1、2024年山东省青岛市城阳区中考一模数学试题一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1. 的倒数是（ ）A. B. 2024C. D. 2. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有多年的历史以下是在棋谱中截取的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称图形的是（）A. B. C. D. 3. 为了加快构建清洁低碳、安全高效的能源体系，国家发布关于促进新时代新能源高质量发展的实施方案，旨在锚定到2030年，我国风电、太阳能发电总装机容量达到1200000000千瓦以上的目标数字1200000000用科学记数法表示为（ ）A. B. C. D. 4. 如图，用一个平面截长方体，得到如
2、图的几何体，再用一个平面截它如图，得到如图的几何体，它在我国古代数学名著九章算术中被称为“阳马”图“阳马”的俯视图是（ ）A. B. C. D. 5. 下列运算正确的是（ ）A. B. C. D. 6. 如图，的顶点坐标分别为，如果将先向左平移3个单位，再向上平移1个单位得到，那么点B的对应点的坐标是（ ）A. B. C. D. 7. 如图，在平面直角坐标系中，线段绕点O逆时针旋转至线段，点A经过的路程是，若反比例函数的图象经过的中点B，则的值为（ ）A. B. C. D. 8. 已知平面内有和点A，B，若半径为，线段，则直线与的位置关系为（ ）A. 相离B. 相交C. 相切D. 相交或相切9
3、. 如图，在中，以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点E，F，分别以点E，F为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点G，作射线，交于点D，则的长为（ ）A. B. C. D. 10. 如图，已知抛物线（）的顶点坐标是，与x轴的两个交点是A，B，其中点B的坐标是，则下列结论正确的是：（ ）A. B. C. 点A的坐标为D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请将1116各小题的答案填写在答题纸规定的位置11 分解因式：_12. 若菱形的两条对角线的长分别为12和16，则菱形的周长为_13. 若在实数范围内有意义，则x的取值范围为_14. 如图，正八边形和正大边形的边长
4、均为6，以顶点H为圆心，的长为半径画圆，则阴影部分的面积为_（结果保留）15. 小刚家和小丽家到学校的路程都是，其中小丽走的是平路，骑车速度是小刚需要走上坡路和的下坡路，在上坡路上的骑车速度是，在下坡路上的骑车速度是如果他们同时出发，那么早到的人比晚到的人少用_（结果化为最简）16. 如图，在正方形中，点，分别是，的中点，相交于点，为上一动点，为的中点，下列结论：；线段的最小值是；线段的最大值是其中正确的是_（只填写序号）三、作图题（本大题满分4分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹17. 如图，已知：求作：，使点O在上，且与相切 四、解答题（本大题共8小题，满分68分）18. （
5、1）计算：；（2）解方程组：19. 2024年3月25日是第29个“全国中小学生安全教育日”，某班举行安全教育班会小明和小红从“交通安全、消防安全、饮食安全、防溺水安全（依次用A，B，C，D表示）”四个课题中随机抽取一个课题进行演讲，小明先随机抽取一个，小红再从剩下的三个课题中随机抽取一个请用列表或画树状图的方法表示所有可能出现的结果并求他们抽取的两个课题中有“交通安全”的概率20. 九年级1班为了从李明、宋亮两名同学中选拔一人参加“绳彩飞扬”校长杯1min跳绳比赛，现对他们进行了训练测试，他们10次测试的成绩如下（单位：次）：李明：192，187，202，197，197，212，207，18
6、7，192，197；宋亮：198，202，206，212，216，172，187，183，192，202为了比较两人的成绩，制作了统计分析表：平均数中位数众数方差李明197197ab宋亮197c202166.4（1）直接写出_，_，_；（2）根据以上数据，请至少选择两个统计量作选拔标准，说明选拔哪位同学参加校长杯1min跳绳比赛21. 从2024年1月1日起，国务院、中央军事委员会颁布的无人驾驶航空器飞行管理暂行条例正式实施，非经营性活动的微型无人机适飞空域高度不超过50米如图，在水平地面上选择观测点A和B，无人机悬停在C处，此时在A处测得C的仰角为37；无人机垂直上升10m悬停在D处，此时在
7、B处测得D的仰角为，点A，B，C，D在同一平面内，A，B两点在的同侧请你判断此次无人机起飞是否在允许的范围内（参考数据：，）22. 已知：如图，四边形内接于，是直径，切于点A，交的延长线于点E，过点D作，垂足为D； （1）求证：四边形是平行四边形；（2）若，求的长23. 某企业用A，B两种原料组装成一种产品已知A原料每千克费用比B原料每千克的费用多10元，用45000元购进的A原料数量是用25000元购进的B原料数量的1.5倍（1）求A原料和B原料每千克费用（2）组装1盒该产品需A原料1kg和B原料2kg，每盒还需其他成本20元；直接写出每盒产品的成本价（成本=原料费+其他成本）；该企业请甲、
8、乙两位主播进行直播销售，每盒销售价格为320元，每月共销售1800件，其中，甲主播销售量不低于600件，且不高于乙主播销售量的两倍已知甲主播每盒提成5元，企业每个月还需要另付2000元给甲主播；乙主播每盒提成10元问该企业应该如何将这1800件产品分配给甲、乙两位主播直播销售，才能使该企业的每月总收益最大？24. 在综合实践课上，数学兴趣小组用所学的数学知识来解决实际问题，实践报告如下：活动课题设计围篱笆的方案活动工具直角三角板、量角器、皮尺、篱笆等活动过程【了解场地】如图，测出墙AD与墙AB的夹角是135；【设计图纸】用篱笆围成一个梯形的菜园，梯形满足，且BC边上留一个1米宽的门EF； 【准
