1、2024年中考考前押题必刷（南京卷）数学（考试时间：120分钟试卷满分：120分）注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2回答第卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3回答第卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第卷一、选择题（本大题共6个小题，每小题2分，共12分在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）1下面的计算，不正确的是（）A5a3a34a3B2m3n6m+nC（am）2a2mDa
2、2（a）3a52今年1月3日，我国的嫦娥四号探测器成功在月球背面着陆，标志着我国已经成功开始了对月球背面的研究，填补了国际空白月球距离地球的平均距离为384000千米，数据384000用科学记数法表示为（）A384103B3.84105C38.4104D0.3841063伟大的古希腊哲学家、数学家、物理学家阿基米德有句名言：“给我一个支点，我可以撬动地球!”这句名言道出了“标杆原理”的意义和价值“标杆原理”在实际生产和生活中，有着广泛的运用比如：小明用撬棍撬动一块大石头，运用的就是“标杆原理”已知阻力F1（N）和阻力臂L1（m）的函数图象如图，若小明想使动力F2不超过150N，则动力臂L2至少
3、需要（）mA2B1C6D44若关于x的一元二次方程x2（2m1）x+m2+30有实数根，则m的取值范围是（）Am134Bm-411Cm-114Dm-1145在某校举行的“我的中国梦”演讲比赛中，10名参赛学生的成绩统计如图所示，对于这10名学生的参赛成绩，下列说法中不正确的是（）A中位数是80B众数是80C平均数是82D极差是406如图，已知O的直径AB4，弦AC与弦BD交于点E，且ODAC，垂足为点F若ACBD则EC的长为（）A3B1C233D433第卷二、填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）7如果分式1+x21-x2有意义，那么x需满足的条件是8因式分解mx2+2mx+m9如图，O
4、的弦AB、DC的延长线相交于点E，AOD128，E40，则BDC10已知x=1y=2是方程ax+by3的解，则代数式2a+4b5的值为11大自然巧夺天工，一片树叶也蕴含着“黄金分割”如图，P为AB的黄金分割点（APPB），如果AB的长度为8cm，那么PB的长度是cm12如图，ABC的顶点均在正方形网格的格点上，则ABC+ACB的度数等于13如图，等边ABC中，D、E分别在边AC，BC上，AB6，CD=23CE，CDE沿直线DE折叠，使点C落在AB边上的P处，则CE14货车和轿车分别从甲、乙两地同时出发，沿同一公路相向而行轿车出发2.4h后休息，直至与货车相遇后，以原速度继续行驶，设两车出发时间
5、为x（单位：h），货车、轿车与甲地的距离为y1（单位：km），y2（单位：km），图中的线段OA、折线BCDE分别表示y1，y2与x之间的函数关系则两车出发h时，两车相距150km15如果点M（1，y）、点N（-12，y2）都在函数y=2+mx的图象上，且y1y2，那么m的取值范围是.16如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在AB，BC上，沿EF翻折后，点B落在边CD上的G处，若EGCD，BE4，DG3，则AE的长为三、解答题（本大题共11个小题，共88分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17（6分）求不等式组x+12-1xx3(x-1)的整数解18（6分）先化简，再求值：(1-aa-3
6、)a2-3aa2-6a+9，其中a=2319（8分）直播购物逐渐走进了人们的生活某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件通过市场调查发现，每件小商品售价每降低5元，日销售量增加10件若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？20（8分）勤劳是中华民族的传统美德，学校要求学生在家帮助父母做一些力所能及的家务在学期初，小丽同学随机调查了七年级部分同学寒假在家做家务的总时间，设被调查的每位同学寒假在家做家务的总时间为x小时，将做家务的总时间分为五个类别：A（0x10），B（10x20），C（20x30），D（30x40），
