1、选择性必修第二册全册知识点清单9. 1线性回归分析一、变量间的相关关系1. 两个变量的关系分类函数关系相关关系特征两变量具有确定性关系两变量没有确定性关系2. 相关关系两个变量之间具有一定的联系，但又没有确定性函数关系，这种关系称为相关关系. 3. 散点图将样本中的n个数据构成的点(xi，yi)(i=1，2，3，n)描在平面直角坐标系中得到的图形称为散点图. 4. 线性相关关系散点图中的点散布在一条直线附近，将具有这种特性的相关关系称为线性相关关系. 5. 正相关与负相关具有相关关系的两个变量的散点图如果呈从左下向右上方向发展的趋势，称这两个变量之间正相关，如果呈从左上向右下方向发展的趋势，则
2、称这两个变量之间负相关. 二、相关系数1. 对于变量x与y的n对数据(xi，yi)(i=1，2，3，n)，一般用r=i=1n (xi-x)(yi-y)i=1n (xi-x)2i=1n (yi-y)2=ni=1n xiyi-(i=1n xi)(i=1n yi)ni=1n xi2-i=1n xi2ni=1n yi2-i=1n yi2来衡量y与x的线性相关强弱，这里的r称为相关系数. 2. 相关系数r具有的性质(1)-1r1；(2)r0时y与x呈正相关关系， r0. 5时，认为线性相关关系显著；当|r|0，y与x负相关的充要条件是b10. 828，则有99. 9%的把握认为“与有关系”；(2)若26
3、. 635，则有99%的把握认为“与有关系”；(3)若22. 706，则有90%的把握认为“与有关系”；(4)若22. 706，则认为没有充分的证据显示“与有关系”，但也不能得出结论“H0成立”，即与没有关系. 四、由2进行独立性检验1. 独立性检验的关注点在22列联表中，如果两个分类变量没有关系，则应满足ad-bc0，事实上，|ad-bc|越小，两个分类变量的关系越弱；|ad-bc|越大，两个分类变量的关系越强. 五、独立性检验与统计、概率的综合应用解决与独立性检验有关的统计、概率综合问题，一般有以下几个步骤(1)厘清题意，理解问题中的条件和所要得出的结论，尤其是直方图中给定的信息，找关键量
4、. (2)分析数据，列出22列联表. (3)利用独立性检验的步骤进行判断. (4)利用概率公式求事件的概率. (5)反思回顾、检查关键点、易错点及答题规范. 第7章计数原理知识点清单第7章计数原理7. 1两个基本计数原理一、分类计数原理（加法原理）1. 如果完成一件事，有n类方式，在第1类方式中有m1种不同的方法，在第2类方式中有m2种不同的方法在第n类方式中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+mn种不同的方法. 二、分步计数原理（乘法原理）1. 如果完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事
5、共有N=m1m2mn种不同的方法. 三、两个基本计数原理的比较1. 分类计数原理与分步计数原理的比较分类计数原理分步计数原理不同点分类完成，类类相加分步完成，步步相乘每类方式中的每一种方法都能独立完成这件事每步依次完成才算完成这件事相同点都可用来计算完成某件事的方法种数，最终的目的都是完成某件事注意点类类独立，不重不漏步步相依，步骤完整四、两个基本计数原理的选择与应用1. 应用分类计数原理解题的一般思路第 7 页 共 28 页2. 应用分步计数原理解题的一般思路应用分步乘法原理时，要确定好顺序，还要注意元素是否可以重复选取. 3. 两个计数原理的综合应用(1)类中有步从AB共有(m1m2m3+
6、m4m5)种方法. (2)步中有类从AD共有m1(m2+m3+m4)m5种方法. “类”用“+”连接，“步”用“”连接，“类”独立，“步”连续，“类”标志一件事的完成，“步”则缺一不可. 五、解决计数问题的常用方法1. 在计数问题中常涉及元素与位置，解题时要分析清楚要完成的事是元素选择位置还是位置选择元素. 2. 当涉及元素数目不大时，一般选择用列举法、数形图法. 当涉及元素数目较大或情况比较复杂时，一般有两种方法：(1)直接法：直接应用分类计数原理或分步计数原理解题. (2)间接法：先去掉限制条件，计算方法总数，然后减去所有不符合条件的方法数，从而得到正确答案. 3. 涂色(种植)问题一般是
