1、第一章 空间向量与立体几何 1.4 空间向量的应用空间向量的应用 1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位用空间向量研究直线、平面的位置关系置关系 第第1课时课时 空间中点、直线和平面的向量空间中点、直线和平面的向量表示表示 第第1课时课时 空间中点、直线和平面的向量表示空间中点、直线和平面的向量表示 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 学习任务目标 1能用向量语言描述直线和平面(数学抽象)2理解直线的方向向量和平面的法向量，会求平面的一个法向量(直观想象、数学运算)第第1课时课时 空间中点、直线和平面的向量表示空间中点、直线和平面的向量表示 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 问题式预习
2、 01 第第1课时课时 空间中点、直线和平面的向量表示空间中点、直线和平面的向量表示 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 知识点一 空间中点的向量表示 在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量_来表示我们把向量_称为点P的位置向量 第第1课时课时 空间中点、直线和平面的向量表示空间中点、直线和平面的向量表示 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 知识点二 用向量表示直线的位置 取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线AB上的充要条件是存在实数t，使_ 条件 已知直线l上一点A及表示直线l方向的向量a(即直线l的_)形式 在直线l上取a，设P是直线l上的任意一点，由
3、向量共线的条件可知，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使得ta，即 方向向量 第第1课时课时 空间中点、直线和平面的向量表示空间中点、直线和平面的向量表示 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 A 解析：(2，4，6)，而与共线的非零向量都可以作为直线l的方向向量故选A.微训练 若A(1，0，1)，B(1，4，7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为()A(1，2，3)B(1，3，2)C(2，1，3)D(3，2，1)第第1课时课时 空间中点、直线和平面的向量表示空间中点、直线和平面的向量表示 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 知识点三 用向量表示平面(1)通过平面内的一个定点O和两个向
4、量a和b来确定：取定空间任意一点O，可以得到，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使_ 条件 已知平面内两条相交直线的方向向量a，b和交点O 形式 对于平面内任意一点P，存在唯一的有序实数对(x，y)，使得_ xayb xy 第第1课时课时 空间中点、直线和平面的向量表示空间中点、直线和平面的向量表示 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 (2)通过平面内的一个定点A和平面的法向量来确定：平面的法向量 直线l，直线l的方向向量a叫做平面的_ 确定平面 给定一个点A和一个向量a，那么过点A，且以向量a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合_ 法向量|0 第第1课时课时 空间中点
5、、直线和平面的向量表示空间中点、直线和平面的向量表示 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 微训练 已知平面内的两个向量a(2，3，1)，b(5，6，4)，则平面的一个法向量为()A(1，1，1)B(2，1，1)C(2，1，1)D(1，1，1)C 解析：显然a与b不平行，设平面的法向量为n(x，y，z)，则 0，0，所以 2+3+0，5+6+40.令z1，得x2，y1，所以n(2，1，1)第第1课时课时 空间中点、直线和平面的向量表示空间中点、直线和平面的向量表示 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 任务型课堂 02 任务一 空间中直线的方向向量 任务二 平面的法向量 第第1课时课时 空间中
6、点、直线和平面的向量表示空间中点、直线和平面的向量表示 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 A 解析：因为A 12，0，12，12，2，72在直线上，所以(1，2，3)为直线l的一个方向向量，故所有与共线的非零向量都是直线l的方向向量故选A.任务一 空间中直线的方向向量 1若点A 12，0，12，B12，2，72在直线l上，则直线l的一个方向向量为()A13，23，1 B13，1，23 C23，13，1 D 1，23，13 第第1课时课时 空间中点、直线和平面的向量表示空间中点、直线和平面的向量表示 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 A 解析：已知A(0，y，3)和B(1，2，z)，则(