7、E（x40）并将调查结果绘制了如图两幅不完整的统计图：根据统计图提供的信息，解答下列问题：（1）本次共调查了名学生；（2）根据以上信息直接在答题卡上补全条形统计图；（3）扇形统计图中m，类别D所对应的扇形圆心角的度数是度；（4）若该校七年级共有400名学生，根据抽样调查的结果，估计该校七年级有多少名学生寒假在家做家务的总时间不低于20小时？21（8分）明明家客厅里装有一种开关（如图所示），从左到右依次分别控制着A（楼梯），B（客厅），C（走廊），D（洗手间）四盏电灯，按下任意一个开关均可打开对应的一盏电灯（1）若明明任意按下一个开关，则下列说法中，正确的是（填字母）A打开的一定是楼梯灯B打开的
8、可能是卧室灯C打开的可能是客厅灯D打开走廊灯的概率是13（2）若任意按下一个开关后，再按下另三个开关中的一个，则客厅灯和走廊灯亮的概率是多少？请用树状图法或列表法加以说明22（8分）在矩形ABCD中，ADAB（1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图先在AD上确定点E，使BEBC再在CD上确定点F，使以F为圆心的圆经过点E和点C（2）在（1）的条件下，若AB3，且sinDEF=35，则BC的长为23（8分）如图，在平行四边形ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，延长边CD到点F，使DFDC，过点F作EFAC，连接OF、EC（1）求证：ODCEDF；（2）连接AF，已知ODDC且BEC45，请判
9、断四边形OCEF的形状，并证明你的结论24（8分）图1是一种淋浴喷头，图2是图1的示意图，若用支架把喷头固定在点A处，手柄长AB25cm，AB与墙壁DD的夹角DAB37，喷出的水流BC与AB形成的夹角ABC72，现在住户要求：当人站在E处淋浴时，水流正好喷洒在人体的 C 处，且使DE50cm，CE130cm问：安装师傅应将支架固定在离地面多高的位置？（参考数据：sin370.60，cos370.80，tan370.75，sin720.95，cos720.31，tan723.08，sin350.57，cos350.82，tan350.70）25（8分）如图，点D是ABC中AB边上一
10、点，以AD为直径的O与BC相切于点C，连接CD（1）判断BCD与BAC是否相似？并说明理由（2）若O的半径为3，tanBCD=12，求BC的长度26（10分）如图，已知抛物线yax2+bx+c的顶点D的坐标为（2，9），抛物线与坐标轴分别交于A、B、C三点，且B的坐标为（0，5），连接DB、DC，作直线BC（1）求抛物线的解析式；（2）P是x轴上的一点，过点P作x轴的垂线，与CD交于H，与CB交于G，若线段HG把CBD的面积分成相等的两部分，求P点的坐标；（3）若点M在直线CB上，点N在平面上，直线CB上是否存在点M，使以点C、点D、点M、点N为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点M的坐标
11、；若不存在，请说明理由27（10分）综合与实践：问题情境：如图1，在正方形ABCD中，点E是对角线AC上一点，连接BE，过点E分别作AC，BE的垂线，分别交直线BC，CD于点F，G数学思考：（1）线段BF和CG的数量关系；问题解决：（2）如图2，在图1的条件下，将“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，其他条件不变若AB2，BC3，求BFCG的值；问题拓展：（3）在（2）的条件下，当点E为AC的中点时，请直接写出CEG的面积参考答案一、选择题（本大题共6个小题，每小题2分，共12分在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）1B【分析】根据幂的乘方与积的乘方
12、法则，合并同类项的法则，同底数幂的乘法法则，逐项判定即可【解答】解：A、5a3a34a3，正确，不符合题意；B、2m3n6m+n，原计算错误，符合题意；C、（am）2（1）2（am）2a2m，正确，不符合题意；D、a2（a）3a2（a3）a5，正确，不符合题意；故选：B【点评】本题考查的是幂的乘方与积的乘方，合并同类项，同底数幂的乘法法则，熟知以上知识是解题的关键。2B【分析】科学记数法的表示形式为a10n的形式，其中1|a|10，n为整数确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值10时，n是正数；当原数的绝对值1时，n是负数【解答】解：
