1、2022-2023学年湖南省名校联盟高二（下）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。1（5分）已知集合Ax|x22x30，xZ，B=x|y=14-x2，则AB真子集的个数为（）A7B8C15D162（5分）1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式eixcosx+isinx（xR，i为虚数单位），这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”根据此公式，化简(e4i)2024+e2i的结果为（）A2B2iC1+iD1i3（5分）已知(，32)，且sin(-4)=m(m0)，则tan(-4)=（）Am1-m2B-m1-m2C1-
2、m2mD-1-m2m4（5分）已知向量a、b满足|a+b|=|a-2b|，|b|=1，则|a|cosa，b=（）A2B2C32D125（5分）“五一”假期期间，某旅游景区为加强游客的安全工作，决定增派甲、乙、丙、丁四位工作人员到A、B、C三个景点进行安全防护宣传，增派的每位工作人员必须到一个景点，且只能到一个景点做安全防护宣传，每个景点至少增派一位工作人员因工作需要，乙不能去A景点，甲和乙不能同去一个景点，则不同的安排方法数为（）A20B30C42D606（5分）已知圆O：x2+y21，点P在直线l：x-y-22=0上运动，过点P作圆O的两条切线，切点分别为A，B，当APB最大时，记劣弧AB及
3、PA，PB所围成的平面图形的面积为S，则（）A2S3B1S2C1S3D0S17（5分）南宋数学家杨辉在详解九章算术中提出了高阶等差数列的问题，即一个数列an本身不是等差数列，但从an数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列bn（则称数列an为一阶等差数列），或者bn仍旧不是等差数列，但从bn数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列cn（则称数列an为二阶等差数列），依次类推，可以得到高阶等差数列类比高阶等差数列的定义，我们亦可定义高阶等比数列，设数列an：1，1，3，27，729是一阶等比数列，则n=110log3an的值为（参考公式：12+22+n2=n6(n+1)(2n
4、+1)）（）A60B120C240D4808（5分）若a=1.4-1，bsin0.2，cln1.44，则（）AacbBabcCbacDbca二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。（多选）9（5分）已知数列an的前n项和为Sn，若a12，an+1an+1，则（）Aa20232020B数列an是递增数列C数列Sn中的最小项为S2DSm、S2m、S3m(mN*)成等差数列（多选）10（5分）已知函数f(x)=sin(x+3)(13)，满足f(-512-x)=f(-512+x)，则（）A2Bf（x）
5、的最小正周期为Cf（x）在区间-512，6单调递增Df(2023)=32（多选）11（5分）已知双曲线E：x2a2-y2b2=1(a0，b0)的左，右焦点分别是F1，F2，渐近线方程为3xy0，点R(4，63)在双曲线E上，点M为双曲线右支上任一点，则（）A双曲线的离心率为5B右焦点F2到渐近线的距离为6C过双曲线右焦点F2的直线l与C交于A，B两点，当|AB|30时，直线l有3条D若直线MF1与双曲线E的另一个交点为P，Q为MP的中点，O为原点，则直线OQ与直线PM的斜率之积为9（多选）12（5分）乒乓球，被称为中国的“国球”，是一种世界流行的球类体育项目，包括进攻、对抗和防守某乒乓球协会组
6、织职工比赛，比赛规则采用五局三胜制，当参赛选手甲和乙两位中有一位赢得三局比赛时，就由该选手晋级且比赛结束每局比赛皆须分出胜负，且每局比赛的胜负相互独立假设甲在任一局赢球的概率为p（0p1），有选手晋级所需要比赛局数的期望值记为f（p），则（）A打满五局的概率为C42p2(1-p)2Bf（p）的常数项为3C函数f（p）在(12，1上单调递增Df(12)=338三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13（5分）2023年3月，某市为创建文明城市，随机从某小区抽取10位居民调查他们对自己目前生活状态的满意程度，该指标数越接近10表示满意程度越高他们的满意度指标数分别是8，5，6，6，9，8
