1、2024年福建省龙岩市长汀县中考一模数学试题一、选择题（每小题4分，共40分）1. 5的绝对值是（ ）A. 5B. 5C. D. 2. 下列运算中，正确的是（）A. B. C. D. 3. 下列说法不正确的是（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则4. 我国古代数学家刘徽利用“牟合方盖”找到了球体体积的计算方法“牟合方盖”是由两个圆柱分别从纵、横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体如图所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型，它的左视图是（ ）A. B. C. D. 5. 数据2，7，3，7，5，3，7的众数是（ ）A. 2B. 3C. 5D. 76. 已知正多
2、边形的一个外角为36，则该正多边形的边数为( ).A. 12B. 10C. 8D. 67. 如图，将量角器和含角的一块直角三角板紧靠着放在同一平面内，使、在一条直线上，且，过点作量角器圆弧所在圆的切线，切点为，则的度数是（ ）A. B. C. D. 8. 如图，四边形ABCD内接于O，E为CD延长线上一点，若ADE=110，则AOC的度数是（）A. 70B. 110C. 140D. 1609. 如图，在某监测点B处望见一艘正在作业的渔船在南偏西15方向的A处，若渔船沿北偏西75方向以40海里/小时的速度航行，航行半小时后到达C处，在C处观测到B在C的北偏东60方向上，则B、C之间的距离为（ ）
3、.A. 20海里B. 10海里C. 20海里D. 30海里10. 将抛物线位于x轴下方的图像沿着x轴翻折，翻折后的图像与相交于A，B，C，D四点，其横坐标分别为，（其中），若，则t的取值范围为（ ）A. B. C. D. 二、填空（本大题共6题，每题4分，共24分）11. 钟表是指针逆时针方向转记作，顺时针方向转记作_12. 不等式组最小整数解为_13. 如图直线交于点E，交于点F，平分，交于点G，则等于_14. 在四张完全相同的卡片上分别印有等边三角形、平行四边形、矩形、圆的图案，现将印有图案的一面朝下，混合后从中一次性随机抽取两张，则抽到的卡片上印有的图案都是轴对称图形的概率为_15. 如
4、图，正方形纸片边长为2，先将正方形纸片对折，折痕为，再把点B折叠到上，折痕为，点B对应点为H，则线段的长度为_16. 如图，已知点点在反比例函数 的函数图像上，则的值为_ 三、解答题（本大题共9小题，共86分）17. 计算：18. 先化简，再求值：，其中19. 如图，在ABC中，AD是BC边上的中线，E是AB边上一点，过点C作CFAB交ED的延长线于点F，（1）求证：BDECDF；（2）当ADBC，AE1，CF2时，求AC长20. 李先生从家到公司上班，可以乘坐20路或66路公交车，他在乘坐这两路车时，对所需的时间分别做了20次统计，并绘制如下统计图：公交线路20路66路乘车时间统计平均数34
5、中位数30请根据以上信息，解答下列问题（1）完成表中，的数据：（2）李先生从家到公司，除乘车时间外，另需10分钟（含等车，步行等）该公司规定每天8点上班，16点下班某日李先生7点20分从家里出发，乘坐哪路车合适？并说明理由；公司出于人文关怀，允许每个员工每个月迟到两次若李先生每天同一时刻从家里出发，则每天最迟几点出发合适？并说明理由（每月的上班天数按22天计）21. “圆”是中国文化的一个重要精神符号，中式圆的含蓄和韵味，被设计师一一运用在了园林设计中，带来了浓浓的的古典风情如图1，是某园林的一个圆形拱门，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味，图2是其示意图已知拱门圆的半径为，拱门下端为（1）在
6、图2中画出拱门圆的圆心O（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（2）若拱门最高点为点D，求点D到地面距离22. “粮食生产根本在耕地、出路在科技”提高农田耕种效率，今年开春某农村合作社计划投入资金购进甲、乙两种农耕设备，已知购进2台甲种农耕设备和1台乙种农耕设备共需4.2万元；购进1台甲种农耕设备和3台乙种农耕设备共需5.1万元（1）求购进1台甲种农耕设备和1台乙种农耕设备各需多少万元；（2）若该合作社购进乙种农耕设备数比甲种农耕设备数的2倍少3台，且购进甲、乙两种农耕设备总资金不超过10万元，求最多可以购进甲种农耕设备多少台？23. 如图所示，是的直径，点在上，点在上，的延长线交于点（
7、1）在的延长线上取一点，使，求证：是的切线；（2）若，求图中阴影部分的面积24. 如图，抛物线与轴分别交于、两点点在点的左侧与轴交于点 （1）直接写出、三点的坐标；（2）如图(1)，是抛物线上异于，的一点，将点绕点顺时针旋转得到点，若点恰好在直线上，求点的坐标；（3）如图(2)，是抛物线上异于，的两个动点，直线与直线 交于点，若直线 经过定点，求证：点的运动轨迹是一条定直线25. 如图，矩形中，点E在折线上运动，将绕点A顺时针旋转得到，旋转角等于，连接（1）当点E在上时，作，垂足为M，求证；（2）当时，求的长；（3）连接，点E从点B运动到点D的过程中，试探究的最小值2024年福建省龙岩市长汀县