13、将384000用科学记数法表示为：3.84105故选：B【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为a10n的形式，其中1|a|10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值3D【分析】根据杠杆的平衡条件列出方程，即可解得答案【解答】解：根据杠杆的平衡条件F1L1F2L2可得：12000.5150L2，解得L24，答：动力臂L2至少需要4m，故选：D【点评】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是掌握杠杆的平衡条件4C【分析】根据方程的系数结合根的判别式0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围【解答】解：关于x的一元二次方程x2（2m1）x+m2+30有实
14、数根，（2m1）241（m2+3）0，解得m-114故选：C【点评】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是牢记“当0时，方程有实数根”5C【分析】根据中位数、众数、平均数以及极差的定义和统计图中提供的数据分别列出算式，求出答案【解答】解：共有10个数，中位数是第5、6个数的平均数，中位数是（80+80）280，故选项A正确，不合题意；80出现了5次，出现的次数最多，众数是80；故选项B正确，不合题意；故B正确，不符合题意；平均数是（601+701+805+902+1001）1081；故选项C结论错误，符合题意；最大值与最小值的差为1006040，故选项D正确，不合题意故选：C【点
15、评】此题考查了折线统计图，用到的知识点是众数、中位数、平均数以及极差，关键是能从统计图中获得有关数据，求出众数、中位数、平均数和极差6C【分析】连结AD、OC，由ODAC于点F，根据垂径定理得AFCF，AD=CD，由ACBD，得AC=BD，可证明AD=BC=CD，则AOD60，所以AOD是等边三角形，则ADOD2，DFOF=12OD1，由勾股定理得AFCF=AD2-DF2=3，再证明DFEAFD，得EFDF=DFAF，则EF=DF2AF=33，即可求得ECCFEF=233，于是得到问题的答案【解答】解：连结AD、OC，ODAC于点F，AFCF，AD=CD，ACBD，AC=BD，AC-CD=BD
16、-CD，AD=BC=CD，AODDOCCOB=1318060，AB是O的直径，AB4，ODOAOB=12AB=1242，ADB90，AOD是等边三角形，ADOD2，DFOF=12OD=1221，AFCF=AD2-DF2=22-12=3，DFEAFD90，EDFDAF90ADF，DFEAFD，EFDF=DFAF，EF=DF2AF=123=33，ECCFEF=3-33=233，故选：C【点评】此题重点考查圆周角定理、垂径定理、等边三角形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，证明AOD60是解题的关键二、填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）7 x1【分析】根据分式有意义的条件
17、解答即可【解答】解：分式1+x21-x2有意义，1x20，解得x1故答案为：x1【点评】本题考查的是分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解题的关键8m（x+1）2【分析】提公因式m后，再利用完全平方公式进行计算即可【解答】解：原式m（x2+2x+1）m（x+1）2，故答案为：m（x+1）2【点评】本题考查提公因式法、公式法分解因式，掌握平方差公式、完全平方公式是的结构特征是正确解答的前提9 24【分析】由圆周角定理求出ABD=12AOD64，由三角形外角的性质得到BDCABDE24【解答】解：ABD=12AOD，AOD128，ABD64，E40，BDCABDE644024故答