7、直接利用两个基本计数原理求解，常用方法如下：(1)根据区域的不同，以区域为主分步计数，用分步计数原理分析；(2)以颜色(种植作物)为主分类讨论，用分类计数原理分析. 7. 2排列一、排列、排列数与排列数公式排列一般地，从n个不同的元素中取出m(mn)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个排列排列数一般地，从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有排列的个数，叫作从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号Anm表示排列数公式Anm=n(n-1)(n-2)(n-m+1)，其中n，mN*，且mn二、全排列、阶乘的概念及相关结论1. 全排列：n个不同元素全部取出的一个
8、排列，叫作n个不同元素的一个全排列. 2. n的阶乘在排列数公式中，当m=n时，即有Ann=n(n-1)(n-2)321，n(n-1)(n-2)321称为n的阶乘，通常用n!表示，即Ann=n!. 3. 阶乘的相关结论(1)规定：0!=1；(2)排列数公式的另一种形式： Anm=n!(n-m)! (其中n，mN*，且mn). 三、排列数及其运算1. 排列数运算的方法与技巧(1)拆项技巧nn!=(n+1)!-n!； n-1n!=1(n-1)!-1n!. (2)化简技巧n!=n(n-1)!=n(n-1)(n-2)!；Anm=nAn-1m-1；Anm+mAnm-1=An+1m. 2. 解有关排列数的
9、方程或不等式的步骤 四、有限制条件的排列问题1. “在”与“不在”的问题常见的“在”与“不在”的有限制条件的排列问题是典型的特殊元素或特殊位置问题. 解决“在”与“不在”的排列问题的原则是谁“特殊”谁优先. 解题思路如下：2. “相邻”与“不相邻”问题限制条件解题策略元素相邻通常采用“捆绑法”，即把相邻元素看成一个整体并与其他元素进行排列元素不相邻通常采用“插空法”，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻元素插在前面元素形成的空中3. “定序”问题在排列问题中，某些元素在题意中已排定了顺序，对这些元素进行排列时，不再考虑其顺序. 在具体的计算过程中，可采用“除阶乘法”解决，即n个元素的全排列
10、中有m(mn)个元素的顺序固定，则满足题意的排法有AnnAmm种. 7. 3组合一、组合、组合数的概念1. 组合：一般地，从n个不同元素中取出m(mn)个元素并成一组，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个组合. 2. 组合数：从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有组合的个数，叫作从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号Cnm表示. 二、组合数公式与性质1. 公式：Cnm=AnmAmm=n(n-1)(n-2)(n-m+1)m!=n!m!(n-m)!. (n，mN*，并且mn)2. 特殊组合数：Cn0=1， Cn1=n， Cnn=1. 3. 组合数的性质：Cnm=Cnn-m，Cn+1m=
11、Cnm-1+Cnm. 三、组合数的性质与运算1. 组合数公式的主要适用范围形式主要适用范围乘积式Cnm=n(n-1)(n-2)(n-m+1)m(m-1)(m-2)321含具体数字的组合数的求值阶乘式Cnm=n!m!(n-m)!含字母的组合数的有关变形及证明2. 组合数的性质及应用(1)性质“Cnm=Cnn-m”的意义及作用(2)性质“Cn+1m=Cnm-1+Cnm”的顺用、逆用、变形用顺用是将一个组合数拆成两个；逆用则是“合二为一”；变形式Cnm=Cn+1m-Cnm-1，为某些项相互抵消提供了方便，在解题时要注意灵活运用. 四、分组与分配问题分组问题和分配问题是有区别的，前者是组与组之间只要元
12、素个数相同，就是不可区分的，而后者即使两组元素个数相同，但因元素不同，仍然是可区分的. 1. 分组问题的求解策略常见形式处理方法非均匀不编号分组将n个不同元素分成m组，每组元素数目均不相同，且不考虑各组间的顺序，不管是否分尽，分法种数为A=Cnm1Cn-m1m2Cn-(m1+m2)m3Cn-(m1+m2+mm-1)mm均匀不编号分组将n个不同元素分成不编号的m组，假定其中r组元素个数相等，不管是否分尽，其分法种数为AArr (其中A为非均匀不编号分组中的分法数). 如果再有k组均匀分组，则应再除以Akk非均匀编号分组将n个不同元素分成m组，各组元素数目均不相等，且考虑各组间的顺序，其分法种数为
