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2025届湖南长沙新高三8月摸底考试数学模拟试题+答案

1、 答案第 1 页,共 18 页 学科网(北京)股份有限公司 学科网(北京)股份有限公司 湖南省湖南省长沙长沙市市 2022025 5 届届新新高三高三 8 8 月月摸底考试数摸底考试数学学模拟试题模拟试题 一、单选题一、单选题 1已知集合2log3Axx=Bcba Ccab Dbca 5已知椭圆22221(0)xyabab+=及圆 O:222xya+=,如图,过点(0,)Ba与椭圆相切的直线 l交圆 O于点A,若060AOB=,则椭圆离心率的为()A33 B12 C32 D13 6已知m,Rn,且有222mnm n+=,则12m nmn+的最小值是()A6 B7 C8 D9 7若函数()226

2、22,1,1axaxaxf xxx+=是R上的单调函数,则a的取值范围是()A)1,3 B()3,+C()1,2 D1,2 答案第 2 页,共 18 页 8已知函数()sinf xx=,若存在12,mx xx满足1204mxxx,则971xx+C若“1,2x ,230 xax+”是真命题,则122a的一条渐近线方程为20 xy=,焦点到渐近线的距离为 1(1)求双曲线C的标准方程与离心率;(2)已知斜率为12的直线l与双曲线C交于x轴上方的,A B两点,O为坐标原点,直线,OA OB的斜率之积为答案第 4 页,共 18 页 18,求OAB的面积 18在”五四”来临之际,某学校团委组织以“春风吹

3、,青春启航”为主题的知识竞赛,比赛分初赛和决赛两个阶段,甲、乙两人进入决赛争夺冠军,决赛规则如下:每轮答题获得1分,其概率为13,获得2分,其概率为23.最多进行20轮答题,某同学累计得分为20分时,比赛结束,该同学获得冠军,另一同学获得亚军.(1)当进行完3轮答题后,甲同学总分为Y,求Y的分布列及()E Y;(2)若累计得分为m的概率为mP,(初始得分为0分,01p=)求1mmPP的表达式(*019,Nmm).求获得亚军的概率.19已知函数()()21ln112f xa xxax=+()1当1a=时,求函数()f x的单调增区间;()2若函数()f x在()0,+上是增函数,求实数 a 的取

4、值范围;()3若0a,且对任意1x,()20,x+,12xx,都有()()12122f xf xxx,求实数 a 的最小值 参考答案:参考答案:1D【分析】解对数不等式求出08Axx=,进而求出交集.【详解】2log3x,解得08x,故08Axx=,因为31,NBx xkk=,所以2,5AB=.故选:D 答案第 5 页,共 18 页 学科网(北京)股份有限公司 学科网(北京)股份有限公司 2C【分析】根据复数代数形式的除法法则化简复数z,即可得到其共轭复数;【详解】解:()1 ii3z+=,()()()()2i3 1 ii3ii33i24i12i1 i1 i 1 i22z+=+,12iz=故选

5、:C 3B【分析】先利用等差数列的性质求得2a,进而求得公差d,从而求得5S得解.【详解】因为 na是等差数列,设其公差为d,因为31232318Saaaa=+=,则26a=,所以4222daa=,则1d=,所以59a=,5345188935SSaa=+=+=.故选:B.4A【分析】利用对指函数的单调性求解.【详解】1212 12a=,2221log2log3log 212b=,10ln2lne2c=,所以abc .故选:A.5A【分析】由条件列出,a c的齐次方程,由此可求椭圆离心率的值.【详解】由题意得AOB是等边三角形,则直线l的倾斜角为30,其斜率为33,故直线l的方程为33yxa=+