18、案为：24【点评】本题考查圆周角定理，三角形外角的性质，关键是由圆周角定理得到ABD=12AOD101 【分析】把x与y的值代入方程计算得到a+2b的值，原式变形后代入计算即可求出值【解答】解：把x=1y=2代入ax+by3得：a+2b3，则原式2（a+2b）5235651故答案为：1【点评】此题考查了二元一次方程的解，以及代数式求值，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值1112-45【分析】根据黄金分割比例直接求解即可得到答案【解答】解：P为AB的黄金分割点（APPB），设APx，x28（8x），解得：x1=45-4，x2=-45-4（不符合题意舍去），BP=8-45+4=12-45
19、，故答案为：（12-45）【点评】本题主要考查黄金分割，解题的关键是熟练掌握黄金分割点的比例关系较长线段的平方等于较短边乘以整条线段1245【分析】根据网格和勾股定理可得ADB是等腰直角三角形，再根据三角形外角的性质即可求出ABC+ACB【解答】解：如图，取格点D，连接AD、BD，根据网格和勾股定理，得ADBD2，AB=22+22=22，AD2+BD2AB2，ADB90，DAB45DABABC+ACB45故答案为：45【点评】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理、三角形外角的性质，解决本题的关键是掌握勾股定理和其逆定理13215【分析】证明BPEADP，由相似三角形的性质得出PBAD=BEAP
20、=PEPD，设CEx，则PEx，BE6x，CD=23x，得出PB6-23x=x23x，解得PB9x，可得出关于x的方程，解方程即可得出答案【解答】解：ABC是等边三角形，ABBCAC6，ABC60，CDE沿直线DE折叠，使点C落在AB边上的P处，CEPE，CDPD，CEPD60，APD+BPE120，APD+ADP120，BPEADP，BPEADP，PBAD=BEAP=PEPD，设CEx，则PEx，BE6x，CD=23x，AD6-23x，PB6-23x=x23x，PB9x，AP6（9x）x36-x9-x=x-36-23x，解得x=215或x9（不合题意，舍去）CE=215【点评】本题考查了翻折
21、的性质，等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质及方程思想是解题的关键142.25或4.75【分析】先求出图中各点的坐标，分别根据待定系数法求出直线BC，DE，OA的解析式，然后分两种情况进行讨论：当轿车休息前与货车相距150km时；当轿车休息后与货车相距150km时，列出等式求解即可【解答】解：由题意可求得OA所在直线的表达式为y75x，则y300时，x4，点D的坐标为（4，300），轿车在休息前2.4h行驶300km，休息后按原速度行驶，轿车行驶后300km需2.4h，点E坐标为（6.4，0）设线段DE所在直线的函数表达式为ykx+b，将点D（4，30
22、0），E（6.4，0）代入可求得线段DE所在直线的函数表达式为y125x+800；设BC段的函数表达式为y125x+n，将B（0，600）代入可求得线段BC的函数表达式为y125x+600，当轿车休息前与货车相距150km时，125x+60075x150，解得x2.25；当轿车休息后与货车相距150km时，75x（125x+800）150，解得x4.75故两车出发2.25小时或4.75小时后相距150km，故答案为：2.25或4.75【点评】本题考查了根据函数图象读取信息以及一次函数的实际应用，读懂题意，结合图象与行程问题的数量关系解题是关键15 m2【分析】利用反比例函数的性质解决问题即可【
23、解答】解：点M（1，y）、点N（-12，y2）都在函数y=2+mx的图象上，且y1y2，2+m0，m2，故答案为：m2【点评】本题考查反比例函数的图象上的点的坐标特征，熟知反比例函数的性质是解题的关键16914【分析】作BHCD交DC的延长线于点H，因为EGCD，所以BHEG，由四边形ABCD是菱形，得ABBCCD，BEGH，则四边形BEGH是平行四边形，所以GHBE4，由折叠得GEBE4，则BHGE4，所以DHDG+GH7，由勾股定理得42+（7AB）2AB2，求得AB=6514，所以AEABBE=914，于是得到问题的答案【解答】解：作BHCD交DC的延长线于点H，则H90，EGCD，BH
