1、2024年山西省晋中市榆社县中考二模数学试题一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）1. 的算术平方根是（ ）A B. C. 3D. 2. 不等式的解集是（ ）A. B. C. D. 3. 如图是由5个相同的小正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ）A B. C. D. 4. 如图所示的图形可以验证乘法公式，这种根据图形验证数学规律的方法，简称为“无字证明”，它体现的数学思想是（ ） A. 统计思想B. 分类思想C. 函数思想D. 数形结合思想5. 山西的土地肥沃且阳光充足，适宜玉米的生长，玉米是山西地区主要的经济作物之一质检中心实验员对某种玉米种子在相同条件下发芽试验的结果记录
2、如表：每批粒数n300500800100020003000发芽的频数m28447576294819022848发芽的频率0.9470.950.9530.9480.9510.949则这种玉米种子发芽的概率约为（ ）A. 0.93B. 0.94C. 0.95D. 0.966. 下列运算正确的是（ ）A. B. C. D. 7. 如图，直线，将一块含角直角三角尺按如图所示的方式放置若，则的度数为（ ）A. B. C. D. 8. 如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，且轴，轴于点C，连接，则四边形的面积为（ ）A. 5B. 4C. 3D. 29. 如图1是某城市广场音乐喷泉，出水
3、口A处的水流呈抛物线形，该水流喷出的高度与水平距离之间的关系如图2所示，点B为该水流的最高点，点C为该水流的落地点，且，垂足为点D，若，则的长为（ ）A. B. C. D. 10. 如图，为的直径，点在的延长线上，为的切线，切点为点，点E在上，且若，则的长为（ ） A. 4B. C. D. 8二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）11. 计算的结果是_12. 如图，在平面直角坐标系中，将平移至的位置若点的对应点的坐标为，则点的对应点的坐标为_13. 如图是用火柴棍拼成的图形，其中第1个图形由4个小正六边形组成，第2个图形由6个小正六边形组成，按此规律，则第n个图形需要_根火柴棍（
4、用含n的代数式表示）14. 小华和小文玩“棒打老虎鸡吃虫”的游戏，游戏规则为：两人面对面，各用一根筷子相击，同时口喊“棒子棒子”，每人随机喊出老虎、棒子、鸡、虫中的一个规定：以棒打老虎，老虎吃鸡，鸡吃虫，虫吃棒定胜负；若喊出棒子与鸡、老虎与虫或喊出同一物，则不分胜负依据上述规则，小华和小文同时随机喊出其中一物，小华取胜的概率是_15. 如图，在中，点E为的中点，点F为上一点，与相交于点H若，则的长为_三、解答题（本大题共8个小题，共75分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16 （1）解不等式组：（2）解方程组： 17. 同学们利用几何画图软件开展了“图案设计”项目式学习，下面是三位同学在
5、的正方形网格中设计的三种不同图案的一部分，请将图1中的图案补成既是轴对称图形，又是中心对称图形，将图2中的图案补成中心对称图形，在图3中设计一个图案，使其是中心对称图形，但不是轴对称图形 18. “五一国际劳动节”是世界上多个国家的全国性节日，中国中央人民政府政务院于年月作出决定，将5月1日确定为“劳动节”如图是年5月的月历表，用一个方框在表中圈出六个数（如图所示），若圈出的六个数中，最小的数与最大的数的乘积为，求这个最小的数（请用方程知识解答）19. 某中学全体团员积极响应团委的号召，开展了“情暖困境少年，助力乡村振兴”的捐款活动捐款活动结束后，班长将全班40名团员的捐款情况进行了统计，并绘
6、制成如下统计图（1）这40名团员捐款金额的中位数是_元，众数是_元；（2）若该校共有1200名团员捐款，请根据该班的捐款情况，估计这所中学所有团员共捐款多少元；（3）若把该班团员的捐款情况绘制成扇形统计图，求捐款金额为30元的人数所对应的扇形圆心角的度数20. 如图1，某校“项目研究小组”利用课余时间测量学校旗杆的高度，下面是其测量方案及结果测量方案：先在楼顶观测旗杆顶端和底部俯角，再测量旗杆到教学楼的水平距离图2是其示意图，线段，分别表示旗杆和教学楼，其中，点A，B，C，D在同一竖直平面内测量结果：经过测量并校正，在楼顶C处分别测得旗杆顶端A的俯角为，旗杆底部B的俯角为，旗杆到教学楼的水平距
7、离为请根据该小组的测量结果，计算旗杆的高度（参考数据：，）21. 阅读与思考请阅读下面材料，并完成相应的任务有趣的布罗卡尔点1816年法国数学家和数学教育家克雷尔首次发现了“布罗卡尔点”，但是他的发现并未被当时的人们所注意1875年，三角形这一特殊点，被一个数学爱好者法国军官布罗卡尔重新发现，并用他的名字命名，引起一大批数学家的兴趣，形成了一股研究“三角形几何”的热潮关于布罗卡尔点的研究与推广以代数计算为主，充分体现了代数与几何的联系定义：如图1，若内一点P满足，则称点P为的布罗卡尔点若设，则称为布罗卡尔角研究发现，等边三角形只有一个布罗卡尔点 任务：（1）如图2，是等边三角形等边三角形的布罗
8、卡尔角的度数为_若设等边三角形的面积为S，边长为a，三条边长的平方和为m，布罗卡尔角为，求证：（2）如图3，在等腰直角三角形中，若点P是的一个布罗卡尔点，且满足，请直接写出的值22. 综合与实践问题情境：已知四边形是正方形，点P是直角三角尺的直角顶点（1）如图1，将点P放在正方形的顶点A处，三角尺的两条直角边分别与，的延长线交于点E，F，则与之间的数量关系为_操作发现：（2）如图2，将点P放在正方形的对角线上，三角尺的两条直角边分别与，的延长线交于点E，F，则（1）中的结论还成立吗？请说明理由拓广探索：（3）如图3，将点P放在正方形的边上（不包含点B，C），三角尺的一条直角边经过点A，另一条直
