1、2025年中考数学一轮复习：48道压轴题精选汇编温馨提示：1. 本卷共48题，题目均选自2024年广东省各地市三模试题。2. 本卷解答题留有足够答题空间，试题部分可直接打印出来练习。3. 本卷难度较大，适合基础较好的同学。第一部分 一次函数和反比例函数1.(2024广东省广州市三模)已知直线y=43x+8与x轴、y轴分别交于点A和点B，M是OB上的一点，若将ABM沿AM折叠，点B恰好落在x轴上的点B处，则直线AM的函数解析式是()A. y=12x+8B. y=13x+8C. y=12x+3D. y=13x+32.(2024广东省中山市三模)如图是某台阶的一部分，每一级台阶的宽度和高度之比为2：
2、1，在如图所示的平面直角坐标系中，点A的坐标是(10,1)，若直线同时经过点A，B，C，D，E，则k与b的乘积为()A. 3B. 3C. 5D. 53.(2024广东省中山市三模)如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，菱形OABC的顶点B正好在反比例函数y=kx的图象上，点A的坐标为(3,4)，则k的值为()A. 12B. 16C. 24D. 324.(2024广东省汕头市三模)如图所示，在RtAOB中，AOB=90，2OB=3OA，点A在反比例函数y=2x的图象上，若点B在反比例函数y=kx的图象上，则k的值为()A. 3B. 3C. 94D. 925.(2024广东省佛山市三模)如图，
3、已知一次函数y=12x+4图象与反比例函数y=kx的图象相交于A，B两点，若ABO的面积等于8，则k的值是_6.(2024广东省深圳市三模)如图，正比例函数y=ax(a0)的图象与反比例函数y=kx(k0)的图象交于A，B两点，过点A的直线分别与x轴、y轴交于C，D两点.当AC=2AD，SBCD=18时，则k= _7.(2024广东省汕头市三模)【问题背景】新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少了二氧化碳等气体的排放，从而达到保护环境的目的【实验操作】为了解汽车电池需要多久能充满，以及充满电量状态下电动汽车的最大行驶里程，某综合实践小组设计两组实验实验一：探究电池充电状
4、态下电动汽车仪表盘增加的电量y(%)与时间t(分钟)的关系，数据记录如表1： 电池充电状态时间t(分钟)0103060增加的电量y(%)0103060实验二：探究充满电量状态下电动汽车行驶过程中仪表盘显示电量e(%)与行驶里程s(千米)的关系，数据记录如表2： 汽车行驶过程已行驶里程s(千米)0160200280显示电量e(%)100605030【建立模型】(1)观察表1、表2发现都是一次函数模型，请结合表1、表2的数据，求出y关于t的函数表达式及e关于s的函数表达式；【解决问题】(2)某电动汽车在充满电量的状态下出发，前往距离出发点460千米处的目的地，若电动汽车行驶240千米后，在途中的服
5、务区充电，一次性充电若干时间后继续行驶，且到达目的地后电动汽车仪表盘显示电量为20%，则电动汽车在服务区充电多长时间？8.(2024广东省东莞市三模)如图，已知一次函数y1=32x3的图象与反比例函数y2=kx第一象限内的图象相交于点A(4,n)，与x轴相交于点B(1)求n和k的值；(2)如图，以AB为边作菱形ABCD，使点C在x轴正半轴上，点D在第一象限，双曲线交CD于点E，连接AE、BE，求SABE9.(2024广东省珠海市三模)如图，点A是反比例函数y=mx(m0B. 点B(2,0)C. a+b+c0)的函数叫做“绝对值“函数.小明同学画出了“绝对值”函数y=|x24x5|的图象(如图所
6、示)，并写出下列五个结论：图象与坐标轴的交点为(1,0)，(5,0)和(0,5)；图象具有对称性，对称轴是直线x=2；当1x2或x5时，函数值y随x的增大而减小；当x1或x5时，函数的最小值是9；当y=x+b与y=|x24x5|的图象恰好有3个公共点时b=1或b=294 其中结论正确的个数是()A. 2B. 3C. 4D. 513.(2024广东省中山市三模)如图，抛物线y=x2+3x+4与y轴交于点A，交x轴正半轴于B，直线l过AB，M是抛物线第一象限内一点，过点M作MN/x轴交直线l于点N，则MN的最大值为_14.(2024湖南省益阳市三模)如图，已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A(
