1、第一章 空间向量与立体几何 1.2 空间向量基本定理空间向量基本定理 1.2 空间向量基本定理空间向量基本定理 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 学习任务目标 1了解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示(数学抽象)2掌握在简单问题中运用空间三个不共面的向量作为基底表示其他向量的方法(数学抽象)1.2 空间向量基本定理空间向量基本定理 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 问题式预习 01 1.2 空间向量基本定理空间向量基本定理 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 知识点一 空间向量基本定理 1分向量 如果i，j，k是空间三个_的向量，那么对任意一个空间向量p，存
2、在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p_我们称xi，yj，zk分别为向量p在i，j，k上的_ 2空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c_，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p_ 两两垂直 xiyjzk 分向量 不共面 xaybzc 1.2 空间向量基本定理空间向量基本定理 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 知识点二 基底 如果三个向量a，b，c_，那么所有空间向量组成的集合就是p|p_，x，y，zR这个集合可看作由向量a，b，c生成的，我们把a，b，c叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做_空间任意三个_的向量都可以构成空间的一个基底 不共面 xaybzc
3、 基向量 不共面 1.2 空间向量基本定理空间向量基本定理 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 微训练 1在以下3个命题中，真命题的个数是()若三个非零向量a，b，c不能构成空间的一个基底，则a，b，c共面；若两个非零向量a，b与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a，b共线；若a，b是两个不共线向量，而cab(，R且0)，则a，b，c构成空间的一个基底 A0 B1 C2 D3 C 解析：命题是真命题，命题是假命题 1.2 空间向量基本定理空间向量基本定理 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 2若向量a，b，c构成空间的一个基底，则一定可以与向量p2ab，q2ab构成空间的另一个基底的
4、向量是()Aa Bb Cc Dab C 解析：因为a14+14，所以a，p，q共面，故a，p，q不能构成空间的一个基底，排除A；因为b12 12，所以b，p，q共面，故b，p，q不能构成空间的一个基底，排除B；因为ab34 14，所以ab，p，q共面，故ab，p，q不能构成空间的一个基底，排除D.故选C.1.2 空间向量基本定理空间向量基本定理 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 3(多选)已知空间中的四个点O，A，B，C,且，为空间的一个基底，则下列说法正确的是()AO，A，B，C四点不共线 BO，A，B，C四点共面，但不共线 CO，A，B，C四点中任意三点不共线 DO，A，B，C四点不共
5、面 ACD 1.2 空间向量基本定理空间向量基本定理 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 知识点三 正交分解 特别地，如果空间的一个基底中的三个基向量_，且长度都为_，那么这个基底叫做_，常用i，j，k表示由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk，使a_像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行_ 两两垂直 1 单位正交基底 xiyjzk 正交分解 1.2 空间向量基本定理空间向量基本定理 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 微训练 1 如 图，在 平 行 六 面 体 ABCD-A1B1C1D1中，设1，c，N是BC的中点，
6、用a，b，c表示1为()Aab12 Babc Cab12c Dab12c A 解析：因为N是BC的中点，所以11+12 +12 +12故选A.1.2 空间向量基本定理空间向量基本定理 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 2如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是 BB1，D1B1的中点求证：EFAB1.证明：设，1，c，则ab0，bc0，ac0，|a|b|c|.因 为 1+1121+1112(1 )121+12(abc)，1+1+1ab，所以 112(abc)(ab)122 20.所以1，即EFAB1.1.2 空间向量基本定理空间向量基本定理 问题式预习 任务型课堂 课后素养
7、评价 任务型课堂 02 任务一 基底的判断 任务二 用基底表示空间向量 任务三 空间向量基本定理的应用 1.2 空间向量基本定理空间向量基本定理 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 任务一 基底的判断 1若a，b，c构成空间的一个基底，则下列各组向量能构成空间的一个基底的是()Aab，ac，b Bc，bc，bc Cbc，abc，a Da，ab，ab A 解析：对于A，假设ab，ac，b共面，则可设ab(ac)b(，R)，则 方程组无解，ab，ac，b不共面，可以构成空间的一个基底，A正确；1.2 空间向量基本定理空间向量基本定理 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 对于B，c12(bc)1
8、2(bc)，所以c，bc，bc共面，不能构成空间的一个基底，B错误；对于C，bc(abc)a，所以bc，abc，a共面，不能构成空间的一个基底，C错误；对于D，因为a12(ab)12(ab)，所以a，ab，ab共面，不能构成空间的一个基底，D错误 1.2 空间向量基本定理空间向量基本定理 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 2 已知e1，e2，e3是空间的一个基底，且 1+223，31+2+23，e1 e2 e3.试 判 断，能否作为空间的一个基底 解：假设，共面，则存在实数，使得+，所以e12e2e3(3e1e22e3)(e1e2e3)(3)e1()e2(2)e3.因为e1，e2，e3不共