9、备材料】现有篱笆（虚线部分）的长度是15m解决问题如何围篱笆才能使其所围梯形的面积最大？最大面积是多少平方米？请你帮助兴趣小组解决以上问题25. 如图，在矩形中，点P从点A出发沿方向匀速运动，速度为；同时，线段从出发沿方向匀速运动，速度为，交于点E，交延长线于点M；连接交于点Q，连接设运动时间为（）解答下列问题：（1）当t为何值时，四边形为矩形？（2）设四边形的面积为，求y与t的函数关系式；（3）在运动的过程中，是否存在某一时刻t，使平分？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由2024年山东省青岛市城阳区中考一模数学试题一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1. 的倒数是（
10、）A. B. 2024C. D. 【答案】C【解析】【分析】本题考查了倒数定义，根据题意利用倒数定义（互为倒数的两个数乘积为1）即可得出本题答案【详解】解：的倒数为，故选：C2. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有多年历史以下是在棋谱中截取的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称图形的是（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】本题考查了中心对称图形的定义，理解定义：“将图形绕着某一点旋转与原图形重合的图形叫做中心对称图形”是解题的关键【详解】A.不符合中心对称图形的定义，故此项不符合题意；B.不符合中心对称图形的定义，故此项不符合题意；C.符合中心对称图形的定义，故此项
11、不符合题意；D.不符合中心对称图形的定义，故此项不符合题意；故选：C3. 为了加快构建清洁低碳、安全高效的能源体系，国家发布关于促进新时代新能源高质量发展的实施方案，旨在锚定到2030年，我国风电、太阳能发电总装机容量达到1200000000千瓦以上的目标数字1200000000用科学记数法表示为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据科学记数法的表示方法求解即可【详解】故选：B【点睛】本题主要考查科学记数法科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数解题关键是正确确定a的值以及n的值4. 如图，用一个平面截长方体，得到如图的几何体，再用一个平面截它如图，得到如图的几何体，
12、它在我国古代数学名著九章算术中被称为“阳马”图“阳马”的俯视图是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】找到从上面看所得到的图形即可本题考查了学生的思考能力和对几何体三种视图的空间想象能力与及考查视图的画法，看得到的棱画实线，看不到的棱画虚线【详解】解：图“阳马”的俯视图是一个矩形，还有一条看得见的棱，故选：5. 下列运算正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了二次根式的加减计算，立方根，绝对值和零指数幂，熟知相关计算法则是解题的关键【详解】解；A、，原式计算错误，不符合题意；B、，原式计算正确，符合题意；C、，原式计算错误，不符合题意；D
13、、，原式计算错误，不符合题意；故选：B6. 如图，的顶点坐标分别为，如果将先向左平移3个单位，再向上平移1个单位得到，那么点B的对应点的坐标是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】本题考查坐标与图形变化平移，用到的知识点为：左右平移只改变点的横坐标，左减右加；上下平移只改变点的纵坐标，上加下减根据规律解决问题即可【详解】解：将先向左平移3个单位，再向上平移1个单位得到，点的对应点的坐标是，即故选：C7. 如图，在平面直角坐标系中，线段绕点O逆时针旋转至线段，点A经过的路程是，若反比例函数的图象经过的中点B，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】本题考
14、查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握弧长公式和解含的直角三角形是解答本题的关键.根据弧长公式先求出半径长，再解含有的直角三角形求出点坐标，即可得到反比例函数值.【详解】作轴,垂足为,根据题意点经过的路程是弧长设则有：，解得 ，是的中点，点反比例函数图象上，故选: A.8. 已知平面内有和点A，B，若的半径为，线段，则直线与的位置关系为（ ）A. 相离B. 相交C. 相切D. 相交或相切【答案】D【解析】【分析】本题考查了直线与圆的位置关系根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断【详解】解：的半径为，即点到圆心的距离大于圆的半径，点到圆心的距离等于圆的半径，点在外点在上，直线与的位置关系为相
15、交或相切，故选：D9. 如图，在中，以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点E，F，分别以点E，F为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点G，作射线，交于点D，则的长为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由角平分线的性质定理推出，由勾股定理求出的长，由的面积的面积的面积，得到，因此，即可求出的长，得到的长本题考查勾股定理，角平分线的性质，作图基本作图，三角形的面积，关键是由角平分线的性质得到【详解】解：作于，由题意知平分，的面积的面积的面积，故选：A10. 如图，已知抛物线（）的顶点坐标是，与x轴的两个交点是A，B，其中点B的坐标是，则下列结论正确的是：（ ）A.
