1、第三单元因数与倍数一、填空题（共20分）1六位数1991能被66整除，则这个六位数是（）。2小华和小军都按照不同的天数轮流值日，小华每隔6天值日一次，小军每隔4天值日一次，3月20日两人同时值日，（）月（）日他们会再次同时值日。3两根彩带，分别长48厘米和32厘米，把它们剪成长度一样的短彩带且没有剩余，每根短彩带最长是（）厘米，一共剪成了（）根短彩带。4下图中，a和b的最大公因数是（），a和b的最小公倍数是（）。5小芳、小军和小勇都住在阳光小区，他们三家的门牌号是三个连续奇数，门牌号的和是69，小芳家的门牌号是中间的奇数，她家的门牌号是（）。6烹饪课上，六（1）班学生进行分组操作，不管是每组6
2、个人还是每组7个人都正好，六（1）班最少有（）个学生。7某校六年级同学要植一些树（不超过100棵）。如果每行植6棵，最后一行缺1棵；如果每行植5棵或4棵，最后一行也都缺1棵。这批树苗有（）棵。8“哥德巴赫猜想”被喻为“数学皇冠上的明珠”。该猜想认为：任何大于4的偶数都是两个奇质数之和。根据这个猜想，16（）（）（）（）。9小红和小明玩猜数游戏。小红说：“我的这个数是一位数，是一个奇数，并且只有3个因数。”小明说：“我的这个数，最大的因数和第二大的因数加起来，和是111.”小红的数是（），小明的数是（）。10从2、3、5、7四个数中，每次选2个数字组成的两位数。组成的两位数中有（）个奇数，有（）
3、个合数。二、判断题（共10分）11两个数的公倍数的个数一定多于这两个数的公因数的个数。（）12用2、0、1、6四个数字组成的所有四位数都是3的倍数。（）13既是2和5的倍数，又有因数3的最大两位数是90。（）14若正方形的边长是质数，则它的面积是合数。（）15把一张长是18厘米、宽是12厘米的长方形裁成同样大的正方形，如果要求纸没有剩余，裁出的正方形边长最大是6厘米。（）三、选择题（共10分）16一个数除去本身这个因数后，其它所有因数的和等于这个数，像这样的数叫做“完全数”。例如：6的因数有1、2、3、6，除去它本身6外，其余3个数相加，1236。下面几个数中，（）也是完全数。A8B18C28
4、D4817将分别标有1、2、3、4、5的五张卡片放在一个口袋里，从口袋里任意摸出一张，摸后放回，下面（）说法是正确的。A摸到奇数的可能性比偶数的大B摸到偶数的可能性最大C摸到质数的可能性最小D摸到合数的可能性最大18把一张长12厘米、宽8厘米的长方形纸，剪成同样大小的正方形，最后没有剩余。每个正方形的边长最大是（）厘米。A2B4C8D619王叔叔家两个儿子都在城里工作，哥哥6天回家一次，弟弟8天回家一次。兄弟两人同时在4月20日回家，下一次两人同时回家的时间是（）。A5月24日B5月4日C5月14日D5月18日20学校小记者兴趣组同学在书店买书，如果每8本一包，可以正好包完，如果每12本一包，
5、也可以正好包完。他们至少买了（）本书。A4B24C48D96四、计算题（共6分）21（6分）求下面每组数的最大公因数和最小公倍数。26和1311和1316和1215和40五、作图题（共6分）22（6分）大猴每次跳3格，小猴每次跳2格，请在两只猴都能跳到的格子里涂上斜线。六、解答题（共48分）23（6分）孙子算经卷下26今有物，不知其数。三、三数之，剩二；五、五数之，剩三；七、七数之，剩二。问：物几何？译释：有一个数，除以3余2，除以5余3，除以7余2，这个数是几？（写出满足要求的最小正整数）解答：24（6分）市民广场是1路和5路公共汽车的起点站，1路车每10分钟发一次车，5路车每25分钟发一次
6、车。这两路公共汽车从早上6：30同时发车后，下一次同时发车是几时几分？（列表找出答案）1路车6：305路车6：30答：下一次同时发车是（）时（）分。25（6分）2023年4月8日郏县姚庄樱花节半程马拉松赛在姚庄乡开赛。右下图是赛道的一部分，赛道在B处拐弯，根据赛会要求需要在路的一边安排志愿者，志愿者之间的距离必须相等，而且ABC三处必须安排志愿者。这段赛道至少要安排多少名志愿者？请先算一算，并用“”表示出志愿者的大致位置。26（6分）“六一”儿童节期间，李老师要将一根长24分米的黄彩带和一根长42分米的红彩带，剪成同样长的整分米数的短彩带，且没有剩余。（1）每根短彩带最长是多少分米？（2）一共
