1、第二章 直线和圆的方程 2.4 圆的方程圆的方程 2.4.2 圆的一般方程圆的一般方程 2.4.2 圆的一般方程圆的一般方程 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 学习任务目标 1了解圆的一般方程的特点，会由一般方程求圆心坐标和半径(数学运算)2会根据给定的条件求圆的一般方程，并能用圆的一般方程解决简单问题(逻辑推理)3初步掌握求动点的轨迹方程的方法(数学运算)2.4.2 圆的一般方程圆的一般方程 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 问题式预习 01 2.4.2 圆的一般方程圆的一般方程 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 知识点一 圆的一般方程 1圆的一般方程的概念 当_时，二元二次方程
2、x2y2DxEyF0叫做圆的一般方程 2用一般方程表示的圆的圆心和半径 圆x2y2DxEyF0(D2E24F0)的圆心为_，半径为_ D2E24F0 2，2 122+2 4 2.4.2 圆的一般方程圆的一般方程 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 3对方程x2y2DxEyF0的说明 方程 条件 图形 x2y2DxEyF0 D2E24F0 不表示任何图形 D2E24F0 表示一个点 2，2 D2E24F0 表示以 2，2为圆心，122+2 4为半径的圆 2.4.2 圆的一般方程圆的一般方程 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 微训练 1圆x2y24x6y0的圆心坐标是()A(2，3)B(2，
3、3)C(2，3)D(2，3)D 解析：圆的方程化为(x2)2(y3)213，圆心为(2，3)故选D.2若方程x2y2DxEyF0表示以(2，4)为圆心，4为半径的圆，则F_ 4 解析：以(2，4)为圆心，4为半径的圆的方程为(x2)2(y4)216，即x2y24x8y40，故F4.2.4.2 圆的一般方程圆的一般方程 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 知识点二 用待定系数法求圆的方程的步骤(1)根据题意，选择标准方程或_；(2)根据条件列出关于a，b，r或D，_的方程组；(3)解出a，b，r或D，E，F，得到标准方程或一般方程 知识点三 轨迹方程与轨迹 点M的_是指点M的坐标(x，y)满足
4、的关系式点M的 _是指点M在运动变化过程中形成的图形在解析几何中，我们常常把图形看作点的_(集合)一般方程 E，F 轨迹方程 轨迹 轨迹 2.4.2 圆的一般方程圆的一般方程 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 A 解析：设圆的一般方程为x2y2DxEyF0.将A(1，1)，B(1，4)，C(4，2)三点的坐标代入方程，得到方程组 1+1+0，1+16+4+0，16+4+4 2+0，解得 7，3，2.故圆的方程为x2y27x3y20.微训练 过A(1，1)，B(1，4)，C(4，2)三点的圆的方程是()Ax2y27x3y20 Bx2y27x3y20 Cx2y27x3y20 Dx2y27x3y
5、20 2.4.2 圆的一般方程圆的一般方程 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 任务型课堂 02 任务一 圆的一般方程的概念辨析 任务二 求圆的一般方程 任务三 求动点的轨迹方程 2.4.2 圆的一般方程圆的一般方程 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 A 解析：当a24a24542+1 0时，方程表示圆，化简得a10，解得a1.故选A.任务一 圆的一般方程的概念辨析 1若方程x2y2ax2ay54a2a10表示圆，则实数a的取值范围是()Aa1 Ba1 C2a23 D2a0 2.4.2 圆的一般方程圆的一般方程 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 (2，4)5 解析：由二元二次方程表示
6、圆的条件可得a2a2，解得a2或1.当a2时，方程为4x24y24x8y100，即x2y2x2y520，配方得 +122(y1)2540，不表示圆；当a1时，方程为x2y24x8y50，配方得(x2)2(y4)225，则圆心坐标为(2，4)，半径为5.2已知aR，方程a2x2(a2)y24x8y5a0表示圆，则圆心坐标为_，半径为_ 2.4.2 圆的一般方程圆的一般方程 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 解：(1)(方法一：配方法)原方程等价于(x1)2(y1)20，因此方程表示点(1，1)(方法二：公式法)因为D2E24F2222420，所以方程表示点 2，2，即(1，1).3判断下列方
7、程分别表示什么图形(1)x2y22x2y20；(2)x2y22x4y60；(2)原方程等价于(x1)2(y2)2112，因此方程表示圆心为(1，2)，半径为 11的圆 2.4.2 圆的一般方程圆的一般方程 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 解：(3)因为D2E24F4a24b20，所以当ab0时，方程表示原点；当a，b不全为0时，方程表示以(a，0)为圆心，2+2为半径的圆(3)x2y22axb20；(4)3x23y22x4y60.(4)原 方程 等价于 x2 y223+43y 2 0，配 方，得 132+2322332，因此方程表示圆心为13，23，半径为233的圆 2.4.2 圆的一般