7、3,0)，B(1,0)两点，且与y轴交于点C，M为抛物线的顶点(1)求抛物线的解析式；(2)P为直线AC下方的抛物线上一点，过点P作PEx轴交AC于点G，垂足为E，PFAC，垂足为F，求出PFG周长的最大值；(3)抛物线上是否存在点Q，使得ACQ=CAM，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由15.(2024广东省深圳市三模)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与轴交于A，B点，与y轴交于点C(0,3)，点B的坐标为(3,0)，点P是抛物线上一个动点(1)求二次函数解析式；(2)若P点在第一象限运动，当P运动到什么位置时，BPC的面积最大？请求出点P的坐标和BPC面
8、积的最大值；(3)连接PO，PC，并把POC沿CO翻折，那么是否存在点P，使四边形POPC为菱形；若不存在，请说明理由16.(2024广东省珠海市三模)如图，二次函数图象的顶点为坐标原点O，且经过点A(3,3)，一次函数的图象经过点A和点B(6,0)，一次函数图象与y轴相交于点C(1)求二次函数与一次函数的解析式；(2)如果点D在线段AC上(不与A、C重合)，与y轴平行的直线DE与二次函数图象相交于点E，CDO=OED，求点D的坐标；(3)当点D在直线AC上的一个动点时，与y轴平行的直线DE与二次函数图象相交于点E，以点O、C、D、E为顶点的四边形能成为平行四边形吗？请说明理由17.(2024
9、广东省东莞市三模)在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+4与x轴交于点B(2,0)和点C(1,0)，D为第一象限的抛物线上一点 (1)求抛物线的函数表达式；(2)求ADB面积的最大值；(3)过点D作DEAB，垂足为点E，求线段DE长的取值范围；(4)若点F为(0,2)，G分别为线段AB上一点，且四边形AFGD是平行四边形，直接写出D的坐标18.(2024广东省揭阳市三模)如图1，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，B点的坐标为(3,0)，与y轴交于点C(0,3)(1)求抛物线的关系式；(2)M是第四象限抛物线上一点，当四边形ABMC的面积最大时，求点M的坐标和四边形ABMC的最
10、大面积；(3)如图2，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使PBC是以BC为斜边的直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由19.(2024广东省佛山市三模)【问题背景】水火箭是一种基于水和压缩空气的简易火箭，通常由塑胶汽水瓶作为火箭的箭身，并把水当作喷射剂.图1是某学校兴趣小组制做出的一款简易弹射水火箭 【实验操作】为验证水火箭的一些性能，兴趣小组同学通过测试收集了水火箭相对于出发点的水平距离x(单位：m)与飞行时间t(单位：s)的数据，并确定了函数表达式为：x=3t.同时也收集了飞行高度y(单位：m)与飞行时间t(单位：s)的数据，发现其近似满足二次函数关系.数据如表所示： 飞
11、行时间t/s02468飞行高度y/m010161816【建立模型】任务1：求y关于t的函数表达式【反思优化】图2是兴趣小组同学在室内操场的水平地面上设置一个高度可以变化的发射平台(距离地面的高度为PQ)，当弹射高度变化时，水火箭飞行的轨迹可视为抛物线上下平移得到，线段AB为水火箭回收区域，已知AP=42m，AB=(18 224)m任务2：探究飞行距离，当水火箭落地(高度为0m)时，求水火箭飞行的水平距离任务3：当水火箭落到AB内(包括端点A，B)，求发射台高度PQ的取值范围20.(2024广东省深圳市三模)草莓种植大棚的设计生活背景草莓种植大棚是一种具有保温性能的框架结构.如图示，一般使用钢结
12、构作为骨架，上面覆上一层或多层塑料膜，这样就形成了一个温室空间.大棚的设计要保证通风性且利于采光建立模型(1)如图1，已知某草莓园的种植大棚横截面可以看作抛物线OPN，其中点P为抛物线的顶点，大棚高PE=4m，宽ON=12m.现以点O为坐标原点，ON所在直线为x轴，过点O且垂直于ON的直线为y轴建立平面直角坐标系.求此抛物线的解析式解决问题(2)如图2，为方便进出，在大棚横截面中间开了两扇正方形的门，其中AB=BE=EC=CD.求门高AB的值(3)若在某一时刻，太阳光线(假设太阳光线为平行线)透过A点恰好照射到N点，此时大棚横截面在地面上的阴影为线段OQ，求此时OQ的长第三部分 圆和扇形21.