7、，9，7，10，10，则这组数据的30%分位数是 14（5分）为加强学生对平面图形翻折到空间图形的认识，某数学老师充分利用习题素材开展活动，现有一个求外接球表面积的问题，活动分为三个步骤，第一步认识平面图形：如图（一）所示的四边形PABC中，ABBC2，PAPC，ABC60，PAPC第二步：以AC为折痕将PAC折起，得到三棱锥PABC，如图（二）第三步：折成的二面角PACB的大小为120，则活动结束后计算得到三棱锥PABC外接球的表面积为 15（5分）已知函数f（x）ax+e（a0），g（x）xex，若x2（，1，x11，2，使f（x1）g（x2）成立，则实数a的取值范围是 16（5分）已知函
8、数f（x）=x3-4x，x0-lnx，x0，若F（x）f（f（x）t）有5个零点，则实数t的取值范围是 四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（10分）在锐角ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c已知b=23，2asinCcosB=asinA-bsinB+32bsinC，ABC的面积为92（1）求A；（2）以C为圆心，r为半径的圆与边AB有两个交点，求r的取值范围18（12分）在a1+a2+an=2n+1-2；a1a2a3an=2n2+n2两个条件中任选一个，补充在下面的横线上并作答已知数列an的前n项和为Sn，若_nN*（1）求数列an的通项公
9、式；（2）当nak2，ak+12)，kN*时，求区间ak2，ak+12)上所有整数n的和T的表达式注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分19（12分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，AB2，BAD60，三角形PBC为正三角形点E为BC的中点，点F在线段DE上运动（1）求证：BCPF；（2）若二面角ABCP的大小为60，当3FE=DF时，求证：直线PB与平面PAF所成的角小于620（12分）某商场在“五一”期间开展有奖促销活动，规则如下：对一次性购买物品超过2000元的参与者，该商场现有以下两种方案可供选择：方案一：在一个放有大小相同的3个红球和3个白球的不透明的箱子中，
10、参与者随机摸出一个球，若是红球，则放回箱子中；若是白球，则不放回，再向箱子中补充一个红球，这样反复进行3次，若最后箱子中红球的个数为X，则该参与者获得奖金X百元；方案二：在一个放有大小相同的3个红球和3个白球的不透明的箱子中，参与者一次性摸出3个球，把白球换成红球再全部放回袋中，设袋中红球个数为Y，则该参与者获得奖金Y百元（1）若用方案一，求X的分布列与数学期望；（2）若你是参与者，从期望的角度出发，你会选择哪种参考方案？请说明理由21（12分）已知抛物线C：x22py（p0）上一点M（m，1）到焦点的距离为2（1）求抛物线C的方程；（2）过点（1，0）的直线交抛物线C于A，B两点，点Q（0，
11、2），连接QA交抛物线C于另一点E，连接QB交抛物线C于另一点F，且QAB与QEF的面积之比为1：3，求直线AB的方程22（12分）已知函数f（x）aexx2+3（aR）（1）若方程f（x）0有3个零点，求实数a的取值范围；（2）若（x）x2+2x+4f（x）有两个零点x1，x2（x1x2），求证：0a2ee，且2x2+12x1+1ex2-e-x1x2+x12022-2023学年湖南省名校联盟高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1（5分）已知集合Ax|x22x30，xZ，B=x|y=14-x
12、2，则AB真子集的个数为（）A7B8C15D16【解答】解：由题意可得，Ax|x22x30，xZx|1x3，xZ1，0，1，2，3，B=x|y=14-x2=x|4-x20=x|-2x2，所以AB1，0，1，所以AB真子集的个数为7故选：A2（5分）1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式eixcosx+isinx（xR，i为虚数单位），这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”根据此公式，化简(e4i)2024+e2i的结果为（）A2B2iC1+iD1i【解答】解：因为e2i=cos2+isin2=i，又(e4i)2024=(22+22i)2
