1、2024年山东省青岛市李沧区中考二模数学试题一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1. 的倒数是（）A. 2B. C. D. 2. 下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. B. C. D. 3. 国际护士节是每年的5月日，是国际护士理事会为纪念现代护理学科的创始人弗洛伦斯南丁格尔于年设立的节日某网店年国际护士节这天节日定制礼品的营业额为元，将数据用科学记数法表示为（ ）A. B. C. D. 4. 一个由圆柱和长方体组成的几何体如图水平放置，它的俯视图是（ ）A. B. C. D. 5. 下列运算正确的是（ ）A. B. C. D. 6.
2、 已知甲、乙两组各名同学进行跳绳比赛，统计结果：两组的平均数相同，但甲组同学跳绳成绩的方差为，乙组同学跳绳成绩的方差为，则（ ）A. 甲组成绩比乙组成绩更稳定B. 乙组成绩比甲组成绩更稳定C. 甲组比乙组跳的多D. 甲、乙两组的成绩稳定性不能比较7. 如图，在平面直角坐标系中，将线段先绕原点O按逆时针方向旋转，再向下平移4个单位长度，得到线段，则点A的对应点的坐标是（）A. B. C. D. 8. 两个矩形位置如图所示，若，则的度数为（ ）A. B. C. D. 9. 如图，在中，是的直径，与相切于点，与相交于点，则的长为（ ）A B. C. D. 10. 如图，在矩形纸片中，点在上，将沿折叠
3、，点恰落在边上的点处；点在上，将沿折叠，点恰落在线段上的点处下列结论：；正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11. 比较大小：_（请填写“”、“”、“”或“=”）【答案】【解析】【分析】先将两个无理数平方后比大小，进而可得两个无理数的大小【详解】解：，故答案为：【点睛】本题考查了无理数比大小解题的关键在于熟练掌握无理数比大小的方法12. 计算： _【答案】【解析】【分析】本题考查了分式的化简，平方差公式熟练掌握分式的化简，平方差公式是解题的关键先通分，利用平方差公式进行因式分解，然后进行除法运算即可【详解】解：，故答案：13. 写出一个具有
4、性质的函数_当时，的值随值的增大而减小；当时，【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】本题考查了反比例函数的性质，设符合题意的反比例函数解析式为，把，代入计算即可求解，掌握反比例函数的性质是解题的关键【详解】解：由题意可得，这个函数可以是反比例函数，设，当时，在反比例函数中，当时，的值随值的增大而减小，反比例函数符合题意，故答案为：（答案不唯一）14. 如图，O与正五边形ABCDE的两边AE、CD分别相切于A、C两点，则AOC的度数为_度【答案】144【解析】【分析】连接OA、OC，根据切线的性质得到OAE90，OCD90，根据正多边形的内角和公式求出正五边形的内角的度数，继而求出AOC的度数【
5、详解】解：正五边形每个内角：1803605108，O与正五边形ABCDE的两边AE、CD分别相切，OAEOCD90，AOC(52)1809021082144【点睛】本题主要考查了五边形的内角和的计算，切线的性质，解决此题的关键是正确的计算15. 如图，在矩形中，将矩形绕点按逆时针方向旋转，得到矩形，点的对应点落在上，且，则的面积为_【答案】【解析】【分析】本题考查旋转的性质、矩形的性质、等腰直角三角形的性质，熟练掌握旋转的性质、矩形的性质、等腰直角三角形的性质是解答本题的关键过点作的平行线，交于点，交于点，则由旋转可得，结合矩形的性质可得则，再利用三角形的面积公式计算即可【详解】解：过点作的平
6、行线，交于点，交于点则由旋转可得，四边形为矩形，的面积为故答案为：16. 已知直线与轴交于点，与双曲线交于，两点，若，则的值为_【答案】或【解析】【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合，根与系数的关系，设，联立，整理得到，则，先求出，取的中点D，则，再分点A为的中点或点C与点D重合，两种情况根据中点坐标公式得到的关系式即可求解【详解】解：当时，此时直线 与双曲线只有一个交点，不符合题意；当设，联立，整理得到，直线与轴交于点，取的中点D，则， ，点A为的中点或点C与点D重合，当点A为的中点时，解得或（舍去），经检验，是原方程的解，且符合题意；当点C与点D重合时，则，解得或（舍去），经检验
7、，是原方程的解，且符合题意；综上所述，或故答案为：或三、作图题（本大题满分4分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹17. 已知：求作：点，使得点到点和点的距离相等，且到点的距离最小【答案】见详解【解析】【分析】本题考查作图基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图作线段的垂直平分线，过点作于点，点即为所求【详解】解：如图，点即为所求四、解答题（本大题共9小题，共68分）18. （1）解不等式组：；（2）计算：【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可；（2）本题涉及二次根式的化简、三角函数、负整数指数幂