9、角边与正方形的外角的平分线相交于点E，试判断与之间的数量关系，并说明理由23. 综合与探究如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，点P是x轴下方抛物线上的一个动点（且C，D，P三点不共线），分别过点A，B作，垂足分别为点E，F，连接，（1）求点A，B的坐标（2）求证：为等腰三角形（3）当为等腰直角三角形时，直接写出点P的坐标2024年山西省晋中市榆社县中考二模数学试题一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）1. 的算术平方根是（ ）A. B. C. 3D. 【答案】A【解析】【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，解题的关
10、键是掌握一个非负数x的平方等于a，则x叫作a的算术平方根【详解】解：的算术平方根是，故选：A2. 不等式的解集是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】本题考查了解一元一次不等式，先移项再合并同类项，系数化1，即可作答【详解】解：，移项，得，合并同类项，得，系数化1，得，故选：D3. 如图是由5个相同的小正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】此题主要考查了简单几何体的三视图，关键是掌握主视图所看的方向：从正面看所得到的图形根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案【详解】解：从正面看第一层是三个小正方形，第二层中间一个小正方形，
11、故选B4. 如图所示的图形可以验证乘法公式，这种根据图形验证数学规律的方法，简称为“无字证明”，它体现的数学思想是（ ） A. 统计思想B. 分类思想C. 函数思想D. 数形结合思想【答案】D【解析】【分析】本题考查了完全平方公式的证明，掌握根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法体现的数学思想为数形结合思想根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法体现的数学思想为数形结合思想【详解】解：这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”，它体现的数学思想是数形结合思想，故选：D5. 山西的土地肥沃且阳光充足，适宜玉米的生长，玉米是山西地区主要的经济作物之一质检中心实验员对某
12、种玉米种子在相同条件下发芽试验的结果记录如表：每批粒数n300500800100020003000发芽的频数m28447576294819022848发芽的频率0.9470.950.9530.9480.9510.949则这种玉米种子发芽的概率约为（ ）A. 0.93B. 0.94C. 0.95D. 0.96【答案】C【解析】【分析】本题考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是了解“大量重复试验下事件发生的频率可以估计该事件发生的概率”，利用大量重复试验下事件发生的频率可以估计该事件发生的概率直接回答即可【详解】解：观察表格得到这种玉米发芽的频率稳定在0.95附近，则这种玉米发芽的概率是0.9
13、5，故选：C6. 下列运算正确的是（ ）A B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】结合负整数指数幂，零指数幂化简进行有理数的加法，按照有理数的除法法则计算，以及单项式除以单项式法则，幂的乘方，积的乘方化简,即可逐一判断各选项【详解】A、，故本选项不符合题意；B、，故本选项不符合题意；C、，故本选项不符合题意；D、，故本选项符合题意故选：D【点睛】本题考查了实数的加法，有理数的除法，幂的乘方，单项式除以单项式，积的乘方，熟练掌握知识点以及运算法则是解题的关键7. 如图，直线，将一块含角的直角三角尺按如图所示的方式放置若，则的度数为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】本题
14、主要考查了平行线的性质、平行线的判定等知识点，正确作出辅助线成为解题的关键如图：作直线，由题得；在说明可得，即，最后再根据平行线的性质即可解答【详解】解：如图：作直线，由题得，故选：C8. 如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，且轴，轴于点C，连接，则四边形的面积为（ ）A. 5B. 4C. 3D. 2【答案】A【解析】【分析】本题考查反比例函数与几何图形的综合应用熟练掌握反比例函数中k的几何意义，是解题的关键延长交y轴于点D，根据反比例函数k值的几何意义得到，根据四边形的面积等于，即可得解【详解】解：如图，延长交y轴于点D轴，轴，点A在反比例函数的图象上，轴，轴，点B在反
15、比例函数的图象上，9. 如图1是某城市广场音乐喷泉，出水口A处的水流呈抛物线形，该水流喷出的高度与水平距离之间的关系如图2所示，点B为该水流的最高点，点C为该水流的落地点，且，垂足为点D，若，则的长为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式根据题意可得，设抛物线的表达式为将代入，求出a的值，即可解答【详解】解：，设抛物线的表达式为将代入，得，解得抛物线的表达式为令，则解得，（不合题意，舍去）的长为故选：D10. 如图，为的直径，点在的延长线上，为的切线，切点为点，点E在上，且若，则的长为（ ） A. 4B. C.