13、AAmm均匀编号分组将n个不同元素分成m组，其中r组元素个数相同且考虑各组间的顺序，其分法种数为AArrAmm2. 相同元素分配问题的处理策略“n个相同元素分成m组(每组的任务不同)”的问题，一般可用隔板法求解. (1)当每组至少含一个元素时，其不同分组方式有Cn-1m-1种，即给n个元素中间的(n-1)个空隙中插入(m-1)个隔板. (2)任意分组，可出现某些组含0个元素的情况，其不同分组方式有Cn+m-1m-1种，即将n个相同元素与(m-1)个相同隔板进行排序，在(n+m-1)个位置中选(m-1)个安排隔板. 五、排列、组合的综合应用问题1. 正确区分“有序”与“无序”区分排列与组合的重要
14、标志是“有序”和“无序”，无序的问题用组合的知识解答，有序的问题用排列的知识解答. 2. 辩证看待“元素”与“位置”排列、组合问题中的元素与位置没有严格的界定标准，哪些事件看成元素或位置，随解题者的思维方式的变化而变化，要视具体情况而定. 有时“元素选位置”解决问题更简捷，有时“位置选元素”效果会更好. 7. 4二项式定理7. 4. 1二项式定理一、二项式定理及相关的概念1. 公式(a+b)n=Cn0an+Cn1an-1b+Cnran-rbr+Cnnbn(nN*)叫作二项式定理，右边的多项式叫作(a+b)n的二项展开式，它一共有n+1项，其中Cnran-rbr叫作二项展开式的第r+1项(也称通
15、项)，用Tr+1表示，即Tr+1=Cnran-rbr . Cnr (r=0，1，. . . ，n)叫作第r+1项的二项式系数. 二、求二项展开式中的特定项(项的系数)1. 求二项展开式的特定项的常用方法(1)对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项). (2)对于有理项，一般先写出展开式的通项，然后令其所有的字母的指数都等于整数. 解这类问题必须合并通项中同一字母的指数，根据具体要求，令其为整数，再根据数的整除性来求解. (3)对于二项展开式中的整式项，其通项中同一字母的指数合并后应是非负整数，求解方式与求有理项一致. 三、三项展开式问题1. 三项式求特定项的方法(1)因式分解法：先通过
16、因式分解将三项式变成两个二项式，然后用二项式定理分别展开. (2)逐层展开法：先将三项式分成两组(一项组和两项组)，用二项式定理展开，再把其中的两项组展开. (3)利用组合知识：把三项式(a+b+c)n看成n个式子(a+b+c)的积，利用组合知识分析项的构成，注意最后把各个同类项合并. 四、求展开式的系数和(赋值法)“赋值法”是解决二项展开式中项的系数问题常用的方法，根据题目要求，灵活赋予字母不同的值. 一般地，若f(x)=a0+a1x+a2x2+anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0+a2+a4+=f(1)+f(-1)2，偶数项系数之和为a1+a3+a5+=
17、f(1)-f(-1)2. 7. 4. 2二项式系数的性质及应用一、二项式系数的性质对称性在(a+b)n的展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即Cnm=Cnn-m (mN，nN*，mn)增减性与最大值增减性：当rn-12时， Cnrn-12时， Cnr+1Cnr. 最大值：当n为偶数时，中间一项的二项式系数Cnn2最大；当n为奇数时，中间两项的二项式系数Cnn-12，Cn+12n相等，且最大各二项式系数的和(1)二项展开式中，各二项式系数的和Cn0+Cn1+Cn2+Cnn=2n；(2) Cn0+Cn2+Cn4+=Cn1+Cn3+Cn5+=2n-1特殊情况在杨辉三角中，除1以外的每
18、一个数都等于它“肩上”两个数的和，即Cnm+Cnm-1=Cn+1m二、二项式系数与系数的最大项1. 展开式中二项式系数最大项的确定方法(1)当n为偶数时，中间一项（第n2+1项，即Cnn2）的二项式系数最大；(2)当n为奇数时，中间两项（第n+12项和第n+12+1项，即Cnn-12和Cnn+12）的二项式系数相等且最大. 2. 展开式中系数最大的项的确定方法(1)在系数符号相同的前提下，求系数的最大(小)值只需比较两组相邻两项系数的大小，根据通项正确列出不等式组Tr+1Tr，Tr+1Tr+2Tr+1Tr，Tr+1Tr+2即可. (2)当各项系数正负相间时，求系数的最大值应在系数都为正的各项系