7、1，2y，z3)因为直线l的一个方向向量为m(2，1，3)，所以可设km.所以12k，2yk，z33k，解得k12，32.所以yz0.故选A.2已知直线l的一个方向向量m(2，1，3)，且直线l过A(0，y，3)和B(1，2，z)两点，则yz()A0 B1 C32 D3 第第1课时课时 空间中点、直线和平面的向量表示空间中点、直线和平面的向量表示 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 解：(1)因 为 1+11+11+12+12，所以直线AP的一个方向向量为 1，12，1.3如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，设1，c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，以a，b，c
8、为空间的一个基底(1)求直线AP的一个方向向量；(2)求直线A1N的一个方向向量；(2)因 为 11+1+12 +12，所以直线A1N的一个方向向量为 1，1，12.第第1课时课时 空间中点、直线和平面的向量表示空间中点、直线和平面的向量表示 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 解：因为1+11+112 1+12 12+12，所以直线MP的一个方向向量为12，12，1.(3)求直线MP的一个方向向量 第第1课时课时 空间中点、直线和平面的向量表示空间中点、直线和平面的向量表示 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 【类题通法】1已知直线上A，B两点，则与向量共线的非零向量均是直线AB的方向向
9、量 2已知直线的方向向量和直线上的两点求参数，只需利用向量共线的坐标表示即可得解 第第1课时课时 空间中点、直线和平面的向量表示空间中点、直线和平面的向量表示 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 探究活动 探究1：已知平面经过点A(1，2，3)，B(2，0，1)，C(3，2，0)，求平面的一个法向量 提示：因为平面经过三点A(1，2，3)，B(2，0，1)，C(3，2，0)，所以(1，2，4)，(2，4，3)设平面的一个法向量为n(x，y，z)，则有 0，0，即 2 40，2 4 30.解得z0，令y1，得x2，所以平面的一个法向量为n(2，1，0)第第1课时课时 空间中点、直线和平面的向量
10、表示空间中点、直线和平面的向量表示 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 提示：如图所示，建立空间直角坐标系Axyz.(1)由于PA平面ABCD，所以平面ABCD的一 个法向量为(0，0，1)(2)由于ADPA，ADAB，PAABA，所以AD平面PAB，所以平面PAB的一个法向量为(0，1，0)探究2：在四棱锥P-ABCD中，PA底面ABCD，PAAB3，底面ABCD为正方形试建立适当的空间直角坐标系，分别求下列平面的法向量(1)平面ABCD；(2)平面PAB；第第1课时课时 空间中点、直线和平面的向量表示空间中点、直线和平面的向量表示 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 提示：(3)因为B
11、(3，0，0)，C(3，3，0)，P(0，0，3)，所以(3，0，3)，(3，3，3)设平面PBC的法向量为n(x，y，z)，则 0，0，所以 3 30，3+3 30，取x1，则y0，z1，于是平面PBC的一个法向量为n(1，0，1)(4)由(3)同理可求得平面PCD的一个法向量为m(0，1，1)(3)平面PBC；(4)平面PCD.第第1课时课时 空间中点、直线和平面的向量表示空间中点、直线和平面的向量表示 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 评价活动 1如图，在四棱锥P-ABCD中，PA底面ABCD，AC，BD为正方形ABCD的对角线，给出下列命题：为平面PAD的一个法向量；为平面PAC的
12、一个法向量；为直线AB的方向向量；直线BC的方向向量一定是平面PAB的法向量 其中正确命题的序号是_ 第第1课时课时 空间中点、直线和平面的向量表示空间中点、直线和平面的向量表示 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 解析：因为底面ABCD是正方形，所以BCAD.由AD平面PAD知，不是平面PAD的一个法向量，错误 由底面ABCD是正方形，知BDAC.因为PA底面ABCD，BD平面ABCD，所以PABD.又PAACA，PA平面PAC，AC平面PAC，所以BD平面PAC，所以为平面PAC的一个法向量，正确 因为底面ABCD是正方形，所以CDAB.所以为直线AB的方向向量，正确 第第1课时课时 空
13、间中点、直线和平面的向量表示空间中点、直线和平面的向量表示 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 由底面ABCD是正方形，知BCAB.因为PA底面ABCD，BC平面ABCD，所以PABC.又PAABA，PA平面PAB，AB平面PAB.所以BC平面PAB.所以直线BC的方向向量一定是平面PAB的法向量，正确 故正确命题的序号是.第第1课时课时 空间中点、直线和平面的向量表示空间中点、直线和平面的向量表示 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 33，33，33 解析：由题意得(1，1，2)，(3，1，2)设m(x，y，z)是平面ABC的一个法向量，则 +20，3 +20，令y1，则m(1，1，1)，故平面ABC的一个单位法向量是33，33，33.2已知A(3，4，0)，B(2，5，2)，C(0，3，2)，则平面ABC的一个单位法向量是_ 第第1课时课时 空间中点、直线和平面的向量表示空间中点、直线和平面的向量表示 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 【类题通法】求平面法向量的步骤 第第1课时课时 空间中点、直线和平面的向量表示空间中点、直线和平面的向量表示 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价