1、2024年5月湖北省宜昌市长阳县中考模拟数学试题一、单选题（共30分）1. 在南北方向的马路上，把出发点记为0，向北与向南意义相反若把向南走记作“”，则向北走应记作（ ）A. B. C. D. 2. 下列图形是几家通讯公司的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D. 3. 某物体如图所示，它的主视图是（ ）A. B. C. D. 4. 下列计算正确是（ ）A. B. C. D. 5. 下列说法正确的是（ ）A. 了解“某市初中生每天课外阅读书籍时间的情况”最适合的调查方式是全面调查B. “任意画一个三角形，其内角和是”这一事件是不可能事件C. 甲乙两人跳绳各10次
2、，其成绩的平均数相等，则甲的成绩比乙稳定D. 从某校1000名男生中随机抽取2名进行引体向上测试，其中有一名成绩不及格，说明该校的男生引体向上成绩不及格6. 如图，将一副三角板叠放在一起，使直角的顶点重合于点，与交于点，则的度数为（ ）A. B. C. D. 7. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）A. B. C. D. 8. 已知、是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于（ ）A. B. C. D. 9. 如图，点在双曲线上，过作轴，垂足为的垂直平分线交于，则的周长为（ ） A. B. 5C. D. 10. 如图，抛物线交y轴于点A，与x轴的一个交点在2和3之间，顶点为B一元二次方
3、程有两个相等的实数根；若点，在该函数图象上，则；将该抛物线先向左平移1个单位，再沿x轴翻折，得到的抛物线表达式是；在y轴上找一点D，使面积为1，则D点坐标为，以上四个结论中正确的个数是（ ）A 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题（共15分）11. 把多项式分解因式的结果是_12. 使代数式有意义的的取值范围是_.13. 盒子里有3张形状、大小、质地完全相同的卡片，上面分别标着数字1，2，3，从中随机抽出1张后不放回，再随机抽出1张，则两次抽出的卡片上的数字之和为奇数的概率是_14. 如图，是大半圆的直径，点在上，大半圆的弦与小半圆相切于点，且，则阴影部分的面积为_ 15. 如图，已知
4、直线：交轴于点，交轴于点，点，在直线上点，在轴的正半轴上，若，均为等腰直角三角形，直角顶点都在轴上，则的面积为_三、解答题（共75分）16. 计算：17. 如图，的对角线交于点O，过点O交于点E，交于点F，证明：四边形是平行四边形18. 在平面直角坐标系中，已知点，将线段绕点A逆时针旋转得到，（1）求线段的长；（2）连接B、，求的面积；（3）在x轴上找一点C，使得是等腰三角形，求出满足条件的点C的坐标19. “基础学科拔尖学生培养试验计划”简称“珠峰计划”，是国家为回应“钱学森之问”而推出的一项人才培养计划，旨在培养中国自己的杰出人才已知，五所大学设有数学学科拔尖学生培养基地，并开设了暑期夏令
5、营活动，参加活动的每名中学生只能选择其中一所大学某市为了解中学生的参与情况，随机抽取部分学生进行调查，并将统计数据整理后，绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图 （1）请将条形统计图补充完整；（2）在扇形统计图中，所在的扇形的圆心角的度数为_；若该市有中学生参加本次活动，则选择大学的大约有_人；（3）甲、乙两位同学计划从，三所大学中任选一所学校参加夏令营活动，请利用树状图或表格求两人恰好选取同一所大学的概率20. 如图，四边形是平行四边形，原点O是其对角线的交点，轴，点，反比例函数的图象经过点B，D（1）求反比例函数的表达式和直线的表达式；（2）求图中阴影部分的面积之和；（3）已知点，过点P
