1、北京市西城区2024年高三一模数学试卷第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知全集，集合，则（A）（B）（C）（D）（2）下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（A）（B）（C）（D）（3）在的展开式中，常数项为（A）（B）（C）（D）（4）已知抛物线与抛物线关于直线对称，则的准线方程是（A）（B）（C）（D）（5）设，其中，则（A）（B）（C）（D）（6）已知向量在正方形网格中的位置如图所示若网格纸上小正方形的边长为，则（A） （B）（C） （D）（7）已知函数 若存在最小值，则的最大值为（A）
2、（B）（C）（D）（8）在等比数列中，则“”是“”的（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件（9）关于函数，给出下列三个命题： 是周期函数； 曲线关于直线对称； 在区间上恰有个零点其中真命题的个数为（A）（B）（C）（D）（10）德国心理学家艾宾浩斯研究发现，人类大脑对事物的遗忘是有规律的，他依据实验数据绘制出“遗忘曲线”“遗忘曲线”中记忆率随时间（小时）变化的趋势可由函数近似描述，则记忆率为时经过的时间约为（参考数据：，）（A）小时（B）小时（C）小时（D）小时第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。（11）若复数满足
3、，则_（12）已知使成立的一组的值为_，_（13）双曲线的渐近线方程为_；若与圆交于四点，且这四个点恰为正方形的四个顶点，则_（14）在数列中，数列满足若是公差为的等差数列，则的通项公式为_，的最小值为_（15）如图，正方形和矩形所在的平面互相垂直点在正方形及其内部运动，点在矩形及其内部运动设，给出下列四个结论： 存在点，使； 存在点，使； 到直线和的距离相等的点有无数个； 若，则四面体体积的最大值为其中所有正确结论的序号是_三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（16）（本小题14分）如图，在三棱柱中，侧面为正方形，为的中点 （）求证：平面； （）若，求二面角
4、的余弦值（17）（本小题13分）在中，（）求的大小；（）若，再从下列三个条件中选择一个作为已知，使存在，求的面积条件：边上中线的长为；条件：；条件：注：如果选择的条件不符合要求，第（）问得分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分（18）（本小题13分）米气步枪是国际射击联合会的比赛项目之一，资格赛比赛规则如下：每位选手采用立姿射击发子弹，总环数排名前的选手进入决赛三位选手甲、乙、丙的资格赛成绩如下：环数环环环环环甲的射击频数乙的射击频数丙的射击频数假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的射击成绩相互独立（）若丙进入决赛，试判断甲是否进入决赛，说明理由；（）若甲、乙各射击次，估计这次射
5、击中出现个“环”和个“环”的概率；（）甲、乙、丙各射击次，用分别表示甲、乙、丙的次射击中大于环的次数，其中写出一个的值，使（结论不要求证明）（19）（本小题15分）已知椭圆的一个顶点为，离心率为（）求椭圆的方程；（）设为原点直线与椭圆交于两点（不是椭圆的顶点），与直线交于点直线分别与直线交于点求证：（20）（本小题15分）已知函数（）当时，求曲线在点处切线的斜率；（）当时，讨论的单调性；（）若集合有且只有一个元素，求的值（21）（本小题15分）对正整数，设数列，是行列的数阵，表示中第行第列的数，且同时满足下列三个条件： 每行恰有三个； 每列至少有一个； 任意两行不相同记集合或中元素的个数为（）
6、若，求的值；（）若对任意，中都恰有行满足第列和第列的数均为（）能否满足？说明理由；（）证明：参考答案及评分一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）（1）B（2）D（3）A（4）C （5）C （6）A（7）A（8）B（9）D（10）C二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）（11） （12） （答案不唯一）（13） （14） （15） 三、解答题（共6小题，共85分）（16）（共14分）解：（）连接，设，连接1分因为在三棱柱中，四边形是平行四边形，所以为的中点2分因为为的中点， 所以3分又因为平面，平面，所以平面5分（）因为，所以平面6分所以又，所以两两相互垂直如图建立空间直角坐标系7
7、分则，所以，设平面的法向量为，则即令，则，于是10分因为平面，所以是平面的一个法向量 11分所以13分由题设，二面角的平面角为钝角，所以二面角的余弦值为 14分（17）（共13分）解：（）由，得1分在中，由正弦定理得3分因为，所以4分又，5分所以6分（）选条件：边上中线的长为7分设边中点为，连接，则，在中，由余弦定理得，9分即整理得解得或（舍）11分所以的面积为 13分选条件：7分在中，由余弦定理得，9分即整理得 解得或 11分当时，的面积为 当时，的面积为 13分（18）（共13分）解：（）甲进入决赛，理由如下：丙射击成绩的总环数为， 甲射击成绩的总环数为 因为，所以甲进入决赛 3分（）根据
8、题中数据，“甲命中环”的概率可估计为；“甲命中环” 的概率可估计为；“乙命中环” 的概率可估计为；“乙命中环” 的概率可估计为5分所以这次射击中出现个“环”和个“环”的概率可估计为：10分（）和（写出一个即可） 13分（19）（共15分）解：（）由题设， 3分解得 所以椭圆的方程为5分（）由题设，直线的斜率存在，设其方程为 则,直线的方程为6分由 得7分由，得设，则，8分直线的方程为9分联立直线和得解得11分同理可得所以12分因为 所以，即点和点关于原点对称所以15分（20）（共15分）解：（）当时，所以 2分所以 所以曲线在点处切线的斜率为4分（）当时，的定义域为6分因为，所以时，；时，所以
9、的单调递增区间为；单调递减区间为9分（）当时，的定义域为所以，在上单调递增因为，所以不合题意11分当时，的定义域为因为时，；时，所以的单调递增区间为；单调递减区间为所以13分设，则，因为时，；时，所以的单调递减区间为；单调递增区间为所以所以集合有且只有一个元素时15分（21）（共15分）解：（）记因为，3分所以4分（）（）不满足，理由如下：假设满足因为的每行恰有三个，故中满足的的个数共有个另一方面，从中任选两列共有种可能，且对任意两列，都恰有行使得这两列的数均为1，故中满足的的个数共有个所以当时，得，此方程无解所以不满足9分（）由（）可得，即下面考虑满足，但的的个数：对中满足和的行，每行恰有两组使且，所以满足，但的的个数为11分设数列中有项为，项为满足，但的的个数为所以满足，但的的个数为13分所以所以15分