16、 B. C. 点A的坐标为D. 【答案】D【解析】【分析】依据题意，由抛物线开口向上，从而，又顶点为，故对称轴是直线，从而，再结合抛物线交轴于负半轴，则故可判断；又抛物线与轴有两个交点，判别式，故可判断；又对称轴是直线，从而，故可判断C；又，再结合当时，从而可以判断D本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键【详解】解：抛物线开口向上，顶点为，对称轴是直线又抛物线交轴于负半轴，故A错误又抛物线与轴有两个交点，判别式，故B错误对称轴是直线，故C错误，又当时，故D正确故选：D二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请将1116各小题的答案填写在答题纸规定的位置
17、11. 分解因式：_【答案】【解析】【分析】本题考查因式分解先提取公因式，然后利用完全平方公式进行因式分解即可【详解】解：，故答案为：12. 若菱形的两条对角线的长分别为12和16，则菱形的周长为_【答案】40【解析】【分析】本题考查了菱形的性质和勾股定理，先由菱形的性质得出,再根据勾股定理求出菱形边长，即可求解【详解】 四边形为菱形，,，菱形的周长为，故答案为：4013. 若在实数范围内有意义，则x的取值范围为_【答案】【解析】【分析】本题考查二次根式有意义的条件根据被开方数不小于零的条件进行解题即可【详解】解：由题可知，解得故答案为：14. 如图，正八边形和正大边形的边长均为6，以顶点H为
18、圆心，的长为半径画圆，则阴影部分的面积为_（结果保留）【答案】【解析】【分析】根据正八边形、正六边形的性质求出它的内角的度数，进而求出阴影部分扇形的圆心角的度数，由扇形面积的计算方法进行计算即可本题考查正多边形和圆，扇形面积的计算，掌握正六边形、正八边形的性质，扇形面积的计算方法是正确解答的关键【详解】解：八边形是正八边形，六边形是正六边形，故答案为：15. 小刚家和小丽家到学校的路程都是，其中小丽走的是平路，骑车速度是小刚需要走上坡路和的下坡路，在上坡路上的骑车速度是，在下坡路上的骑车速度是如果他们同时出发，那么早到的人比晚到的人少用_（结果化为最简）【答案】【解析】【分析】本题考查列代数式
19、以及分式的加减正确的列出代数式是解决问题的关键先分别求出小刚和小丽用的时间，然后比较即可得出答案【详解】解：小丽用的时间为，小刚用的时间为，故答案为: 16. 如图，在正方形中，点，分别是，的中点，相交于点，为上一动点，为的中点，下列结论：；线段的最小值是；线段的最大值是其中正确的是_（只填写序号）【答案】【解析】【分析】本题考查矩形的判定，三角形中位线定理，正方形的性质，由矩形的性质推出，判定四边形是矩形，推出，得到，而，得到，又，得到，由三角形中位线定理推出，当与重合时，的值最小，当与重合时，的值最大，求出的最小值是4，的最大值是，即可求出的最小值和最大值【详解】解：四边形是正方形，点，分
20、别是、的中点，四边形是矩形，故不符合题意；，故符合题意；连接，是中点，是中点，是的中位线，当与重合时，的值最小，当与重合时最大，正方形的边长是4，是等腰直角三角形，的最小值是4，的最大值是，的最小值是，的最大值是，故不符合题意，符合题意，其中正确的是故答案：三、作图题（本大题满分4分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹17. 如图，已知：求作：，使点O在上，且与相切 【答案】见详解【解析】【分析】作线段的垂直平分线，交于点，交于点，再以点为圆心，的长为半径画圆，结合线段垂直平分线的性质、切线的判定可知，即为所求本题考查作图复杂作图、线段垂直平分线的性质、切线的判定，熟练掌握线段垂直
21、平分线的性质、切线的判定是解答本题的关键【详解】解：如图，作线段的垂直平分线，交于点，交于点，再以点为圆心，的长为半径画圆， 此时，为的半径，与相切，则即为所求四、解答题（本大题共8小题，满分68分）18. （1）计算：；（2）解方程组：【答案】（1）0；（2）【解析】【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则和负整数指数幂是解决问题的关键也考查了解二元一次方程组（1）先根据二次根式的乘法和除法法则、负整数指数幂和特殊角的三角函数值计算，然后化简二次根式后进行有理数的加减运算；（2）利用加减消元法解方程组详解】（1）解：；（2）解：，由，可得，解得把