8、方程圆的一般方程 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 【类题通法】方程x2y2DxEyF0是否表示圆的两种判断方法：(1)配方法对形如x2y2DxEyF0的二元二次方程，可以通过配方变形成“标准”形式后，观察是否表示圆(2)运用圆的一般方程满足的条件判断，即通过判断D2E24F是否大于0来确定它是否表示圆 2.4.2 圆的一般方程圆的一般方程 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 任务二 求圆的一般方程 1圆C过点A(1，2)，B(3，4)，且在x轴上截得的弦长为6，求圆C的一般方程 解：设所求圆C的方程为x2y2DxEyF0.因为圆C过点A(1，2)，B(3，4)，所以D2EF5，3D4E
9、F25.令y0，得x2DxF0.2.4.2 圆的一般方程圆的一般方程 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 设圆C与x轴的两个交点的横坐标为x1，x2，则x1x2D，x1x2F.因为|x1x2|6，所以(x1x2)24x1x236，即D24F36.由得D12，E22，F27，或D8，E2，F7.故所求圆C的一般方程为x2y212x22y270，或x2y28x2y70.2.4.2 圆的一般方程圆的一般方程 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 解：设ABC的外接圆方程为x2y2DxEyF0.因为点A，B，C在圆上，所以 1+16+4+0，4+9 2+3+0，16+25+4 5+0，解得 2，2，
10、23，所以ABC的外接圆方程为x2y22x2y230，即(x1)2(y1)225.所以圆心坐标为(1，1)，半径为5.2已知ABC的三个顶点为A(1，4)，B(2，3)，C(4，5)，求ABC的外接圆的方程、圆心坐标和半径 2.4.2 圆的一般方程圆的一般方程 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 【类题通法】求圆的方程时，如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心坐标或半径列方程，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r；如果已知条件与圆心、半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出D，E，F.2.4.2 圆的一般方程圆的一般方程 问题式预习 任务型课堂 课后
11、素养评价 任务三 求动点的轨迹方程 探究活动 探究1：已知RtABC的斜边为AB，且A(1，0)，B(3，0).(1)根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，你能得出一个关于直角顶点C的结论吗？(2)顶点C的轨迹是一个完整的圆吗？你能求出顶点C的轨迹方程吗？2.4.2 圆的一般方程圆的一般方程 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 提示：(1)点C到AB中点的距离为定长2，因此顶点C在以AB中点为圆心，2为半径的圆上(2)不是，是除去x轴上两点的圆 设AB的中点为D.由中点坐标公式得D(1，0)，由直角三角形的性质知，|CD|12 2.由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1，0)为圆心，以2为
12、半径的圆(由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点)设C(x，y)，则直角顶点C的轨迹方程为(x1)2y24(x3且x1)2.4.2 圆的一般方程圆的一般方程 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 提示：设点D为线段AB的中点，直线m为线段AB的垂直平分线，则D32，12.又kAB3，所以km13.所以直线m的方程为x3y30.由 3 30，+10，得圆心C(3，2)，则半径r|CA|3 12+2 125.所以圆C的方程为(x3)2(y2)225.探究2：已知圆C经过点A(1，1)，B(2，2)，且圆心C在直线l：xy10上(1)求圆C的方程；2.4.2 圆的一般方程圆的一般方程 问题
13、式预习 任务型课堂 课后素养评价 提示：设点M(x，y)，Q(x0，y0)因为点P的坐标为(5，0)，所以 0+52，0+02，即 02 5，02.又点Q(x0，y0)在圆C：(x3)2(y2)225上运动，所以(x03)2(y02)225，即(2x53)2(2y2)225.整理得(x1)2(y1)2254.即所求线段PQ的中点M的轨迹方程为(x1)2(y1)2254.(2)线段PQ的端点P的坐标是(5，0)，端点Q在圆C上运动，求线段PQ的中点M的轨迹方程 2.4.2 圆的一般方程圆的一般方程 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 x2y216 解析：设M(x，y)，则 82+22 22+2
14、，整理可得点M的轨迹方程为x2y216.评价活动 1已知动点M到点(8，0)的距离等于点M到点(2，0)的距离的2倍，则点M的轨迹方程是_ 2.4.2 圆的一般方程圆的一般方程 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 解：设点Q的坐标为(x，y)，点P的坐标为(x，y)，则x4+2且y0+2，即x2x4，y2y.又点P在圆x2y24上，所以x2y24，将x2x4，y2y代入圆的方程，得(2x4)2(2y)24，即(x2)2y21.故点Q的轨迹方程为(x2)2y21.2.已知定点A(4，0)，点P是圆x2y24上一动点，点Q是AP的中点，求点Q的轨迹方程 2.4.2 圆的一般方程圆的一般方程 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价 【类题通法】求动点的轨迹方程的常用方法(1)直接法：根据题目的条件，建立平面直角坐标系，设出动点坐标，找出动点所满足的条件，并用坐标表示，化简即得轨迹方程(2)定义法：当动点的轨迹符合圆的定义时，可直接写出动点的轨迹方程(3)相关点法：若动点P(x，y)随着圆上另一动点 1，1的运动而运动，且x1，y1可用x，y表示，则可将点Q的坐标代入已知圆的方程，即得动点P的轨迹方程 2.4.2 圆的一般方程圆的一般方程 问题式预习 任务型课堂 课后素养评价