19、数间构造不等式组；求系数的最小值应在系数都为负的各项系数间构造不等式组. 三、二项式定理的应用1. 利用二项式定理解决整除或求余数问题利用二项式定理解决整除或求余数问题，关键是要巧妙构造二项式，通常把底数写成除数(或与除数密切相关的数)与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开，只考虑后面(或前面)一两项就可以了. 2. 利用二项式定理进行近似计算利用二项式定理进行近似计算，其关键在于构造恰当的二项式(p+q)n(nN*，pZ，|q|0，我们称P(AB)P(A)为事件A发生的条件下事件B发生的条件概率，记为P(B|A)，读作“A发生的条件下B发生的概率”，即P(B|A)=P(AB)P(A) (P
20、(A)0). 二、概率的乘法公式1. 由条件概率公式可知P(AB)=P(B|A)P(A). 说明：假设Ai表示事件，i=1，2，3，且P(Ai)0，P(A1A2)0，则P(A1A2A3)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)，其中P(A3|A1A2)表示已知A1与A2都发生时A3发生的概率，而P(A1A2A3)表示A1，A2，A3同时发生的概率. 三、条件概率的性质(1)P(|A)=1(为样本空间)；(2)P(|A)=0；(3)若B1，B2互斥，则P(B1+B2)|A)=P(B1|A)+P(B2|A). 四、条件概率的计算方法1. 计算条件概率的方法一般有两种(1)利用定义计算，先分
21、别计算概率P(AB)和P(A)，然后代入公式P(B|A)= P(AB)P(A)计算. (2)利用缩小样本空间法计算(局限在古典概型内)，即P(B|A)= n(AB)n(A). 五、求较复杂事件的概率1. 当所求事件的概率比较复杂时，往往把该事件分成两个(或多个)互斥的较简单的事件，求出这些简单事件的概率，再利用公式便可求得较复杂事件的概率. 2. 求较复杂事件的概率的一般步骤(1)列出题中涉及的各个事件，并且用适当的符号表示；(2)厘清事件之间的关系(两个事件是互斥事件还是对立事件)，列出关系式；(3)根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算；(4)当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时，可
22、先间接计算其对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率. 六、乘法公式及其应用1. 乘法公式的特点及注意事项(1)知二求一：若P(A)0，P(B)0，则已知P(A)，P(B|A)，P(AB)中的两个值就可以求得第三个值；已知P(B)，P(A|B)，P(BA)中的两个值就可以求得第三个值. (2)P(B)与P(B|A)的区别在于两者发生的条件不同，它们是两个不同的概念，在数值上一般也不同. 8. 1. 2全概率公式8. 1. 3贝叶斯公式*一、全概率公式1. 一般地，若事件A1，A2，An两两互斥，且它们的和i=1n Ai=，P(Ai)0，i=1，2，3，n，则对于中的任意事件B，有P(B)=
23、i=1n P(Ai)P(B|Ai). 这个公式称为全概率公式. 二、贝叶斯公式1. 一般地，若事件A1，A2，An两两互斥，且A1A2An=，P(Ai)0，i=1，2，n，则对于中的任意事件B，P(B)0，有P(Ai|B)P(B)=P(B|Ai)P(Ai). 因此P(Ai|B)=P(Ai)P(B|Ai)P(B). 再由全概率公式得P(Ai|B)= P(Ai)P(B|Ai)i=1n P(Ai)P(B|Ai). 这个公式称为贝叶斯公式. 2. 特别地，当0P(A)0时，有P(A|B)= P(A)P(B|A)P(B)=P(A)P(B|A)P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A). 三、全概率公式及
24、其应用1. 全概率公式的意义在于，当直接计算事件B发生的概率P(B)较为困难时，可以先找到样本空间的一个划分=A1A2An，A1，A2，An两两互斥，将A1，A2，An看成是导致B发生的一组原因，这样事件B就被分解成了n个部分，分别计算P(B|A1)，P(B|A2)，P(B|An)，再利用全概率公式求解. 2. 运用全概率公式计算事件B发生的概率P(B)时，一般步骤如下：(1)求划分后的每个小事件的概率，即P(Ai)， i =1，2，n；(2)求每个小事件发生的条件下，事件B发生的概率，即P(B|Ai)， i =1，2，n；(3)利用全概率公式计算P(B)，即P(B)= i=1n P(Ai)P