22、代，可得，解得，方程组的解为19. 2024年3月25日是第29个“全国中小学生安全教育日”，某班举行安全教育班会小明和小红从“交通安全、消防安全、饮食安全、防溺水安全（依次用A，B，C，D表示）”四个课题中随机抽取一个课题进行演讲，小明先随机抽取一个，小红再从剩下的三个课题中随机抽取一个请用列表或画树状图的方法表示所有可能出现的结果并求他们抽取的两个课题中有“交通安全”的概率【答案】，列表见解析【解析】【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或B的概率【详解】列表为：小明小红ABCDAB
23、CD由表格可知，共有12种等可能的结果，其中有交通安全的有6种， （有交通安全）20. 九年级1班为了从李明、宋亮两名同学中选拔一人参加“绳彩飞扬”校长杯1min跳绳比赛，现对他们进行了训练测试，他们10次测试的成绩如下（单位：次）：李明：192，187，202，197，197，212，207，187，192，197；宋亮：198，202，206，212，216，172，187，183，192，202为了比较两人的成绩，制作了统计分析表：平均数中位数众数方差李明197197ab宋亮197c202166.4（1）直接写出_，_，_；（2）根据以上数据，请至少选择两个统计量作为选拔标准，说明选拔哪
24、位同学参加校长杯1min跳绳比赛【答案】（1）， （2）见解析【解析】【分析】本题主要考查方差，众数和中位数，解题的关键是掌握众数、中位数及方差的定义及方差、中位数的意义（1）由题意根据众数和中位数的定义求解可得，根据题意直接利用方差的定义列式计算可得；（2）根据题意可知在平均数相等的前提下可从方差或中位数的角度进行分析求解可得【小问1详解】解：李明次测试成绩中次出现次，次数最多，众数，；宋亮成绩重新排列为所以宋亮次测试成绩的中位数，故答案为：，；【小问2详解】从平均数来看，两人的平均水平相同；从方差来看，李明成绩的方差小于宋亮成绩的方差，说明李明的成绩比张亮的成绩稳定，可选拔李明参加全校举行
25、的跳绳比赛（答案不唯一，只要合理即可）21. 从2024年1月1日起，国务院、中央军事委员会颁布的无人驾驶航空器飞行管理暂行条例正式实施，非经营性活动的微型无人机适飞空域高度不超过50米如图，在水平地面上选择观测点A和B，无人机悬停在C处，此时在A处测得C的仰角为37；无人机垂直上升10m悬停在D处，此时在B处测得D的仰角为，点A，B，C，D在同一平面内，A，B两点在的同侧请你判断此次无人机起飞是否在允许的范围内（参考数据：，）【答案】在允许的范围内【解析】【分析】本题考查了解直角三角形应用-仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键延长交的延长线于点E，根据题意可
26、得：，然后设，则，在和中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答【详解】解：延长交的延长线于点E，由题意得， 设，在中， 在中， 解得 ， 经检验，是原方程的解，此次无人机起飞在允许的范围内22. 已知：如图，四边形内接于，是直径，切于点A，交的延长线于点E，过点D作，垂足为D； （1）求证：四边形是平行四边形；（2）若，求的长【答案】（1）见解析 （2）【解析】【点睛】（1）根据等腰三角形的性质，切线的性质以及平行线的判定可得，再根据圆周角定理，垂直的定义以及平行线的判定可得即可；（2）根据平行四边形的性质和面积的计算方法求出半径，再根据勾股定理求出即可本题考查切线的性质，平行四边形的判定
27、和性质，圆周角定理以及平行四边形、三角形面积的计算，掌握切线的性质，平行四边形的判定和性质，圆周角定理以及平行四边形、三角形面积的计算方法是正确解答的关键【小问1详解】证明：如图，连接， ，是的切线，切点为，是的直径，即，四边形是平行四边形【小问2详解】解：四边形是平行四边形，在中，23. 某企业用A，B两种原料组装成一种产品已知A原料每千克的费用比B原料每千克的费用多10元，用45000元购进的A原料数量是用25000元购进的B原料数量的1.5倍（1）求A原料和B原料每千克的费用（2）组装1盒该产品需A原料1kg和B原料2kg，每盒还需其他成本20元；直接写出每盒产品的成本价（成本=原料费+