9、面，所以 3+1，+2，2 1，此方程组无解，所以，不共面，所以，可以作为空间的一个基底 1.2 空间向量基本定理空间向量基本定理 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 【类题通法】判断基底的基本思路及方法(1)基本思路：判断三个空间向量是否共面，若共面，则不能构成基底；若不共面，则能构成基底(2)方法：若已知向量中存在零向量，则不能构成基底；若其中一个向量可以用另外的向量线性表示，则不能构成基底 假设abc，运用空间向量基本定理，建立关于，的方程组若方程组有解，则共面，不能够成基底；若无解，则不共面，能构成基底 1.2 空间向量基本定理空间向量基本定理 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价
10、任务二 用基底表示空间向量 探究活动 探究1：某次反恐演习中，一特别行动小组获悉：“恐怖分子”将“人质”隐藏在某超市往南1 000 m，再往东600 m处的某大厦5楼(每层楼高 3.5 m)，行动小组迅速赶到目的地，完成解救“人质”的任务“人质”的隐藏地由“南 1 000 m”“东600 m”“5楼”这三个量确定设e1是向南的单位向量，e2是向东的单位向量，e3是向上的单位向量(1)请把“人质”的位置用向量e1，e2，e3表示出来(2)空间中的任意向量都能用向量e1，e2，e3表示出来吗？提示：(1)1 000e1600e214e3.(2)向量e1，e2，e3构成空间的一个基底，可以表示出空间
11、中的任意向量 1.2 空间向量基本定理空间向量基本定理 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 探究2：点P是矩形ABCD所在平面外一点，且PA平面ABCD，M，N分别是PC，PD上的点，且23，N，试求满足+的实数x，y，z的值 提 示：如 图，取 PC 的 中 点 E，连 接 NE，则 12 12 23 12 12 16 12 16+23 16+16.因为 +，所以x23，16，16.1.2 空间向量基本定理空间向量基本定理 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 评价活动 1如 图，已 知 平 行 六 面 体 ABCD-A1B1C1D1，设，1c，P是CA1的中点，M是CD1的中点用a，b，
12、c表示如下向量：(1)；(2).解：(1)12+112+112(abc)(2)12+112+2+112+12c.1.2 空间向量基本定理空间向量基本定理 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 2已知四棱锥P-OABC的底面为一矩形，PO平面OABC.设，c，E，F分别是PC和PB的中点(1)判断a，b，c能否构成空间的一个基底；解：，c不共面，能构成空间的一个基底 1.2 空间向量基本定理空间向量基本定理 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 (2)若 a，b，c 可 以 构 成 空 间 的 一 个 基 底，用 a，b，c 表 示，.解：如图所示，连接BO，则1212+12+12(cba)12
13、 12+12，+12 +12+a12+12，+12+ac12(cb)a12+12，121212 1.2 空间向量基本定理空间向量基本定理 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 【类题通法】基向量的选择和使用方法(1)尽可能选择具有垂直关系的，起点相同的三个不共面的向量作为基向量(2)用基向量表示一个向量时，如果此向量的起点与基向量的起点相同，一般考虑向量的加法，否则考虑向量的减法；如果此向量与一个易求的向量共线，可用向量的数乘运算 1.2 空间向量基本定理空间向量基本定理 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 任务三 空间向量基本定理的应用 1正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，
14、是所有面都只由一种正多边形构成的多面体(各面都是全等的正多边形)数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正 二十面体已知一个正八面体ABCDEF的棱长都是2(如图)，P，Q分别为棱AB，AD的中点，则 _ 1.2 空间向量基本定理空间向量基本定理 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 1 解析：在正八面体ABCDEF中，不共面，P，Q分别为棱AB，AD的中点，|cos 602，0.因为12+12，+12+12 +12 32 12，所 以 12+12 32 12 34212 2+14 14 14 34 2212 22+14 2 142 01.1.2
15、空间向量基本定理空间向量基本定理 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 2如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD 是边长为1的正方形，AA12，A1ABA1AD120.(1)以，1为基底，试表示向量1；(2)求向量1的模；(2)1212 +122+2+12+2 +2 1+2 11+1+4+0+2 1 2 12+2 1 2 122，所以向量1的模为 2.解：(1)1+1+1.1.2 空间向量基本定理空间向量基本定理 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 (3)求直线AC1与A1D所成角的余弦值 解：因为11+1+，所以 12 1+2 12+2 21 41221 12 7，所
16、以 1 7.1.2 空间向量基本定理空间向量基本定理 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 又因为1 1 +1 1+1+1+2 12+1 1 2 12+0 1 2 12+1 4+1 2 122，所以cos1，1111 122 7 147.所以直线AC1与A1D所成角的余弦值为 cos1，1 147.1.2 空间向量基本定理空间向量基本定理 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 3如图，在直三棱柱ABC-ABC中，已知ACBCAA，ACB90，D，E分别为AB，BB的中点(1)求证：CEAD；证明：设，c，则|a|b|c|，且abbcca0.因为+12+12，+12 +12 c12 12，所以
17、122+12b20.所以，即CEAD.1.2 空间向量基本定理空间向量基本定理 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 解：因为ac，所以 2 ，52.因为(ac)+12 122122，所以 cos，12225221010.所以异面直线CE与AC所成角的余弦值为1010.(2)求异面直线CE与AC所成角的余弦值 1.2 空间向量基本定理空间向量基本定理 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 【类题通法】利用空间向量证明两直线垂直或平行(1)要证两直线垂直，只需选取三个不共线的已知向量(通常它们的模及两两夹角已知)为基向量将两直线的方向向量表示出来，随后证明两方向向量的数量积为0.(2)要证明两直线平行，只需选取三个不共线的已知向量(通常它们的模及两两夹角已知)为基向量将两直线的方向向量表示出来，而后作相应的运算证明它们共线即可 1.2 空间向量基本定理空间向量基本定理 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价