16、 D. 8【答案】B【解析】【分析】连接，如图所示，由切线性质得到，设，则，在中，由三角函数定义列式求解的得到，得到相关线段长，再由直径所对的圆周角是直角，利用相等角的三角函数值相等，在中，由三角函数定义列式求出，最后利用勾股定理求解即可得到答案【详解】解：连接，如图所示： 是的切线，设，则在中，解得，是的直径，在中，故选：B【点睛】本题考查圆中求线段长，涉及切线性质、根据三角函数定义解直角三角形、直径所对的圆周角是直角、勾股定理等知识，熟练掌握圆的性质，数形结合运用三角函数定义及勾股定理求线段长是解决问题的关键第卷 非选择题（共90分）二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）11
17、. 计算的结果是_【答案】#【解析】【分析】本题考查了分式的加减法，熟练掌握分式加减法的运算法则是解题的关键根据分式加减法的运算法则即可得到结论【详解】解：故答案为：12. 如图，在平面直角坐标系中，将平移至的位置若点的对应点的坐标为，则点的对应点的坐标为_【答案】【解析】【分析】本题主要考查了坐标与图形，正确找出平移规律是解答本题的关键根据点A和点的坐标可得出平移规律，然后再根据平移规律解答即可【详解】解：顶点的对应点是，将平移至的规律为：将向右平移5个单位，再向上平移1个单位即可得到，的坐标是，即故答案为：13. 如图是用火柴棍拼成的图形，其中第1个图形由4个小正六边形组成，第2个图形由6
18、个小正六边形组成，按此规律，则第n个图形需要_根火柴棍（用含n的代数式表示）【答案】#【解析】【分析】本题主要考查图形的变化规律，熟练掌握整式的运算是解题的关键由第一个图形有22条线段，第二个图形有，后一个图比前一个图多11条线段，由此找到规律即可求解【详解】解：第一个图形有22条线段，第二个图形有，第三个图形有，后一个图比前一个图多11条线段，第个图形有：，故答案为：14. 小华和小文玩“棒打老虎鸡吃虫”的游戏，游戏规则为：两人面对面，各用一根筷子相击，同时口喊“棒子棒子”，每人随机喊出老虎、棒子、鸡、虫中的一个规定：以棒打老虎，老虎吃鸡，鸡吃虫，虫吃棒定胜负；若喊出棒子与鸡、老虎与虫或喊出
19、同一物，则不分胜负依据上述规则，小华和小文同时随机喊出其中一物，小华取胜的概率是_【答案】【解析】【分析】本题考查了列举法求概率根据题意正确的列表格是解题的关键根据题意列表格，然后求概率即可【详解】解：根据题意，列表如下：小文小华老虎棒子鸡虫老虎（老虎，老虎）（老虎，棒子）（老虎，鸡）（老虎，虫）棒子（棒子，老虎）（棒子，棒子）（棒子，鸡）（棒子，虫）鸡（鸡，老虎）（鸡，棒子）（鸡，鸡）（鸡，虫）虫（虫，老虎）（虫，棒子）（虫，鸡）（虫，虫）共有16种等可能的结果，其中小华取胜的结果有4种，（小华取胜），故答案为：15. 如图，在中，点E为的中点，点F为上一点，与相交于点H若，则的长为_【答案
20、】20【解析】【分析】延长交的延长线于点G证明，得出，求出，根据平行线分线段成比例定理，得出，代入求出结果即可【详解】如图，延长交的延长线于点G四边形为平行四边形，点E为边的中点，在和中，即，解得【点睛】此题考查了平行四边形的性质，三角形全等的判定和性质，平行线分线段成比例定理，解题的关键是作出辅助线，证明三、解答题（本大题共8个小题，共75分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16. （1）解不等式组：（2）解方程组： 【答案】（1）；（2）【解析】【分析】本题主要考查了解二元一次方程组及解一元一次不等式组，熟练掌握相关方法是解题关键（1）分别求出原不等式组中各个不等式的解集，然后进一步
21、分析得出原不等式组的解集即可；（2）原方程组整理，得，利用加减消元法求解即可【详解】解：（1），解不等式，得解不等式，得所以不等式组的解集为（2）原方程组整理，得，得，解得把代入，得，解得所以方程组的解为17. 同学们利用几何画图软件开展了“图案设计”项目式学习，下面是三位同学在的正方形网格中设计的三种不同图案的一部分，请将图1中的图案补成既是轴对称图形，又是中心对称图形，将图2中的图案补成中心对称图形，在图3中设计一个图案，使其是中心对称图形，但不是轴对称图形 【答案】见详解【解析】【分析】本题主要考查轴对称图形的绘制，中心对称图形的绘制，理解轴对称、中心对称的定义是解题的关键轴对称图形：把