28、其他成本）；该企业请甲、乙两位主播进行直播销售，每盒销售价格为320元，每月共销售1800件，其中，甲主播销售量不低于600件，且不高于乙主播销售量的两倍已知甲主播每盒提成5元，企业每个月还需要另付2000元给甲主播；乙主播每盒提成10元问该企业应该如何将这1800件产品分配给甲、乙两位主播直播销售，才能使该企业的每月总收益最大？【答案】（1）A原料每千克的费用为50元，B原料每千克的费用为60元 （2）180元 将1200盒分配给甲主播，600盒分配给乙主播【解析】【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，（1）设B原料每千克的费用为x元，利用数量=总价单价
29、，结合用45000元购进的A原料数量是用25000元购进的B原料数量的1.5倍，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可解决；（2利用成本=原料费+其他成本，即可求出每盒产品的成本；设该企业应将m盒产品分配给甲主播销售，则应将（18000-m）盒产品分配给乙主播销售，根据“甲主播销售量不低于乙主播销售量的一半，且不高于乙主播销售量的两倍”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，设该企业每月总收益为w元，利用该企业每月的总收益=每盒的销售利润销售数量-支付给甲主播的费用-支付给乙主播的费用，即可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题）【小问1详解】
30、解：设B原料每千克的费用为x元，则A原料每千克的费用为元，根据题意可得：解得：，经检验，是原方程的解答：A原料每千克的费用为50元，B原料每千克的费用为60元；【小问2详解】（元）答：每盒产品的成本为180元 设该企业将m盒产品分配给甲主播，将盒产品分配给乙主播，依题意得：，； 设该企业每月总收益为w元， ， ，w随m的增大而增大，当时，w取得最大值，此时答：应将1200盒分配给甲主播，600盒分配给乙主播，才能使每月总收益最大24. 在综合实践课上，数学兴趣小组用所学的数学知识来解决实际问题，实践报告如下：活动课题设计围篱笆的方案活动工具直角三角板、量角器、皮尺、篱笆等活动过程【了解场地】如
31、图，测出墙AD与墙AB的夹角是135；【设计图纸】用篱笆围成一个梯形的菜园，梯形满足，且BC边上留一个1米宽的门EF； 【准备材料】现有篱笆（虚线部分）的长度是15m解决问题如何围篱笆才能使其所围梯形的面积最大？最大面积是多少平方米？请你帮助兴趣小组解决以上问题【答案】当米，米时，围篱笆才能使其所围梯形的面积最大，最大面积是平方米【解析】【分析】本题考查二次函数的应用过点作，连接，四边形为矩形，设，则，进而表示出，利用二次函数的性质即可作答【详解】解：过点作，连接，四边形为矩形，设，则，在中，当时，当米，米时，围篱笆才能使其所围梯形的面积最大，最大面积是平方米25. 如图，在矩形中，点P从点A
32、出发沿方向匀速运动，速度为；同时，线段从出发沿方向匀速运动，速度为，交于点E，交延长线于点M；连接交于点Q，连接设运动时间为（）解答下列问题：（1）当t为何值时，四边形为矩形？（2）设四边形的面积为，求y与t的函数关系式；（3）在运动的过程中，是否存在某一时刻t，使平分？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由【答案】（1） （2） （3）存在，【解析】【分析】（1）根据四边形为矩形时，建立关于t的方程求解即可；（2）根据，得到，进而得到， ，求出，根据的面积为，即可求解；（3）根据，得到，进而得到，即，建立关于t的方程求解即可【小问1详解】解：四边形为矩形， ，【小问2详解】解：，在和中， ；【小问3详解】解：当平分时，则又，即，时，平分【点睛】本题考查了矩形的判定性质、解直角三角形、平行线的性质，动点问题及一元一次方程的实际应用，熟练掌数形结合的思想是解题关键