8、在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果本题考查了解一元一次不等式组，能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解此题的关键；也考查了实数的运算【详解】解：（1），解不等式得；解不等式得；原不等式组的解集为；（2）19. 习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”某校响应号召，鼓励师生利用课余时间广泛阅读该校文学社为了解学生课外阅读情况，抽样调查了20名学生每天用于课外阅读的时间，以下是部分数据和不完整的统计图表：阅读时间在范围内的数据：40，50，45，50，40，55，45，40不完整的统计图表：课外阅读时间x（min）等
9、级DCBA人数3a8b结合以上信息回答下列问题：（1）统计表中的_；（2）统计图中B组对应扇形的圆心角为_度；（3）阅读时间在范围内的数据的众数是_；调查的20名同学课外阅读时间的中位数是_；（4）根据调查结果，请你估计全校800名同学课外阅读时间不少于的人数【答案】（1）5 （2）144 （3）40；40 （4）480【解析】【分析】（1）用调查的总人数乘以C组对应的百分比，即可求解；（2）用乘以B组对应的百分比，即可求解；（3）根据众数和中位数的意义，即可求解；（4）用800乘以课外阅读时间不少于的人数所占的百分比，即可求解【小问1详解】解：根据题意得：；故答案为：5【小问2详解】解：B组
10、对应扇形的圆心角为；故答案为：144【小问3详解】解：阅读时间在范围内的数据中，40出现的次数最多，阅读时间在范围内的数据的众数是；把阅读时间在范围内的数据从小到大排列为：40，40，40，45，45，50， 50， 55，调查的20名同学课外阅读时间位于正中间的两个数分别为40，40，调查的20名同学课外阅读时间的中位数是；故答案为：40；40【小问4详解】解：根据题意得：，全校800名同学课外阅读时间不少于的人数为人【点睛】本题考查中位数、众数、扇形统计图，从扇形统计图准确获取信息是解决问题的前提，样本估计总体是统计中常用的方法20. 风吹梅蕊开，花动香满园第二十四届青岛梅花节期间，为做好
11、志愿服务工作，某小区居委会准备从社区居民中征集2名志愿服务者现有3男2女共5名居民报名，要从这5人中随机挑选2人参加志愿服务工作请用列表或画树状图的方法，求出恰好抽到一男和一女的概率【答案】【解析】【分析】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键列表可得出所有等可能的结果数以及恰好抽到一男和一女的结果数，再利用概率公式可得出答案；【详解】设三名男性居民分别为，两名女性居民分别为，一共有20种等可能的结果，其中恰好抽到一男和一女的结果有12种（恰好抽到一男和一女），答：恰好抽到一男和一女的概率是21. 某幼儿园B位于工地A正西方向的处，一大型卡车从工地出发，
12、以的速度沿北偏西方向行驶若大型卡车的噪声污染范围是，该幼儿园是否会受到大型卡车的噪声污染？若不会受到大型卡车的噪声污染，请说明理由；若受到大型卡车的噪声污染，请求出该幼儿园受大型卡车噪声污染的时间有多长？（参考数据：，）【答案】【解析】【分析】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键过点作，垂足为，根据题意可得：，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而进行比较即可解答；最后在中，利用勾股定理求出的长，再利用等腰三角形的三线合一性质可得，从而进行计算即可解答【详解】解：过点作，在中，幼儿园会受到大型卡车噪声污染，设点为上一点，且，
13、大型卡车在线段上行驶时幼儿园会到受大型卡车噪声污染，在中，答：该幼儿园受大型卡车噪声污染的时间为22. 将黑色圆点按如图所示的规律进行排列：图中黑色圆点的个数依次为，以此类推请回答下列问题：（1）的值为_，的值为_；（2）的值为_；（3）若（为正整数），则的值为_【答案】（1）6； （2） （3）【解析】【分析】本题考查了图形的规律探究，解分式方程等知识根据题意推导一般性规律是解题的关键（1）由题意知， ，计算求解即可；（2）由题意知，则，进而可得；（3）由题意知，则，由，可得，计算求解，然后作答即可【小问1详解】解：由题意知，故答案为：6，；【小问2详解】解：由题意知，即，故答案为：；【小问