25、(B|Ai). 第 16 页 共 28 页四、贝叶斯公式及其应用1. 贝叶斯公式是在条件概率的基础上寻找事件发生的原因，在运用贝叶斯公式时，一般已知和未知的条件如下：(1)A的多种情况中到底哪种情况发生是未知的，但是每种情况发生的概率已知，即P(Ai)已知；(2)事件B是已经发生的确定事实，且A的每种情况发生的条件下B发生的概率已知，即P(B|Ai)已知；(3)P(B)未知，需要使用全概率公式计算得到；(4)求解的目标是用A的某种情况Ai的无条件概率求其在B发生的条件下的有条件概率P(Ai|B). 8. 2离散型随机变量及其分布列8. 2. 1随机变量及其分布列一、随机变量1. 随机变量的概念
26、一般地，对于随机试验样本空间中的每个样本点，都有唯一的实数X()与之对应，则称X为随机变量. 2. 随机变量的表示随机变量通常用大写英文字母X，Y，Z(或小写希腊字母，)等表示，而用小写英文字母x，y，z(加上适当下标)等表示随机变量的取值. 3. 随机变量的分类离散型随机变量取值为离散的数值的随机变量连续型随机变量取值为连续的实数区间的随机变量二、随机变量的概率分布1. 概率分布列一般地，随机变量X有n个不同的取值，它们分别是x1，x2，xn，且P(X=xi)=pi，i=1，2，n，称上式为随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列. 2. 概率分布表Xx1x2xnPp1p2pn将上表称为随机
27、变量X的概率分布表，概率分布列和概率分布表都叫作随机变量X的概率分布. 3. 概率分布的性质概率分布里的pi(i=1，2，n)满足条件：(1)pi0； (2)p1+p2+pn=1. 三、两点分布1. 随机变量X只取两个可能值0和1，我们把这一类概率分布称为0-1分布或两点分布. 四、两个相关的随机变量的概率分布问题1. 一般地，若X是随机变量，则Y=f(X)也是随机变量. 2. 已知随机变量X的概率分布，求随机变量Y=f(X)的概率分布，其关键是弄清X取每一个值时相对应的Y的值，若f(X)的取值出现重复，则需要把它们的相应概率相加，所求即为Y的取值概率. 五、求离散型随机变量的概率分布1. 求
28、离散型随机变量的概率分布的步骤(其中i=1，2，n)2. 求离散型随机变量概率分布时应注意的问题(1)确定离散型随机变量X的概率分布的关键是要弄清X取每一个值对应的随机事件，进一步利用排列、组合知识求出X取每一个值时的概率. 当随机变量X取值较多时，应由简单情况先导出一般的通式，从而简化过程. (2)在求离散型随机变量X的概率分布时，要充分利用概率分布的性质，这样不但可以减少运算量，还可以验证概率分布是否正确. 8. 2. 2离散型随机变量的数字特征一、离散型随机变量的均值1. 一般地，随机变量X的概率分布如下表所示，Xx1x2xn概率pp1p2pn其中pi0，i=1，2，n，p1+p2+pn
29、=1，我们将p1x1+p2x2+pnxn称为随机变量X的均值或数学期望，记为E(X)或. 2. 离散型随机变量X的均值或数学期望反映了离散型随机变量取值的平均水平. 3. 若X与Y都是随机变量，且Y=aX+b(a0)，则由X与Y之间概率分布的关系可知E(Y)=E(aX+b)=aE(X)+b. 二、离散型随机变量的方差与标准差1. 一般地，若离散型随机变量X的概率分布如下表所示，Xx1x2xnPp1p2pn其中，pi0，i=1，2，n，p1+p2+pn=1，则(xi-)2(=E(X)描述了xi(i=1，2，n)相对于均值的偏离程度，故(x1-)2p1+(x2-)2p2+(xn-)2pn刻画了随机
30、变量X与其均值的平均偏离程度，我们将其称为离散型随机变量X的方差，记为D(X)或2，即D(X)=2=(x1-)2p1+(x2-)2p2+(xn-)2pn. 2. 随机变量X的方差也称为X的概率分布的方差，X的方差D(X)的算术平方根称为X的标准差，即=D(X). 3. 随机变量的方差和标准差都反映了随机变量的取值偏离于均值的平均程度. 方差或标准差越小，随机变量偏离于均值的平均程度就越小. 4. 若X和Y都是离散型随机变量，且Y=aX+b(a0)，则由X和Y之间概率分布和均值的关系可知D(Y)=D(aX+b)=a2D(X). 三、两点分布的均值和方差1. 随机变量X的概率分布如下表所示. X0