24、EG，四边形ABCD是菱形，ABCD，ABBCCD，BEGH，四边形BEGH是平行四边形，GHBE4，由折叠得GEBE4，BHGE4，DG3，DHDG+GH3+47，BH2+CH2BC2，CH7CD7AB，42+（7AB）2AB2，解得AB=6514，AEABBE=6514-4=914，故答案为：914【点评】此题重点考查菱形的性质、轴对称的性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键三、解答题（本大题共11个小题，共88分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集【解答】解：解不等式x+12-1x，得x
25、1，解不等式x3（x1），得x32，不等式组的解集为1x32，不等式组的整数解为0，1【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的法则是解答此题的关键18【分析】先通分括号内的式子，再算括号外的除法，然后将a的值代入化简后的式子计算即可【解答】解：(1-aa-3)a2-3aa2-6a+9=a-3-aa-3(a-3)2a(a-3)=-3a，当a23时，原式=-323=-32【点评】本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键19【分析】设每件售价应定为x元，则每件的销售利润为（x40）元，日销售量为20+60-x510（1402
26、x）件，利用该种小商品的日销售利润每件的销售利润日销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论【解答】解：设每件售价应定为x元，则每件的销售利润为（x40）元，日销售量为20+60-x510（1402x）件，依题意得：（x40）（1402x）（6040）20，整理得：x2110x+30000，解得：x150，x260（不合题意，舍去）答：每件售价应定为50元【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键20（1）本次共调查了50名学生；（2）根据以上信息直接在答题卡上补全条形统计图；（3）扇形统计图中m32，类别D所对应的扇形圆心
27、角的度数是57.6度；（4）若该校七年级共有400名学生，根据抽样调查的结果，估计该校七年级有多少名学生寒假在家做家务的总时间不低于20小时？【分析】（1）根据A类的人数和所占的百分比，可以求得本次调查的人数；（2）根据统计图中的数据，可以得到B类和D类的人数，然后即可将频数分布直方图补充完整；（3）根据统计图中的数据，可以得到m和的值；（4）根据统计图中的数据，可以计算出该校七年级有多少名学生寒假在家做家务的总时间不低于20小时【解答】解：（1）本次共调查了1020%50名学生，故答案为：50；（2）B类学生有：5024%12（人），D类学生有：5010121648（人），补全的条形统计图如
28、图所示；（3）m%1650100%32%，即m32，类别D所对应的扇形圆心角的度数是：360850=57.6，故答案为：32，57.6；（4）40016+8+450=224（人），即估计该校七年级有224名学生寒假在家做家务的总时间不低于20小时【点评】本题考查扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答21【分析】（1）分别对4个选项进行判断即可；（2）画树状图，共有12个等可能的结果，客厅灯和走廊灯亮的结果有2个，再由概率公式求解即可【解答】解：（1）明明家客厅里装有一种开关（如图所示），从左到右依次分别控制着A（楼梯），B（客厅），C（走廊），D（洗手间）
29、四盏电灯，明明任意按下一个开关，打开的不一定是楼梯灯，打开的不可能是卧室灯，打开的可能是客厅灯，打开走廊灯的概率是14，故选项A、B、D不符合题意，选项C符合题意，故选：C；（2）画树状图得：共有12个等可能的结果，客厅灯和走廊灯亮的结果有2个，客厅灯和走廊灯亮的概率为212=16【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比熟记求随机事件的概率公式是解题的关键22【分析】（1）先以B点为圆心，BC为半径画弧交AD于E点，再作CE的垂直平分线交CD于F点，然后以F点为圆心，FE为半径作圆即可；（2）先利用矩形的性质得到CDAB3，ADBCBE，AD
