1、2024年山东省威海乳山市中考二模数学试题一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1. 的倒数为（ ）A. B. C. D. 2. 数学中处处存在着美，从三国时期的赵爽弦图，到19世纪的莱洛三角形，再到近代的科克曲线和谢尔宾斯基三角形，数学之美，令人惊叹下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）A. B. C. D. 3. 天问一号探测器成功着陆距离地球3亿千米的火星，在火星上首次留下中国人的印迹，这是我国航天事业发展的具有里程碑意义的进展数据3亿用科学记数法表示为（ ）A. B. C. D. 4. 古代中国建筑之魂传统的榫卯结构，榫卯是中国古代建筑、家具及其它木制器械的
2、主要结构方式，是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式如图所示是榫卯结构中的一个部件，它的主视图是（ ）A. B. C. D. 5. 下列式子计算正确的是（ ）A. B. C. D. 6. 有四人坐在如图所示圆桌周围，4个座位分别记为、甲、乙两人等可能性地坐在4个座位中的2个座位上，甲、乙两人相对而坐的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，矩形为台球桌面示意图小球起始位置在处，沿图中所示方向击球，小球的运动轨迹如图所示，当小球第2024次碰到球桌边时，小球的位置在（ ） A. B. C. D. 8. 对于二次函数（，是常数）中自变量与函数的部分对应值如下表：012341052
3、125下列结论正确的是（）A. 函数图象开口向下B. 当时，C. 当时，随的增大而增大D. 方程有两个不相等的实数根9. 如图，在等腰中，在、上分别截取、，使，再分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线，交于点若点、分别是线段和线段上的动点，则的最小值为（ ） A. 9.6B. 10C. 12D. 12.810. 如图，的直角顶点在坐标原点上，点在反比例函数的图像上，点在反比例函数的图像上，则的值是（ ）A B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，只要求填出最后结果）11. 因式分解x39x=_12. 计算：_13. 如图，把直角三角板的直角顶
4、点放在直尺的一边上，若，则_14. 一艘货轮以18/h的速度在海面上沿正东方向航行，当行驶至A处时，发现它的东南方向有一灯塔B，货轮继续向东航行30分钟后到达C处，发现灯塔B在它的南偏东15方向，则此时货轮与灯塔B的距离是_km.15. 饮水机接通电源会自动加热，加热时水温每分钟上升，温度到停止加热然后水温开始下降，此时水温与时间成反比例函数关系，水温降至时，饮水机重复上述程序开始加热，加热时水温与时间的关系如图所示水温从开始加热至，然后下降至这一过程中，水温不低于的时间为_ 16. 如图，在矩形中，E为上一点，连接，将沿折叠，点A落在处，连接，若F、G分别为、中点，则的最小值为 _三、解答题
5、（本大题共8小题，共72分，写出必要的运算、推理过程）17. 解不等式组：，并将解集表示在数轴上18. 小明帮助班级同学去书店买书，他先用15元买了几本同样的科普书，又用15元买了几本同样的文学书，已知每本科普书的价格是文学书价格的倍，小明所买的科普书数量比文学书少1本，求科普书和文学书每本的价格各是多少元19. 某校对学生进行体育综合素质测评，学校分别从七、八年级随机各抽取了80名学生的测评成绩（百分制，单位：分），对数据进行整理和分析后，给出了如下部分信息：【信息一】七年级学生测评成绩的频数分布直方图如图所示：（数据分成6组：）【信息二】七、八年级学生测评成绩的平均数、中位数和众数如表所示
6、：年 级平均数中位数众数七年级m81八年级757978【信息三】七年级学生测评成绩在“”这一组数据分别是：71，72，72，73，74，74，75，76，76，77，77，77，77，78，78，79，79，79根据以上信息，解决下列问题：（1）七年级学生成绩在“”范围的人数是_人；（2）表中m的值为_；（3）若该校七年级共有1200名学生，测评成绩60分及以上为合格，通过计算估计七年级学生成绩的合格人数；（4）已知八年级小明同学的测评成绩是77分，由于这个成绩高于八年级测评成绩的平均数，因此他认为自己的成绩高于八年级一半学生的成绩，小明的观点正确吗？利用统计量说明理由20. 为了保护学生的视
