1、第一章 空间向量与立体几何 1.4 空间向量的应用空间向量的应用 1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题用空间向量研究距离、夹角问题 第第2课时课时 用空间向量研究夹角用空间向量研究夹角 第第2课时课时 用空间向量研究夹角用空间向量研究夹角 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 学习任务目标 1理解直线与平面所成角的概念(直观想象)2会用向量法求异面直线所成的角、直线与平面所成的角及平面与平面的夹角(逻辑推理、数学运算)第第2课时课时 用空间向量研究夹角用空间向量研究夹角 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 问题式预习 01 第第2课时课时 用空间向量研究夹角用空间向量研究夹角 问题式预习
2、 任务型课堂 课后素养评价 知识点 空间角的向量求法 角 向量求法 与相应向量夹角的关系 范围 异面直线所成的角 设异面直线l1，l2所成的角为，其方向向量分别是u，v，则cos _ 与u与v的夹角相等或互补 0，2 直线与平面所成的角 设直线l与平面所成的角为，直线l的方向向量为u，平面的法向量为n，则sin _ ，2 0，2|cosu，v|cosu，n|第第2课时课时 用空间向量研究夹角用空间向量研究夹角 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 角 向量求法 与相应向量夹角的关系 范围 平面与平面的夹角 设平面，的法向量分别是n1和n2，平面与平面的夹角为，则cos|cosn1，n2|121
3、2 与n1与n2的夹角相等或互补 0，2 第第2课时课时 用空间向量研究夹角用空间向量研究夹角 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 C 解析：二面角的大小与法向量的夹角相等或互补，又cosmn 1222，所以m与n所成的夹角为45，所以二面角的大小为45或135.微训练 1已知m(0，1，0)，n(0，1，1)分别为两个平面的法向量，则这两个平面所成的二面角的大小为()A45 B135 C45或135 D90 第第2课时课时 用空间向量研究夹角用空间向量研究夹角 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 90 解析：因为A1B1平面BCC1B1，所以A1B1MN.因为 1+1 1 +1 0，所以
4、MPMN，即PMN90.2如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N，P分别是棱CC1，BC，A1B1上的点若B1MN90，则PMN的大小是_ 第第2课时课时 用空间向量研究夹角用空间向量研究夹角 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 3如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA12AB 2BC2，M是棱CC1上任意一点(1)求证：AMBD；证明：以A为原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，因为AA1 2AB2BC2，所以A(0，0，0)，B(1，0，0)，D(0，1，0)，M(1，1，m)，0m2，所以(1，1，m)，(1，1，
5、0)因为 (1，1，m)(1，1，0)110，所以AMBD.第第2课时课时 用空间向量研究夹角用空间向量研究夹角 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 解：M是棱CC1的中点，故C(1，1，0)，M(1，1，1)，则(1，1，1)，(0，1，0)设异面直线AM与BC所成角的大小为，则cos cos，1，1，1 0，1，0333，故异面直线AM与BC所成角的余弦值为33.(2)若M是棱CC1的中点，求异面直线AM与BC所成角的 余弦值 第第2课时课时 用空间向量研究夹角用空间向量研究夹角 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 任务型课堂 02 任务一 求直线与直线、直线与平面所成的角 任务二 求
6、平面与平面的夹角 任务三 空间向量的综合应用 第第2课时课时 用空间向量研究夹角用空间向量研究夹角 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 任务一 求直线与直线、直线与平面所成的角 1如图，三棱锥V-ABC的顶点C在空间直角坐标系的原点处，顶点A，B，V分别在x轴、y轴、z轴上，D是线段AB的中点，且ACBC2，VDC.当3时，求异面直线AC与VD所成角的余弦值 解：由于ACBC2，D是线段AB的中点，所以C(0，0，0)，A(2，0，0)，B(0，2，0)，D(1，1，0)在RtVCD中，CD 2，当3时，VC 6，所以V 0，0，6.所以(2，0，0)，1，1，6.所以cos，222 2 2
7、4.所以异面直线AC与VD所成角的余弦值为24.第第2课时课时 用空间向量研究夹角用空间向量研究夹角 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 解：设PA1，以A为原点，AB，AC，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系(如图)，则P(0，0，1)，C(0，1，0)，B(2，0，0)又AB4AN，M，S分别为PB，BC的中点，所以N12，0，0，1，0，12，1，12，0.2如图，在三棱锥P-ABC中，PA平面ABC，ABAC，PAAC12AB，N为AB上一点，AB4AN，M，S分别为PB，BC的中点(1)证明：CMSN；第第2课时课时 用空间向量研究夹角用空间向量研究夹角 问题式