6、,代入椭圆方程整理得22232212 3033baxa xa c+=,其判别式2322222 31=4033abaa c+=,化简可得4224340ca ca+=,则423410ee+=,又01emn,利用基本不等式知222 222 2+=mnmnm n,又222mnm n+=,()222 224 224+m nm nm nm nm n,即2mn+,当且仅当1mn=时等号成立 由不等式的同向可加性知:2122 127m nmn+=故选:B【点睛】关键点点睛:本题考查不等式的性质及基本不等式的应用,解答本题的关键是利用基本不等式转化已知条件得到24m n+,即2mn+,考查学生的逻辑推理能力与数

7、学运算能力,属于基础题.7D【分析】由函数解析式知函数在R上单调递减,建立不等关系解出即可.【详解】因为函数()f x在R上单调,由222yxaxa=+在上(,1不可能单调递增,则函数()f x在R上不可能单调递增,故()yf x=在 R 上单调递减,所以2612601 221aaaaa+,解得12a,所以a的取值范围是1,2.故选:D.8B【分析】由正弦函数的有界性可得,对任意ix,(jx i,1j=,2,3,)m,都有maxmin|()()|()()2ijf xf xf xf x=,要使m取得最小值,尽可能多让(1ix i=,2,3,)m取得最值点,然后作图可得满足条件的最小m值【详解】因

8、为()sinf xx=对任意(),1,2,3,ijx xi jm=,都有()()maxmin()()2ijf xf xf xf x=,要使m取得最小值,应尽可能多让()1,2,3,ix im=取得最值点,考虑1204mxxx,所以10 x,则()999112112 3 17111xxxxxx+=+=+=(当且仅当4x=时,等号成立),故选项 B 正确;对于选项 C:由题意可得4230130aa+,解得:122a的两条相邻对称轴距离为2.11 2222T=,2=.()sin(2)f xx=+.1(0)2f=,1(0)sin2f=,又|2,则6=.()sin(2)6f xx=+.选项 A 正确;选

9、项 B:由2(Z)6xkk+=,可得函数()f x对称中心的横坐标:()6Z2212kkxk=.当0k=时,对称中心为(,0)12.B 正确;选项 C:当6x时,223x,22266x+,所以cos3sinBB=,所以3tan3B=,因为()0,B,所以6B=(2)因为2 3BC=,1BD=,6B=,根据余弦定理得 22232cos1 122 1 2 372CDBCBDBC BDB=+=+=,7CD=2BDCA=+,sinsincos2BDCAA=+=在BDC中,由正弦定理知,sinsinBCCDBDCB=,2 371cos2A=,答案第 11 页,共 18 页 学科网(北京)股份有限公司 学

10、科网(北京)股份有限公司 21cos7A=,0,2A,所以2 7sin7A=sin2 3tancos3ACDAAAC=,212AC=16(1)证明见解析(2)2 1717 【分析】(1)几何法:作CEAB交AB于点E,1EFBB交1AB于点F,连接DF,利用勾股定理和相似比可得四边形EFDC是平行四边形,所以DFCE,再根据面面垂直的性质定理和判断定理即可证明;向量法:利用勾股定理和线面垂直的性质定理可得1,AC BC CC两两垂直,以点C为原点,以1,CA CB CC所在直线分别为x轴y轴z轴建立空间直角坐标系,利用空间向量法求解即可;(2)由直三棱柱体积可得1132CC=,利用勾股定理和线

11、面垂直的性质定理可得1,AC BC CC两两垂直,以点C为原点,以1,CA CB CC所在直线分别为x轴y轴z轴建立空间直角坐标系,分别求平面1AB D和平面1BB D的法向量,利用空间向量法求解即可.【详解】(1)方法一(几何法):如图,作CEAB交AB于点E,1EFBB交1AB于点F,连接DF,因为2,3,13ACBCAB=,所以22222223(13)ACBCAB+=+=,所以ACBC,所以由等面积可得2 36 131313AC BCCEAB=,由勾股定理得22226 134 1321313AEACCE=,答案第 12 页,共 18 页 所以114 134131313EFAECDBBAB