6、作平行于x轴的直线，交所在直线于点M，过点P作平行于y轴的直线，交反比例函数的图象于点N若，结合函数的图象，直接写出n的取值范围21. 在等边中，点在边上，以为半径的交于点，过点作于点（1）如图1，求证：为的切线；（2）如图2，连接交于点，若为中点，求的值 22. 某公司的化工产品成本为30元/千克销售部门规定：一次性销售1000千克以内时，以50元/千克的价格销售；一次性销售不低于1000千克时，每增加1千克降价0.01元考虑到降价对利润的影响，一次性销售高于1750千克时，均以固定价格42.5元销售设一次性销售利润为元，一次性销售量为千克（1）当一次性销售量为800千克时，求利润为多少元？
7、（2）当一次性销售量为时，求一次性销售利润的最大值；（3）当一次性销售利润为多少元时，其对应的销售量的值有且只有两个？请你直接写出此时一次性销售利润的值23. 如图1，在正方形中，点是对角线上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转，使点落在射线上的点处，连接【问题引入】（1）证明：；探索发现】（2）延长交直线于点，请将图1补充完整，猜想此时线段和线段的数量关系，并说明理由；【拓展应用】（3）如图2，若，延长至点，使，连接当的周长最小时，请求线段的长24. 已知抛物线的顶点在第一象限（1）如图（1），若，抛物线交x轴于点A，B，交y轴于点C求A，B两点坐标；D是第一象限内抛物线上的一点，连接，若恰好平
8、分四边形的面积，求点D的坐标；（2）如图（2），P是抛物线对称轴与x轴的交点，T是x轴负半轴上一点，M，N是x轴下方抛物线上的两点，若四边形是平行四边形，且，求的最大值2024年5月湖北省宜昌市长阳县中考模拟数学试题一、单选题（共30分）1. 在南北方向的马路上，把出发点记为0，向北与向南意义相反若把向南走记作“”，则向北走应记作（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】正数和负数表示相反意义的量，向南走记作“”，则向北走记作正数形式，由此可得出答案【详解】解：向南走记作“”，则向北走记作“”，前面的正号可省略不写故选：C【点睛】本题考查了正负数的意义，正确理解其含义是解题的关键
9、2. 下列图形是几家通讯公司的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解【详解】A不是轴对称图形，也不是中心对称图形故错误；B不是轴对称图形，也不是中心对称图形故错误；C是轴对称图形，也是中心对称图形故正确；D不是轴对称图形，是中心对称图形故错误故选C【点睛】掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180后与原图重合3. 某物体如图所示，它的主视图是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据主视图定
10、义，从物体正面看到的图形，直接选出正确答案即可【详解】解：根据三视图要求，主视图从正面看，看到的图形如下图，故选：C【点睛】本题考查了判断简单组合体的三视图，掌握三视图的判断方法是解题关键4. 下列计算正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】在合并同类项时，系数相加减，字母及其指数不变，据此判断即可【详解】解：A中3a与5b不是同类项，所以不能合并，故不符合题意；B中3a3c与2c3a不是同类项，所以不能合并，故不符合题意；C中3a2aa，故不符合题意；D中正确，故符合题意故选：D【点睛】本题考查了合并同类项，解题的关键在于熟练掌握运算法则5. 下列说法正确的是（ ）A
11、. 了解“某市初中生每天课外阅读书籍时间的情况”最适合的调查方式是全面调查B. “任意画一个三角形，其内角和是”这一事件是不可能事件C. 甲乙两人跳绳各10次，其成绩的平均数相等，则甲的成绩比乙稳定D. 从某校1000名男生中随机抽取2名进行引体向上测试，其中有一名成绩不及格，说明该校的男生引体向上成绩不及格【答案】B【解析】【分析】直接利用抽样调查以及三角形内角和定理、方差、中心对称图形的定义、抽取样本要具有代表性分别分析得出答案【详解】解：A、了解“某市初中生每天课外阅读书籍时间的情况”最适合的调查方式是抽样调查，故此选项不符合题意；B、“任意画一个三角形，其内角和是”这一事件是不可能事件