7、可以剪成几根这样的短彩带？27（6分）9张卡片上分别标有19这9个数字，依依和糕糕利用这9张卡片做游戏。游戏规则如下：依依从中任意抽一张，若抽到的卡片是质数，依依胜，否则糕糕胜。这个游戏公平吗？为什么？如果不公平，设计一个对双方都公平的游戏规则。28（6分）丁丁和东东在暑假中都会有规律的去学校图书馆借书。丁丁每3天去一次，东东每4天去一次。8月5日两人正好是在同一天去的，8月哪日他们又再次相遇？29（6分）下表中的a、b、c表示连续的3个奇数，任意写出三组这样的数，并求出各组数的和。abcabc（1）观察上表，你有什么发现？用你喜欢的方式写下来。（2）如果3个连续奇数的和是81，那么其余两个数
8、分别是（）、（）。30（6分）植树节到了，何老师带五（1）班同学去植树，一共植了123棵，已知五（1）班人数不超过50人，何老师植树的棵数和每个同学植树棵数一样。这个班有多少名同学？每个同学植树多少棵？参考答案1219912或819918【分析】662311，所以能被66整除就必然能被2、3、11同时整除，然后分别根据被2整除，被3整除，被11整除的数的特征解答。【详解】在1991中，能被3整除，即各个位数字之和是3的倍数，即1991的和是3的倍数，能被11整除，即偶数位和减奇数位和的差能被11整除，偶数位和是9110，奇数位和是1910，相减是10100，所以首尾相减等于0且和为3的倍数即可
9、，满足条件的有22、55、88，所以这个6位数是219912或819918。24 24【分析】小华每隔6天值日一次，小军每隔4天值日一次，即小华每7天值日一次，小军每5天值日一次，要求下次两人同时值日的具体时间，那么就是求7和5的最小公倍数，求出这两个数的最小公倍数即是经过多少天，3月20日两人同时值日，用开始时间经过时间结束时间，即可求出他们再次同时值日的日期。据此解答即可。【详解】617（天）415（天）7和5是互质数，所以7和5的最小公倍数是7535。即再经过35天，他们会再次同时值日。3月有31天，3月20日11天3月31日351124（天）3月31日24天4月24日所以4月24日他们
10、会再次同时值日。【点睛】本题主要考查最小公倍数的求法，熟练掌握最小公倍数的求法并灵活运用。316 5【分析】“两根长度分别是48厘米、32厘米的彩带，把它们剪成长度一样的短彩带，且没有剩余”，要剪的长度就是48和32的公因数，要使每根短彩带最长可以是多少，要剪的长度就是48和32的最大公因数，求出最大公因数，再除以这两根彩带长度的和就是一共可剪成的段数。据此解答。【详解】4822223322222248和32的最大公因数：222216（4832）1680165（段）所以，每根短彩带最长可以是16厘米，这样一共可以剪成5段。【点睛】本题考查的是公因数的应用，重点是理解每根短彩带最长应是48和32
11、的最大公因数。412 72【分析】根据图中数据，从a和b的公因数找出最大的就是它们的最大公因数；根据一个数的最大因数是它本身，一个数的最小倍数是它本身，可知a、b两数分别为24和36，再把24和36分别分解质因数，把它们公有的质因数和独有的质因数连乘起来，所得的积就是它们的最小公倍数。【详解】由图可知：a和b的最大公因数是12；由图可知：a是24，b是36242223362233所以24和36的最小公倍数是22233423383324372下图中，a和b的最大公因数是12，a和b的最小公倍数是72。【点睛】明确一个数的最大因数和最小倍数都是它本身以及求两个数的最大公因数和最小公倍数的方法是解题
12、的关键。523【分析】求小芳家门牌号是多少，就是求三个连续奇数中间的那个奇数，用“三个连续的奇数和3”解答即可。【详解】69323即小芳家门牌号是23。【点睛】解答此题要掌握三个连续奇数相加的规律，和除以3得到中间数。642【分析】求六（1）班最少有多少名学生，即求6和7的最小公倍数，6和7是互质数，是互质数的两个数，它们的最小公倍数即这两个数的乘积，由此解答即可。【详解】6742（个）即六（1）班最少有42个学生。【点睛】此题主要考查了求两个数的最小公倍数，是互质数的两个数，它们的最小公倍数即这两个数的乘积。759【分析】由于每行植6棵或者5棵或者4棵，最后一行都缺少1棵，如果再多加1棵数，