13、(2024广东省深圳市三模)如图所示，扇形AOB的圆心角是直角，半径为3 3，C为OA边上一点，将BOC沿BC边折叠，圆心O恰好落在弧AB上的点D处，则阴影部分的面积为_22.(2024广东省广州市三模)如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=4 3，以点B为圆心，AB为半径画弧，交AC于点E，交BC于点F，则图中阴影部分的面积为_23.(2024广东省汕头市三模)如图，四边形ABCD内接于以BD为直径的O，CA平分BCD，AEAC，AE交CD的延长线于点E.若四边形ABCD的面积是10cm2，则AC= _cm24.(2024广东省汕头市三模)如图，AB、BF分别是O的直径和弦，且CDAB于点
14、E，CD与BF相交于点G，延长DC到点H，连接HF，使HF=HG(1)求证：HF是O的切线；(2)若sinHGF=34，BF=3，连接AF，求AF的长25.(2024广东省珠海市三模)如图，AD是O的直径，PA与O相切于点A，连接OP，过点A作ABOP，垂足为C，交O于点B，连接PB并延长交AD的延长线于点E，连接BD(1)求证：PB是O的切线；(2)若BD=6，AB=8，求sinE26.(2024广东省深圳市三模)如图，在RtABC中，C=90，AD平分BAC交BC于点D，O为AB上一点，经过点A、D的O分别交AB、AC于点E、F(1)求证：BC是O的切线；(2)若BE=8，sinB=513
15、，求O的半径；(3)在(2)的条件下，求AD的长27.(2024广东省东莞市三模)古希腊数学家毕达哥拉斯认为：“一切平面图形中最美的是圆”.小明决定研究一下圆，如图，AB是O的直径，点C是O上的一点，延长AB至点D，连接AC、BC、CD，且CAB=BCD，过点C作CEAD于点E(1)求证：CD是O的切线；(2)若OB=BD，求证：点E是OB的中点；(3)在(2)的条件下，若点F是O上一点(不与A、B、C重合)，求EFDF的值28.(2024广东省中山市三模)已知在平面直角坐标系xOy中，直线l1分别交x轴和y轴于点A(3,0)，B(0,3)(1)如图1，已知P经过点O，且与直线l1相切于点B，
16、求P的直径长；(2)如图2，已知直线l2：y=3x3分别交x轴和y轴于点C和点D，点Q是直线l2上的一个动点，以Q为圆心，2 2为半径画圆当点Q与点C重合时，求证：直线l1与Q相切；(3)设Q与直线l1相交于M，N两点，连结QM，QN.问：是否存在这样的点Q，使得QMN是等腰直角三角形，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由29.(2024广东省揭阳市三模)如图，四边形ABCD是O的内接正方形，AB=4，PC、PD是O的两条切线，C、D为切点(1)如图1，求O的半径；(2)如图1，若点E是BC的中点，连接PE，求PE的长度；(3)如图2，若点M是BC边上任意一点(不含B、C)，以点M为直
17、角顶点，在BC的上方作AMN=90，交直线CP于点N，求证：AM=MN30.(2024广东省汕头市三模)如图1，AC为ABCD的对角线，ABC的外接圆O交CD于点E，连接BE(1)求证：BAC=ABE；(2)如图2，当AB=AC时，连接OA、OB，延长AO交BE于点G，求证：GOBGBA；(3)如图3，在(2)的条件下，记AC、BE的交点为点F，连接AE、OF.当EFFG=79时，求sinEAG的值第四部分 三角形和四边形31.(2024广东省深圳市三模)如图，在四边形ABCD中，AB=BC，ABC=60，点O是对角线BD的中点，将BCD绕点O旋转180得到DEB，DE交边AB于点F，若A+E
