1、2022-2023学年江苏省无锡市新吴区高一（下）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。1（5分）若z（1i）（1+i）2，则在复平面内复数z对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限2（5分）两个粒子A，B从同一发射源发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为sA=(4，3)，sB=(-2，6)，则sB在sA上的投影向量的长度为（）A10B102C1010D23（5分）若一个样本容量为8的样本的平均数为5，方差为2现样本中又加入一个新数据5，此时样本容量为9，平均数为x，方差为s2，则（）Ax=5，s22Bx=5，s22Cx5，s22Dx5，s224（5分）抛
2、掷两枚质地均匀的硬币，设事件A“第一枚硬币正面朝上”，B“第二枚硬币反面朝上”（）AA与B互为对立事件BA与B互斥CA与B相等DP（A）P（B）5（5分）四棱台ABCDEFGH中，其上、下底面均为正方形，若EF2AB8，且每条侧棱与底面所成角的正切值均为32，则该棱台的体积为（）A224B448C2243D1476（5分）如图，在ABC中，点D为BC边的中点，O为线段AD的中点，连接CO并延长交AB于点E，设AB=a，AC=b，则CE=（）A14a-34bB14a-bC13a-bD13a-34b7（5分）在ABC中，CD为角C的平分线，若B2A，3AD4BD，则cosA等于（）A0B12C23
3、D348（5分）中国古建筑闻名于世，源远流长如图1所示的五脊殿是中国传统建筑中的一种屋顶形式，该屋顶的结构示意图如图2所示，在结构示意图中，已知四边形ABCD为矩形，EFAB，AB2EF2，ADE与BCF都是边长为1的等边三角形，若点A，B，C，D，E，F都在球O的球面上，则球O的表面积为（）A118B116C114D112二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（多选）9（5分）已知复数z1，z2，z1为z1的共轭复数，则下列结论中一定成立的是（）Az1+z1为实数B若|z1|z2|，则z1
4、z2C|z2z1|=|z2z1|D若|z1|1，则|z1+1i|的最小值为2-1（多选）10（5分）下列说法正确的是（）A用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体m被抽到的概率是0.1B已知一组数据1，2，3，3，4，5的众数大于中位数C数据27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是21D甲乙丙三种个体按3：1：2的比例分层抽样，如果抽取的甲个体数为9，则样本容量为18（多选）11（5分）在ABC中，内角A、B、C所对的边分别为，则下列说法正确的是（）AabcosC+ccosBB若sin2Asin2B，则ABC是等腰三角形C若(AB|AB
5、|+AC|AC|)BC=0，且AB|AB|AC|AC|=12，则ABC为等边三角形D若a=23，b=4，要使满足条件的三角形有且只有两个，则A(0，3)（多选）12（5分）已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为4，点E，F，G，M分别是BC，AA1，C1D1，BB1的中点则（）A直线A1G，EF是异面直线B平面DMC1截正方体所得截面的面积为122C三棱锥AMC1D1的体积为163D三棱锥A1BDC1的内切球的体积为32327三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13（5分）圆锥侧面展开图扇形的圆心角为60，底面圆的半径为6，则圆锥的侧面积为 14（5分）某种饮料每箱装6听，其中
6、有1听不合格，质检人员从中随机抽出2听，检测出不合格品的概率为 15（5分）神舟十三号飞船于2022年4月16日首次实施快速返回技术成功着陆若由搜救地面指挥中心的提供信息可知：在东风着陆场搜索区域内，A处的返回舱垂直返回地面空中分队和地面分队分别在B处和C处，如图为其示意图，若A，B，C在同一水平面上的投影分别为A1，B1，C，且在C点测得B的仰角为26.6，在C点测得A的仰角为45，在B点测得A的仰角为26.6，BB17km，B1A1C120则CA1的长为 km（参考数据：tan26.612）16（5分）大约在公元222年，赵爽为周髀算经一书作序时介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（如图