7、力水平，某公司推出了如图所示的一款可调节的护眼台灯，固定支撑杆垂直于水平操作台l，和是分别可绕点A，B旋转的调节杆，始终在同一平面内已知，现调节台灯至如图所示的位置，测得，求调节杆端点C到操作台l的距离（结果精确到，参考数据：，）21. 如图，在中，点D在边上（点D与点A，C不重合），连接，过点D作的垂线交于点E，过点A作的垂线交的延长线于点F（1）求证：；（2）写出线段间的数量关系，并证明22. 如图，是的直径，是上两点，且，连接并延长与过点的的切线相交于点，连接（1）证明：平分；（2）若，求的长23. 如图，抛物线交x轴于点，交y轴于点C，点M在抛物线上，横坐标为m，将抛物线M，C两点间（
8、含M，C两点）的部分记为图象W（1）求抛物线的解析式；（2）若图象W的最大值与最小值的差为4，求m的值；（3）若点M位于下方，过点A作交拋物线于点E，D为直线上一动点，连接，求四边形面积的最大值24. 【问题解决】（1）如图1，四边形是正方形，点E在边上，以为边在其右侧作正方形，连接，求证：【问题拓广】（2）如图2，四边形是矩形，点E是边上一动点，以为边在其右侧作矩形，且，连接写出线段与的数量关系，并证明你的结论；连接，则的最小值为_（直接写答案）2024年山东省威海乳山市中考二模数学试题一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1. 的倒数为（ ）A. B. C. D. 【答案】A
9、【解析】【分析】本题考查了倒数的定义，根据乘积为1的两个数互为倒数即可求解【详解】解：，的倒数为，故选：A2. 数学中处处存在着美，从三国时期的赵爽弦图，到19世纪的莱洛三角形，再到近代的科克曲线和谢尔宾斯基三角形，数学之美，令人惊叹下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫
10、做中心对称图形，这个点就是它的对称中心【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；故选C3. 天问一号探测器成功着陆距离地球3亿千米的火星，在火星上首次留下中国人的印迹，这是我国航天事业发展的具有里程碑意义的进展数据3亿用科学记数法表示为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移
11、动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案【详解】解：3亿，故选：D4. 古代中国建筑之魂传统的榫卯结构，榫卯是中国古代建筑、家具及其它木制器械的主要结构方式，是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式如图所示是榫卯结构中的一个部件，它的主视图是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】本题考查了简单组合体三视图，利用三视图的定义是解题关键根据三视图的定义求解即可【详解】解：从正面看整体是一个长方形，但是长方形上方有一部分没有封闭，故A、B不符合题意，而从正面看立体图形中的小长方形
12、的棱是能看见的，故不能是虚线，故D不符合题意，故选：C5. 下列式子计算正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】本题考查合并同类项、积的乘方、完全平方公式和平方差公式，根据相关运算法则逐项计算即可得出答案【详解】解：A，计算错误，不合题意；B，计算错误，不合题意；C，计算错误，不合题意；D，计算正确，符合题意；故选D6. 有四人坐在如图所示的圆桌周围，4个座位分别记为、甲、乙两人等可能性地坐在4个座位中的2个座位上，甲、乙两人相对而坐的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，先列表得到所有等可能性的结果数，
13、再找到甲、乙两人相对而坐的结果数，再根据概率计算公式求解即可【详解】解：设、这4个座位分别用A、B、C、D表示，列表如下： 由表格可知，一共有12种等可能性是结果数，其中甲、乙两人相对而坐的结果数有4种：，甲、乙两人相对而坐的概率为，故选：C7. 如图，矩形为台球桌面示意图小球起始位置在处，沿图中所示的方向击球，小球的运动轨迹如图所示，当小球第2024次碰到球桌边时，小球的位置在（ ） A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了点的坐标规律探索，由图可得，点第一次碰撞后的点的坐标为，第二次碰撞后的点的坐标为，第三次碰撞后的点的坐标为，第四次碰撞后的点的坐标为，第五次碰撞后
