1、第一章 空间向量与立体几何 1.3 空间向量及其运算的坐标表示空间向量及其运算的坐标表示 1.3.2 空间向量运算的坐标表示空间向量运算的坐标表示 1.3.2 空间向量运算的坐标表示空间向量运算的坐标表示 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 学习任务目标 1掌握空间向量运算的坐标表示，能用向量的坐标运算解决简单的几何问题(数学运算)2理解空间向量夹角公式、空间两点间的距离公式(数学运算)1.3.2 空间向量运算的坐标表示空间向量运算的坐标表示 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 问题式预习 01 1.3.2 空间向量运算的坐标表示空间向量运算的坐标表示 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价
2、 知识点一 空间向量的坐标运算 设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)向量运算 坐标表示 加法 ab_ 减法 ab_ 数乘 a_，R 数量积 ab_(a1b1，a2b2，a3b3)(a1b1，a2b2，a3b3)(a1，a2，a3)a1b1a2b2a3b3 1.3.2 空间向量运算的坐标表示空间向量运算的坐标表示 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 微训练(多选)已知向量a(4，2，4)，b(6，3，2)，则下列结论正确的是()Aab(10，5，6)Bab(2，1，6)Cab22 D5a(20，10，20)CD 解析：ab(10，5，2)，ab(2，1，6)，ab22，5a(20，
3、10，20)，故A，B错误，C，D正确 1.3.2 空间向量运算的坐标表示空间向量运算的坐标表示 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 知识点二 空间向量的平行、垂直及模、夹角 设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)(b0)名称 向量表示 坐标表示 平行 abab(R)a1b1，a2b2，a3b3(R)垂直 abab0 ab_ 模|a|a|_ 夹角 cosa，b cosa，b11+22+3312+22+3212+22+32 a1b1a2b2a3b30 12+22+32 1.3.2 空间向量运算的坐标表示空间向量运算的坐标表示 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 微训练 1已知向量a
4、(2，3，5)与b(4，x，y)平行，则x，y的值分别为()A6，10 B6，10 C6，10 D6，10 B 解析：因为向量a(2，3，5)与b(4，x，y)平行，所以4235，解得x6，y10.故选B.1.3.2 空间向量运算的坐标表示空间向量运算的坐标表示 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 2已知向量a(1，1，0)，b(1，0，2)，且kab与2ab互相垂直，则k_ 75 解析：kab(k1，k，2)，2ab(3，2，2)，且(kab)(2ab)3(k1)2k40，解得k75.1.3.2 空间向量运算的坐标表示空间向量运算的坐标表示 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 知识点三
5、空间两点间的距离公式 设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点，则P1P2 12_.2 12+2 12+2 12 1.3.2 空间向量运算的坐标表示空间向量运算的坐标表示 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 微训练 1已知A(1，1，0)，B(1，0，2)，则 等于()A 15 B4 C3 D 17 C 解 析：因 为 (2，1，2)，所 以 22+12+223.1.3.2 空间向量运算的坐标表示空间向量运算的坐标表示 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 2已知点A(x，1，2)，B(2，3，4)，且 2 6，则实数x的值是()A3或4 B6或2 C3或4 D6
6、或2 D 解析：由题意，得 2(2x)2(31)2(42)2 2 62，解得x6或2.故选D.1.3.2 空间向量运算的坐标表示空间向量运算的坐标表示 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 任务型课堂 02 任务一 空间向量坐标的运算 任务二 空间向量平行、垂直、夹角的坐标表示 任务三 空间向量坐标运算的应用 1.3.2 空间向量运算的坐标表示空间向量运算的坐标表示 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 任务一 空间向量的坐标运算 1已知a(1，0，1)，b(2，1，1)，c(3，1，0)，则|ab2c|()A3 10 B2 10 C 10 D5 A 解析：因为ab2c(1，0，1)(2，1，
7、1)2(3，1，0)(126，012，110)(9，3，0)，所以|ab2c|92+323 10.1.3.2 空间向量运算的坐标表示空间向量运算的坐标表示 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 2已知空间向量a(1，0，2)，b(2，1，3)，则a2b_(5，2，4)解析：因为a(1，0，2)，b(2，1，3)，所以a2b(1，0，2)2(2，1，3)(5，2，4)1.3.2 空间向量运算的坐标表示空间向量运算的坐标表示 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 3已知空间向量a(2，1，5)，b(1，3，4)，则ab_ 19 解析：因为a(2，1，5)，b(1，3，4)，所以ab21135(4)
8、19.1.3.2 空间向量运算的坐标表示空间向量运算的坐标表示 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 【类题通法】1一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标 2在确定了向量的坐标后，应用空间向量的加减、数乘、数量积的坐标运算公式进行计算即可，且要熟练应用下列公式：(1)(ab)2a22abb2；(2)(ab)(ab)a2b2.1.3.2 空间向量运算的坐标表示空间向量运算的坐标表示 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 任务二 空间向量平行、垂直及两向量夹角的坐标表示 探究活动 探究1：已知A(2，5，1)，B(2，2，4)，C(1，4，1)，求向量与的夹角 提示：因为(
