1、第一章 空间向量与立体几何 1.4 空间向量的应用空间向量的应用 1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题用空间向量研究距离、夹角问题 第第1课时课时 用空间向量研究距离用空间向量研究距离 第第1课时课时 用空间向量研究距离用空间向量研究距离 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 学习任务目标 1能用向量方法解决点到直线、点到平面的距离问题(直观想象)2能用向量方法解决互相平行的直线、互相平行的平面的距离问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用(数学运算)第第1课时课时 用空间向量研究距离用空间向量研究距离 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 问题式预习 01 第第1课时课时 用空间向量研究
2、距离用空间向量研究距离 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 知识点一 直线外一点到直线的距离 如图，设a，直线l的单位方向向量为u，则向量在直线l上的投影向量(au)u.在RtAPQ中，由勾股定理，得PQ2 2_ 2()2 第第1课时课时 用空间向量研究距离用空间向量研究距离 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 B 解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则(0，2，0)，(0，1，2)所以点A到直线BE的距离为 2 2 4 2524 55.微训练 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，点E是A1B1的中点，则点A到直线BE的距离是()A6 55 B4 55 C2 55 D55 第第
3、1课时课时 用空间向量研究距离用空间向量研究距离 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 知识点二 平面外一点到平面的距离 如图，已知平面的法向量为n，A是平面内的定点，P是平面外一点过点P作平面的垂线l，交平面于点Q，则n是直线l的方向向量，且点P到平面的距离就是在直线l上的投影向量的长度因此PQ _ 第第1课时课时 用空间向量研究距离用空间向量研究距离 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 D 解析：(1，2，4)又平面的一个法向量为n(2，2，1)，所以P到的距离为2443103.微训练 1已知平面的一个法向量n(2，2，1)，点A(1，3，0)在内，则点P(2，1，4)到平面的距离为()
4、A10 B3 C83 D103 第第1课时课时 用空间向量研究距离用空间向量研究距离 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 C 解析：点P到平面OAB的距离d26+232.2在空间直角坐标系中，平面OAB的一个法向量为n(2，2，1)已知点P(1，3，2)，则点P到平面OAB的距离d等于()A4 B3 C2 D1 第第1课时课时 用空间向量研究距离用空间向量研究距离 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 知识点三 用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”(1)建立立体图形与_的联系，用空间向量表示问题中涉及的_、_、_，把立体几何问题转化为向量问题(2)通过_，研究点、直线、平面之间的位置关系以
5、及它们之间的距离和夹角等问题(3)把向量运算的结果“翻译”成相应的_结论 空间向量 点 直线 平面 向量运算 几何 第第1课时课时 用空间向量研究距离用空间向量研究距离 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 任务型课堂 02 任务一 利用空间向量求点到直线的距离 任务二 利用空间向量求点到平面的距离 任务三 利用空间向量求线面距和平面距 第第1课时课时 用空间向量研究距离用空间向量研究距离 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 任务一 利用空间向量求点到直线的距离 1已知A(0，0，2)，B(1，0，2)，C(0，2，0)，则点A到直线BC的距离为()A.2 23 B1 C 2 D2 2 A
6、解析：因为A(0，0，2)，B(1，0，2)，C(0，2，0)，所以(1，0，0)，(1，2，2)所以点A到直线BC的距离d2 2 1 1322 23.故选A.第第1课时课时 用空间向量研究距离用空间向量研究距离 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 17 解析：因为m 1，2，1，所以12，22，12.因为P(1，1，1)，A(4，1，2)，所以(5，0，1)所以点P到直线l的距离为 2 2 26 9 17.2已知m 1，2，1 为直线l的方向向量.若点P(1，1，1)为直线l外一点，A(4，1，2)为直线l上一点，则点P到直线l的距离为_ 第第1课时课时 用空间向量研究距离用空间向量研究距
7、离 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 【类题通法】用向量法求点到直线的距离的一般步骤(1)建立空间直角坐标系，并求相关点的坐标；(2)求出直线l的方向向量a的坐标及|a|；(3)求出以直线l上某一特殊点为起点，以点A为终点的向量b的坐标及2，计算；(4)由 22求点A到直线l的距离 第第1课时课时 用空间向量研究距离用空间向量研究距离 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 任务二 利用空间向量求点到平面的距离 1已知点M(0，1，2)，平面过原点，且垂直于向量n(1，2，2)，则点M到平面的距离为()A 3 B2 C6 D 6 B 解析：由题可知点M到平面的距离即为在n上的投影向量的长度因
8、为M(0，1，2)，所以(0，1，2)所以n011(2)(2)26，|n|12+22+223.所以点M到平面的距离为632.故选B.第第1课时课时 用空间向量研究距离用空间向量研究距离 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 解：以D为原点，1的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系(图略)，则A(2，0，0)，E(0，2，1)，F(1，0，2)，G(2，1，0)，所以(0，1，0)，(2，1，1)，(1，1，2)设n(x，y，z)是平面EFG的法向量，点A到平面EFG的距离为d，则 0，0，所以 2+0，+20，取z1，所以d1333，即点A到平面EFG的距离为33.2如图，已