13、024=(22+22i)21012=i1012=1，所以(e4i)2024+e2i=1+i故选：C3（5分）已知(，32)，且sin(-4)=m(m0)，则tan(-4)=（）Am1-m2B-m1-m2C1-m2mD-1-m2m【解答】解：因为(，32)，所以-4(34，54)，又sin(-4)=m(m0)，所以-4(34，)，从而cos(-4)=-1-m2，因此tan(-4)=-m1-m2，故选：B4（5分）已知向量a、b满足|a+b|=|a-2b|，|b|=1，则|a|cosa，b=（）A2B2C32D12【解答】解：由|a+b|=|a-2b|，可得|a+b|2=|a-2b|2，整理得a2
14、+2ab+b2=a2-4ab+4b2，化简得2ab=b2，又|b|1，所以2|a|b|cosa，b=|b|2=1，所以|a|cosa，b=12故选：D5（5分）“五一”假期期间，某旅游景区为加强游客的安全工作，决定增派甲、乙、丙、丁四位工作人员到A、B、C三个景点进行安全防护宣传，增派的每位工作人员必须到一个景点，且只能到一个景点做安全防护宣传，每个景点至少增派一位工作人员因工作需要，乙不能去A景点，甲和乙不能同去一个景点，则不同的安排方法数为（）A20B30C42D60【解答】解：4人分3组，每组至少1人，则必有1组2人，若丙丁1组，则先安排乙，则乙可以去B，C两个景点，则共有C21A22=
15、4，若丙丁一人和甲一组，则有C21C21A22=8，若丙丁一人和乙一组，则有C21C21A22=8，则共有4+8+820种不同的安排方法故选：A6（5分）已知圆O：x2+y21，点P在直线l：x-y-22=0上运动，过点P作圆O的两条切线，切点分别为A，B，当APB最大时，记劣弧AB及PA，PB所围成的平面图形的面积为S，则（）A2S3B1S2C1S3D0S1【解答】解：圆O：x2+y21的圆心O的坐标为（0，0），半径为1，如图所示：sinOPB=r|OP|=1|OP|，且ysinx在(0，2)上递增，当|OP|最小时，OPB最大，即APB最大，此时OP垂直直线l，且|OP|=2212+(-
16、1)2=2，|PA|=|PB|=3，从而四边形OAPB的面积为SOAPB=21231=3，设AOP，则AOB2，S扇形OAB=12122=，从而劣弧AB及PA，PB所围成的平面图形的面积为S=3-，又sin=32，(0，2)，=3，可得0S=3-=3-31，即0S1故选：D7（5分）南宋数学家杨辉在详解九章算术中提出了高阶等差数列的问题，即一个数列an本身不是等差数列，但从an数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列bn（则称数列an为一阶等差数列），或者bn仍旧不是等差数列，但从bn数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列cn（则称数列an为二阶等差数列），依次类推，可以
17、得到高阶等差数列类比高阶等差数列的定义，我们亦可定义高阶等比数列，设数列an：1，1，3，27，729是一阶等比数列，则n=110log3an的值为（参考公式：12+22+n2=n6(n+1)(2n+1)）（）A60B120C240D480【解答】解：由题意，数列1，1，3，27，729，为an，且为一阶等比数列，设bn-1=anan-1，所以bn为等比数列，其中b11，b23，公比为q=b2b1=3，所以bn=3n-1，则an=bn-1bn-2b1a1=31+2+3+(n-2)=3(n-1)(n-2)2，n2，所以log3an=log33(n-1)(n-2)2=(n-1)(n-2)2=12(
18、n2-3n+2)，n2，因为a11，a21，也适合上式，所以log3an=12(n2-3n+2)，所以n=110log3an=log3a1+log3a2+log3a3+log3a10=12(12+22+102)-3(1+2+10)+210 =12(16101121)-3(1+10)102+210=120故选：B8（5分）若a=1.4-1，bsin0.2，cln1.44，则（）AacbBabcCbacDbca【解答】解：构造函数g(x)=sinx-1+2x+1，x(0，14)，可得g(x)=cosx-11+2x，x(0，14)，令g(x)=cosx-11+2x=f(x)，x(0，14)，则f(x