12、CC=,所以EFCD=,又1EFBB,1CDBB,所以EFCD,所以四边形EFDC是平行四边形,所以DFCE,因为直三棱柱平面ABC平面11ABB A,平面ABC平面11,ABB AAB CEAB=,所以CE 平面11ABB A,所以DF平面11ABB A,又DF 平面1AB D,所以平面1AB D 平面11ABB A.方法二(向量法):因为2,3,13ACBCAB=,所以22222223(13)ACBCAB+=+=,所以ACBC,由题知1CC 平面ABC,又,AC BC 平面ABC,所以1,AC BC CC两两垂直,以点C为原点,以1,CA CB CC所在直线分别为x轴y轴z轴建立如图所示的

13、空间直角坐标系,设1(0)CCa a=,则()()()1142,0,0,2,0,0,3,0,0,13aAAaBaD,所以()()1142,3,2,0,0,0,13aABaADAAa=,设平面1AB D的法向量为()111,mx y z=,则11111123042013m ABxyazam ADxz=+=+=,答案第 13 页,共 18 页 学科网(北京)股份有限公司 学科网(北京)股份有限公司 令113z=,得平面1AB D的一个法向量为()2,3,13maa=,设平面11ABB A的法向量为()222,xny z=,则1222122300n ABxyazn AAaz=+=,令23x=得平面1

14、1ABB A的一个法向量为()3,2,0n=,因为6600m naa=+=,所以mn,平面1AB D 平面11ABB A.(2)因为直三棱柱111ABCABC的体积为392,所以11392 322CC =,解得1132CC=,所以192,2CDC D=,由题知1CC 平面ABC,又,AC BC 平面ABC,所以1,AC BC CC两两垂直,以点C为原点,以1,CA CB CC所在直线分别为x轴y轴z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则()()1132,0,0,0,3,0,0,22ABD,所以()1132,3,2,0,22ABAD=,设平面1AB D的法向量为()333,uxy z=,则13333

15、3132302220u ABxyzu ADxz=+=+=,令32z=,得平面1AB D的一个法向量为()2,3,2u=,答案第 14 页,共 18 页 易知平面1BB D的一个法向量为()1,0,0v=设二面角1AB DB的大小为,则()()2,3,21,0,02 17cos1717 1u vu v=,易知为锐角,所以二面角1AB DB的余弦值为2 1717.17(1)2212xy=,62e=;(2)2 3.【分析】(1)根据点到直线距离公式求出3c=,再根据渐近线方程及223ab+=,求出2a=,1b=,得到双曲线方程;(2)设出直线l:()102yxt t=+,与双曲线方程联立,得到两根之

16、和,两根之积,根据直线OA,OB的斜率之积为18,列出方程,得到1t=,得到直线方程,数形结合得到OAB的面积.【详解】(1)双曲线C的焦点(,0)c到渐近线20 xy=的距离为13c=,则3c=,由一条渐近线方程为20 xy=,得22ba=,而223ab+=,解得2a=,1b=,所以双曲线C的标准方程为2212xy=,离心率62cea.(2)依题意,设直线l:1(0)2yxt t=+,1122(,),(,)A x yB xy,由221212yxtxy=+=消去 y并整理得2244(1)0 xtxt+=,显然221616(1)0tt=+,则124xxt+=,122)4(1xtx+=,由1212

17、121211()()22OAOBxtxtyykkxxx x+=2212212()(4)11122444(1)8ttxxtttx xt+=+=+=+,而0t,解得1t=,于是124xx+=,128x x=,直线l:112yx=+交 y 轴于(0,1)D,又2121212|3|(164)432xxxxx x=+=+=,所以OAB的面积为1211|1 4 32 322SODxx=.答案第 15 页,共 18 页 学科网(北京)股份有限公司 学科网(北京)股份有限公司 18(1)分布列见解析,()5E Y=(2)12()(1,2,3,19)3mmmPPm=;获得亚军的概率为20221()53 【分析】