7、1）某数学兴趣小组类比“赵爽弦图”构造出图2：ABC为正三角形，AD，BE，CF围成的DEF也为正三角形若D为BE的中点，DEF与ABC的面积比为 ；设AD=AB+AC，则+ 四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（10分）已知复数z1a+i，z21ai，其中i是虚数单位，aR（1）若z1z2为纯虚数，求a的值；（2）若z12+2z1+20，求z1z2的虚部18（12分）某大型连锁超市随机抽取了100位客户，对去年到该超市消费情况进行调查经统计，这100位客户去年到该超市消费金额（单位：万元）均在区间0.2，0.8内，按0.2，0.3，（0.3，0.4
8、，（0.4，0.5，（0.5，0.6，（0.6，0.7，（0.7，0.8分成6组，其频率分布直方图如图所示（1）求频率分布直方图中a的值，并估计样本中消费金额的中位数（中位数精确到0.01）；（2）求出这100位客户最近一年到该超市消费金额的平均数（同一组中的数据以这组数据所在范围的组中值作代表）19（12分）甲、乙两人进行摸球游戏，游戏规则是：在一个不透明的盒子中装有质地、大小完全相同且编号分别为1，2，3，4，5的5个球，甲先随机摸出一个球，记下编号，设编号为a，放回后乙再随机摸出一个球，也记下编号，设编号为b，记录摸球结果（a，b），如果a+b5，算甲赢，否则算乙赢（1）求a+b5的概率
9、；（2）这种游戏规则公平吗？请说明理由20（12分）已知向量a=(1，1)，b=(2，-2)（1）求向量b和a+b的夹角的余弦值；（2）设向量x=a+(t2-3)b，y=-ka+(t+2)b，是否存在正实数k，使得xy？如果存在，求出t的取值范围；如果不存在，请说明理由21（12分）如图，在三棱锥PABC中，平面PBC平面ABC，PBC为等边三角形，D，E分别为PC，PB的中点，BDPA，BC2，AC1（1）求证：AC平面PBC；（2）在线段AC上是否存在点F，使得平面DEF与平面ABC的夹角为3，若存在，求出CF的长；若不存在，请说明理由22（12分）记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，
10、b，c，已知a2-b2c2=a2+b2-c2ab（1）若C=4，求A，B；（2）若ABC为锐角三角形，求abcos2B的取值范围2022-2023学年江苏省无锡市新吴区辅仁高级中学高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）若z（1i）（1+i）2，则在复平面内复数z对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【解答】解：因为z（1i）（1+i）2，所以z=(1+i)21-i=2i1-i=2i(1+i)(1+i)(1-i)=-1+i，故在复平面内复数z对应的点（1，1）位于第二
11、象限故选：B2（5分）两个粒子A，B从同一发射源发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为sA=(4，3)，sB=(-2，6)，则sB在sA上的投影向量的长度为（）A10B102C1010D2【解答】解：设sB与sA的夹角为，则cos=sBsA|sB|sA|=105210=1010，所以sB在sA上的投影向量为|sB|cossAsA=2101010(45，35)=(85，65)，所以sB在sA上的投影向量的长度为6425+3625=2故选：D3（5分）若一个样本容量为8的样本的平均数为5，方差为2现样本中又加入一个新数据5，此时样本容量为9，平均数为x，方差为s2，则（）Ax=5，s22Bx=5，
12、s22Cx5，s22Dx5，s22【解答】解：某8个数据的平均数为5，方差为2，现又加入一个新数据5，此时这9个数的平均数为x，方差为s2，x=85+59=5，S2=82+(5-5)29=1692故选：B4（5分）抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A“第一枚硬币正面朝上”，B“第二枚硬币反面朝上”（）AA与B互为对立事件BA与B互斥CA与B相等DP（A）P（B）【解答】解：抛掷两枚质地均匀的硬币的所有结果是：（正，正），（正，反），（反，正），（反，反），事件包含的结果有：（正，正），（正，反），事件B包含的结果有：（正，反），（反，反），显然事件A，事件B都含有“（正，反）“这一结果，即事件A，
13、事件B能同时发生，因此，事件A，事件B既不互斥也不对立，A，B都不正确；事件A，事件B中有不同的结果，于是得事件A与事件B不相等，C不正确；由古典概型知，P(A)=24=12，P(B)=24=12，所以P（A）P（B），D正确故选：D5（5分）四棱台ABCDEFGH中，其上、下底面均为正方形，若EF2AB8，且每条侧棱与底面所成角的正切值均为32，则该棱台的体积为（）A224B448C2243D147【解答】解：四棱台ABCDEFGH中，其上、下底面均为正方形，EF2AB8，连接HF，EG交于点O1，连接AC，DB交于点O2，连接O1O2，过C作CQO1O2，如图，“刍童”ABCDEFGH上、