19、)=1(1+2x)3-sinx，因为当x(0，14)时，y=1(1+2x)3，ysinx均单调递减，所以f(x)=1(1+2x)3-sinx单调递减，所以f(x)=1(1+2x)3-sinxf(14)=(23)3-sin14，因为sin1414，所以(23)3-sin14(23)3-140，所以g(x)=cosx-11+2x=f(x)单调递增，又g(0)=cos0-11+0=0，从而g（x）在x(0，14)单调递增，所以g（x）g（0）0，所以g(0.2)=sin0.2-1+20.2+10，从而得到ba，又因为cbln1.44sin0.22ln1.2sin0.2，构造函数（x）2ln（1+x）
20、sinx，x(0，14)，所以(x)=2x+1-cosx，x(0，14)，令(x)=2x+1-cosx=m(x)，则m(x)=sinx-2(x+1)2，因为当x(0，14)时，ysinx，y=-2(x+1)2均单调递增，所以m(x)=sinx-2(x+1)2单调递增，所以m(x)=sinx-2(x+1)2m(14)=sin14-2(14+1)214-2(14+1)2=14-32250，所以（x）在x(0，14)单调递减，所以(x)(14)=85-cos140，所以（x）2ln（1+x）sinx，x(0，14)单调递增，从而（x）（0）0，所以（0.2）2ln（1.2）sin0.20，所以cb，
21、综上可得：cba故选：B二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。（多选）9（5分）已知数列an的前n项和为Sn，若a12，an+1an+1，则（）Aa20232020B数列an是递增数列C数列Sn中的最小项为S2DSm、S2m、S3m(mN*)成等差数列【解答】解：因为an+1an+1，所以an+1an1，所以数列an是公差为1的等差数列，因为a12，所以an2+1（n1）n3，所以a2023202332020，故A正确；因为an+1an10，所以an是递增数列，故B正确；因为a120，a21
22、0，a30，an+1an10，即n4时，an0，所以数列Sn中的最小项为S2或S3，故C错误；当m1时，S12，S23，S33，显然不是等差数列，故D错误故选：AB（多选）10（5分）已知函数f(x)=sin(x+3)(13)，满足f(-512-x)=f(-512+x)，则（）A2Bf（x）的最小正周期为Cf（x）在区间-512，6单调递增Df(2023)=32【解答】解：因为f(-512-x)=f(-512+x)，所以f（x）的函数图像关于直线x=-512成轴对称，则-512+3=2+k，kZ，得=-25-125k，kZ，又因为13，所以2，故A正确；所以f(x)=sin(2x+3)，所以T
23、=22=，故B正确；令-2+2k2x+32+2k，kZ，所以-512+kx12+k，kZ，当k0时，-512，12为f（x）的单调递增区间，所以f（x）在区间-512，6有增有减，故C错误；f(2023)=sin(22023+3)=sin3=32，故D正确故选：ABD（多选）11（5分）已知双曲线E：x2a2-y2b2=1(a0，b0)的左，右焦点分别是F1，F2，渐近线方程为3xy0，点R(4，63)在双曲线E上，点M为双曲线右支上任一点，则（）A双曲线的离心率为5B右焦点F2到渐近线的距离为6C过双曲线右焦点F2的直线l与C交于A，B两点，当|AB|30时，直线l有3条D若直线MF1与双曲
24、线E的另一个交点为P，Q为MP的中点，O为原点，则直线OQ与直线PM的斜率之积为9【解答】解：由渐近线方程为3xy0，可设双曲线E：x2-y29=m(m0)，点R(4，63)在双曲线E上，m4，可得双曲线E：x24-y236=1故a=2，b=6，c=210，离心率为e=10，故A错误；由题可知右焦点为F2(210，0)，则点F2(210，0)到渐近线3xy0的距离为d=|3210|9+1=6，故B正确；若lx轴，当x=210时，将其代入x24-y236=1得|y|18，则|AB|2|y|3630，直线l与右支不可能有两个交点；若l与x轴不垂直，与C的左，右支交于A，B两点，|AB|302a4，