13、那么这些树的数量正好是6的倍数，5的倍数，4的倍数，说明这些树的数量是6、5、4的公倍数，求出它们的公倍数之后，找出它们在100以内的公倍数，再减1即可。【详解】由分析可知：6234226、5、4的最小公倍数是：223560由于总数量比100少。60159（棵）这批树苗有59棵。【点睛】本题主要考查最小公倍数的求法，熟练掌握最小公倍数的求法是解题的关键。8 3 13 5 11【分析】整数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数；除了1和它本身之外没有其它因数，这样的数叫质数。据此将16分成两个奇质数的和即可。【详解】16313511【点睛】关键是理解奇数、偶数、质数、合数的分类标准。9
14、9 74【分析】找一个数的因数，可以利用乘法算式，按因数从小到大的顺序一组一组地找；所以，如果这个数是一位数，是一个奇数，并且只有3个因数；这个数是9，919，933；因为“一个数的最大因数是它本身”，所以这个数最大的因数是第二大的因数的倍数，即：这个数最大的因数与第二大的因数的和应该是第二大因数的倍数；又：111337，当第二大因数是37、最大因数是“37274”时，满足题目条件。【详解】根据分析可得：919933所以，一个数是一位数，是一个奇数，并且只有3个因数，这个数是9。11133737274所以，一个数，最大的因数和第二大的因数加起来，和是111，这个数是74。所以，小红和小明玩猜数
15、游戏。小红说：“我的这个数是一位数，是一个奇数，并且只有3个因数。”小明说：“我的这个数，最大的因数和第二大的因数加起来，和是111”小红的数是9，小明的数是74。【点睛】正确理解因数、倍数和奇数的意义，逐层分析，找出内在关系，是解答此题的关键。109 8【分析】分别列出组成的所有两位数；自然数中，2的倍数是偶数，不是2的倍数是奇数；合数是指一个大于1的自然数，除了1和它本身两个因数外，还有其它的因数。据此解答即可。【详解】2、3、5、7四个数中，每次选2个数字组成的两位数有：23、25、27、32、35、37、52、53、57、72、73、75；其中奇数有：23、25、27、35、37、53
16、、57、73、75，共9个；合数有：25、27、32、35、52、57、72、75，共8个。【点睛】明确奇数、合数的含义是解答本题的关键。11【分析】两个数公有因数叫做这两个数的公因数；两个数公有倍数叫做这两个数的公倍数；两个数的公倍数的个数是无限的，两个数的公因数的个数是有限的；据此解答。【详解】例如：2和62和6的公因数有：1，2；2和6的公倍数有：6，12，18，242和6的公倍数有无数个，而它们的公因数只有2个，所以两个数的公倍数的个数一定多于这两个数的公因数的个数。原题说法正确。故答案为：【点睛】掌握公因数、公倍数的定义以及特点是解题的关键。12【分析】3的倍数特征：各个数位上的数字
17、和是3的倍数；据此解答。【详解】201699是3的倍数，所以用2、0、1、6四个数字组成的所有四位数都是3的倍数。原题干说法正确。故答案为：【点睛】熟练掌握3的倍数的特征是解决此题的关键。13【分析】2的倍数特征：末尾数字是0、2、4、6、8的数是2的倍数；3的倍数特征：各个数位上的数字之和是3的倍数，这个数字就是3的倍数；5的倍数特征：末尾数字是0或5的数是5的倍数，既是2和5的倍数，又有因数3，这个数的个位必须是0，据此解答。【详解】根据分析可知，既是2和5的倍数，又有因数3的最大两位数是90。原题干说法正确。故答案为：【点睛】熟练掌握2、3、5的倍数特征是解答本题的关键。14【分析】正方
18、形面积边长边长；除了1和本身还有别的因数的数，是合数。据此分析判断。【详解】因为正方形面积边长边长，所以正方形的面积至少有3个因数，分别为1、本身和边长。所以，若正方形的边长是质数，则它的面积是合数。故答案为：【点睛】本题考查了质数和合数、正方形的面积，掌握面积公式、质数和合数的定义是解题的关键。15【分析】根据题意，裁出的正方形边长最大是18和12的最大公因数。据此解题。【详解】1823312322236所以，裁出的正方形边长最大是6厘米。故答案为：【点睛】本题考查了最大公因数。求最大公因数时，先将两个数分解质因数，再将两数共有的质因数相乘即可。16C【分析】求一个数的因数的方法：用这个数分