12、，正确，故此选项符合题意；C、甲乙两人跳绳各10次，其成绩的平均数相等，则乙的成绩比甲稳定，故此选项不符合题意；D从某校1000名男生中随机抽取2名进行引体向上测试，其中有一名成绩不及格，样本容量太小，不具有代表性，不能说明该校的男生引体向上成绩不及格，故此选项不符合题意；故选：B【点睛】此题主要考查了抽样调查以及事件分类、方差、抽取样本容量要具有代表性，正确把握相关定义是解题关键6. 如图，将一副三角板叠放在一起，使直角的顶点重合于点，与交于点，则的度数为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，平行线的性质，先由平行线的性质得到，再由三角形外角
13、的性质即可得到【详解】解：，又，故选：C7. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】本题考查了解一元一次不等式组并把解集在数轴上表示，先分别求出不等式的解集，再根据找不等式组的解集的规律得，再根据解集在数轴上表示的方法即可求解，熟练掌握解集在数轴上表示的方法是解题的关键【详解】解：，解不等式得：，解不等式得：，原不等式组的解集为：，把在数轴上表示为：故选B8. 已知、是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】本题考查了根与系数的关系，熟记一元二次方程根与系数的关系是解答本题的关键根据一
14、元二次方程的定义，得到，再根据根与系数的关系，得到，由此得到答案【详解】解：根据题意得：是一元二次方程的实数根，又、是一元二次方程的两个实数根，故选：9. 如图，点在双曲线上，过作轴，垂足为的垂直平分线交于，则的周长为（ ） A. B. 5C. D. 【答案】B【解析】【分析】由垂直平分线的性质可得，从而得到的周长，由反比例函数的性质和勾股定理可得，运用完全平方公式进行计算可得，从而得到答案【详解】解：的垂直平分线交于，的周长，点的坐标为，轴，点在双曲线上，（不符合题意，舍去），的周长，故选：B【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质、反比例函数的性质、勾股定理、完全平方公式，熟练掌握以上知识点
15、，得到的周长是解题的关键10. 如图，抛物线交y轴于点A，与x轴的一个交点在2和3之间，顶点为B一元二次方程有两个相等的实数根；若点，在该函数图象上，则；将该抛物线先向左平移1个单位，再沿x轴翻折，得到的抛物线表达式是；在y轴上找一点D，使的面积为1，则D点坐标为，以上四个结论中正确的个数是（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C【解析】【分析】利用的正负判断即可，利用函数开口向下，离对称轴越近，y值越大即可判断，先利用“左加右减变”求出平移后的解析式，再根据沿x轴翻折横坐标“由正变负，由负变正”即可求出，设出坐标，即可表示出，利用的面积可求出m的值再判断即可【详解】方程整理得
16、：，故方程有两个相等的实数根，故正确由图可知，开口朝下且对称轴为，且，且比离对称轴更远，故正确由题意可知：，平移后解析式为：，平移后图象再沿x轴翻折，翻折之后解析式为：，故正确，当时，设，则，的面积为1，即，解得：或，或故错误正确答案为，故选C【点睛】本题主要考查了二次函数的图象及基本性质，理解并掌握其基本性质是解题关键二、填空题（共15分）11. 把多项式分解因式的结果是_【答案】【解析】【分析】先提取公因式，再用公式法因式分解即可详解】解：，故答案为：【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键12. 使代数式有意义的的取值范围是_.【答案】#【解析】