25、存在两条直线分别交左右两支各一点综上可得：满足条件的直线有2条，故C错误；设M（x1，y1），P（x2，y2），Q（x3，y3），则x3=x1+x22，y3=y1+y22，P，M在双曲线E上，x124-y1236=1，x224-y2236=1，并整理得y1+y2x1+x2y1-y2x1-x2=9，kMP=y1-y2x1-x2，kOQ=y3x3=y1+y2x1+x2，kOQkPM9，故D正确故选：BD（多选）12（5分）乒乓球，被称为中国的“国球”，是一种世界流行的球类体育项目，包括进攻、对抗和防守某乒乓球协会组织职工比赛，比赛规则采用五局三胜制，当参赛选手甲和乙两位中有一位赢得三局比赛时，就由
26、该选手晋级且比赛结束每局比赛皆须分出胜负，且每局比赛的胜负相互独立假设甲在任一局赢球的概率为p（0p1），有选手晋级所需要比赛局数的期望值记为f（p），则（）A打满五局的概率为C42p2(1-p)2Bf（p）的常数项为3C函数f（p）在(12，1上单调递增Df(12)=338【解答】解：设实际比赛局数为X，则X的可能取值为3，4，5，可得P（X3）p3+（1p）3，P(X=4)=C31p3(1-p)+C31p(1-p)3，P(X=5)=C42p2(1-p)2，因此打满五局的概率为C42p2(1-p)2，故A正确；由f(p)=3p3+(1-p)3+4C31p3(1-p)+C31p(1-p)3+5
27、C42p2(1-p)26p412p3+3p2+3p+3，常数项为3，故B正确；由f（p）24p336p2+6p+33（2p1）（4p24p1），因为0p1，所以4p24p1（2p1）220，令f（p）0，则0p12；令f（p）0，则12p1，则函数f（p）在(12，1上单调递减，故C错误；又由f(12)=6116-1218+314+32+3=338，故D正确故选：ABD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13（5分）2023年3月，某市为创建文明城市，随机从某小区抽取10位居民调查他们对自己目前生活状态的满意程度，该指标数越接近10表示满意程度越高他们的满意度指标数分别是8，5，6
28、，6，9，8，9，7，10，10，则这组数据的30%分位数是 6.5【解答】解：依题意这10个数据从小到大排列为5、6、6、7、8、8、9、9、10、10，又1030%3，所以这组数据的30%分位数是第3与第4个数的平均数6.5故答案为：6.514（5分）为加强学生对平面图形翻折到空间图形的认识，某数学老师充分利用习题素材开展活动，现有一个求外接球表面积的问题，活动分为三个步骤，第一步认识平面图形：如图（一）所示的四边形PABC中，ABBC2，PAPC，ABC60，PAPC第二步：以AC为折痕将PAC折起，得到三棱锥PABC，如图（二）第三步：折成的二面角PACB的大小为120，则活动结束后计
29、算得到三棱锥PABC外接球的表面积为 529【解答】解：由题意得第一步：ABBC2，ABC60，ABC是边长为2的正三角形，第二步：可三棱锥PABC外接球的球心是过底面ABC外心的平面ABC的垂线，与过PAC外心的平面PAC的垂线的交点，如图所示：ABC为正三角形，ABC的外心O1为ABC的中心，PAC为以AC为斜边的直角三角形，PAC的外心O2为AC的中点，三棱锥PABC外接球的球心为O，ABBC2，PAPC，PO2AC，O1O2AC，故PO2O1为二面角PACB的一个平面角，PO2O1120，ABC为正三角形，O1O2=33O2C=33，又OO2平面PAC，PO2平面PAC，则OO2PO2
30、，即PO2O90，OO2O130，cosOO2O1=cos30=O2O1OO2=33OO2，OO2=23，设外接球的半径为R，则R2=OO22+O2C2=49+1=139，故外接球的表面积为4R2=529故答案为：52915（5分）已知函数f（x）ax+e（a0），g（x）xex，若x2（，1，x11，2，使f（x1）g（x2）成立，则实数a的取值范围是 e+1e，+）【解答】解：已知g（x）xex，函数定义域为（，1，可得g（x）（x+1）ex，当x1时，g（x）0，g（x）单调递减；当1x1时，g（x）0，g（x）单调递增，所以当x1时，函数g（x）取得极小值也是最小值，最小值f（1）=-
