1、 学科网（北京）股份有限公司 20232024 学年第二学期期末检测学年第二学期期末检测 高二数学高二数学 2024.06 一一单项选择题单项选择题（本大题共（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求）一项符合要求）1.若集合1,1,0,1,2Px xQ=R”是假命题，则实数a的取值范围是（）.A.(,2 B.()2,2 C.2,2 D.)2,+5.已知,i j k 是三个不共面的向量，22,3,26ABijk ACijk ADijk=+=+，且,A B C D四点共面，则实数的值为（）.A.
2、1 B.2 C.3 D.4 6.已知函数()122,0,0,xxf xxx=则下列说法正确的是（）A.()f x是R上的增函数 B.()f x的值域为)0,+C.“14x”是“()12f x”的充要条件 学科网（北京）股份有限公司 D.若关于x的方程()f xa=恰有一个实根，则1a 7.五一劳动节放假 5 天，小王同学各花 1 个上午的时间游览茱萸湾风景区双博馆，另外花 2 个下午的时间打篮球1 个下午的时间踢足球，其余时间复习功课，这个五一劳动节小王同学的不同安排有（）种.A.300 B.600 C.900 D.1200 8.若1x=为函数()()2(1)f xa xax=的极大值点，则实
3、数a的取值范围为（）.A.1a B.1a C.0a D.01a=，则事件A与B相互独立 10.若,m n为正整数且nm，则下列等式中正确的是（）.A.CCmn mnn=B.1111CCCmmmnnn+=C.()ACA!nmnnmmnm=D.123131C2C4C2C2nnnnnnn+=11.棱长为 2 的菱形ABCD中，60BAD=，将ABD沿BD折起，使顶点A至点M，连接MC，构成三棱锥MBCD.设二面角MBDC的大小为，直线MD和直线BC所成角为.在折起的过程中，下列说法正确的是（）.A.任取三棱锥MBCD中的三条棱，它们共面的概率为 0.2 B.存在一个位置，使MDBC C.当3=时，三
4、棱锥MBCD的外接球的表面积为283 学科网（北京）股份有限公司 D.当 2,33时，cos的最大值为58 三三填空题填空题（本大题共（本大题共 3 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 15 分）分）12.设随机变量X服从正态分布()20,N，若(1)0.3P X=，则(10)PX，则()3f=_，2024012kkf=_.四四解答题解答题（本大题共（本大题共 5 小题，共小题，共 77 分分.解答应写出必要的文字说明解答应写出必要的文字说明证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤）15.（本小题满分 13 分）已知集合212,log12xAxBxx=.（1）求AB；（2）若实数0a，集合
5、22320Cx xaxa=+.学科网（北京）股份有限公司 20232024 学年第二学期期末检测高二数学学年第二学期期末检测高二数学 参考答案参考答案 2024.06 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 A D B C D D B C BD ACD ABD 题号 12 13 14 答案 0.2 158 1，22 15.【答案】（1）由122x，所以()1,A=+，由2log1x 得2x，所以()2,B=+.所以()1,AB=+.（2）由22320(0)xaxaa+得2axa，且当0H成立时，()26.6350.010P，所以有99%的把握认为是否接受挑战与受邀者的性别有
6、关.（2）()()()()405()()()()()()162()P ABP B AP ABn ABP ALR B AP ABP B AP ABn ABP A=同理205()246LR B A=，所以()563()25LR B ARLR B A=.（3）由分层抽样知，随机抽取的 5 名受邀选手中，男性有 3 人，女性有 2 人.根据频率估计 概率知，男性选手接受挑战的概率为23，不接受挑战的概率为13.X可能得取值为0,1,2，3 名被抽取的男性选手中，恰抽到k人被访谈记为事件()0,1,2kDk=，则 学科网（北京）股份有限公司()()23225C C0,1,2CkkkP Dk=，被访谈的
7、2 名选手中接受挑战的男性人数恰好为m人记为事件()0,1,2mEm=，则()()()()20001021111121,3393P EDP EDP EDP ED=，()()211222221424,33939P EDCP ED=，所以()()()()()()()0001012020P XP DP EDP DP EDP DP ED=+021120323232222555C CC CC C1111CC3C93=+=，()()()()()112032321112122255C CC C2481C3C915P XP DP EDP DP ED=+=+=，()()()223222225C C422C915
8、P XP DP ED=.故X的分布列如下：X 0 1 2 P 13 815 215()1824012315155E X=+=.19.【答案】（1）当0a=时，()lnf xxx=.设切点()000,lnx xx，则()00000ln,11,kxxxfxkx=消k得000011lnxxxx=，解得0ex=，代入得11ek=.（2）方法一：因为()lnexf xxxax=，所以()()()1 e111,eexxxxaxxfxaxx+=1当0a 时，设()lng xxx=，则()111xgxxx=，所以当()0,1x时，()()0,gxg x单调递增.学科网（北京）股份有限公司 所以()min()1