17、【分析】根据二次根式有意义的条件可得，根据分式有意义的条件可得，再解不等式即可【详解】解：根据题意，代数式有意义，解得故答案为：【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件、分式有意义的条件以及解不等式组，牢记分式、二次根式有意义的条件是解题的关键13. 盒子里有3张形状、大小、质地完全相同的卡片，上面分别标着数字1，2，3，从中随机抽出1张后不放回，再随机抽出1张，则两次抽出的卡片上的数字之和为奇数的概率是_【答案】【解析】【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算可得【详解】解：列表如下123134235345由表可知，共有6种等可能结果，其中两次抽出的卡片
18、上的数字之和为奇数的有4种结果，所以两次抽出的卡片上的数字之和为奇数的概率为，故答案为：【点睛】本题考查了列表法和树状图法，利用列表法或树状图法展示某一随机事件中所有等可能出现的结果数，再找出其中某一事件所出现的可能数，然后根据概率的定义可计算出这个事件的概率14. 如图，是大半圆的直径，点在上，大半圆的弦与小半圆相切于点，且，则阴影部分的面积为_ 【答案】【解析】【分析】作于，连接O1F，则是大圆半径，由垂径定理可得出AE的长，根据勾股定理可得，最后由阴影部分的面积等于大半圆面积减去小半圆面积即可求解【详解】解：作于，连接O1F，则是大圆半径， AB与小半圆相切于点，O1FAB，=O1F，由
19、垂径定理知，点是的中点，AE=AB=3在RtAOE中，由勾股定理知，阴影部分的面积故答案为：【点睛】此题考查了切线的性质，垂径定理，勾股定理等知识，熟练掌握性质及定理是解本题的关键15. 如图，已知直线：交轴于点，交轴于点，点，在直线上点，在轴的正半轴上，若，均为等腰直角三角形，直角顶点都在轴上，则的面积为_【答案】【解析】【分析】本题考查一次函数的图象及性质，等腰直角三角形的性质，探索面积规律；根据题意分别求出，进而求出，以探索三角形面积的规律，即可求解详解】解：交轴于点，是等腰直角三角形，若，均为等腰直角三角形，的面积为；故答案为：三、解答题（共75分）16. 计算：【答案】【解析】【分析
20、】本题主要考查零次幂、实数的运算及特殊三角函数值，熟练掌握各个运算是解题的关键；因此此题可根据零次幂、实数的运算及特殊三角函数值进行求解【详解】解：原式17. 如图，的对角线交于点O，过点O交于点E，交于点F，证明：四边形是平行四边形【答案】见解析【解析】【分析】本题考查的是平行四边形的判定与性质，根据平行四边形性质证出，得出，再根据即可证出结论【详解】证明：四边形是平行四边形，又，四边形是平行四边形18. 在平面直角坐标系中，已知点，将线段绕点A逆时针旋转得到，（1）求线段的长；（2）连接B、，求的面积；（3）在x轴上找一点C，使得是等腰三角形，求出满足条件的点C的坐标【答案】（1） （2）
21、 （3）或或或【解析】【分析】（1）根据两点间距离公式进行计算即可；（2）根据三角形面积公式进行计算即可；（3）分，三种情况进行讨论，分别画出图形，求出点C的坐标即可【小问1详解】解：点，【小问2详解】解：根据旋转可知，【小问3详解】解：当时，如图所示：，此时点C的坐标为：或；当时，如图所示：过点B作轴于点D，点B的坐标为，点D的坐标为，轴，此时点C的坐标为：；当时，如图所示：过点B作轴于点D，点B的坐标为，设，则，在中，即，解得：，此时点C的坐标为；综上分析可知，点C的坐标为：或或或【点睛】本题主要考查了两点距离公式，等腰三角形定义，勾股定理，三角形面积的计算，解题的关键是熟记两点间距离公式
22、，注意分类讨论19. “基础学科拔尖学生培养试验计划”简称“珠峰计划”，是国家为回应“钱学森之问”而推出的一项人才培养计划，旨在培养中国自己的杰出人才已知，五所大学设有数学学科拔尖学生培养基地，并开设了暑期夏令营活动，参加活动的每名中学生只能选择其中一所大学某市为了解中学生的参与情况，随机抽取部分学生进行调查，并将统计数据整理后，绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图 （1）请将条形统计图补充完整；（2）在扇形统计图中，所在的扇形的圆心角的度数为_；若该市有中学生参加本次活动，则选择大学的大约有_人；（3）甲、乙两位同学计划从，三所大学中任选一所学校参加夏令营活动，请利用树状图或表格求两人恰