14、的点的坐标为，第六次碰撞后的点的坐标为，则小球点坐标每六次为一循环，即可得到答案【详解】解：由图可得，点第一次碰撞后的点的坐标为，第二次碰撞后的点的坐标为，第三次碰撞后的点的坐标为，第四次碰撞后的点的坐标为，第五次碰撞后的点的坐标为，第六次碰撞后的点的坐标为，小球碰撞后的坐标每六次为一循环，小球第次碰到球桌边时，小球的位置是，故选：B8. 对于二次函数（，是常数）中自变量与函数的部分对应值如下表：012341052125下列结论正确的是（）A. 函数图象开口向下B. 当时，C. 当时，随的增大而增大D. 方程有两个不相等的实数根【答案】B【解析】【分析】直接根据表格可得二次函数的对称轴、开口方
15、向及二次函数的性质，进而可排除选项【详解】解：由表格可得：二次函数的对称轴为：直线，a=10，即开口向上，故A错误；当时，故B正确；当时，随的增大而增大，故C错误；对称轴为：直线，解得：b=-4，由表格得二次函数经过点，c=5，二次函数的解析式为：，二次函数与x轴没有交点，即方程没有实数根；故D错误；故选B【点睛】本题主要考查二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键9. 如图，在等腰中，在、上分别截取、，使，再分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线，交于点若点、分别是线段和线段上的动点，则的最小值为（ ） A. 9.6B. 10C. 12D. 12
16、.8【答案】A【解析】【分析】本题考查作图基本作图、等腰三角形的性质等知识过点作于点，交于点，由作图过程可知，为的平分线，结合可得垂直平分，则可知当点与点重合，点于点重合时，取得最小值，最小值为线段的长，结合三角形的面积公式计算即可【详解】解：过点作于点，交于点， 由作图过程可知，为的平分线，垂直平分，当点与点重合，点于点重合时，为最小值在中，由勾股定理得，的最小值为9.6故选：A10. 如图，的直角顶点在坐标原点上，点在反比例函数的图像上，点在反比例函数的图像上，则的值是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】本题考查了反比例函数的性质，相似三角形的判定与性质；过A、B作x轴
17、的垂线，垂足分别为C、D，设，证明，求得的值，即可求得结果【详解】解：如图，分别过A、B作x轴的垂线，垂足分别为C、D，则；设，则，；，即，即，或（舍去），；故选：B二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，只要求填出最后结果）11. 因式分解x39x=_【答案】x（x+3）（x3）【解析】【分析】先提取公因式x，再利用平方差公式进行分解【详解】解：x39x，=x（x29），=x（x+3）（x3）【点睛】本题主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，本题要进行二次分解，分解因式要彻底12. 计算：_【答案】【解析】【分析】本题主要考查了求特殊角三角函数值，零指数幂，先计算特殊
18、角三角函数值， 零指数幂，再去绝对值后计算加减法即可【详解】解： ，故答案为：13. 如图，把直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若，则_【答案】32【解析】【分析】本题主要考查了平行线性质，先由两直线平行，同位角线段得到，再由三角板中角度的特点得到，则【详解】解：，故答案为：3214. 一艘货轮以18/h的速度在海面上沿正东方向航行，当行驶至A处时，发现它的东南方向有一灯塔B，货轮继续向东航行30分钟后到达C处，发现灯塔B在它的南偏东15方向，则此时货轮与灯塔B的距离是_km.【答案】18【解析】【分析】作CEAB于E，根据题意求出AC的长，根据正弦的定义求出CE，根据三角形的外角的性质求
19、出B的度数，根据正弦的定义计算即可【详解】作CEAB于E，18km/h30分钟=9km，AC=9km，CAB=45，CE=ACsin45=9km，灯塔B在它的南偏东15方向，NCB=75，CAB=45，B=30，BC=18km，故答案为18【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题，正确标注方向角、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键15. 饮水机接通电源会自动加热，加热时水温每分钟上升，温度到停止加热然后水温开始下降，此时水温与时间成反比例函数关系，水温降至时，饮水机重复上述程序开始加热，加热时水温与时间的关系如图所示水温从开始加热至，然后下降至这一过程中，水温不低于的时间为_ 【答案