14、下底面均为正方形，且每条侧棱与底面所成角的正切值均相等，O1O2底面EFGH，又CQO1O2，CQ底面EFGH，CGQ是“刍童”ABCDEFGH其中一条侧棱与底面所成角的平面角，四棱台ABCDEFGH中每条侧棱与底面所成角的正切值均为32，tanCGQ=32，EF2AB8，EG=82，AC=42，由题意知四边形ACGE是等腰梯形，则QG=12(EG-AC)=22，在RtCQG中，tanCGQ=CQQG=32，则CQ=32QG=12，“刍童”ABCDEFGH的高为12，则该刍童的体积为V=12(24+8)4+(28+4)86=448故选：B6（5分）如图，在ABC中，点D为BC边的中点，O为线段
15、AD的中点，连接CO并延长交AB于点E，设AB=a，AC=b，则CE=（）A14a-34bB14a-bC13a-bD13a-34b【解答】解：设AE=AB，则CE=AE-AC=a-b，又CO=12CA+12CD=-12AC+14(AB-AC)=14AB-34AC=14a-34b，设CE=CO，则a-b=(14a-34b)，故=4-1=-34，即=13=43，故CE=43CO=13a-b故选：C7（5分）在ABC中，CD为角C的平分线，若B2A，3AD4BD，则cosA等于（）A0B12C23D34【解答】解：因为CD为角C的平分线，所以ADBD=ACBC，因为3AD4BD，所以ACBC=43，
16、所以不妨设AC4x，BC3x，因为在ABC中，ACsinB=BCsinA，B2A，所以ACsin2A=BCsinA4x2sinAcosA=3xsinA，因为在ABC中，sinA0，x0，所以4x2sinAcosA=3xsinA42cosA=3，所以cosA=23故选：C8（5分）中国古建筑闻名于世，源远流长如图1所示的五脊殿是中国传统建筑中的一种屋顶形式，该屋顶的结构示意图如图2所示，在结构示意图中，已知四边形ABCD为矩形，EFAB，AB2EF2，ADE与BCF都是边长为1的等边三角形，若点A，B，C，D，E，F都在球O的球面上，则球O的表面积为（）A118B116C114D112【解答】解
17、：如图，连接AC，BD，设ACBDO1，因为四边形ABCD为矩形，所以O1为矩形ABCD外接圆的圆心连接OO1，则OO1平面ABCD，分别取EF，AD，BC的中点M，P，Q，根据几何体ABCDEF的对称性可知，直线OO1交EF于点M连接PQ，则PQAB，且O1为PQ的中点，因为EFAB，所以PQEF，连接EP，FQ，在ADE与BCF中，易知EP=FQ=12-(12)2=32，所以梯形EFQP为等腰梯形，所以MO1PQ，且MO1=(32)2-(2-12)2=22设OO1m，球O的半径为R，连接OE，OA，当O在线段O1M上时，由球的性质可知R2OE2OA2，易得O1A=12+(12)2=52，则
18、(22-m)2+(12)2=(52)2+m2，此时无解当O在线段MO1的延长线上时，由球的性质可知，(52)2+m2=(22+m)2+(12)2，解得m=24，所以R2=OE2=118，所以球O的表面积S=4R2=112故选：D二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（多选）9（5分）已知复数z1，z2，z1为z1的共轭复数，则下列结论中一定成立的是（）Az1+z1为实数B若|z1|z2|，则z1z2C|z2z1|=|z2z1|D若|z1|1，则|z1+1i|的最小值为2-1【解答】解：选项A
19、：设z1x+yi（x，yR），z1=x-yi，z1+z1=2xR，故A正确；选项B：设z13+4i，z25，|z1|z2|5，但是z1z2，故B错误；选项C：设z1x+yi，z2a+bi（x，y，a，bR），则z2z1=(a+bi)(x-yi)=(ax+by)+(bx-ay)i，|z2z1|=(ax+by)2+(bx-ay)2=(x2+y2)(a2+b2)z2z1（a+bi）（x+yi）（axby）+（bx+ay）i，|z2z1|=(ax-by)2+(bx+ay)2=(x2+y2)(a2+b2)，所以|z2z1|=|z2z1|，故C正确；选项D：若|z1|1，设z1cos+isin，则z1+1
20、i（cos+1）+（sin1）i，则|z1+1-i|=(cos+1)2+(sin-1)2=3+2(cos-sin)=3+22cos(+4)，所以当cos(+4)=-1时，|z1+1i|取最小值3-22=2-1，故D正确故选：ACD（多选）10（5分）下列说法正确的是（）A用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体m被抽到的概率是0.1B已知一组数据1，2，3，3，4，5的众数大于中位数C数据27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是21D甲乙丙三种个体按3：1：2的比例分层抽样，如果抽取的甲个体数为9，则样本容量为18【解答】解：对于A，个
