1、第三章 圆锥曲线的方程 单元活动构建单元活动构建 单元活动构建单元活动构建 章末质量评估 任务一 圆锥曲线的定义 问题1 椭圆是怎样定义的？提示：我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距 问题2 双曲线是怎样定义的？提示：一般地，我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距 单元活动构建单元活动构建 章末质量评估 问题3 抛物线是怎样定义的？提示：我们把平面
2、内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线 单元活动构建单元活动构建 章末质量评估 24+231 解析：如图所示，连接MA.因为M为线段AP的垂直平分线l上的一点，所以|MP|MA|.于是|MB|MA|MB|MP|BP|4.又|BA|2，所以点M的轨迹是以B，A为焦点的椭圆，设其方程为22+221(ab0)由题意知a2，c1，所以b2a2c23.故点M的轨迹方程为24+231.1已知点A(1，0)和圆B：(x1)2y216.P是圆上任一点，则线段AP的垂直平分线l与线段PB的交点M的轨迹方程是_ 单元活动构建单元活动构
3、建 章末质量评估 3 11 解析：由已知，得a216，b29，c225，所以a4，c5.由于点M在双曲线上，且|MF1|5|MF2|，则M在右支上，根据双曲线定义有|MF1|MF2|2a8，又|MF1|5|MF2|，所以|MF1|10，|MF2|2，而|F1F2|2c10，则MF1F2为等腰三角形，取MF2中点为N，则F1NMF2，且|F1N|102 123 11，从而12 12 2 3 113 11.2若F1，F2是双曲线216291的左、右焦点，点M在双曲线上，且满足|MF1|5|MF2|，则MF1F2的面积等于_ 单元活动构建单元活动构建 章末质量评估 【规律方法】利用定义求椭圆方程(1
4、)椭圆的定义具有双向作用，即若|MF1|MF2|2a(2a|F1F2|)，则点M的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点M到两焦点的距离之和为2a.(2)椭圆的定义能够对一些距离进行相互转化，简化解题过程因此，解题过程中遇到涉及曲线上的点到焦点的距离问题时，应先考虑是否能够利用椭圆的定义求解 单元活动构建单元活动构建 章末质量评估 提示：任务二 圆锥曲线的标准方程 问题1 椭圆的标准方程是什么？焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 22+221(ab0)22+221(ab0)焦点(c，0)与(c，0)(0，c)与(0，c)a，b，c的关系 c2a2b2 单元活动构建单元活动构建 章末质量
5、评估 问题2 双曲线的标准方程是什么？提示：焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 22221(a0，b0)22221(a0，b0)焦点坐标(c，0)，(c，0)(0，c)，(0，c)a，b，c的关系 c2a2b2 单元活动构建单元活动构建 章末质量评估 问题3 抛物线的标准方程是什么？提示：图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 y22px(p0)2，0 x2 y22px(p0)2，0 x2 单元活动构建单元活动构建 章末质量评估 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 x22py(p0)0，2 y2 x22py(p0)0，2 y2 单元活动构建单元活动构建 章末质量评估 1已知椭圆C：2
6、2+221(m0，n0，mn)的长轴长为4，离心率为22，则椭圆C的标准方程为()A24+221 B24+221或22+241 C216+281 D216+281或28+2161 单元活动构建单元活动构建 章末质量评估 B 解析：设椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b，半焦距为c，离心率为e.因为长轴长为4，所以2a4，所以a2，a24.因为e22，所以e212222;224;24，所以b22，所以当椭圆C的焦点在x轴上时，椭圆C的标准方程为24+221；当椭圆C的焦点在y轴上时，椭圆C的标准方程为22+241.故选B.单元活动构建单元活动构建 章末质量评估 2已知抛物线C的顶点在原点，焦点F在x
7、轴的正半轴上，点M为圆O：x2y212与C的一个交点，且|MF|3，则抛物线C的标准方程是()Ay22x By23x Cy24x Dy26x 单元活动构建单元活动构建 章末质量评估 C 解析：设抛物线C的标准方程为y22px(p0)，M(xM，yM)，准线l的方程为y2，连接MO，过点M作MM1l，交y轴于点M2，因为|MF|3 xM2，所以 2 xM 3 2，所以 2 yM2 6 2.在RtOMM2中，|M2O|2|MM2|2 2，所以 6 2+3 2212，解得p2，所以抛物线 C的标准方程为y24x.故选C.单元活动构建单元活动构建 章末质量评估 【规律方法】1椭圆方程的一般形式：mx2