22、一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，称这两个图形是轴对称图形中心对称图形：是指如果一个图形绕着一个点旋转180度后，所得的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫对称中心，根据定义即可求解【详解】解：如图，答案不唯一 18. “五一国际劳动节”是世界上多个国家的全国性节日，中国中央人民政府政务院于年月作出决定，将5月1日确定为“劳动节”如图是年5月的月历表，用一个方框在表中圈出六个数（如图所示），若圈出的六个数中，最小的数与最大的数的乘积为，求这个最小的数（请用方程知识解答）【答案】8【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的应用熟练掌握一元二次方
23、程的应用是解题的关键设这个最小的数为x，则最大的数为依题意得，计算求出满足要求的解即可【详解】解：设这个最小的数为x，则最大的数为依题意得解得，（不合题意，舍去）这个最小的数为819. 某中学全体团员积极响应团委的号召，开展了“情暖困境少年，助力乡村振兴”的捐款活动捐款活动结束后，班长将全班40名团员的捐款情况进行了统计，并绘制成如下统计图（1）这40名团员捐款金额的中位数是_元，众数是_元；（2）若该校共有1200名团员捐款，请根据该班的捐款情况，估计这所中学所有团员共捐款多少元；（3）若把该班团员的捐款情况绘制成扇形统计图，求捐款金额为30元的人数所对应的扇形圆心角的度数【答案】（1）20
24、，30 （2）28800元 （3）【解析】【分析】此题主要考查了平均数、中位数和众数的定义以及利用样本估计总体，熟练掌握中位数和众数的定义以及平均数的计算方法解答是解题关键（1）将数据从小到大排列即可求出中位数，数据出现次数最多的数是众数；（2）先计算40名同学捐款的平均数，然后在乘以学生总数即可得到答案；（3）根据捐款金额为30元的人数占40名同学得占比乘以，即可得出圆心角度数【小问1详解】解：由条形统计图可知：9名团员捐款10元，12名团员捐款20元，16名团员捐款30元，3名团员捐款50元，将数据从小到大排列，可得处在中间位置的是20，20，故中位数为：，这些数据中出现次数最多的是30，
25、故众数是30，故答案为：20，30；【小问2详解】这40名同学捐款的平均数为：元，元，这所中学所有团员共捐款28800元，【小问3详解】，捐款金额为30元的人数所对应的扇形圆心角的度数为：20. 如图1，某校“项目研究小组”利用课余时间测量学校旗杆的高度，下面是其测量方案及结果测量方案：先在楼顶观测旗杆顶端和底部的俯角，再测量旗杆到教学楼的水平距离图2是其示意图，线段，分别表示旗杆和教学楼，其中，点A，B，C，D在同一竖直平面内测量结果：经过测量并校正，在楼顶C处分别测得旗杆顶端A的俯角为，旗杆底部B的俯角为，旗杆到教学楼的水平距离为请根据该小组的测量结果，计算旗杆的高度（参考数据：，）【答案
26、】【解析】【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是正确作出辅助线，构造直角三角形，熟练掌握解直角三角形的方法和步骤过点A作于点E，则易得，最后根据，即可解答【详解】解：如图，过点A作于点E，则由题意，得，四边形是矩形，在中，在中，答：旗杆的高度约为21. 阅读与思考请阅读下面材料，并完成相应的任务有趣的布罗卡尔点1816年法国数学家和数学教育家克雷尔首次发现了“布罗卡尔点”，但是他的发现并未被当时的人们所注意1875年，三角形这一特殊点，被一个数学爱好者法国军官布罗卡尔重新发现，并用他的名字命名，引起一大批数学家的兴趣，形成了一股研究“三角形几何”的热潮关于布罗卡尔点的研究与推广