18、=165，AD=10，CD=7 2，则线段BC的长为()A. 10 2B. 11 2C. 12 2D. 13 232.(2024广东省汕头市三模)如图，菱形ABCD的边长为6，B=120，点P是对角线AC上一点(不与端点A重合)，则12AP+PD的最小值为()A. 3 3B. 4C. 3 2D. 633.(2024广东省东莞市三模)如图，已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A(10,0)，点B(0,6)，点P为BC边上的动点，将OBP沿OP折叠得到OPD，连接CD、AD.则下列结论中：当BOP=45时，四边形OBPD为正方形；当BOP=30时，OAD的面积为15；当P在
19、运动过程中，CD的最小值为2 346；当ODAD时，BP=2.其中结论正确的有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个34.(2024广东省揭阳市三模)如图，在ABC中，ABC=90，AB=8，BC=12，D为AC边上的一个动点，连接BD，E为BD上的一个动点，连接AE，CE，当ABD=BCE时，线段AE的最小值是_35.(2024广东省深圳市三模)如图，在矩形ABCD中，E是AB的中点，过点E作ED的垂线交BC于点F，对角线AC分别交DE，DF于点G，H，当DHAC时，则GHEF的值为_36.(2024广东省珠海市三模)将一张正方形纸片按如图步骤，通过折叠得到图，再沿虚线剪去一个角，展开
20、铺平后得到图，其中FM、GN是折痕，若正方形EFGH与五边形MCNGF面积相等，则FMGF的值是_37.(2024广东省深圳市三模)如图，在正方形ABCD中，AB=6 2，M为对角线BD上任意一点(不与B、D重合)，连接CM，过点M作MNCM，交线段AB于点N.连接NC交BD于点G.若BG：MG=3：5，则NGCG的值为_38.(2024广东省广州市三模)如图，B(0,3)，A为x轴上一动点，将线段AB绕点A顺时针旋转90得AC，连接OC，则当OC取最小值时，A点的坐标是_39.(2024广东省汕头市三模)综合运用如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，A(10,0)，C(0,5)，以OA，
21、OC为邻边构造矩形ABCO，以点A为旋转中心，顺时针旋转矩形ABCO(旋转角为，0360)，得到矩形ADEF，点B，C，O的对应点分别为点D，E，F.连接CE，BE，BF (1)当点F在线段BC上时，求AFB的度数；(2)当点B在直线CE上时，求点F的坐标；(3)当CE与矩形ADEF的任意一条边垂直时，求BEF的面积40.(2024广东省深圳市三模)在ABC中，AB=AC，点D为AB边上一动点，CDE=BAC=a，CD=ED，连接BE，EC(1)问题发现：如图1，.若a=60，则EBA= _，AD：EB= _；(2)类比探究：如图，当=90时，请写出EBA的度数及AD与EB的数量关系并说明理由
22、；(3)拓展应用：如图3，点E为正方形ABCD的边AB上的三等分点，以DE为边在DE上方作正方形DEFG，点O为正方形DEFG的中心，若OA= 6，请直接写出线段EF的长41.(2024广东省揭阳市三模)综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动，有一位同学操作过程如下：操作一：对折正方形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；操作二：在AD上选一点P，沿BP折叠，使点A落在正方形内部点M处，把纸片展平，连接PM、BM，延长PM交CD于点Q，连接BQ(1)如图1，当点M在EF上时，EMB= _度；(2)如图2，改变点P在AD上的位置(点P不与点A，D重合
23、)判断MBQ与CBQ的数量关系，并说明理由；若AB=8，FQ=1(点Q在EF下方)，则AP的长为_42.(2024广东省广州市三模)在ABC中，BAC=90，AB=AC，线段AB绕点A逆时针旋转至AD(AD不与AC重合)，旋转角记为，DAC的平分线AE与射线BD相交于点E，连接EC(1)如图，当=20时，AEB的度数是_；(2)如图，当090时，求证：BD+2CE= 2AE；(3)当0180，AE=2CE时，请直接写出BDED的值43.(2024广东省汕头市三模)如图，在正方形ABCD中，点E是CD上一动点，将正方形沿着BE折叠，点C落在点F处，连接BE，CF，延长CF交AD于点G (1)求证