14、3详解】解：由题意知，解得，经检验是原分式方程的解，且符合要求；故答案为：23. 某健身器材店计划购买一批篮球和排球，已知每个篮球进价是每个排球进价的1.5倍，若用3600元购进篮球的数量比用3200元购进排球的数量少10个（1）篮球、排球的进价分别为每个多少元?（2）该健身器材店决定用不多于28000元购进篮球和排球共300个进行销售，最多可以购买多少个篮球?【答案】（1）每个篮球的进价为120元，每个排球的进价为80元 （2）100个【解析】【分析】（1）设每个排球的进价为x元，则每个篮球的进价为1.5x元，根据“用3600元购进篮球的数量比用3200元购进排球的数量少10个”得到方程；即
15、可解得结果；（2）设健身器材店可以购进篮球a个，则购进排球（300a）个，根据题意得不等式组即可得到结果【小问1详解】设每个排球的进价为x元，则每个篮球的进价为1.5x元根据题意得解得x80经检验x80是原分式方程的解1.5x120（元）篮球的进价为120元，排球的进价为80元答：每个篮球的进价为120元，每个排球的进价为80元【小问2详解】设该体育用品商店可以购进篮球a个，则购进排球（300a）个，根据题意，得120a+80（300a）28000解得a100答：该健身器材店最多可以购进篮球100个【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，分式方程的应用，找准数量关系是解题的关键24. 如图，在
16、平行四边形中，分别为边，的中点，连接，作交的延长线于 （1）求证：；（2）从下列条件中任选一个作为已知条件后，试判断四边形的形状，并证明你的结论；选择的条件：_（填写序号）（注：如果选择，分别进行解答，按第一个解答计分）【答案】（1）见解析 （2），矩形，证明见解析【解析】【分析】（1）由平行四边形，可得，由题意知，则，证明即可；（2）条件：由，证明四边形是平行四边形，由，可得，则，进而可得平行四边形是矩形；条件：同理可证四边形是平行四边形，由，可得，则，进而可得平行四边形是菱形【小问1详解】证明：平行四边形，分别为边，的中点，；【小问2详解】条件：解：四边形是矩形，证明如下； 平行四边形，四
17、边形是平行四边形，平行四边形是矩形；条件：解：四边形是菱形，证明如下；平行四边形，四边形是平行四边形，平行四边形是菱形；【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定，矩形的判定，菱形的判定，等角对等边，三角形内角和定理等知识熟练掌握平行四边形的性质，全等三角形的判定，矩形的判定，菱形的判定，等角对等边，三角形内角和定理是解题的关键25. 某公司计划用一种长为，宽为的长方形铁片制作无盖盒子如图，在铁片的四个角各截去一个边长相同的小正方形，剩下的材料制作一个无盖盒子 （1）设截去的小正方形的边长为，制作的无盖盒子的侧面积为，写出与之间的关系式，并描述盒子的侧面积随小正方形边长的变化而变化的
18、情况；（2）已知该种长方形铁片的成本为每块40元，当制成的无盖盒子的销售单价为70元时，每天可以售出140个，经调查发现，这种盒子的销售单价每降低1元，其销售量相应增加10个不考虑其他因素，公司将销售单价（元）定为多少时，每天销售无盖盒子所获利润（元）最大？最大利润是多少？【答案】（1）；当时，盒子的侧面积最大；当时，盒子的侧面积随小正方形边长的增大而减小 （2）当时，每天销售无盖盒子所获利润最大，最大利润是4840元【解析】【分析】本题考查的是二次函数的实际应用，建立准确的二次函数关系式是解本题的关键（1）设截去的小正方形的边长为，制作的无盖盒子的侧面积为，再利用侧面积的计算公式列函数关系式
19、；再利用二次函数的性质解答即可；（2）由总利润等于每个利润乘以销售数量建立二次函数关系式，再利用二次函数的性质解答即可小问1详解】解：设截去的小正方形的边长为，制作的无盖盒子的侧面积为，由题意得，即 ， ， 抛物线开口向下，对称轴为直线，当时，盒子的侧面积随小正方形边长的增大而增大，当时，盒子的侧面积最大，当时，盒子的侧面积随小正方形边长的增大而减小；【小问2详解】解： ，抛物线开口向下，对称轴为直线，当时，每天销售无盖盒子所获利润最大，最大利润是484026. 如图，在菱形中，对角线与相交于点，动点从点出发沿方向匀速运动，运动速度为，动点同时从点出发沿方向匀速运动，运动速度为，当到达时，两点
20、停止运动，连接，设时间为，解答下列问题： 备用图（1）当时，求的值；（2）设的面积为，请写出与的函数关系式；（3）是否存在某一时刻，使与的交点把线段分成的两部分？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由【答案】（1） （2） （3）存在，或【解析】【分析】（1）四边形是菱形，代入即可求出，在中，根据勾股定理即可求出，进而求出的值；（2）过点作于点，推出，进而推出，进而作答即可；（3），相交于点，过点作于点，进而，则，分情况讨论：当时，当时，进而作答【小问1详解】解：由题意得，四边形是菱形，在中，的值为；【小问2详解】解：过点作于点，即，与的函数关系式为；【小问3详解】解：，相交于点，过点作于点，即，当时，解得，（舍去），当时，解得，（舍去），当为或时，与的交点把线段分成的两部分【点睛】本题考查菱形综合题，三角形相似，菱形的性质，勾股定理，公式法解一元二次方程，解题的关键是作辅助线，熟练掌握三角形相似的判定和性质