8、中考一模数学试题一、选择题（每小题4分，共40分）1. 5的绝对值是（ ）A. 5B. 5C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数可得答案【详解】解：|5|=5故选A2. 下列运算中，正确的是（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据幂的运算法则，合并同类项，依次计算，即可求解，本题考查了幂的运算，合并同类项解题的关键是：熟练掌握幂的运算法则【详解】解：、，此选项错误，不符合题意，、，此选项正确，符合题意，、，此选项错误，不符合题意，、，此选项错误，不符合题意，故选：3. 下列说法不正确的是（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案
9、】C【解析】【分析】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键根据不等式的性质逐一判断即可解答；【详解】A、两边同时加上2得，不等号的方向不变，说法正确，故选项不符合题意；B、两边同时乘以得，不等号的方向改变，说法正确，故选项不符合题意；C、若，当时，原说法不正确，故选项符合题意；D、，两边同时除以2，则，不等号的方向不变，说法正确，故选项不符合题意故选：C4. 我国古代数学家刘徽利用“牟合方盖”找到了球体体积的计算方法“牟合方盖”是由两个圆柱分别从纵、横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体如图所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型，它的左视图是（ ）
10、A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】本题考查了物体的三视图，根据从左边看到的平面图形即可求解，掌握物体三视图的画法是解题的关键【详解】解：由几何体可得，从左边看到的平面图形为，故选：5. 数据2，7，3，7，5，3，7的众数是（ ）A. 2B. 3C. 5D. 7【答案】D【解析】【分析】众数是一组数据中出现次数最多的数据，根据众数的定义即可求解【详解】解：数据7出现了三次最多为众数故选D【点睛】本题考查了众数的定义，掌握一组数据中出现次数最多的数据叫众数是解题的关键，注意众数不止一个6. 已知正多边形的一个外角为36，则该正多边形的边数为( ).A. 12B. 10C. 8D.
11、 6【答案】B【解析】【分析】利用多边形的外角和是360，正多边形的每个外角都是36，即可求出答案【详解】解：3603610，所以这个正多边形是正十边形故选B【点睛】本题主要考查了多边形的外角和定理是需要识记的内容7. 如图，将量角器和含角的一块直角三角板紧靠着放在同一平面内，使、在一条直线上，且，过点作量角器圆弧所在圆的切线，切点为，则的度数是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】此题考查了切线的性质、全等三角形的判定与性质以及垂直平分线的性质此题难度适中，解题的关键是掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用设半圆的圆心为O，连接，由题意易得是线段的垂直平分线，即可求得
12、，又由是切线，证明，继而求得的度数，则可求得答案【详解】解：设半圆的圆心为O，连接，即，是切线，在和中，故选：A8. 如图，四边形ABCD内接于O，E为CD延长线上一点，若ADE=110，则AOC的度数是（）A. 70B. 110C. 140D. 160【答案】C【解析】【分析】根据补角的概念求出ADC，根据圆周角定理即可计算【详解】解：ADE=110，ADC=70，四边形ABCD内接于O，AOC=2ADC=140，故选：C【点睛】本题考查的是圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键9. 如图，在某监测点B处望见一艘正在作业的渔船在南偏西15方向的A处，若渔船沿北偏西75方向以40海里/小时的速
13、度航行，航行半小时后到达C处，在C处观测到B在C的北偏东60方向上，则B、C之间的距离为（ ）.A. 20海里B. 10海里C. 20海里D. 30海里【答案】C【解析】【分析】如图，根据题意易求ABC是等腰直角三角形，通过解该直角三角形来求BC的长度【详解】如图，ABE=15，DAB=ABE，DAB=15，CAB=CAD+DAB=90又FCB=60，CBE=FCB=60，CBA+ABE=CBE，CBA=45在直角ABC中，sinABC=，BC=20海里故选C【点睛】解直角三角形的应用-方向角问题10. 将抛物线位于x轴下方的图像沿着x轴翻折，翻折后的图像与相交于A，B，C，D四点，其横坐标分