9、10g xg=.又-axe0 x，故()0f x 恒成立，所以0a，所以当()0,1x时，()()0,fxf x单调递增.故()min()110eaf xf=，解得ea，又0a，所以0ea，综上所述，a的取值范围为(,e.方法二：因为()lne0 xf xxxax=恒成立，又0 x，所以上式等价于()elnxxxax恒成立.记()()elnxxxh xx=，则()()()2211 lnln1lne1eexxxxxxxxh xxxx+=+=，设()1 lnu xxx=+，则()111xuxxx=.当()0,1x时，()()0,uxu x在()1,+上单调递增.所以()()120u xu=.所以当
10、()0,1x时，()()0,h xh x在()1,+上单调递增.所以()min()1eh xh=.故a的取值范围为(,e.方法三：因为()elneln0exxxxf xxxaxax=恒成立，又0 x，所以上式等价于eelnxxaxx恒成立.记()exh xx=，则()()2e1xxh xx=，所以当()0,1x时，()()0,h xh x在()1,+上单调递增.所以()()1eh xh=.学科网（北京）股份有限公司 令extx=，则)e,t+，则()lneat t t恒成立.记()()lnett t t=，则()ln120tt=+，所以()t在)e,+上单调递增，所以()min()eet=，所
11、以ea.故a的取值范围为(,e.（3）方法一：因为()f x有两个零点12,x x，不妨设120 xx，则12121122lnln0eexxxxxxaxxa=，即()()12112212eelnlnxxaxxxxxx=，即()()1122lnln1122lnelnexxxxaxxxx=，令()lnt xxx=，则()111xtxxx=，所以当()0,1x时，()()0,txt x单调递增.所以()min()110t xt=.令()()e1xh xxx=，则()()ee0,xxh xxh x=+单调递增，又()()1122lnlnah xxh xx=，所以1122lnlnxxxx=，即12121
12、lnlnxxxx=.由()t x的单调性可知1201xx.思路一：构造函数()()()()2,0,1T xt xtxx=.则()()()()21212(1)2022xxxTxtxtxxxxx=+=，则()10T x，即()()112t xtx，又()()12t xt x=，所以()()212t xtx，又()211,21,xxt x在()1,+上单调递增，所以212xx.故122xx+.学科网（北京）股份有限公司 思路二：要证122xx+，即证121212lnln2xxxxxx+.令()120,1xux=，即证()21ln1uuu+.构造函数()()()21ln,0,11uuu uu=+.则(
13、)22222414(1)(1)0(1)(1)(1)uuuuuuu uu u+=，即()21ln01uuu+.故122xx+.思路三：因为12121lnlnxxxx=，即1122lnxxxx=，令()120,1xux=，则1212ln,xxuxux=即12ln,1ln.1uxuuuxu=要证122xx+，即证lnln211uuuuu+，即证1ln21uuu+，即证()21ln1uuu+，下同思路一，略.方法二：因为()f x有两个零点12,x x，不妨设120 xx，则12121122lnln0eexxxxxxaxxa=，即11221122eeeelnlnxxxxaxxxx=.学科网（北京）股份
14、有限公司 令()ext xx=，则()()2e1xxtxx=，所以当()0,1x时，()()0,txt x单调递增.所以()min()1et xt=.令()()lneh xx x x=，则()()ln10,h xxh x=+单调递增，又1212eexxahhxx=，所以1212eexxxx=，即2121exxxx=由()t x的单调性可知1201xx.思路一：构造函数()()()()2,0,1T xt xtxx=.则()()()()()222e1e12(2)xxxxTxtxtxxx=+=+()222ee1(2)xxxxx=，令()2exu xx=，则()()243e2ee2xxxxxxuxxx
15、=，所以当()0,2x时，()()0,uxu x单调递减，所以当()0,1x时，022xx，则()()2uxu x，所以()0Tx，则()10T x，即()()112t xtx，又()()12t xt x=，所以()()212t xtx，又()211,21,xxt x在()1,+上单调递增，所以212xx.故122xx+.思路二：因为1212eexxxx=，所以21212121eeeexxxxxxxx+=+，即()()21212121122121eee1eee1xxxxxxxxxxxxxx+=，令210uxx=，要证122xx+，即证e12e1uuu+，学科网（北京）股份有限公司 即证e10e
16、12uuu+.构造函数()()e1,0,e12uuuuu=+.则()()()()222e12e102e12 e1uuuuu=+，故()u在()0,+上单调递减，则()()00u.注：要证明e10e12uuu+，即证2e12uuu+，构造函数()()2e,0,2uuuuu=+.则()()()222222eee02(2)(2)uuuuuuuuuuu+=+=+，故()u在()0,+上单调递减，则()()01u.思路三：令210uxx=，则2121uxx euxx=即1211uuuuxeuexe=.要证122xx+，即证e2e1e1uuuuu+，即证e11e12uuu+.下同思路二，略.思路四：对1212eexxxx=两边取对数，得1122lnlnxxxx=，下面同方法一.