20、】12【解析】【分析】本题考查了一次函数，反比例函数的应用首先求得两个函数的解析式，然后将代入两个函数求得两个时间相减即可确定答案【详解】解：设一次函数关系式为：，将，代入，得，解得，设反比例函数关系式为：，将代入，得，中，令，解得；反比例函数中，令，解得：，（min），水温不低于的时间为min故答案为：16. 如图，在矩形中，E为上一点，连接，将沿折叠，点A落在处，连接，若F、G分别为、的中点，则的最小值为 _【答案】1【解析】【分析】连接，由F、G分别为、的中点可得，在中有，由勾股定理可得，由折叠性质和矩形性质可得，即可求解【详解】解：如图，连接，F、G分别为、的中点，当的最小时，即最小，
21、四边形矩形，沿折叠，在中有，即，的最小值为1，故答案为：1【点睛】本题考查矩形的性质，折叠的性质，解题的关键是利用三角形中位线将所求的转化为三、解答题（本大题共8小题，共72分，写出必要的运算、推理过程）17. 解不等式组：，并将解集表示在数轴上【答案】，数轴表示见解析【解析】【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组解集，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，再在数轴上表示出不等式组的解集即可【详解】解：解不等式得，解不等式得：，不等式组的解集为，数轴表示如下：18. 小明帮助班级同学去书店买书，
22、他先用15元买了几本同样的科普书，又用15元买了几本同样的文学书，已知每本科普书的价格是文学书价格的倍，小明所买的科普书数量比文学书少1本，求科普书和文学书每本的价格各是多少元【答案】文学书的价格为5元，科普书的价格为元【解析】【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设文学书的价格为x元，则科普书的价格为元，根据花15元买的科普书数量比花15元买的文学书少1本列出方程求解即可【详解】解：设文学书的价格为x元，则科普书的价格为元，由题意得解得经检验是原分式方程的解科普书的价格为（元）答：文学书的价格为5元，科普书的价格为元19. 某校对学生进行体育综合素质测评，学校分别从七、八年级随机各抽取了
23、80名学生的测评成绩（百分制，单位：分），对数据进行整理和分析后，给出了如下部分信息：【信息一】七年级学生测评成绩的频数分布直方图如图所示：（数据分成6组：）【信息二】七、八年级学生测评成绩的平均数、中位数和众数如表所示：年 级平均数中位数众数七年级m81八年级757978【信息三】七年级学生测评成绩在“”这一组的数据分别是：71，72，72，73，74，74，75，76，76，77，77，77，77，78，78，79，79，79根据以上信息，解决下列问题：（1）七年级学生成绩在“”范围的人数是_人；（2）表中m的值为_；（3）若该校七年级共有1200名学生，测评成绩60分及以上为合格，通过计
24、算估计七年级学生成绩的合格人数；（4）已知八年级小明同学的测评成绩是77分，由于这个成绩高于八年级测评成绩的平均数，因此他认为自己的成绩高于八年级一半学生的成绩，小明的观点正确吗？利用统计量说明理由【答案】（1）14； （2）77； （3）990人； （4）不正确，理由见解析【解析】【分析】本题主要考查了频数分布直方图，求中位数，用样本估计总体等等：（1）用80减去其他小组的人数即可得到成绩在“”范围的人数；（2）根据中位数的定义求解即可；（3）用1200乘以样本中七年级合格的人数占比即可得到答案；（4）根据小明的成绩低于其所在年级的中位数即可得到结论【小问1详解】解：人，七年级学生成绩在“”
25、范围的人数是14人，故答案为：14；【小问2详解】把七年级80名学生的成绩按照从低到高的顺序排列，处在第40名和第41名的成绩分别为77分，77分，七年级的中位数为分，即，故答案为：77；【小问3详解】解：人，估计七年级学生成绩的合格人数为990人；【小问4详解】解：不正确，理由如下：八年级80名学生成绩的中位数为79，而，小明同学的成绩低于其所在年级的中位数，小明的成绩低于八年级一半学生的成绩，小明的观点不正确20. 为了保护学生的视力水平，某公司推出了如图所示的一款可调节的护眼台灯，固定支撑杆垂直于水平操作台l，和是分别可绕点A，B旋转的调节杆，始终在同一平面内已知，现调节台灯至如图所示的
26、位置，测得，求调节杆端点C到操作台l的距离（结果精确到，参考数据：，）【答案】调节杆端点C到操作台的距离为【解析】【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键过点作，垂足为，过点作，垂足为，延长交于点，根据垂直定义可得，再根据题意可得：，然后利用平角定义可得，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得，进而可得，最后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答【详解】解：过点作，垂足为，过点作，垂足为，延长交于点，由题意得：，在中，在中，调节杆端点到操作台直线的距离约为21.