21、体m被抽到的概率为550=0.1，所以选项A正确；对于B，数据1，2，3，3，4，5的众数是3，中位数是3，众数等于中位数，选项B错误；对于C，数据27，12，14，30，14，17，19，23从小到大排列为：12，14，14，17，19，23，27，30，由于870%5.6，其中第6个数为23，所以选项C错误；对于D，根据分层抽样原理知，抽取的甲个体数为9时，样本容量为933+1+2=18，选项D正确故选：AD（多选）11（5分）在ABC中，内角A、B、C所对的边分别为，则下列说法正确的是（）AabcosC+ccosBB若sin2Asin2B，则ABC是等腰三角形C若(AB|AB|+AC|A
22、C|)BC=0，且AB|AB|AC|AC|=12，则ABC为等边三角形D若a=23，b=4，要使满足条件的三角形有且只有两个，则A(0，3)【解答】解：对于选项A，由正弦定理得bcosC+ccosB2RsinBcosC+2RsinCcosB2Rsin（B+C）2RsinAa，故选项A正确对于选项B，在ABC中，由sin2Asin2B，解得2A2B或2A2B，即AB或A+B=2，所以ABC是等腰三角形或直角三角形故选项B错误对于选项C，因为(AB|AB|+AC|AC|)BC=0，AB|AB|、AC|AC|分别为单位向量，所以A的角平分线与BC垂直，所以ABAC，所以BC又因为AB|AB|AC|A
23、C|=12，即cosA=12，因为0A，所以A=3，所以B=C=A=3，所以ABC为等边三角形，故选项C正确对于选项D，要使满足条件的三角形有且只有两个，则bsinAab，因为a=23，b=4，所以4sinA23即sinA32，A(0，2)所以0A3故选项D正确故选：ACD（多选）12（5分）已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为4，点E，F，G，M分别是BC，AA1，C1D1，BB1的中点则（）A直线A1G，EF是异面直线B平面DMC1截正方体所得截面的面积为122C三棱锥AMC1D1的体积为163D三棱锥A1BDC1的内切球的体积为32327【解答】解：对于A，如图，取B1C1的中点P
24、，连接PE，取PE的中点Q，连接A1Q，则A1FEQ，A1FEQ，所以四边形A1FEQ是平行四边形，所以EFA1Q，又因A1GA1QA1，所以直线A1G，EF是异面直线，故A正确；对于B，如图，延长C1M，CB交于点H，连接HD交AB点N，连接MN，AB1，因为BB1CC1，M为BB1的中点，则BM=12CC1，所以B为HC的中点，因为ABCD，所以N为AB的中点，则MNAB1，因为ADB1C1，ADB1C1，所以AB1C1D为平行四边形，所以AB1DC1，所以MNDC1，则平面DMC1截正方体所得截面为等腰梯形MNDC1，在等腰梯形MNDC1中，DC1=42，MN=22，DN=MC1=25，
25、则梯形的高为20-2=32，所以等腰梯形MNDC1的面积为(42+22)322=18，故B错误；对于C，连接BC1，B1C，则BC1B1C，因为AB平面BCC1B1，B1C平面BCC1B1，所以ABB1C，又ABBC1B，AB，BC1平面ABC1D1，所以B1C平面ABC1D1，又因为M为BB1的中点，所以三棱锥MAC1D1的高为14B1C=2，SAC1D1=12424=82，所以VA-MC1D1=VM-AC1D1=13822=163，故C正确；三棱锥A1BDC1为正四面体，且棱长为42，每个侧面的面积为12（42）232=83，三棱锥A1BDC1的体积为434131243=643，设三棱锥A
26、1BDC1的内切球的半径为r，则41383r=643，解得r=23，所以三棱锥A1BDC1的内切球的体积为43r3=32327，故D正确故选：ACD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13（5分）圆锥侧面展开图扇形的圆心角为60，底面圆的半径为6，则圆锥的侧面积为 216【解答】解：设圆锥的底面周长为c，母线长为l，则c2612，因为圆锥侧面展开图扇形的圆心角为60，所以3=cl=12l，解得l36，则圆锥的侧面积为12lc=123612=216故答案为：21614（5分）某种饮料每箱装6听，其中有1听不合格，质检人员从中随机抽出2听，检测出不合格品的概率为 13【解答】解：从6听
27、饮料中随机抽取2听的基本事件总数为nC 62=15，检测出不合格品的基本事件个数为mC 51C 11=5，所以检测出不合格品的概率为P=mn=515=13故答案为：1315（5分）神舟十三号飞船于2022年4月16日首次实施快速返回技术成功着陆若由搜救地面指挥中心的提供信息可知：在东风着陆场搜索区域内，A处的返回舱垂直返回地面空中分队和地面分队分别在B处和C处，如图为其示意图，若A，B，C在同一水平面上的投影分别为A1，B1，C，且在C点测得B的仰角为26.6，在C点测得A的仰角为45，在B点测得A的仰角为26.6，BB17km，B1A1C120则CA1的长为 10km（参考数据：tan26.