24、：BCECDG(2)如图，在(1)的条件下，延长BF交AD于点H求证：HG=HF；若HDHF=45，CE=9，求线段DE的长(3)将正方形改成矩形，同样沿着BE折叠，连接CF，延长CF，BF交直线AD于G，H两点，若ABBC=k，HDHF=45，则DEEC= _.(用含k的代数式表示)44.(2024广东省深圳市三模)综合与实践：【思考尝试】(1)数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在矩形ABCD中，E是边AB上一点，DFCE于点F，GDDF，AGDG，AG=CF，试猜想四边形ABCD的形状，并说明理由；【实践探究】(2)小睿受此问题启发，逆向思考并提出新的问题：如图2，在正方形ABCD
25、中，E是边AB上一点，DFCE于点F，AHCE于点H，GDDF交AH于点G，可以用等式表示线段FH，AH，CF的数量关系，请你思考并解答这个问题；【拓展迁移】(3)小博深入研究小睿提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形ABCD中，E是边AB上一点，AHCE于点H，点M在CH上，且AH=HM，连接AM，BH，可以用等式表示线段CM，BH的数量关系，请你思考并解答这个问题45.(2024广东省广州市三模)已知正方形ABCD的边长为1，点E是射线BC上的动点，以AE为直角边在直线BC的上方作等腰直角三角形AEF，AEF=90，设BE=m(1)如图1，若点E在线段BC上运动，EF交CD
26、于点P，连结CF当m=13时，求线段CF的长；设CP=n，请求出n与m的关系式；(2)如图2，AF交CD于点Q，在PQE中，设边QE上的高为，求的最大值46.(2024广东省广州市三模)抛物线y=ax2+bx+c(a0)与x轴交于A(1,0)，B(3,0)两点，与y轴交于点C(1)求a，b满足的关系式；(2)当a=1时，P(n,m)为抛物线在第二象限内一点，点P到直线BC的距离为d，则d与n的函数表达式为_；(3)过T(0,t)(其中1t2)且垂直y轴的直线l与抛物线交于M，N两点.若对于满足条件的任意t值，线段MN的长都不小于2，结合函数图象，求a的取值范围47.(2024广东省中山市三模)
27、综合与实践问题情境：如图1，正方形纸片ABCD和EFGB有公共顶点B，其中AB=4 5，BE=4，将正方形EBGF绕点B按顺时针方向旋转观察发现：(1)如图2，当0)的图象与反比例函数y=kx(k0)的图象交于A，B两点，OA=OB，SAOD=SBOD，SBOC=SAOC，AC=2AD，SBCD=18，SABD=13SBCD=1318=6，SABC=23SBCD=2318=12，SAOD=SBOD=3，SBOC=SAOC=6，SCOD=3+6=9，SADESCOD=(ADCD)2=19，SAFCSCOD=(ACCD)2=49，SADE=1，SAFC=4，S矩形OFAE=SCODSADESAFE
28、=914=4反比例函数图象在第一象限，k=4故答案为：4作AFx轴，垂足为F，AEy轴，垂足为E，根据题意可知OA=OB，则SAOD=SBOD，SBOC=SAOC，根据AC=2AD，SBCD=18，可得SABD=6，利用比例关系得到AED和AFC面积，最后S矩形OFAE=SCODSADESAFE代入数据计算即可本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式7.【答案】解：(1)根据题意，两个函数均为一次函数，设y=a1t+b1，e=a2s+b2，将(10,10)，(30,30)代入y=a1t+b1得10a1+b1=1030a1+b1=30，解得a1=1b1=0,函数解析式