27、如图，在中，点D在边上（点D与点A，C不重合），连接，过点D作的垂线交于点E，过点A作的垂线交的延长线于点F（1）求证：；（2）写出线段间的数量关系，并证明【答案】（1）见解析； （2），证明见解析【解析】【分析】本题是三角形综合题，考查了余角的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键（1）由，可得，由等角的余角相等可求解；（2）在上截取，连接，由“”可证，可得，即可求解【小问1详解】证明：，又，；【小问2详解】，理由如下：如图1，在上截取，连接，22. 如图，是的直径，是上两点，且，连接并延长与过点的的切线相交于点，连接（1）证明：平分；（
28、2）若，求的长【答案】（1）见解析 （2）【解析】【分析】本题主要考查垂径定理，切线的性质，勾股定理以及矩形的判定等知识：（1）连接交于点，根据垂径定理可得结论；证明四边形为矩形，求得，分别求出，根据勾股定理可求出【小问1详解】证明：连接交于点，且，平分，【小问2详解】解：为的直径，是的切线，由（1）知，四边形为矩形，在中，是的中位线，中，23. 如图，抛物线交x轴于点，交y轴于点C，点M在抛物线上，横坐标为m，将抛物线M，C两点间（含M，C两点）部分记为图象W（1）求抛物线的解析式；（2）若图象W的最大值与最小值的差为4，求m的值；（3）若点M位于下方，过点A作交拋物线于点E，D为直线上一动
29、点，连接，求四边形面积的最大值【答案】（1）； （2）或； （3）18【解析】【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）根据，求出点C坐标，分为时，时，时三种情况讨论即可（3）根据，得到，求出直线BC的解析式，过点M作轴交于点P，设，则，可求得，利用二次函数性质求出的最大值即可【小问1详解】解： 将点，代入，得，解得：抛物线的解析式为【小问2详解】根据，可得抛物线的顶点坐标为，对称轴为，点C的坐标为，点C关于直线对称的点坐标为当时，m的值不存在当时，由，得，（舍）当时，此时点M与点A重合，综上所述，m的值为或【小问3详解】连接AC，设直线的表达式，则，解得直线的表达式为，过点M作轴交于点P，
30、设，则，则，当时，的最大值为8四边形面积，四边形面积的最大值为18【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，以及运用铅垂法求与二次函数相关的面积最值，熟练掌握待定系数法与铅锤法是解题的关键24. 【问题解决】（1）如图1，四边形是正方形，点E在边上，以为边在其右侧作正方形，连接，求证：【问题拓广】（2）如图2，四边形是矩形，点E是边上一动点，以为边在其右侧作矩形，且，连接写出线段与的数量关系，并证明你的结论；连接，则的最小值为_（直接写答案）【答案】（1）见解析；（2），证明见解析；【解析】【分析】本题考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解题关键
31、是在判断三角形全等和相似时出现“手拉手”模型证明对应角相等及利用三边关系来转化线段的数量关系求出最小值（1）根据正方形的性质证明和全等，即可得到；（2）根据矩形的性质证明，得到，即可证得结论；过点作，垂足为点，过点作交的延长线于点，先证明，证得是固定值，进而证得点的运动轨迹是直线，然后将的最小值转化为求的最小值，即点，三点同一直线时，取得最小值，求即可【详解】解：（1）证明：四边形是正方形，四边形是正方形，在和中，；（2），理由如下：四边形是矩形，四边形是矩形，；如图，过点作，垂足为点，过点作交的延长线于点，则，四边形是矩形，点的运动轨迹是直线，作点关于直线的对称点，则，当点，三点同一直线时，的值最小，即为，由（2）得，的最小值为的最小值，即，的最小值为故答案：京）股份有限公司