31、1e，又g（1）e，且当x时，g（x）0，已知f（x）ax+e（a0），函数定义域为1，2，可得函数f（x）在定义域上单调递增，所以当x1时，函数f（x）取得极小值也是最小值，f（1）ea，当x2时，函数f（x）取得极大值也是最大值，f（2）2a+e，若x2（，1，x11，2，使f（x1）g（x2）成立，所以e-a-1e2a+ee，解得ae+1e，则实数a的取值范围为e+1e，+）故答案为：e+1e，+）16（5分）已知函数f（x）=x3-4x，x0-lnx，x0，若F（x）f（f（x）t）有5个零点，则实数t的取值范围是 (1639，1639+2)【解答】解：由x34xx（x24）x（x+2
32、）（x2）0（x0），解得x0或x2；由lnx0（x0），解得 x1，因为F（x）f（f（x）t）0，所以f（x）t0或f（x）t1或f（x）t2，即f（x）t或f（x）t+1或f（x）t2，因为F（x）f（f（x）t）有5个零点，所以数f（x）的图象与三条直线yt，yt+1，yt2共有5个交点，因为函数ylnx的图象与三条直线yt，yt+1，yt2共有3个交点，所以f（x）x34x（x0）的图象与三条直线共有2个交点，当x0时，f(x)=3x2-4=3(x+233)(x-233)，所以x(-，-233)时，f（x）0，f（x）单调增；x(-233，0)时，f（x）0，f（x）单调递减，所以x
33、=-233时，f（x）取得极大值也是最大值f(-233)=(-233)3-4(-233)=1639，f（0）0，结合f（x）的图象，可知t16390t-21639或t=1639t-20，解得1639t1639+2故答案为：(1639，1639+2)四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（10分）在锐角ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c已知b=23，2asinCcosB=asinA-bsinB+32bsinC，ABC的面积为92（1）求A；（2）以C为圆心，r为半径的圆与边AB有两个交点，求r的取值范围【解答】解：（1）由正弦定理可得2acco
34、sB=a2-b2+32bc，由余弦定理得2aca2+c2-b22ac=a2-b2+32bc，所以c=32b，又因为b=23，所以c3，又ABC的面积为92，所以12bcsinA=92，即12233sinA=92，所以sinA=32，又因为0A2，所以A=3；（2）由（1）及余弦定理可知a2=b2+c2-2bccosA=12+9-2233cos3，即a2=21-63，所以a=21-63b=23，又若C为圆心，r为半径的圆与边AB相切，设切点为D，则sinA=CDAC，得CD=ACsinA=2332=3，所以要使以C为圆心，r为半径的圆与边AB有两个交点，必须满足3r21-63，所以r的取值范围为
35、(3，21-6318（12分）在a1+a2+an=2n+1-2；a1a2a3an=2n2+n2两个条件中任选一个，补充在下面的横线上并作答已知数列an的前n项和为Sn，若_nN*（1）求数列an的通项公式；（2）当nak2，ak+12)，kN*时，求区间ak2，ak+12)上所有整数n的和T的表达式注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分【解答】解：（1）选：a1+a2+an=2n+1-2，当n2时，a1+a2+an-1=2n-2，两式相减得，an=2n（n2），当n1时，a12，满足上式，an=2n选：a1a2a3an=2n2+n2，当n2时，a1a2a3an-1=2(n-1)2+(n
36、-1)2=2n2-n2，两式相除得，an=2n(n2)，当n1时，a12，满足上式，an=2n（2）由（1）可知，n2k1，2k），kN*，而2k1，2k）上所有整数依次为2k1，2k1+1，2k1+2，2k1+（2k11），它们构成首项为2k1，公差为1的等差数列，且项数为2k1，所以T2k1+（2k1+1）+（2k1+2）+2k1+（2k11）=2k-12k-1+(2k-1-1)2k-12=322k-3-2k-219（12分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，AB2，BAD60，三角形PBC为正三角形点E为BC的中点，点F在线段DE上运动（1）求证：BCPF；（2）若二面角A