9、知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E，F，G分别是C1C，D1A1，AB的中点，求点A到平面EFG的距离 第第1课时课时 用空间向量研究距离用空间向量研究距离 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 解：以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系(图略)，则M(2，2)，D1(0，0，2)，E(2，0，1)，F(2，2，1)，所以1(2，0，1)，(0，2，0)，(0，1)3如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，BB1的中点，M为棱A1B1上的一点，且A1M(02)设N为ME的中点，求点N到平面D1EF的距离
10、 第第1课时课时 用空间向量研究距离用空间向量研究距离 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 设平面D1EF的法向量为n(x，y，z)，则 1 2+0，20，取x1，得n(1，0，2)为平面D1EF的一个法向量 所以点M到平面D1EF的距离d252 55.因为N为EM的中点，所以点N到平面D1EF的距离为55.第第1课时课时 用空间向量研究距离用空间向量研究距离 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 【类题通法】用向量法求点到平面的距离的四个步骤 第第1课时课时 用空间向量研究距离用空间向量研究距离 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 任务三 利用空间向量求线面距和平面距 探究活动 探究1：
11、如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，ABC 2，D是棱AC的中点，且ABBCBB11.(1)求证：AB1平面BC1D；提示：以B为原点，以BC，BA，BB1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则B(0，0，0)，C1(1，0，1)，D12，12，0，A(0，1，0)，B1(0，0，1)，所以 1(1，0，1)，12，12，0，1(0，1，1)第第1课时课时 用空间向量研究距离用空间向量研究距离 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 设平面BC1D的法向量为n(x，y，z)，则 1 0，0，即 +0，12+120.令x1，则n(1，1，1)为平面BC1D的一个法向
12、量 因为1n01(1)(1)1(1)0，所以1n.因为AB1平面BC1D，所以AB1平面BC1D.第第1课时课时 用空间向量研究距离用空间向量研究距离 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 提示：因为AB1平面BC1D，所以直线上任一点 到平面的距离都相等 设直线AB1到平面BC1D的距离为d，(0，1，0)，则d1333.所以直线AB1到平面BC1D的距离为33.(2)求直线AB1到平面BC1D的距离 第第1课时课时 用空间向量研究距离用空间向量研究距离 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 提示：建立如图所示的空间直角坐标系，则A1(1，0，0)，C1(0，1，0)，D(0，0，1)，A(
13、1，0，1)所以1(1，0，1)，1(0，1，1)，(1，0，0)设平面A1C1D的法向量为m(x，y，1)，则m1，m1.探究2：在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，求平面AB1C与平面A1C1D之间的距离 第第1课时课时 用空间向量研究距离用空间向量研究距离 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 即 1 10，1 10，解得 1，1，故m(1，1，1)为平面A1C1D的一个法向量 显然平面AB1C平面A1C1D，所以平面AB1C与平面A1C1D之间的距离，即为点A到平面A1C1D的距离，所以平面AB1C与平面A1C1D之间的距离d1333.第第1课时课时 用空间向量研究距离用空
14、间向量研究距离 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 解：如图，以D为原点，1的分别方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，则A1(1，0，2)，A(1，0，0)，E 0，3，1，C 0，3，0.评价活动 如图所示，在直棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面为直角梯 形，ABCD且ADC90，AD1，CD 3，BC 2，AA12，E是CC1的中点，求直线A1B1到平面ABE的距离 第第1课时课时 用空间向量研究距离用空间向量研究距离 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 过点C作AB的垂线交AB于点F，易得BF 3，所 以 B1，2 3，0，所 以 0，2 3，0，1，3，1.设
15、平 面 ABE 的 法 向 量 为 n (x，y，z)，则 0，0，即 2 30，3+0，取x1，得n(1，0，1)是平面ABE的一个法向量 第第1课时课时 用空间向量研究距离用空间向量研究距离 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 因 为 1(0，0，2)，所 以 点 A1到 平 面 ABE 的 距 离 d 122 2.因为A1B1平面ABE，所以直线A1B1到平面ABE的距离等于点A1到平面ABE的距离，所以直线A1B1到平面ABE的距离为 2.第第1课时课时 用空间向量研究距离用空间向量研究距离 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 【类题通法】直线到平面的距离、平行平面间的距离，均可以转化为点到平面的距离进行求解，按照如下步骤即可解决相应问题 第第1课时课时 用空间向量研究距离用空间向量研究距离 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价