23、好选取同一所大学的概率【答案】（1）见解析 （2）； （3）【解析】【分析】（1）根据的人数除以占比得到总人数，进而求得的人数，补全统计图即可求解；（2）根据的占比乘以得到圆心角的度数，根据乘以选择的人数的占比即可求解；（3）根据列表法求概率即可求解【小问1详解】解：总人数为（人）选择大学的人数为，补全统计图如图所示， 【小问2详解】在扇形统计图中，所在的扇形的圆心角的度数为，选择A大学的大约有（人）故答案为：；【小问3详解】列表如下，甲乙共有9种等可能结果，其中有3种符合题意，甲、乙两人恰好选取同一所大学的概率为【点睛】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，样本估计总体，列表法求概
24、率，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小20. 如图，四边形是平行四边形，原点O是其对角线的交点，轴，点，反比例函数的图象经过点B，D（1）求反比例函数的表达式和直线的表达式；（2）求图中阴影部分的面积之和；（3）已知点，过点P作平行于x轴的直线，交所在直线于点M，过点P作平行于y轴的直线，交反比例函数的图象于点N若，结合函数的图象，直接写出n的取值范围【答案】（1）， （2）阴影部分=12 （3）【解析】【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求解析式，利用函数图象性质解
25、决问题是本题的关键（1）根据坐标与图形的性质求得，再利用待定系数法可求得反比例函数的表达式，再根据平行四边形的性质，求得，再利用待定系数法即可求解；（2）根据题意得阴影部分的面积之和就是平行四边形的面积，根据平行四边形的面积公式求解即可；（3）由题意求得，得到，分别解方程和，结合图形即可求解【小问1详解】解：，轴，将代入，得，反比例函数的表达式为，O是平行四边形对角线的交点，点关于原点对称，设直线的表达式为，则，解得，直线的表达式为；【小问2详解】解：设分别与y轴交于点，由反比例函数的图象和平行四边形的对称性可得，阴影部分的面积之和就是平行四边形的面积，阴影部分的面积之和为；【小问3详解】解：
26、轴，轴，当时，整理得，解得或（舍去）；当时，整理得，解得或（舍去）；，21. 在等边中，点在边上，以为半径的交于点，过点作于点（1）如图1，求证：为的切线；（2）如图2，连接交于点，若为中点，求的值 【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）连接，根据等边三角形的性质可得，然后根据等边对等角和平行线的判定可知，然后根据平行线的性质可证，最后根据切线的判定定理即可证出结论；（2）过点作于，根据锐角三角函数求出，然后利用AAS证出，求出AG=5DG，利用锐角三角函数即可求出结论【详解】（1）证明：连接， 为等边三角形，OC=OD，OCD为等边三角形而，为的切线（2）解：过点作于，OC=OD
27、CG=DG在中，tanC=，由（1）知：，又有点为中点，AF=OF在FEA和FDO中，在中，cosDAE=2AE，AG=5DG在中，即 【点睛】此题考查的是等边三角形的判定及性质、切线的判定、锐角三角函数和全等三角形的判定及性质，掌握等边三角形的判定及性质、切线的判定、锐角三角函数和全等三角形的判定及性质是解决此题的关键22. 某公司的化工产品成本为30元/千克销售部门规定：一次性销售1000千克以内时，以50元/千克的价格销售；一次性销售不低于1000千克时，每增加1千克降价0.01元考虑到降价对利润的影响，一次性销售高于1750千克时，均以固定价格42.5元销售设一次性销售利润为元，一次性