8、预习 任务型课堂 课后素养评价 证明：1，1，12，12，12，0，所以 1，1，12 12，12，0 0.因此CMSN.第第2课时课时 用空间向量研究夹角用空间向量研究夹角 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 解：12，1，0.设a(x，y，z)为平面CMN的法向量，所以 0，a0，则 +120，12+0，所以 2，2.取y1，得a(2，1，2)为平面CMN的一个法向量(2)求SN与平面CMN所成角的大小 第第2课时课时 用空间向量研究夹角用空间向量研究夹角 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 因为cosa，112322 22，所以a，34.所以SN与平面CMN所成的角为3424.第第2
9、课时课时 用空间向量研究夹角用空间向量研究夹角 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 【类题通法】1用几何法求异面直线所成的角时，需要通过作平行线将异面直线所成的角转化为平面内直线的夹角，再通过解三角形来求解，过程相当复杂；用向量法求异面直线所成的角，可以避免复杂的几何作图和论证过程，只需对相应向量进行运算即可 2由于两异面直线所成的角的范围是 0，2，而两异面直线的方向向量的夹角的范围是0，故应有cos|cos|，求解时要特别注意 第第2课时课时 用空间向量研究夹角用空间向量研究夹角 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 任务二 求平面与平面的夹角 1如图，在四面体PABC中，PA平面ABC
10、，ACBC，PAAC1，BC 2，则平面APB与平面PBC的夹角 的余弦值为_ 33 解析：如图，建立空间直角坐标系Axyz，则A(0，0，0)，B2，1，0，C(0，1，0)，P(0，0，1)，所以(0，0，1)，2，1，0，2，0，0，(0，1，1)设平面PAB的法向量为m(x，y，z)，则 0，0，第第2课时课时 用空间向量研究夹角用空间向量研究夹角 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 即，0，0，1 0，2，1，0 0，解得 2，0.令x1，得m 1，2，0 为平面PAB的一个法向量 设平面PBC的法向量为n(x，y，z)，则 0，0，即，2，0，0 0，0，1，1 0，解得 0，.
11、第第2课时课时 用空间向量研究夹角用空间向量研究夹角 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 令y1，得n(0，1，1)为平面PBC的一个法向量，所以cosm，n 33.设平面APB与平面PBC的夹角为，则cos|cosm，n|33，即平面APB与平面PBC的夹角的余弦值为33.第第2课时课时 用空间向量研究夹角用空间向量研究夹角 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 解：因为APBE，ABBE，AB，AP平面ABP，ABAPA，所以BE平面ABP.又BP平面ABP，所以BEBP.又EBC120，所以CBP30.2如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD以边AB所在直线为旋转轴旋转120得
12、到的，G是 的中点(1)设P是 上的一点，且APBE，求CBP的大小；第第2课时课时 用空间向量研究夹角用空间向量研究夹角 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 解：以B为原点，分别以BE，BP，BA所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系 由题意得A(0，0，3)，E(2，0，0)，G 1，3，3，C 1，3，0，故 (2，0，3)，1，3，0，(2，0，3)(2)在(1)的条件下，当AB3，AD2时，求平面AEG与平面ACG的夹角的大小 第第2课时课时 用空间向量研究夹角用空间向量研究夹角 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 设m(x1，y1，z1)是平面AEG的法向量
13、，由 0，0，可得 21 310，1+310.取z12，可得m 3，3，2 为平面AEG的一个法向量 设n(x2，y2，z2)是平面ACG的法向量，由 0，0，可得 2+320，22+320.第第2课时课时 用空间向量研究夹角用空间向量研究夹角 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 取z22，可得n 3，3，2 为平面ACG的一个法向量 所以cosm，n 12.设平面AEG与平面ACG的夹角为，则cos|cosm，n|12，所以平面AEG与平面ACG的夹角的大小为60.第第2课时课时 用空间向量研究夹角用空间向量研究夹角 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 证明：如图，延长BO交AC于点D，
14、连接OA，PD.因为PO是三棱锥P-ABC的高，所以PO平面ABC，又AO，BO平面ABC，所以POAO，POBO.又PAPB，所以POAPOB，即OAOB，所以OABOBA.3如图，PO是三棱锥P-ABC的高，PAPB，ABAC，E是PB的中点(1)证明：OE平面PAC；第第2课时课时 用空间向量研究夹角用空间向量研究夹角 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 又ABAC，即BAC90，所以OABOAD90，OBAODA90，所以ODAOAD，所以AODO，即AODOOB，所以O为BD的中点 又E为PB的中点，所以OEPD.又OE平面PAC，PD平面PAC，所以OE平面PAC.第第2课时课时
15、 用空间向量研究夹角用空间向量研究夹角 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 解：过点A作AzOP，建立如图的空间直角坐标系 因为PO3，AP5，所以OA 2 24.(2)若ABOCBO30，PO3，PA5，求平面ACE与平面ABE的夹角的正弦值 第第2课时课时 用空间向量研究夹角用空间向量研究夹角 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 又ABOCBO30，所以BD2OA8，则AD4，AB4 3，所以AC12，所以A(0，0，0)，O 2 3，2，0，4 3，0，0，P 2 3，2，3，C(0，12，0)因为E是PB的中点，所以E 3 3，1，32，则 3 3，1，32，4 3，0，0，(0，