28、612）【解答】解：如图：设A1Cxkm，过点B作AA1的垂线，垂足为D，由题意得BCB126.6，ACA145，ABD26.6，则AA1x，AA1平面A1B1C，BB1平面A1B1C，AA1BB1，又A1C，A1B1平面A1B1C，AA1A1C，AA1A1B1，因为AA1BD，BDA1B1，四边形A1B1BD为平行四边形，A1DBB17，ADAA1A1Dx7，在RtABD中BD=ADtanABD=x-7tan26.6x-712=2(x-7)，B1A1BD2（x7），BB1平面A1B1C，B1C平面A1B1C，BB1B1C，B1C=BB1tanBCB1=7tan26.6712=14，在A1B1
29、C中，B1A1C120，由余弦定理得cos120=A1B12+A1C2-B1C22A1B1A1C=2(x-7)2+x2-14222(x-7)x=-12，化简得x210x0，x10或x0（舍去）CA1的长为10km故答案为：1016（5分）大约在公元222年，赵爽为周髀算经一书作序时介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（如图1）某数学兴趣小组类比“赵爽弦图”构造出图2：ABC为正三角形，AD，BE，CF围成的DEF也为正三角形若D为BE的中点，DEF与ABC的面积比为 17；设AD=AB+AC，则+67【解答】解：设BCa，CEm，则BE2m，在BCE中，由余弦定理得a2m2+（2m）22m（
30、2m）cos120（1+4+2）m27m2，a=7m，DEF与ABC的面积比为SDEFSABC=17AD=12(AB+AE)=12AB+14(AF+AC)，AD=12AB+18AD+14AC，AD=47AB+27AC，+=47+27=67故答案为：17；67四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（10分）已知复数z1a+i，z21ai，其中i是虚数单位，aR（1）若z1z2为纯虚数，求a的值；（2）若z12+2z1+20，求z1z2的虚部【解答】解：（1）由复数z1a+i，z21ai，则z1z2（a+i）（1ai）aa2i+iai22a+（1a2）iz
31、1z2为纯虚数，2a0且1a20则a0；（2）由z12+2z1+20，得（a+i）2+2（a+i）+20，a2+2a+1+（2a+2）i0，解得(a+1)2=02a+2=0，即a1，此时z11+i，z21+i，复数z1z2=-1+i1+i=(-1+i)(1-i)(1+i)(1-i)=2i2=i，复数z1z2的虚部为118（12分）某大型连锁超市随机抽取了100位客户，对去年到该超市消费情况进行调查经统计，这100位客户去年到该超市消费金额（单位：万元）均在区间0.2，0.8内，按0.2，0.3，（0.3，0.4，（0.4，0.5，（0.5，0.6，（0.6，0.7，（0.7，0.8分成6组，其
32、频率分布直方图如图所示（1）求频率分布直方图中a的值，并估计样本中消费金额的中位数（中位数精确到0.01）；（2）求出这100位客户最近一年到该超市消费金额的平均数（同一组中的数据以这组数据所在范围的组中值作代表）【解答】解：2a0.1+20.1+30.1+1.80.1+0.60.11，（1）由题可知，即0.2a0.26，所以a1.3求中位数即求该频率分布直方图的50百分位数，即估计样本中消费金额的中位数为0.4+0.5-(0.13+0.2)0.30.10.46（2）由频率分布直方图可得，x=0.250.13+0.350.2+0.450.3+0.550.18+0.650.13+0.750.06
33、=0.466，因此，这100位客户最近一年到该超市消费金额的平均数为0.466万元19（12分）甲、乙两人进行摸球游戏，游戏规则是：在一个不透明的盒子中装有质地、大小完全相同且编号分别为1，2，3，4，5的5个球，甲先随机摸出一个球，记下编号，设编号为a，放回后乙再随机摸出一个球，也记下编号，设编号为b，记录摸球结果（a，b），如果a+b5，算甲赢，否则算乙赢（1）求a+b5的概率；（2）这种游戏规则公平吗？请说明理由【解答】解：（1）摸球结果（a，b）全部可能的结果是（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（3，