28、销售量为千克（1）当一次性销售量为800千克时，求利润为多少元？（2）当一次性销售量为时，求一次性销售利润的最大值；（3）当一次性销售利润为多少元时，其对应的销售量的值有且只有两个？请你直接写出此时一次性销售利润的值【答案】（1）16000元 （2）22500元 （3）21875元或22500元【解析】【分析】本题考查了二次函数和一次函数的应用，根据等量关系列出函数解析式是解题的关键（1）根据利润的表示方法代数求解即可；（2）根据题意表示出一次性销售量时的利润，然后根据二次函数的性质求解即可；（3）分三种情况讨论：当一次性销售量时；当一次性销售量时；当一次性销售量时，然后分别求解即可【小问1详
29、解】根据题意，当时，当一次性销售量为800千克时利润为16000元；【小问2详解】一次性销售量时，销售价格为，当时，有最大值，最大值为，一次性销售量时的最大利润为22500元；【小问3详解】当一次性销售量时，利润，故；当一次性销售量时，由（2）知，当时，有最大值22500，当时，右端点，又当时，即左端点，当一次性销售量时，当一次性销售量时，当一次性销售量时，均以某一固定价格销售，又，故由图象可知，；由上述分析可得，当或时，其对应的销售量的值有且只有1个；当或时，其对应的销售量的值有且只有两个；当时，其对应的销售量的值有且只有3个23. 如图1，在正方形中，点是对角线上一点，连接，将线段绕点逆时
30、针旋转，使点落在射线上的点处，连接【问题引入】（1）证明：；【探索发现】（2）延长交直线于点，请将图1补充完整，猜想此时线段和线段的数量关系，并说明理由；【拓展应用】（3）如图2，若，延长至点，使，连接当的周长最小时，请求线段的长【答案】（1）见解析；（2）图见解析，理由见解析；（3）【解析】【分析】（1）先根据正方形的性质证明，再结合旋转即可证明；（2）过点作交于点，先根据正方形的性质证明，从而得到，再根据可证，即可证明；（3）取的中点，连接，根据题意表示出的周长，可得当的周长最小时，最小，此时，三点共线，再根据条件证明即可求解【详解】（1）证明：四边形是正方形，由旋转得：，；（2）解：图1
31、补充完整猜想理由如下：过点作交于点，则，四边形是正方形，（3）解：如图2，取中点，连接，点是的中点，的周长，当的周长最小时，最小，此时，三点共线，四边形是正方形，在中，点是的中点，即，【点睛】本题是正方形综合题，考查了正方形性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质，旋转变换的性质等，熟练掌握全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、三角形中位线定理等是解题关键24. 已知抛物线顶点在第一象限（1）如图（1），若，抛物线交x轴于点A，B，交y轴于点C求A，B两点的坐标；D是第一象限内抛物线上的一点，连接，若恰好平分四边形的面积，求点D的坐标；（2）如图（2），
32、P是抛物线对称轴与x轴的交点，T是x轴负半轴上一点，M，N是x轴下方抛物线上的两点，若四边形是平行四边形，且，求的最大值【答案】（1），；点D为； （2）的最大值是【解析】【分析】（1）先求出抛物线的解析式，再把代入方程，即可求解；连接交于点E，分别过点B，C作的垂线，垂足分别为F，G，证明，得出，再由中点公式求出地E的坐标，结合点E的坐标和点A的坐标求得所在的直线的解析式，再联立抛物线的解析式即可求解出点D；（2）过点N作轴，垂足为H，可得，设，根据平行四边形的性质可得，再根据等腰直角三角形的性质求出点N的坐标，代入抛物线解析式进而可求出t的取值范围，进而即可解答【小问1详解】解：当时，抛物线的解析式为，当时，解得，连接交于点E，分别过点B，C作的垂线，垂足分别为F，G，如图所示：由题意，得，点E为的中点，由，点E的坐标为，求得的解析式为，由，得，解得，（舍去），点D为；【小问2详解】解：过点N作轴，垂足为H，P是抛物线对称轴与x轴的交点，T是x轴负半轴上一点，设，且，两式相加，得，为等腰直角三角形，整理为关于m的方程为，由题意，得，解得，此时关于m的方程的两根之和，当时，m必有正根，的最大值是【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，中点坐标公式，平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相关的性质