9、0，3，3)，(1，1，0)，所以cos，33 2 212，故向量与的夹角为60.1.3.2 空间向量运算的坐标表示空间向量运算的坐标表示 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 探究2：已知向量a(1，1，2)，b(6，2m1，2)，其中与m 为实数(1)若ab，分别求与m的值；提示：由ab，得(1，1，2)k(6，2m1，2)，所以 +16，1 2 1，22，解得 15，3.所以15，m3.1.3.2 空间向量运算的坐标表示空间向量运算的坐标表示 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 (2)若|a|5，且a与c(2，2，)垂直，求a.提示：因为|a|5，且ac，所以 +12+12+225，+
10、1，1，2 2，2，0，化简，得 52+23，2 220，解得1.所以a(0，1，2)1.3.2 空间向量运算的坐标表示空间向量运算的坐标表示 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 (1)4(2)2 解析：(1)因为ab，所以ba.所以 2，4，3，解得 2，2，6.所以xy4.评价活动 1已知向量a(1，x，3)，b(2，4，y)(1)若ab，则xy_；(2)若ab，则4x3y_(2)因为ab，所以ab24x3y0，即4x3y2.1.3.2 空间向量运算的坐标表示空间向量运算的坐标表示 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 解：因为a(1，2，3)，b(2，4，6)，所以ab(1，2，3)，
11、所以|ab|14.因为(ab)c7，所以cosab，c+12，即ab与c的夹角为60.因为a(1，2，3)与ab(1，2，3)方向相反，所以可知a与c的夹角为120.2已知向量a(1，2，3)，b(2，4，6)，|c|14.若(ab)c7，求a与c的夹角 1.3.2 空间向量运算的坐标表示空间向量运算的坐标表示 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 【类题通法】1向量平行与垂直问题主要有两种题型：(1)平行与垂直的判断；(2)利用平行与垂直求参数的值或解决其他问题，即平行与垂直的应用解题时要注意：(1)适当引入参数(比如向量a，b平行，可设ab)，建立关于参数的方程组；(2)最好选择坐标形式，
12、以达到简化运算的目的 2向量夹角的坐标表示比较复杂，可以熟记公式cosa，b，再将坐标代入计算即可 1.3.2 空间向量运算的坐标表示空间向量运算的坐标表示 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 解：以D为原点，1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.则A(1，0，0)，A1(1，0，1)，B(1，1，0)，B1(1，1，1)，C(0，1，0)，C1(0，1，1)，所以1(0，1，1)，1(1，0，1)所以1 1(0，1，1)(1，0，1)0011，任务三 空间向量坐标运算的应用 1已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，利用向量的坐标运算解答下列问题：
13、(1)求A1B和B1C的夹角；1.3.2 空间向量运算的坐标表示空间向量运算的坐标表示 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 1 0+1+1 2，1 1+0+1 2，所以cos1，1111 112.因为1，10，所以A1B与B1C的夹角为3.1.3.2 空间向量运算的坐标表示空间向量运算的坐标表示 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 (2)证明：A1BAC1；(3)求AC1的长 解：由(2)知1(1，1，1)，所以 1 1+1+1 3，即AC1的长为 3.证明：由(1)知1(0，1，1)，1(1，1，1)，所以1 10110，所以A1BAC1.1.3.2 空间向量运算的坐标表示空间向量运算的
14、坐标表示 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 解：如图所示，建立空间直角坐标系Dxyz，则D(0，0，0)，E 0，0，12，12，12，0，C(0，1，0)，C1(0，1，1)，B1(1，1，1)，G 0，34，0.2在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是D1D，BD的中点，G在棱CD上，且CG14CD，H是C1G的中点利用空间向量解决下列问题：(1)求EF与B1C所成的角；1.3.2 空间向量运算的坐标表示空间向量运算的坐标表示 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 12，12，12，1 (1，0，1)，所 以 112，12，12(1，0，1)12(1)12 0+1
15、2(1)0.所以1，即EFB1C.所以EF与B1C所成的角为2.1.3.2 空间向量运算的坐标表示空间向量运算的坐标表示 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 解：因为1 0，14，1，所以 1 174.又 32，且 112 0+12 14+12(1)38，所以cos，11 15117，即EF与C1G所成角的余弦值为5117.(2)求EF与C1G所成角的余弦值；1.3.2 空间向量运算的坐标表示空间向量运算的坐标表示 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 解：因为H是C1G的中点，所以H 0，78，12.又F12，12，0，所以FH0 122+78 122+12 02418.(3)求F，H两点间的距离 1.3.2 空间向量运算的坐标表示空间向量运算的坐标表示 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 【类题通法】1空间向量的数量积应用很广泛，其主要用途有：(1)求向量的模，|a|；(2)求向量夹角，cosa，b；(3)证明向量垂直，ab0ab.2利用向量数量积的坐标公式求异面直线所成角的步骤：(1)根据几何图形的特点建立适当的空间直角坐标系；(2)利用已知条件写出有关点的坐标，进而获得相关向量的坐标；(3)利用向量数量积的坐标公式求得异面直线上有关向量的夹角，并将它转化为异面直线所成的角 1.3.2 空间向量运算的坐标表示空间向量运算的坐标表示 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价