29、为：y=t，将(160,60)，(200,50)代入e=a2s+b2得160a2+b2=60200a2+b2=50，解得a2=14b2=100,函数解析式为：e=14s+100(2)由题意得，先在满电的情况下行走了w1=240km，当s1=240时，e1=14s1+100=14240+100=40，未充电前电量显示为40%，假设充电充了t分钟，应增加电量：e2=y2=t，出发时电量为e3=e1+e2=40+t，走完剩余路程w2=460240=220km，w2应耗电量为：e4=14w2+100=14220+100=45，应耗电量为45%，据此可得：20=e3e4=40+t55，解得t=35，答：
30、电动汽车在服务区充电35分钟【解析】(1)根据表格数据，待定系数法求出两个函数解析式即可；(2)先计算行驶240km后的电量，假设充电充了t分钟，应增加电量：e2=y2=t，出发时电量为e3=e1+e2=40+t，走完剩余路程w2=460240=220km，w2应耗电量为：e4=14w2+100=14220+100=45，应耗电量为45%，据此可得：20=e3e4=40+t45，解得t=25即可本题考查了一次函数的应用，熟练掌握一次函数的性质是解答本题的关键8.【答案】解：(1)把A点坐标代入一次函数解析式可得：n=3243=3，A(4,3)，A点在反比例函数图象上，k=34=12；(2)过A
31、点作AHBC垂足为H，连接AC， 一次函数y1=32x3的图象与x轴相交于点B，点B的坐标为(2,0)，AB= (42)2+(30)2= 13，四边形ABCD是菱形，AB=BC= 13，AB/CD，SABE=SABC=12BCAH=12 133=3 132【解析】(1)把A点坐标代入一次函数解析式可求得n，则可求得A点坐标，代入反比例函数解析式则可求得k的值；(2)根据自变量与函数值的对应关系，可得B点坐标，根据两点间距离公式，可得AB，根据菱形的性质，可得BC的长，根据平行线间的距离相等，可得SABE=SABC本题考查了反比例函数综合题，解(1)的关键是待定系数法，解(2)的关键是利用平行线
32、间的距离都相等得出SABE=SABC是解题关键9.【答案】解：(1)当x=n时，y=mn，A(n,mn).由题意知，BD是AC的中垂线，点B的纵坐标为m2n把y=m2n代入y=mx得x=2n，B(2n,m2n).(2)证明：BDAC，ACx轴，BDy轴，由(1)知，B(2n,m2n)，A(n,mn)，D(0,m2n)，M(n,m2n)，BM=MD=n，AM=CM，四边形ABCD是平行四边形又BDAC，平行四边形ABCD是菱形(3)当四边形ABCD是正方形时，ABM为等腰直角三角形AM=BM，ABM的面积为2，SABM=12AM2=2，AM=BM=2AC=2AM=4，BD=2BM=4，A(2,4
33、)，B(4,2)设直线AB的解析式为y=kx+b，2k+b=44k+b=2，k=1b=6，直线AB的函数表达式为y=x+6【解析】(1)由点A在双曲线上，确定出A坐标，进而得出点B的纵坐标，即可得出结论；(2)由(1)得到的点B，D，M的坐标判断出MB=MD，结合AM=MC，得出四边形ABCD是平行四边形，再由BDAC即可得出结论；(3)由(2)结合AM=BM求出点B，A坐标，利用待定系数法求解即可此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，菱形的判定，正方形的性质，等腰三角形的性质，三角形的面积公式，解题关键是用m，n表示出点A，B，D，M的坐标10.【答案】C【解析】解：点(2,2)是二次函数y=ax2+3x+c(a0)的“相反点”，2=4a+6+c，c=4a8，二次函数y=ax2+3x+c(a0)的图象上有且只有一个“相反点”，ax2+3x+c=x(即ax2+4x+c=0)有且只有一个根，=164ac=0，164a(4a8)=0，解得，a=1，c=4(1)8=4y=x2+3x4=(x32)274，二次函数图象的对称轴为直线x=32，函数的最大值为74，当y=8时，x2+3x4=8，解得，x1=1，x2=4，当32m4时，函数的最大值为74，最小值为8故选：C把(2,2)代入y=ax2+3x+c，求出a、c的关系，再根据二次