37、BCP的大小为60，当3FE=DF时，求证：直线PB与平面PAF所成的角小于6【解答】证明：（1）ABCD为菱形，且BAD60，BCD为等边三角形，又点E为BC中点，DEBC在正三角形PBC中，PEBC，又DEPEE，DE，PE平面DEP，BC平面DEP，又PF平面DEP，BCPF；（2）PEBC，DEBC，DEP就是二面角ABCP的平面角，DEP60，在DEP中，PE=DE=3，DEP为边长为3的等边三角形，取DE中点O，则PODE，又由（1）可知，平面DEP底面ABCD，平面DEP底面ABCDDE，PO平面DEP，所以PO底面ABCD过点O作BC的平行线交AB于点G，则OGDE，OG，OE
38、，OP两两相互垂直，以OG，OE，OP所在的方向分别为x，y，z轴的正方向，建系如图，在POE中，OE=32，OP=32，A(2，-32，0)，B(1，32，0)，E(0，32，0)，P(0，0，32)，D(0，-32，0)，又3FE=DF，可得F(0，34，0)，AF=(-2，334，0)，PF=(0，34，-32)，PB=(1，32，-32)，设n=(x，y，z)为平面PAF的一个法向量，则-2x+334y=034y-32z=0，取n=(332，4，233)，设直线PB与平面PAF所成角为，则sin=|cosn，PB|=|nPB|n|PB|=53221723=153412，6，直线PB与平
39、面PAF所成的角小于6得证20（12分）某商场在“五一”期间开展有奖促销活动，规则如下：对一次性购买物品超过2000元的参与者，该商场现有以下两种方案可供选择：方案一：在一个放有大小相同的3个红球和3个白球的不透明的箱子中，参与者随机摸出一个球，若是红球，则放回箱子中；若是白球，则不放回，再向箱子中补充一个红球，这样反复进行3次，若最后箱子中红球的个数为X，则该参与者获得奖金X百元；方案二：在一个放有大小相同的3个红球和3个白球的不透明的箱子中，参与者一次性摸出3个球，把白球换成红球再全部放回袋中，设袋中红球个数为Y，则该参与者获得奖金Y百元（1）若用方案一，求X的分布列与数学期望；（2）若你
40、是参与者，从期望的角度出发，你会选择哪种参考方案？请说明理由【解答】解：（1）若选择方案一，由条件可知X可能的取值为3，4，5，6，P(X=3)=121212=18，P(X=4)=122323+121223+121212=3772，P(X=5)=121356+122313+121213=13，P(X=6)=121316=136，X的分布列为：X3456P18 3772 13 136 E(X)=318+43772+513+6136=307724.26百元（2）对于方案二，由条件可得Y可能的取值为3，4，5，6，P(Y=3)=C33C63=120，P(Y=4)=C31C32C63=920，P(Y=
41、5)=C31C32C63=920，P(Y=6)=C33C63=120，Y的期望值E(Y)=3120+4920+5920+6120=92=4.5百元E（Y）E（X），所以参与者选择方案二获得奖金数额的数学期望值会更高所以作为参与者，应该选择方案二21（12分）已知抛物线C：x22py（p0）上一点M（m，1）到焦点的距离为2（1）求抛物线C的方程；（2）过点（1，0）的直线交抛物线C于A，B两点，点Q（0，2），连接QA交抛物线C于另一点E，连接QB交抛物线C于另一点F，且QAB与QEF的面积之比为1：3，求直线AB的方程【解答】解：（1）由题可知焦点的坐标为(0，p2)，所以由抛物线的定义可知
42、|MF|=1+p2=2，即p2，所以抛物线C的方程为x24y；（2）易知直线AB的斜率存在且不为零，设直线AB的方程为yk（x+1）（k0），A（x1，y1），B（x2，y2），由y=k(x+1)x2=4y，得x24kx4k0，则16k2+16k0，即k0或k1，x1x24k因为Q（0，2），所以kAQ=y1+2x1，所以直线AQ的方程为y=y1+2x1x-2，由y=y1+2x1x-2x2=4y，得x2-4(y1+2)x1x+8=0，设E（x3，y3），则x1x38，得x3=8x1，设F（x4，y4），同理可得x4=8x2，则SQABSQEF=12|QA|QB|sinAQB12|QE|QF|sinA