得()()42ff=，即()()240ff+=，故()()()()12340ffff+=，选项 C 正确；由()()23g xf x=+，得()()()()()()()()123424252627ggggffff+=+()()()()841238ffff=+=，所以()()()()()2015 123440ng ngggg=+=，选项 D 错误 故选：ABC 12【答案】124（5 分）【解法】利用基本不等式可求得 ab 的最大值【
17、解析】因为正实数 a，b 满足231ab+=，则2112312366224ababab+=，当且仅当23,231abab=+=时，即1,416ab=时，等号成立，故 ab 的最大值为124 故答案为：124 13【答案】2（5 分）【解法】先根据题目条件以及集合中元素的互异性证明2a=，再验证2a=满足条件即可【解析】因为*|61,2,3,4,5ABxx=N，BAB，所以1,2,211,2,3,4,5aa+，所以2a+是整数，且1215a+，再由集合中元素的互异性知211a+，21a+，221aa+所以 a 是整数，且02a，0a，1a，得2a=当2a=时，2,34,5A=，1,4,5B=，故
18、*1,2,3,4,56xABx=，学科网（北京）股份有限公司 则()()()()2211eln2elneln44xxxg aaxmaxmxmaa=+=+，当且仅当21e4xaa=时取等号 故当0 x 时，()eln0 xxm+恒成立 设()()()eln0 xh xxmx=+，则()1exh xxm=+，()h x单调递增，且()0110e1hmm=，若110m，即1m 时，则()()0h xh，所以()h x在()0,+上单调递增，故只需(0)0h，即1 ln0m，解得1em；若110m，即01m+=，即01m恒成立 综上，m 的取值范围是(0,e 15【答案】（1）()0,1（5 分）（2
19、）(),0（8 分）【解析】解：（1）当1a=时，()32231f xxx=+，（1 分）()()26661fxxxx x=，（2 分）由()0fx解得01x，（4 分）所以函数()f x的单调递减区间为()0,1（5 分）（2）()()6fxx xa=，()0fx=时，0 x=或xa=（6 分）若0a，当xa时，()0fx，当0ax时，()0fx，因此0 x=时，函数()f x取极小值；（8 分）若0a=，当0 x 时，()0fx 因此0 x=不是函数()f x的极值点；（10 分）若0a，学科网（北京）股份有限公司 当0 x 时，()0fx，当0 xa时，()0fx，因此0 x=时，函数(
20、)f x取极大值（12 分）综上，a 的取值范围是(0),（13 分）16【答案】（1）()5122kxk=+Z（7 分）（2）724 350+（8 分）【解析】解：（1）()()220252 3cos2sin2024cos32f xxxx=+，()222 3sin2sin cos32sin cos3 1 2sinxxxxxx=+=，（2 分）sin23cos22sin 23xxx=（5 分）由()232xkk=+Z，得曲线()yf x=的对称轴为()5122kxk=+Z（7 分）（2）由题意可得14625fm=，即27sin 2325m=，（8 分）又25,36m，则222,33m，则2co
21、s 203m，（10 分）所以22224cos 21 sin23325mm=，（12 分）故222222sin2sin2sin 2coscos 2sin333333mmmm=+=+71243724 325225250+=+=（15 分）17【答案】（1）证明见解析（6 分）（2）17 1976（9 分）【解析】（1）证明：因为点 E，F，G 分别为棱1AA，1AC，1BB的中点，连接 EF，EG，则EFAC，EGAB，（1 分）又因为EF 平面 ABC，AC 平面 ABC，所以 EF平面 ABC，同理可得 EG平面 ABC，（3 分）学科网（北京）股份有限公司 因为EFEGE=，EF 平面 E
22、FG，EG 平面 EFG，所以平面 EFG平面 ABC，（5 分）因为FG 平面 EFG，所以 FG平面 ABC（6 分）（2）解：侧面11BBC C是矩形，所以1BCBB，又因为平面11BBC C平面11AAB B，平面11BBC C 平面111AAB BBB=，所以 BC平面11AAB B，（7 分）又BE 平面11AAB B，因此BCBE 在菱形11AAB B中，160BAA=，因此1AAB是等边三角形，又 E 是1AA的中点，所以1BEAA，从而得1BEBB（8 分）如图，以 B 为坐标原点，BE，1BB，BC 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系 因为22ABBC
23、=，所以sin603BEAB=，因此()10,2,0B，()13,1,0A，()3,0,0E，()0,0,1C，所以()10,2,1BC=，()13,2,0B E=，()113,1,0B A=，（10 分）设平面1EBC的法向量为()111,mx y z=，由1mBC，得1120yz+=，由1mB E，得11320 xy=，令11y=，得2 3,1,23m=，（11 分）设平面11ABC的法向量为()222,nxyz=，由1nBC，得2220yz+=，学科网（北京）股份有限公司 由11nB A，得2230 xy=，令21y=，得3,1,23n=，（12 分）21417 193cos,76|19
24、1633m nm nmn+=（15 分）所以二面角11ABCE的余弦值为17 1976 18【答案】（1）nan=（5 分）（2）证明见解析（4 分）（3）证明见解析（8 分）【解析】（1）解：由题意，计算得33a=，（1 分）由2211nnna aa+=，可得21321nnnaaa+=，相减可知2222131nnnnnna aaaaa+=+，整理可得21312nnnnnnaaaaaa+=，（3 分）所以21313122nnnnnnaaaaaaaaa+=为定值，定值为 1 322na+=为等差数列，故nan=（5 分）（2）证明:由（1）得nan=，所以21nbn=，（6 分）1221112n
25、nTbbbn2=+=+，故221222111112151111111113322222nnnnniiiiTiiiinii=+=+=+（9 分）（3）证明：()()()()002313211111131 321 24 531 32nnnnkkkkkSaakkkk=+=+，（11 分）因为()()()33331 32kkkk+，（13 分）所以()22111111 111 24 533322091nnnkkSkkkk=+=+学科网（北京）股份有限公司 111 11111109110112209 212201818018018n=+=+（17 分）另解：()111111 11111111111 23
26、3329129129118nnnkknSkkkknn=+=+=+=+，则()nSA n，即存在()A x，使得等差数列 na是“()A n控制数列”得证（3 分）（2）解：数列 nb是“()B n控制数列”，理由如下：（4 分）令()ln1g xxx=+，()11gxx=，01x；1x 时，()0gx，则()()()()3321ln1 ln2lnln1 ln21ln22nnnkknnWkB nk=+=+，即数列 nb是“()B n控制数列”（8 分）（3）证明：要证数列 nc是“2211aaa+特控数列”，即证()()()22211111naaaaaa+，因为5102a，所以210aa+，对(
27、)()()22211111naaaaaa+两边取对数，有()2211ln1ln1nkkaaaa=+，（9 分）即证()2211ln1ln1nkkaaaa=+，即证()()2221ln1ln1ln1nkkaaaaa=+，（11 分）学科网（北京）股份有限公司 由（2）知当5102x时，ln1xx，则当2n 时，有()()2122321ln111nnknkaaaaaaaaa=+=，（13 分）则只需证()2221ln1ln11aaaaaa+，即证221ln11aaaaa+，令()221ln11xxm xxxx=+，5102x，则()()()()322011xxm xxxx2=+，（16 分）则()()00m xm=，即221ln11aaaaa+得证，故()()()2211111naaaaaa2+，即数列 nc是“2211aaa+特控数列”得证（17 分）