1、 学科网（北京）股份有限公司 2024 暑假宁波九年级数学夏季竞赛 姓名：_ 准考证号：_ 本试卷共 4 页,14 小题,满分 100 分,考试用时 90 分钟。全卷分为选择题部分和非选择题部分。选择题部分 1 至 2 页,非选择题部分 3 至 4 页。选择题部分选择题部分(32 分分)一、选择题 I:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.如图,在矩形 中,点,分别是边 和对角线 上的点,满足 =,=,若/,则=A.5 25 B.352 C.512 D.53 2.有两条中线长分别为 3 和 6 的三角形面积的最大值为 A.9 B
2、.12 C.18 D.24 3.222222一共 222 个 2 除以 7 的余数是 A.0 B.1 C.2 D.4 4.关于,的方程 3+3=4 的正整数解的组数为 A.0 B.1 C.2 D.无数个 二、选择题 II:本题共 2 小题,每小题 6 分,共 12 分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分,部分选对的得部分分,有选错的得 0 分。5.一张 A4 规格的复印纸(下简称 A4 纸)是长为 2cm,宽为 cm 的矩形.如图,现有一张矩形纸片(),且 =cm,则下列说法中正确的有 学科网（北京）股份有限公司 A.在 上取一点 ,将 沿着 翻折使点 的对应点 恰
3、好在 上,复原后,使用量角器测量 ,若=45,则其为 A4 纸 B.对折纸片使 与 重合,折痕为,(在 上),复原后,用量角器测量 和 ,若 =,则其为 A4 纸 C.在 上取一点 ,将 沿着 翻折使点 的对应点 恰好在 上,若 ,在同一条直线上,则其为 A4 纸 D.对折纸片使 与 重合,折痕为,(在 上),将 沿着 翻折,若点 的对应点 恰好在对角线 上,则其为 A4 纸 6.在平面直角坐标系中,已知(1,1),为反比例函数 =1 图象上的动点且不与 重合,以 为斜边作等腰直角 ,设直线 的解析式为 =+,则 A.当点 也在反比例函数图象上时,的所有取值之积为 1 B.当点 也在反比例函数
4、图象上时,的所有取值之和为 5 C.点 的轨迹是轴对称图形 D.当点 在第四象限时,与点 1 2,0 的距离最小值为 2 非选择题部分非选择题部分(68 分分)三、填空题:本题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。7.已知不相等的两实数,满足 +1=+1,则 =8.如图,的外接圆 与内切圆 的半径之比为 4:1,若 =60,则 tan tan=_.学科网（北京）股份有限公司 第 8 题图 第 10 题图 9.12+1+11!+22+2+12!+32+3+13!+1002+100+1100!=（阶乘 !表示 (1)1,结果用数的阶乘表示）10.如图,是四边形 对角线的交点,=,=2,=2,
5、=5,=7,则 =_.11.同时满足下列三个条件的正四位数的个数为_.任意相邻的两个数位的差的绝对值不为 2;能被 2 整除;各个位数仅由 1 5 构成.四、解演算步骤答题:本题共 3 小题,共 43 分。使用非初中知识解答的,该小问酌情扣分。12.(13 分)已知函数 =|2|+(+1).(1)若 =2,5,求 的最小值;(2)当 1 2 时,有 4 恒成立,求 的最小值.学科网（北京）股份有限公司 数学参考答案和评分标准数学参考答案和评分标准 一、选择题 I:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.C 2.B 3.A 4.B
6、解析解析:1.由题意得 ,则=,故 是线段 的一个黄金分割点=5 12.2.两中线垂直取到最值。3.方法一、因为 1001 能被 7 整除,因此任何 abcabc0000式的数字均能被 7 整除;即,任何 ABCABCDEFDEFGHIGHI式的数字均能被 7 整除 方法二、2 除以 7 的余数为 2 22 除以 7 的余数为 1 222 除以 7 的余数为 5 2222 除以 7 的余数为 3 22222 除以 7 的余数为 4 222222 除以 7 的余数为 0 2222222 除以 7 的余数为 2 由规律得,原数余数为 0.4.整理得 4=2+2(+)2+=+因此 +4,经验证,只有