18、(1)利用二项分布,来求概率即可;(2)利用递推思想,也就是要分析累计得m分,可能是上一次累计得2m分,再得 2 分,也可能是上一次累计得1m分,再得 1 分,然后计算相应的概率即可得到递推关系;有了递推关系和首项,就可以用数列中的累加思想求通项,然后求出20P的值即可表示得冠军的概率,而两人争夺冠亚军是对立事件,所以利用对立事件概率求法即可解决问题.【详解】(1)设进行完3轮答题时,得1分的次数为X,1(3,)3XB.()3312C33kkkP Xk=,0,1,2,3k=,随机变量Y表示甲同学的总分,其可能取值为3,4,5,6,()()303312133C3327P YP X=,()()32

19、121242C3392P YP X=,()()112312451C339P YP X=,()()30031260C33782P YP X=所以Y的分布列为:Y 3 4 5 6 P 127 29 49 827 答案第 16 页,共 18 页()124834565279927E Y=+=(2)当1m=时,即累计得分为1分,是第一轮抢答得1分,113P=,则1012133PP=,累计得分为m分的情况分两种:(i)()22mm=+,即累计得分为2m分,又一轮抢答得2分,其概率为223mP.(ii)()11mm=+,即累计得分为1m分,又一轮抢答得1分,其概率为113mP.则()21212,3,1933

20、mmmPPPm=+=,所以()11223mmmmPPPP=()2,3,19m=.所以数列()11,2,319mmPPm=是首项为23,公比为23的等比数列.所以()112221,2,3,19333mmmmPPm=.由得1023PP=,22123PP=,()121,2,3,193mmmPPm=,各式累加得:202213322222123335313mmmmPP=+=.而01P=,所以2223221553553mmmP=+=+.所以获得冠军的概率:20202032232 255355 3P=+=+.所以获得亚军的概率为:2020202032 222 22211155 355 353P=+=.19(

21、1)()1,+(2))0,+(3)32 2【分析】()1把1a=代入函数解析式,求其导函数,由导函数大于 0 求函数()f x的单调增区间;()2求原函数的导函数()()()()2111xaxaxxaafxxaxxx+=+=,由函数()f x在()0,+上是增函数,说明其导函数在()0,+上大于等于0 恒成立,在导函数中x与()1x+恒大于0,只需0 xa+对()0,x+恒成立,则 a 可求;答案第 17 页,共 18 页 学科网(北京)股份有限公司 学科网(北京)股份有限公司()3由()2知,当0a 时()f x在()0,+上是增函数,任取1x,()20,x+,且规定12xx,则不等式()(

22、)12122f xf xxx可转化为()()112222f xxf xx恒成立,引入函数()()2g xf xx=,说明该函数为增函数,则其导函数在()0,+上大于等于 0 恒成立,分离变量后利用基本不等式可求 a 的最小值【详解】解:()1当1a=时,()21ln12f xxx=+则()1.fxxx=+令()0fx,得10 xx+,即210 xx,解得:0 x 因为函数的定义域为0 x x,所以函数()f x的单调增区间为()1,+()2由函数()()21ln112f xa xxax=+因为函数()f x在()0,+上是增函数,所以()()()()21110 xaxaxxaafxxaxxx+

23、=+=对()0,x+恒成立.即0 xa+对()0,x+恒成立 所以0.a 即实数 a 的取值范围是)0,+()3因为0a,由()2知函数()f x在()0,+上是增函数 因为1x,()20,x+,12xx,不妨设12xx,所以()()12.f xf x 由()()12122f xf xxx恒成立,可得()()()12122f xf xxx,即()()112222f xxf xx恒成立 令()()()212ln1122g xf xxa xxaxx=+,则()g x在()0,+上应是增函数.所以()()()21120 xaxaagxxaxx+=+=对()0,x+恒成立 即()210 xaxa+对()0,x+恒成立 即21xxax+对()0,x+恒成立 答案第 18 页,共 18 页 因为221332 2(11xxxxx=+当且仅当211xx+=+即21x=时取等号),所以32 2a 所以实数 a 的最小值为32 2