34、1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），共25种，其中a+b5的结果为（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），共4种，故由古典概型的概率计算公式可得P(a+b=5)=425；（2）这种游戏规则不公平，理由如下：设甲赢为事件A，乙赢为事件B，则A，B为对立事件，由题意事件A包含的基本事件（1，5），（2，4），（2，5），（3，3），（3，4），（3，5），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5
35、，5），共15个，由古典概型的概率计算公式可得P(A)=1525=35，P(B)=1-P(A)=25，P（A）P（B），故这种游戏规则不公平20（12分）已知向量a=(1，1)，b=(2，-2)（1）求向量b和a+b的夹角的余弦值；（2）设向量x=a+(t2-3)b，y=-ka+(t+2)b，是否存在正实数k，使得xy？如果存在，求出t的取值范围；如果不存在，请说明理由【解答】解：（1）向量a=(1，1)，b=(2，-2)，a+b=（1+2，1-2），|a+b|=6，b(a+b)=ab+b2=4，设向量b和a+b的夹角为，cos=b(a+b)|b|a+b|=426=63；（2）假设存在正实数t
36、和k，使得xy，则xy=0，a+(t2-3)b-ka+(t+2)b =-ka2+t+2-k(t2-3)ab+(t2-3)(t+2)b2 2k+4（t+2）（t23）0，k2（t+2）（t23），k0，2（t+2）（t23）0，故t2-30t+20 或t2-30t+20，即存在且t的取值范围为(-2，-3)(3，+)21（12分）如图，在三棱锥PABC中，平面PBC平面ABC，PBC为等边三角形，D，E分别为PC，PB的中点，BDPA，BC2，AC1（1）求证：AC平面PBC；（2）在线段AC上是否存在点F，使得平面DEF与平面ABC的夹角为3，若存在，求出CF的长；若不存在，请说明理由【解答】
37、（1）证明：PBC为等边三角形，D为PC中点，BDPC，又BDPA，PAPCP，PA，PC平面PAC，BD平面PAC，AC平面PAC，ACBD，取BC中点G，连接PG，PBC为等边三角形，PGBC，平面PBC平面ABC，平面PBC平面ABCBC，PG平面PBC，AC平面ABC，PGAC，BD与PG相交，BD，PG平面PBC，AC平面PBC；（2）以C为坐标原点，CA，CB所在直线为x轴，y轴，过C且与GP平行的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则C（0，0，0），B（0，2，0），P(0，1，3)，D(0，12，32)，E(0，32，32)，设F（a，0，0）（0a1），则DE=(0，
38、1，0)，DF=(a，-12，-32)，设平面DEF的一个法向量为n=(x，y，z)，则nDE=0nDF=0，y=0ax-12y-32z=0，取x=3，可得y=0z=2a，n=(3，0，2a)为平面DEF的一个法向量，取平面ABC的一个法向量为m=(0，0，1)，则cosm，n=mn|m|n|=2a3+4a2=12，解得a=12，此时CF=12，在线段AC上存在点F使得平面DEF与平面ABC的夹角为3，且CF=1222（12分）记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a2-b2c2=a2+b2-c2ab（1）若C=4，求A，B；（2）若ABC为锐角三角形，求abcos2B的取值范围
39、【解答】解：（1）由余弦定理得b2+c2-2bccosA-b2c2=2abcosCab，即c-2bcosAc=2cosC，由正弦定理得sinC2sinBcosA2sinCcosC，在ABC中，sinCsin（AB）sin（A+B），又sin（A+B）sinAcosB+cosAsinB，所以sinAcosBsinBcosA2sinCcosC，即sin（AB）sin2C，又因为C=4，则sin(A-B)=sin2，所以A-B=2A+B=34，解得A=58B=8；（2）由（1）知sin2Csin（AB），当2CAB时，且A+B+C，若ABC是锐角三角形，则A2，所以2A+C，不成立；当2C+AB时，且A+B+C，所以C2B，所以3B2，则6B4，且C=2B(3，2)，A(4，2)，且abcos2B=sinAsinBcos2B=sin3BsinBcos2B=3-tan2B，又tanB(33，1)，所以abcos2B(2，83)第22页（共22页）