19、别除以自然数1，2，3，4，5，6，一直除到商和除数互换位置结束，把能整除的商和除数按从小到大顺序写出来，就是这个数的因数，重复的只写一个，据此写出8、18、28、48的因数，然后根据题中的方法分析找出，即可得出答案。【详解】A8的因数有：1、2、4、8，所以124347；B18的因数：1、2、3、6、9、18，所以12369336966912921；C28的因数有：1、2、4、7、14、28，所以124714347147714141428；D48的因数有：1、2、3、4、6、8、12、24、48，所以1234681224334681224646812241068122416812242412
20、24362460；因此只有C项符合题意。故答案为：C【点睛】本题主要考查求一个数的因数的方法，此题先求出因数然后根据“完全数”的含义分析。17A【分析】找出1、2、3、4、5中奇数、偶数、质数、合数的个数，再根据数量的多少进行比较，数量最多的，摸到的可能性最大，数量最少的，摸到的可能性最小，数量相等的，摸到的可能性一样。【详解】五张卡片中奇数有1、3、5共3个；偶数有2、4共2个；质数有2、3、5共3个；合数只有4共1个。3321所以摸到奇数、质数的可能性相等，摸到偶数的可能性居中，摸到合数的可能性最小。故答案为：A【点睛】本题主要考查可能性的大小，找出奇数、偶数、质数、合数的个数是解题的关键
21、。18B【分析】求每个正方形边长最大，就是求12和8的最大公因数；根据求最大公因数的方法：两个数的公有质因数的连乘积就是这两个数的最大公因数，据此解答。【详解】12223822212和8的最大公因数是224正方形边长最大是4厘米。把一张长12厘米、宽8厘米的长方形纸，剪成同样大小的正方形，最后没有剩余。每个正方形的边长最大是4厘米。故答案为：B【点睛】熟练掌握求两个数最大公因数的方法是解答本题的关键。19C【分析】根据题意，从4月20日开始，哥哥每次回家经过的时间是6的倍数，弟弟每次回家经过的时间是8的倍数，则他们下一次同时回家经过的时间应是6和8的最小公倍数，据此求出他们下一次同时回家经过的
22、时间，再从4月20日向后推算这个经过时间即可解答。【详解】62382226和8的最小公倍数是222324。则他们下一次同时回家经过的时间是24天。4月份有30天，20243014（天），则下一次两人同时回家的时间是5月14日。故答案为：C【点睛】本题考查了最小公倍数的应用和时间的推算。明确“两人下一次同时回家经过的时间是6和8的最小公倍数”是解题的关键。20B【分析】求他们至少买了多少本书，就是求8和12的最小公倍数；求两个数的最小公倍数就是两个数的公有质因数与每一个数的独有质因数的连乘积，据此解答。【详解】8222122238和12的最小公倍数是：222324最少买24本书。学校小记者兴趣组
23、同学在书店买书，如果每8本一包，可以正好包完，如果每12本一包，也可以正好包完。他们至少买了24本书。故答案为：B【点睛】熟练掌握求最小公倍数的方法是解答本题的关键。2113；26；1；1434；48；5；120【分析】求最大公因数也就是这几个数的公有质因数的连乘积，最小公倍数是公有质因数与每一个数的独有质因数的连乘积；如果两个数成倍数关系，两个数的最大公因数是两个数中较小的那个数，最小公倍数是较大的数；如果两个数是互质数，它们的最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积，由此解决问题即可。【详解】26和1326和13是倍数关系，最大公因数是13，最小公倍数是26；13和1113和11是互质数，最
24、大公因数是1，最小公倍数是1311143；16和12162222，12223；16和12的最大公因数是224，最小公倍数是2232248；15和401535402225；15和40的最大公因数是5，最小公倍数是22235120。22见详解【分析】根据题意，大猴每次跳3格，小猴每次跳2格，两只猴子都能跳到的格子，就是2和3的倍数，先求出2和3的最小公倍数，再找出27以内2和3最小公倍数的倍数，再在图上涂斜线，即可解答。【详解】2和3是相邻的两个数，为互质数，2和3的最小公倍数为：23627以内6的倍数有6，12，18，24。【点睛】本题考查求两个数的最小公倍数的方法：如果两个数为互质数，最小公倍