7、 =2,=2 符合条件 学科网（北京）股份有限公司 二、选择题 II:本题共 2 小题,每小题 6 分,共 12 分。评分标准如下表:选项数 分档 详细 2 3 选错不选 0 分,选对 1 个给 3 分,选对 2 个给 6 分 3 4 选错不选 0 分,选对 1 个给 2 分,选对 2 个给 4 分,选对 3 个给 6 分 5.ABD 6.ACD 解析解析:5.A 选项导角分析即可,B 选项通过矩形的相似得出,C 选项得出的长宽是黄金比,D 选项结合相似、射影定理判断垂直.6.A B 根据一线三等角得到、C 瓜豆原理.D 通过计算得到 三、填空题:本题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分
8、。除了括号内的等效答案外,别的答案一律不给分!7.-1 8.15(0.2)9.101100!1101100!100!、展开阶乘也对)10.58 11.116 解析解析:7.+1=+1 1=1,构造函数 =1,令 =1,则由韦达定理 12=1,8.取弧 中点,与 的交点为 ,取圆 的切点为,.不妨设 =12.学科网（北京）股份有限公司 第一步:翻译条件 由题意得=4=,故 =2=23.第二步:确定图形 由 =得到,共圆,得 =43,在 中得 =21.第三步:求值 tan=36+21=23 75,同理,tan=23+75.故 tan tan=15.9.考查变形能力 2+1!=+1!(1)!12+1
9、+11!+22+2+12!+32+3+13!+1002+100+1100!=100+1100!10!=101100!1 10.过 作 的垂线交 于,于,垂直 于 ,则 可知点,到 的距离都是是 的 2 倍,故 =,所以 是 的平分线,故 =5,=2 2=26=,故 =1,在 中解得 =(2)2+362=58 学科网（北京）股份有限公司 11.考虑列表,第 X 行第 Y 列表示以 Y 结尾的符合条件的 X 位数的数量每次向下填写时,将上一行除了差值为 2 的数都相加填入 结果为 116 结尾为 1 结尾为 2 结尾为 3 结尾为 4 结尾为 5 一位 1 1 1 1 1 两位 4 4 3 4 4
10、 三位 16 15 11 15 16 四位 62 58 41 68 62 四、解演算步骤答题:本题共 3 小题,共 43 分。12.(1)(5 分)当 5 0,2 分,此处过程可以略写,但是必须要有 讨论的痕迹!当 4 时,=+32294,1 分,写出能体现最小值 94 就给分。所以 =32 时取最小值 94 2 分。上面没有突出取等条件 =32 的,就算答案对也扣 1 分!12.(2)(8 分)当 12 时,=122(1)24,=1 时,=2 ;=2 时,=6 2,有求点的思想给 1 分。结合图像得 2 46 2 16,解得 5 2.式子 1 分,结果 1 分。学科网（北京）股份有限公司 当
11、 1 时,同理得 43 3.同上,3 分。当 12 1 时,=2 时,=2(+1)4,显然不成立.有说明不成立就给 1 分。综上,43 3 或 5 2.下结论 1 分。答案如果对,且过程思想对就给全分。13.(1)(6 分)由题意得=,得 ,故 .垂直判定 2 分 作 于 ,则 =12.=12=38,=2+2=58.线段长度 2 分 sin=45.结果 2 分 13.(2)(9 分)2=2 2=2+2 2=+122(+)+2=122+2=2.9 分 有运用勾股定理的解题思想就给 3 分。如果证明 是 的圆心,要说明 和 相似给 3 分,证明出圆心给 3 分,得出结论得 3 分 14.（1）(i)3 62+11 6=0 (ii)6;27 学科网（北京）股份有限公司（2）K=6（3）38