30、90，再根据正弦的定义得到sinDEF=DFEF=35，则可设DF3x，EF5x，所以DE4x，于是利用CD5x+3x3可求出x=38，设BCm，则BEADm，AEm-32，然后在RtABE中利用勾股定理得到32+（m-32）2m2，于是解方程求出m，从而得到BC的长【解答】解：（1）如图，点E、F为所作；（2）四边形ABCD为矩形，CDAB3，ADBCBE，AD90，在RtDEF中，sinDEF=DFEF=35，设DF3x，EF5x，DE4x，FCFE5x，CD5x+3x3，解得x=38，DE4x=32，设BCm，则BEADm，AEm-32，在RtABE中，32+（m-32）2m2，解得m=
31、154，即BC的长为154故答案为：154【点评】本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作也考查了矩形的性质、线段垂直平分线的性质和解直角三角形23【分析】（1）根据EFAC，可得EFCOCF，根据角边角，即可求证；（2）由（1）可知，ODCEDF（ASA），可证四边形OCEF是平行四边形，再根据，BEC45，可证平行四边形OCEF是菱形，根据CDE是等腰直角三角形，且OECF，可证菱形OCEF是正方形【解答】（1）证明：EFAC，EFCOCF，在ODC和EDF中，EFC=OCFDF=DCFDE=CDO，ODC
32、EDF（ASA），（2）解：四边形OCEF是正方形，理由如下，由（1）可得，ODCEDF（ASA）；OCEF，且EFAC，四边形OCEF是平行四边形，FEOEOC，ODED，ODDC，且BEC45，DECDCE45，CDE180454590，即OECF，平行四边形OCEF是菱形，CDE是等腰直角三角形，且OECF，菱形OCEF是正方形【点评】本题主要考查特殊四边形的判定和性质、全等三角形的判定与性质，掌握平行四边形的判定和性质，正方形的判定和性质是解题的关键24【分析】过点B作BGD'D，垂足为G，延长EC、GB交于点F在GAB中先求出GB、GA，再在FAB中求出CF，最后利用线段的和
33、差关系求出AD【解答】解：过点B作BGD'D，垂足为G，延长EC、GB交于点F则四边形GFED是矩形DEFG50cm，GDEF在RtGAB中，AB25cm，sin37=GBAB，cos37=GAAB，GB250.6015（cm），GA250.8020（cm）BFDFBG501535（cm）ABC72，D'AB37，GBA90DAB53CBF180GBAABC55BCF90CBF35tan35=BFCF，CF350.70=50（cm）FECE+CF50+130180（cm）GDFE180（cm），ADGDAG18020160（cm）答：安装师傅应将支架固定在离地面160cm的位置
34、【点评】本题主要考查了解直角三角形，构造直角FAB、GAB，掌握直角三角形的边角间关系是解决本题的关键25【分析】（1）连接OC，利用圆的切线的性质定理，圆周角定理，同圆的半径线段，等腰三角形的性质，等角的余角相等和相似三角形的判定定理解答即可；（2）利用直角三角形的边角关系定理，相似三角形的性质定理得到BDBC=CDAC=12，设BDx，则BC2x，OB3+x，利用勾股定理列出关于x的方程，解方程即可得出结论【解答】解：（1）BCD与BAC相似，理由：连接OC，如图，BC为O的切线，OCBC，OCD+DCB90AD为直径，ACD90，A+ADC90，OCOD，OCDODC，DCBACBDAB
35、C，BCDBAC；（2）由（1）知：ABCD，tanAtanBCD=12，ACD90，tanA=CDAC=12BCDBAC，BDBC=CDAC=12O的半径为3，AD6设BDx，则BC2x，OB3+x，OC2+BC2OB2，32+（2x）2（3+x）2，解得：x0（不合题意，舍去）或x2BC2x4【点评】本题主要考查了圆的切线的性质定理，圆的有关性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质，直角三角形的边角关系定理，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线26【分析】（1）抛物线yax2+bx+c的顶点D的坐标为（2，9），可设ya（x+2）2+9，再将点B（0，