31、1P1-pp则E(X)=p，D(X)=p(1-p)，=p(1-p). 四、求离散型随机变量的均值与方差1. 求离散型随机变量的均值与方差的类型及解决方法(1)已知概率分布型：直接利用定义求解. (2)未知概率分布型：求解时可先借助已知条件等求得概率分布，然后利用定义求解. (3)已知E(X)，D(X)，求E(aX+b)，D(aX+b)型：利用E(aX+b)=aE(X)+b和D(aX+b)=a2D(X)求解. 五、实际生活中的离散型随机变量的数字特征1. 求实际生活中离散型随机变量X的均值与方差的步六、数学期望与方差在实际生活中的应用1. 在实际生活中存在许多决策问题，在确定性现象中，我们决策和
32、优化的目的通常是使损失最小或利益最大. 2. 离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，而方差反映了离散型随机变量的取值相对于均值的离散程度(或波动大小). 因此，在利用均值和方差的意义去分析、解决实际问题时，两者都要考虑. (1)若我们希望实际的平均水平较理想时，则先求随机变量X1，X2的均值，当E(X1)=E(X2)时，不应认为它们一样好，还需要用D(X1)，D(X2)来比较这两个随机变量的偏离程度，偏离程度越小越好. (2)若我们希望随机变量的取值比较稳定时，则应先考虑方差，再考虑均值是否相等或接近. 8. 2. 3二项分布一、二项分布1. 伯努利试验我们把只包含两个可能结
33、果的试验叫作伯努利试验，将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验. 2. 二项分布若随机变量X的分布列为P(X=k)= Cnkpkqn-k，其中0p1，p+q=1，k=0，1，2，n，则称X服从参数为n，p的二项分布，记作XB(n，p). 其概率分布如下表所示. X012nPCn0p0qnCn1pqn-1Cn2p2qn-2Cnnpnq0二、二项分布的数学期望与方差一般地，当XB(n，p)时，E(X)=np，D(X)=np(1-p)，=np(1-p). 三、二项分布的实际应用 1. 利用二项分布模型解决实际问题的一般步骤(1)根据题意设出随机变量；(2)分析随机变量是
34、否服从二项分布；(3)若服从二项分布，则求出参数n和p的值；(4)根据需要列出相关式子并解决问题. 2. 解决二项分布问题的两个关注点(1)公式P(X=k)= Cnkpkqn-k(0p1，p+q=1，k=0，1，2，n)必须在满足“独立重复试验”时才能运用，否则不能应用该公式. (2)判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点：一是对立性，即一次试验中，事件发生与否，二者必居其一；二是重复性，即试验是否独立重复地进行了n次四、二项分布中的最大值1. 求二项分布中的最大值的步骤(1)由XB(n，p)，得P(X=k)= Cnkpk(1-p)n-k，k=0，1，2，n. (2)令P(X=k)-P(
35、X=k-1)0或P(X=k)P(X=k-1)1，求出k的取值区间，此区间即为P(X=k)的单调递增区间，它的补集区间为单调递减区间. (3)结合P(X=k)的单调性确定P(X=k)的最大值和对应的k值. 8. 2. 4超几何分布一、超几何分布1. 对一般情形，一批产品共N件，其中有M件不合格品，随机取出的n件产品中，不合格品数X的概率分布如表所示. X012lPCM0CN-MnCNn CM1CN-Mn-1CNn CM2CN-Mn-2CNn CMlCN-Mn-lCNn 其中l=minn，M. 2. 一般地，若一个随机变量X的分布列为P(X=r)= CMrCN-Mn-rCNn，其中r=0，1，2，3，l，l=minn，M，则称X服从超几何分布，记为XH(n，M，N)，并将P(X=r)= CMrCN-Mn-rCNn记为H(r；n，M， N). 二、超几何分布的均值1. 当XH(n，M，N)时，E(X)=k=0l kPk=nMN，其中l=minn，M. 三、超几何分布的应用1. 解决超几何分布问题的关键点(1)超几何分布是概率分布的一种形式，一定要注意公式中字母的范围及其意义，解决问题时可以直接利用公式求解，但不能机械地记忆. (2)超几何分布中，只要知道M，N，n，就可以利用公式求出X取不同值时的概率，从而求出X的概率分布. 四、二项分