1、 学科网（北京）股份有限公司 武昌区武昌区 20232024 学年度高二年级期末质量检测学年度高二年级期末质量检测 数学数学 命题单位：武昌区教研培训中心命题单位：武昌区教研培训中心 考试时间：考试时间：2024 年年 6 月月 27 日日 本试题卷共本试题卷共 5 页，共页，共 19 题题.满分满分 150 分，考试用时分，考试用时 120 分钟分钟.注意事项：注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名答题前，考生务必将自己的姓名准考证号填写在答题卡上准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题
2、卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改如需改动，用橡皮擦动，用橡皮擦干干净后，再选涂其它答案标号净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本写在本试卷上无效试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一一选择题选择题：本题共：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的符合题目要求的.1.若集合3,21,Ax xBx xnn=+Z，则AB=（）A.()1,1 B.()3,3 C.1,1
3、D.3,1,1,3 2.在复平面内，复数12,z z对应的点关于直线0 xy=对称，若11 iz=，则12zz=（）A.i B.i C.-1 D.1 3.已知向量,a b满足1,1,1abab=+=，则a在b上的投影向量为（）A.12b B.12 C.12b D.12 4.现将,A B C D E F六名学生排成一排，要求,D E相邻，且,C F不相邻，则不同的排列方式有 A.144 种 B.240 种 C.120 种 D.72 种 5.已知角0,2，点()2cos,cos2在直线yx=上，则tan4=（）A.32 2 B.-1 C.32 2 D.32 2+6.已知数列 na满足120,1aa
4、=.若数列()1,2nnaann+N是公差为 2 的等差数列，则2024a=（）A.2022 B.2023 C.2024 D.2025 7.摩天轮是一种大型转轮状的机械游乐设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色.某摩天轮等距离设置有 60 个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周需要30min.已知在转动一周的过程中，座舱距离地面的高度()mH关于时间t 学科网（北京）股份有限公司（min）的函数关系式为()6550cos03015Htt=若甲乙两人的座舱之间有 4 个座舱，则甲乙两人座舱高度差的最大值为（）A.25 3m B.
5、50m C.()2531 m D.()2562 m 8.如图，在棱长为 2 的正四面体ABCD中，,M N分别为棱,AD BC的中点，O为线段MN的中点，球O的球面正好经过点M，则下列结论中正确的是（）A.ABMN B.球O的的体积与四面体ABCD外接球的体积之比为1:3 C.直线MN与平面BCD所成角的正弦值为33 D.球O被平面BCD截得的截面面积为43 二二多选题：本题共多选题：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 18 分分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求要求.全部选对的得全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的
6、得分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分分.9.下列说法中正确的是（）A.一组数据5,9,7,3,10,12,20,8,18,15,21,23的第 25 百分位数为 7 B.若随机变量()22,XN，且(4)0.75P X=，则(04)0.5PX中，任意两条互相垂直的切线的交点必在同一个与椭圆同心的圆上，称此圆为该椭圆的“蒙日圆”，且半径为22ab+.已知长方形ABCD的四条边均与椭圆22:163xyE+=相切，则下列说法正确的有（）A.椭圆E的离心率为12 B.椭圆E的“蒙日圆”的方程为229xy+=C.长方形ABCD的面积的最大值为 18 D.若椭圆E的上下顶点分别为M N，则其蒙日圆
7、上存在两个点P满足3PMPN=11.已知函数()cosln cosf xxx=+，则（）A.函数()f x的一个周期为 B.函数()f x在区间,2上单调递增 C.函数()f x在区间0,22上没有零点 D.函数()f x的最大值为 1 三三填空题填空题：本题共：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 15 分分.12.()51(2)xx+的展开式中，3x的系数为_.（用数字填写答案）13.已知直线1:2lyx=和2:2lyx=，过动点M作两直线的平行线，分别交12l l 于,A B两点，其中点A在第一象限，点B在第四象限.若平行四边形OAMB（O为坐标原点）的面积为 3，记动
8、点M的轨迹为曲线E，若曲线E与直线()2yk x=有且仅有两个交点，则k的取值范围为_.14.已知函数()(),f xg x的定义域为(),gxR为()g x的导函数，且()()10f xgx+=，()()2410f xgx=，若()g x为偶函数，则20241()nf n=_.四四解答题解答题：本题共：本题共 5 小题，共小题，共 77 分分.解答应写出文字说明解答应写出文字说明证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤.15.（13 分）学科网（北京）股份有限公司 已知函数()1sin 2,23f xxABC=+的内角,A B C所对的边分别为,a b c，且()33,sin1 cossinco