36、5）代入，解得a的值，则可得抛物线的解析式；（2）求得直线BC与直线CD的解析式，设点P的坐标为（x，0），则G（x，x+5），H（x，3x+15）根据SCGH=12HGCP，将SCGH用含x的式子表示出来，再由SBCDSDKC+SDKB，求得SBCD；根据线段HG把CBD的面积分成相等的两部分，得出关于x的方程，解方程并作出取舍，则可得P点的坐标；（3）设点M的坐标为（m，m+5），求得CD的值，再分情况讨论：当CD与DM是菱形的两边时，则CDDM；当DM'与CM'是菱形的两边时，则CM'DM'；当DM'与CM'是菱形的两边时，则CM'
37、DM'分别得出关于m的等式，解得m的值，则可得点M的坐标【解答】解：（1）抛物线yax2+bx+c的顶点D的坐标为（2，9），可设ya（x+2）2+9，又抛物线过点B（0，5），代入得：54a+9，a1，y（x+2）2+9x24x+5，抛物线的解析式为yx24x+5；（2）抛物线yx24x+5与坐标轴分别交于A、B、C三点，且B的坐标为（0，5），当y0时，x24x+50，解得x15，x21，A（1，0），C（5，0），又D（2，9），直线BC的解析式为yx+5；设直线CD的解析式为ykx+b，将C（5，0），D（2，9）代入，得：0=-5k+b9=-2k+b，解得：k=3b=15，直
38、线CD的解析式为y3x+15设点P的坐标为（x，0），则G（x，x+5），H（x，3x+15）SCGH=12HGCP=12（5+x）（3x+15x5）=12（5+x）（2x+10）（5+x）（x+5）（x+5）2，设抛物线的对称轴交直线BC于点K，如图：顶点D的坐标为（2，9），对称轴为直线x2，K（2，3），DK936，SBCDSDKC+SDKB=1263+126215，若线段HG把CBD的面积分成相等的两部分，则（x+5）2=1215，解得：x1=30-102，x2=-10-302（舍），P（30-102，0）；（3）如图，设点M的坐标为（m，m+5），C（5，0），D（2，9），CD=(
39、-5+2)2+(9-0)2=310，当CD与DM是菱形的两边时，则CDDM，310=(-2-m)2+(9-m-5)2，解得m15（不合题意，舍去），m27，点M（7，12）；当CD与CM''是菱形的两边时，则CDCM''，310=(-5-m)2+(m+5)2，解得m35-5，点M（35-5，35）或点M（35-5，35）；当DM'与CM'是菱形的两边时，则CM'DM'，(m+5)2+(m+5)2=(m+2)2+(m+5-9)2，解得m=-54，点M（-54，154）综上所述，点M的坐标为（7，12）或（35-5，35）或（35-5
40、，35）或（-54，154）【点评】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数和二次函数的解析式、一次函数和二次函数图象上的点的坐标特点、三角形的面积计算、一元二次方程及菱形的性质等知识点，数形结合、熟练掌握相关性质及定理是解题的关键27【分析】（1）由正方形的性质得出ABCD90，ABBCCDAD，证出FEBCEG，由“ASA”可证BEFGEC，由全等三角形的性质得出BFCG；（2）证明BFEGCE，由相似三角形的性质得出BFCG=EFEC，求出tanECF=23，则可得出答案；（3）过点E作EMCD于M，ENBC于点N，证出DMCM1，BNCN=32，由（2）知BFEGCE，由相似
41、三角形的性质证出EBFG，由锐角三角函数的定义得出tanEBN=ENBN=23=tanG=EMGM，求出CG的长，根据三角形面积公式可得出答案【解答】解：（1）四边形ABCD是正方形，ABCD90，ABBCCDAD，BACACB45，ACDDAC45，EFAC，FEC90，EFC90ACF904545，EFCECFECG，EFEC，BEEG，BEG90，BEGFEG，BEC+CEGBEG+FEB，FEBCEG，BEFGEC（ASA），BFCG，故答案为：BFCG；（2）四边形ABCD是矩形，BCD90，BCE+ACD90，EFAC，FEC90，BCE+EFB90，FEB+BEC90，EFBECG，又BEEG，CEG+BEC90，FEBCEG，BFEGCE，BFCG=EFEC，在RtABC中，tanACB=ABBC=23，tanECF=23，EFEC=23，BFCG=23；（3）过点E作EMCD于M，ENBC于点N，E为AC的中点，ACEC，EMDC，ADDC，EMAD，CMDM=ECAE，DMCM1，同理可得BNCN=32，由（2）知BFEGCE，EBFG，ta