25、数为两个数的乘积。2323【分析】根据题意可知，有一个数，除以3余2，或者除以7余2，所以这个数如果减去2，则是3和7的公倍数，根据求最小公倍数的方法，用37即可求出3和7的最小公倍数，再加上2即可求出这个数最小是多少；又已知这个数除以5余3，再用这个最小的数除以5，看余数是否为3，如果不是，则将3和7最小公倍数翻倍，再加上2，看结果除以5是否余3，据此找出最小的符合题意的数。【详解】3722122323543所以23符合题意。答：有一个数，除以3余2，除以5余3，除以7余2，这个数最小是23。24列表见详解；7时20分【分析】起点时间经过时间终点时间，据此推算出两车接下来发车的时间，列表，找
26、出下一次同时发车时间即可。【详解】1路车6：306：406：507：007：107：205路车6：306：557：207：45答：下一次同时发车是7时20分。【点睛】关键是掌握时间的推算方法，本题也可以直接求出两车间隔时间的最小公倍数，直接进行推算。258名；见详解【分析】根据题意可知，AB长120米，BC长90米，在路的一边安排志愿者，志愿者之间的距离必须相等，求出每相邻的两个志愿者之间的距离最长是多少米，就是求120和90的最大公因数，最大公因数是两个数的公有的质因数的乘积，也就是30米，然后用（12090）30求出志愿者之间的总间隔数，因为ABC三处必须安排志愿者所以总间隔数1即可求出至
27、少要安排多少名志愿者。【详解】12022235902335120和90的最大公因数是23530（12090）30210307（名）718（名）答：这段赛道至少要安排8名志愿者。如图：【点睛】本题主要考查了求最大公因数的方法，熟练掌握相应的方法是解答本题的关键。26（1）6分米；（2）11根【分析】（1）将24和42分别分解质因数，再求出公有质因数的乘积，求出这两个数的最大公因数，即每根短彩带最长是多少分米；（2）利用除法，分别求出黄彩带剪成了几段、红彩带剪成了几段，再利用加法求出一共可以剪成几根这样的短彩带。【详解】（1）24222342237236所以，24和42的最大公因数是6。答：每根短
28、彩带最长是6分米。（2）2464264711（根）答：一共可以剪成11根这样的短彩带。【点睛】本题考查了最大公因数，掌握最大公因数的求法是解题关键。27见详解【分析】结合质数、合数知识，首先明确在19这9个数字中，质数有2，3，5，7共4个，不是质数的有1，4，6，8，9共5个，然后判断规则是否公平，然后制定公平合理的规则即可。【详解】这个游戏规则不公平，因为在19这9个数字中，质数有2，3，5，7共4个，不是质数的有1，4，6，8，9共5个，所以这个游戏不公平。对双方都公平的游戏规则：若抽到的卡片数字是质数，则依依获胜，若抽到的卡片数字是合数，则糕糕获胜，抽到1重新抽。（游戏规则不唯一）【点
29、睛】本题考查了游戏规则的公平性知识，结合质数、合数知识，进行分析解答即可。288月17日他们又再次相遇【分析】由题意知：本题就是求3和4的最小公倍数，3和4的最小公倍数是12，12天后他们又相遇。据此解答。【详解】3和4的最小公倍数是12。8月5日两人相遇，再过12天是：8月17日答：8月17日他们又再次相遇。【点睛】把丁丁每3天去一次，东东每4天去一次转化为求3和4的最小公倍数就好理解了。29（1）表见详解（答案不唯一）；三个连续奇数的和还是奇数；三个连续奇数的和等于中间奇数的3倍（2）25；29【分析】（1）根据奇数的意义：不是2的倍数的数叫作奇数；相邻的两个奇数之间相差2；据此填写表格；
30、填空后找出你的发现；（2）再根据奇数的特征，设中间的奇数为x，则另外两个数位x2；x2；三个数的和是81，列方程：x2xx281，解方程，即可解答。【详解】（1）abcabc135911131539353739111三个连续奇数的和还是奇数；三个连续奇数的和等于中间奇数的3倍。（2）设中间的奇数为x，则三个奇数分别为x2，x，x2。x2xx2813x81x813x2727225，27229【点睛】利用奇数的特征进行解答。3040名；3棵【分析】由何老师和学生每人植树一样多，可知：每人植树棵数人数植树总棵数；每人植树棵数和人数都应是整数，将植树总棵数分解质因数，123341；依此可知学生人数43140名，据此解答。【详解】123413学生人数：41140（名），每名学生植树3棵。答：这个班有40名同学，每个同学植树3棵。【点睛】解答本题的关键是把123分解质因数，从而得到这个班的学生人数。