9、s242BfCBBC=+=.（1）求角B；（2）设D为边AC的中点，且ABC的面积为534，求BD的长.16.（15 分）如图，四棱台1111ABCDABC D中，下底面ABCD为平行四边形，1DD 平面ABCD，11122,8,4 2,ABABBCAAM=为BC的中点，平面11CDDC 平面1D DM.（1）求四棱台1111ABCDABC D的体积；（2）求平面1D DM与平面11BCC B夹角的余弦值.17.（15 分）甲乙两位学生进行答题比赛，每局只有 1 道题目，比赛时甲乙同时回答这一个问题，若一人答对且另一人答错，则答对者获得 10 分，答错者得-10 分；若两人都答对或都答错，则两
10、人均得 0 分.根据以往答题经验，每道题甲答对的概率为12，乙答对的概率为23，且甲乙答对与否互不影响，每次答题的结果也互不影响.（1）求在一局比赛中，甲的得分X的分布列与数学期望；（2）设这次比赛共有 4 局，若比赛结束时，累计得分为正者最终获胜，求乙最终获胜的概率.18.（17 分）已知圆22:(1)16Axy+=和点()1,0B，点P是圆上任意一点，线段PB的垂直平分线与线段PA相交于点Q，记点Q的轨迹为曲线C.（1）求曲线C的方程；（2）若过原点的两条直线分别交曲线C于点,A C和,B D，且34ACBDkk=（O为坐标原点）.判断四边形ABCD的面积是否为定值？若为定值，求四边形AB
11、CD的面积；若不为定值，请说明理由.19.（17 分）学科网（北京）股份有限公司 帕德近似是法国数学家亨利帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法.给定两个正整数,m n，函数()f x在0 x=处的,m n阶帕德近似定义为：()0111mmnnaa xa xR xb xb x+=+且满足：()()()()()()()()()()00,00,00,00m nm nfRfRfRfR+=.注：()()()()()()()()()()()454,fxfxfxfxfxfxfxfx=.已知函数()()ln1f xx=+在0 x=处的1,1阶帕德近似()R x.（1）求()R x的表达式；（2）记()()
12、()()22F xx xR xf x=+，当0 x 时，证明不等式()320F xx；（3）当*nN，且2n 时，证明不等式33311111111ln111232321nnn+.学科网（北京）股份有限公司 武昌区武昌区 2023-2024 学年度高二年级期末质量检测学年度高二年级期末质量检测 高二数学参考答案及评分细则高二数学参考答案及评分细则 选择题：选择题：题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C C A A C B D C BCD BCD BD 填空题：填空题：12.-40 13.2k 或2k 14.2024 解答题：解答题：15.（13 分）解：（1）因为()1s
13、in 223f xx=+，所以13sin2234BfB=+=.所以3sin32B+=.因为0B=，所以，点Q的轨迹为以A B为焦点的椭圆.设椭圆方程为22221(0)xyabab+=，则24,22ac=，解得2,1ac=，所以，2223bac=.所以，曲线C的方程为22143xy+=.（2）四边形ABCD的面积为定值，理由如下：当直线AB的斜率不存在时，直线ABx轴，此时四边形ABCD为矩形，且ACBDkk=.因为121234ACBDy ykkx x=，不妨设32ACk=，则32BDk=.取662,2,22AA，则四边形ABCD的面积144624 32AABSS=.当直线AB的斜率存在时，设:
14、AB ykxm=+，且()()1122,A x yB xy.学科网（北京）股份有限公司 联立直线AB与椭圆C的方程，消去y并整理，得()2224384120kxkmxm+=.由()()222(8)4 434120kmkm=+，得22430km+.所以21212228412,4343kmmxxx xkk+=+.所以()()()2212121212y ykxmkxmk x xkm xxm=+=+.所以22222122224128312434343mkmmky ykkmmkkk=+=+.因为121234ACBDy ykkx x=，所以22231234124mkm=，即22432km+=.因为()22
15、2121212114ABkxxkxxx x=+=+，所以()2222224 4128112 34343mkmkABkkkm+=+=+.因为原点O到直线AB的距离21mdk=+，且四边形ABCD为平行四边形，所以四边形ABCD的面积2211442 34 321OABmkSSmk+=+.所以，四边形ABCD的面积为定值4 3.19.（17 分）解：（1）由题意，()0111aa xR xb x+=+.因为()()00fR=，所以00a=，所以()111a xR xb x=+.因为()()()1211,11afxRxxb x+=+，且()()00fR=，所以11a=.因为()()()32112,(1)1bfxRxxb x=+，且()()00fR=，所以112b=.所以()22xR xx=+.（2）因为()()()()2222ln122ln12xF xx xxxxx=+=+，学科网（北京）股份有限公司 所以()()32322ln1F xxxxx=+.记()()23ln1G xxxx=+，则()32213(1)2311xxGxxxxx=+，因为0 x，所以()0Gx=+，所以31111ln11nnnn+.所以，当2n 时，31111ln12223+，31111ln13334+，31111ln11nnnn+，以上各式两边相加，得