27、以代数计算为主，充分体现了代数与几何的联系定义：如图1，若内一点P满足，则称点P为的布罗卡尔点若设，则称为布罗卡尔角研究发现，等边三角形只有一个布罗卡尔点 任务：（1）如图2，是等边三角形等边三角形的布罗卡尔角的度数为_若设等边三角形的面积为S，边长为a，三条边长的平方和为m，布罗卡尔角为，求证：（2）如图3，在等腰直角三角形中，若点P是的一个布罗卡尔点，且满足，请直接写出的值【答案】（1）；见解析 （2）【解析】【分析】（1）根据布罗卡尔角的定义以及等腰三角形的性质求解即可；利用等边三角形三角形的面积公式求解即可；（2）利用等腰直角三角形的性质，得出，证明，推出，可得结论【小问1详解】解：
28、是等边三角形，同理可得，在和中，故答案为：；证明：由可知，如图，过点A作于点H，则， ，；【小问2详解】解：是等腰直角三角形，即，又， ，.【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，解直角三角形，布罗卡尔角的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题.22. 综合与实践问题情境：已知四边形是正方形，点P是直角三角尺的直角顶点（1）如图1，将点P放在正方形的顶点A处，三角尺的两条直角边分别与，的延长线交于点E，F，则与之间的数量关系为_操作发现：（2）如图2，将点P放在正方形的对角线上，三角尺的两条直角边分别与，的延长线交于点E，F，则（1）中的
29、结论还成立吗？请说明理由拓广探索：（3）如图3，将点P放在正方形的边上（不包含点B，C），三角尺的一条直角边经过点A，另一条直角边与正方形的外角的平分线相交于点E，试判断与之间的数量关系，并说明理由【答案】（1）；（2）成立，见解析；（3），见解析【解析】【分析】此题属于四边形综合题，主要考查了正方形，矩形的性质，等腰三角形的性质，以及全等三角形的判定与性质解答本题的关键是数形结合思想的应用（1）根据正方形的性质和，证明即可；（2）过点作于点于点，得到根据四边形正方形，证出，再结合，证出，证明即可解答（3）如图，在上截取，连接，得出，根据四边形为正方形，证出，根据是的平分线，证出，根据和，得出
30、，即可证明，即可解答【详解】（1）四边形为正方形，由题意，得，即在和中，（2）成立理由：如图，过点作于点于点，则四边形为正方形，由题意，得，即在和中，（3）理由：如图，在上截取，连接，则四边形为正方形，即，是的平分线，在和中，23. 综合与探究如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，点P是x轴下方抛物线上的一个动点（且C，D，P三点不共线），分别过点A，B作，垂足分别为点E，F，连接，（1）求点A，B的坐标（2）求证：为等腰三角形（3）当为等腰直角三角形时，直接写出点P的坐标【答案】（1）点A的坐标为，点B的坐标为 （2）见解析 （3）
31、【解析】【分析】（1）令，建立一元二次方程求解，即可解题；（2）延长交于点M利用平行线的性质和判定，以及抛物线的对称性，证明，得到，利用直角三角形性质得到，进而得到，即可证明为等腰三角形；（3）设与抛物线的对称轴交于点N利用等腰直角三角形性质，证明，进而得到点的坐标，利用抛物线得到点的坐标，设直线的表达式为利用待定系数法求得直线的表达式，再联立抛物线求解，即可得到点P的坐标小问1详解】解：令，则，解得，点A在点B的左侧，点A的坐标为，点B的坐标为【小问2详解】证明：如图，延长交于点M，由抛物线的对称性，可知在和中，为等腰三角形【小问3详解】解：点P的坐标为如图，设与抛物线的对称轴交于点N，抛物线对称轴为直线点D的坐标为，是等腰直角三角形，且，即在和中，对于，令，得设直线表达式为将，代入，得，解得直线的表达式为联立方程组，得解得（舍去），点P的坐标为【点睛】本题是二次函数综合题型，考查了二次函数与一次函数的图象与性质、平行线的性质和判定、直角三角形性质、待定系数法求函数解析式、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形性质、解方程等知识点运用数形结合的数学思想解答是关键