8、ny21(m0，n0，mn)，其焦点位置有如下规律：当mn时，焦点在y轴上在求椭圆的方程时，一般可设所求椭圆的标准方程为mx2ny21(m0，n0，mn)，不必考虑焦点位置，用待定系数法求出m，n的值，再写成标准方程即可 单元活动构建单元活动构建 章末质量评估 2求椭圆标准方程的两个基本方法：(1)定义法：关键在于充分利用平面几何知识，并注意画图分析，充分挖掘题干中所隐含的条件，从而确定动点轨迹是否满足椭圆的定义(2)待定系数法：当已知动点轨迹为椭圆时可以使用待定系数法，其关键是确定椭圆焦点的位置设出椭圆方程，代入已知条件求得椭圆方程中的参数的值 单元活动构建单元活动构建 章末质量评估 任务三
9、 圆锥曲线的简单几何性质 问题1 椭圆有哪些简单几何性质？提示：焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 22+221(ab0)22+221(ab0)单元活动构建单元活动构建 章末质量评估 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 范围 axa，byb bxb，aya 顶点(a，0)，(0，b)(b，0)，(0，a)轴长 短轴长2b，长轴长2a 焦点(c，0)(0，c)焦距|F1F2|2c2 2 2 对称性 对称轴是坐标轴，对称中心是原点 离心率 e，0e0，b0)22221(a0，b0)图形 焦点 F1(c，0)，F2(c，0)F1(0，c)，F2(0，c)焦距|F1F2|2c2
10、 2+2 单元活动构建单元活动构建 章末质量评估 标准方程 22221(a0，b0)22221(a0，b0)范围 xa或xa，yR ya或ya，xR 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 A1(a，0)，A2(a，0)A1(0，a)，A2(0，a)单元活动构建单元活动构建 章末质量评估 标准方程 22221(a0，b0)22221(a0，b0)轴 实轴：线段A1A2，长：2a；虚轴：线段B1B2，长：2b；实半轴长：a，虚半轴长：b 离心率 e(1，)渐近线 yx y 单元活动构建单元活动构建 章末质量评估 问题3 抛物线有哪些简单几何性质？提示：类型 y22px(p0)y22px(p
11、0)x22py(p0)x22py(p0)图象 单元活动构建单元活动构建 章末质量评估 类型 y22px(p0)y2 2px(p0)x22py(p0)x2 2py(p0)性 质 焦点 F2，0 F 2，0 F 0，2 F 0，2 准线 x2 x2 y2 y2 范围 x0，yR x0，yR xR，y0 xR，y0 对称轴 x轴 y轴 单元活动构建单元活动构建 章末质量评估 类型 y22px(p0)y2 2px(p0)x22py(p0)x2 2py(p0)性 质 顶点 O(0，0)离心率 e1 开口方向 向右 向左 向上 向下 单元活动构建单元活动构建 章末质量评估 (，11，)解析：双曲线x2y2
12、1的渐近线是yx，结合双曲线特征得k1或k1.1直线ykx与双曲线x2y21没有公共点，则k的取值范围是_ 单元活动构建单元活动构建 章末质量评估 24y21 解析：由于P3，P4两点关于y轴对称，故由题设知椭圆C经过P3，P4两点 又由12+1212+342知，椭圆C不经过点P1，所以点P2在椭圆C上 因此 121，12+3421，解得 24，21.故椭圆C的方程为24y21.2若椭圆C：22+221(ab0)，P1(1，1)，P2(0，1)，31，32，41，32四点中恰有三点在椭圆C上，则椭圆C的方程为_ 单元活动构建单元活动构建 章末质量评估 解：因为曲线C上的任意一点P到定点F(1，
13、0)的距离比它到定直线x2的距离小1，所以点P到定点F(1，0)的距离和它到定直线x1的距离相等，所以曲线C为抛物线，且p2，故曲线C的方程为y24x.3已知曲线C上的任意一点P到定点F(1，0)的距离比它到定直线x2的距离小1.(1)求曲线C的方程 单元活动构建单元活动构建 章末质量评估 证明：易知直线l与x轴不重合，所以可设l：xmy1，M(x1，y1)，N(x2，y2)，由 +1，24，消去x，得y24my40，因此y1y24m，y1y24.(2)已知A(1，0)，过点F作直线l与曲线C交于M，N两点求证：直线AM，AN关于x轴对称 单元活动构建单元活动构建 章末质量评估 因为kAMkAN11:1+22:1 11:2+22:2 212:2 1:21:22:2;8:81:22:2 0，所以kAMkAN，即FAMFAN，故直线AM，AN关于x轴对称 单元活动构建单元活动构建 章末质量评估 【规律方法】求椭圆的方程的两种方法(1)与椭圆22+221(ab0)离心率相同的椭圆的方程可设为22+22(0)(2)与椭圆22+221(ab0)共焦点的椭圆的方程可设为22:+22:1(ab0，b2k0)