16、12，0)第第2课时课时 用空间向量研究夹角用空间向量研究夹角 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 设平面AEB的法向量为n(x，y，z)，则 3 3+320，4 30，令z2，则y3，x0，所以n(0，3，2)是平面AEB的一个法向量；设平面AEC的法向量为m(a，b，c)，则 3 3+320，120，第第2课时课时 用空间向量研究夹角用空间向量研究夹角 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 令a 3，则c6，b0，所以m3，0，6 是平面AEC的一个法向量 所以cosn，m 1213 39 4 313.设平面ACE与平面ABE的夹角为，则cos|cosn，m|4 313，所以sin 1
17、cos21113，即平面ACE与平面ABE的夹角的正弦值为1113.第第2课时课时 用空间向量研究夹角用空间向量研究夹角 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 【类题通法】求平面与平面的夹角的步骤(1)建立空间直角坐标系；(2)分别求出两个平面的法向量；(3)求两个法向量的夹角；(4)确定平面与平面的夹角的大小 第第2课时课时 用空间向量研究夹角用空间向量研究夹角 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 任务三 空间向量的综合应用 探究活动 如图，图1是由矩形ADEB、RtABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB1，BEBF2，FBC60.将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连接DG
18、，如图2.第第2课时课时 用空间向量研究夹角用空间向量研究夹角 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 提示：由已知得ADBE，CGBE，所以ADCG，故AD，CG确定一个平面，从而A，C，G，D四点共面由已知得ABBE，ABBC，BEBCB，BE，BC平面BCGE，故AB平面BCGE.又因为AB平面ABC，所以平面ABC平面BCGE.探究1：证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC平面BCGE.第第2课时课时 用空间向量研究夹角用空间向量研究夹角 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 提示：作EHBC，垂足为H.因为EH平面BCGE，平面BCGE平面ABC，所以EH平面ABC.由已知
19、，菱形BCGE的边长为2，EBC60，可得BH1，EH 3.以H为原点，的方向为x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Hxyz，探究2：求图2中的平面BCGE与平面ACGD的夹角的大小 第第2课时课时 用空间向量研究夹角用空间向量研究夹角 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 则 A(1，1，0)，C(1，0，0)，G 2，0，3，1，0，3，(2，1，0)设平面ACGD的法向量为n(x，y，z)，则 0，0，即 +30，2 0.所以可取n 3，6，3.又平面BCGE的一个法向量可取为m(0，1，0)，所以cosn，m 32.因此平面BCGE与平面ACGD的夹角的大小为30.第第2课时课时
20、 用空间向量研究夹角用空间向量研究夹角 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 证 明：由 已 知 得 四 边 形 ABCD 是 直 角 梯 形，由 AD CD 2 2，4 2，可得ABC是等腰直角三角形，即ABAC.因为PA平面ABCD，AB平面ABCD.所以PAAB.又PAACA，所以AB平面PAC，又PC平面PAC，所以ABPC.评价活动 如 图，在 四 棱 锥 P-ABCD 中，PA 平 面 ABCD，ADBC，ADCD，且ADCD2 2，4 2，PA2.(1)求证：ABPC.第第2课时课时 用空间向量研究夹角用空间向量研究夹角 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 解：存在取BC的中点
21、E，连接AE，AEBC.建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，C 2 2，2 2，0，D 0，2 2，0，P(0，0，2)，B 2 2，2 2，0，所 以 0，2 2，2，2 2，2 2，0.设 (0t1)，则 点M 0，2 2，2 2，所以 0，2 2，2 2.(2)在线段PD上，是否存在一点M，使得平面ACM与平面ACD的夹角为60？如果存在，求的值；如果不存在，请说明理由 第第2课时课时 用空间向量研究夹角用空间向量研究夹角 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 设平面MAC的法向量为n(x，y，z)，则 0，0，即 2 2+2 20，2 2+2 2 0，可取n 1，1，21.又m(0，0，1)是平面ACD的一个法向量，所以|cosm，n|212+212cos 60，解得t312，所以312.第第2课时课时 用空间向量研究夹角用空间向量研究夹角 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 【类题通法】解决与折叠有关的问题的方法 解决与折叠有关的问题的关键是搞清折叠前后的变化量和不变量，一般情况下，折线同一侧的，线段的长度是不变量，而位置关系往往会发生变化，抓住不变量是解决问题的突破口 第第2课时课时 用空间向量研究夹角用空间向量研究夹角 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价