14、别为，（其中），若，则t的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】本题考查了二次函数的图像与性质、翻折问题，根与系数的关系，先根据翻折后的图像与直线相交于四点得到的取值范围，然后再根据对称性可以得到的值，再联立直线方程与翻折后的抛物线方程，利用根与系数的关系得到结果，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键【详解】解：抛物线解析式是，对称轴为：，在对称轴处取得最值，顶点坐标为，令，解得方程两个根为：，将抛物线位于x轴下方的图像沿着x轴翻折，得到翻折后解析式为：，此时顶点坐标为，翻折后的图像与相交于A，B，C，D四点，且，关于对称轴对称，联立与，得，又，即，故选：C二、
15、填空（本大题共6题，每题4分，共24分）11. 钟表是指针逆时针方向转记作，顺时针方向转记作_【答案】【解析】【分析】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示根据逆时针旋转为正，则顺时针旋转为负解答【详解】解：钟表的指针逆时针方向转记作，则顺时针方向转记作，故答案为：12. 不等式组的最小整数解为_【答案】2【解析】【分析】本题考查解一元一次不等式组掌握不等式组的口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了”是解答本题的关键分别解出每一个不等式，即得到该不等式组的
16、解集，由此即可求出不等式组的最小整数解【详解】解：解不等式，得，解不等式，得，则不等式组的解集为，故不等式组的最小整数解为2故答案为：213. 如图直线交于点E，交于点F，平分，交于点G，则等于_【答案】#度【解析】【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，先由平行线的性质得到，再由角平分线的定义可得【详解】解；，平分，故答案为：14. 在四张完全相同的卡片上分别印有等边三角形、平行四边形、矩形、圆的图案，现将印有图案的一面朝下，混合后从中一次性随机抽取两张，则抽到的卡片上印有的图案都是轴对称图形的概率为_【答案】【解析】【分析】画出树状图，表示出所有等可能的结果，再找出抽到的卡片上
17、印有的图案都是轴对称图形的结果，根据概率公式求解即可.【详解】等边三角形、矩形和圆是轴对称图形，用A、B、C、D分别表示等边三角形、平行四边形、矩形、圆，画树状图如下：共有12种等可能的结果数，其中抽到的卡片上印有的图案都是轴对称图形有6种结果，所以抽到的卡片上印有的图案都是轴对称图形的概率为故答案为【点睛】本题考查了利用列表或树状图求概率的方法：先通过列表或树状图展示所有等可能的结果数n，再找出其中某事件所占有的结果数m，然后根据概率的概念计算这个事件的概率为P=15. 如图，正方形纸片的边长为2，先将正方形纸片对折，折痕为，再把点B折叠到上，折痕为，点B对应点为H，则线段的长度为_【答案】
18、#【解析】【分析】本题考查了正方形的性质、矩形的判定与性质、轴对称的性质、勾股定理，解题的关键是【详解】解：四边形是边长为2的正方形，由折叠得点与点关于直线对称，垂直平分，四边形是矩形，故答案为：16. 如图，已知点点在反比例函数 的函数图像上，则的值为_ 【答案】2【解析】【分析】过点作，且，过点作轴于点，过点作轴于点，连接，首先证明，进而确定点的坐标；再证明，得；结合题意可得，进而可得，然后利用勾股定理建立关于的一元二次方程并求解，结合反比例函数图像确定的取值范围，即可获得答案【详解】解：过点作，且，过点作轴于点，过点作轴于点，连接，如下图， ，又，已知点 点在反比例函数 的函数图像上，整
19、理可得，解得，由反比例函数的图像可知，故答案为：2【点睛】本题主要考查了反比例函数的综合应用、全等三角形的判定与性质、解一元二次方程、勾股定理等知识，难度较大，正确作出辅助线构造全等三角形是解题关键三、解答题（本大题共9小题，共86分）17. 计算：【答案】【解析】【分析】本题考查了实数的运算，掌握各运算法则、特殊角的三角函数值及运算顺序是解题的关键先计算出乘方、立方根、特殊角的三角函数值及绝对值，再按运算顺序计算即可【详解】解：原式18. 先化简，再求值：，其中【答案】【解析】【分析】根据分式的运算，先把括号里面的值通分，按照同分母的分式的加减计算，再算除法，约分化简后代入求值【详解】解：原
20、式= 当时，原式=【点睛】此题主要考查了分式的化简求值，注意解答此题的关键是把分式化到最简，然后代入计算19. 如图，在ABC中，AD是BC边上的中线，E是AB边上一点，过点C作CFAB交ED的延长线于点F，（1）求证：BDECDF；（2）当ADBC，AE1，CF2时，求AC的长【答案】（1）见解析；（2）.【解析】【分析】（1）根据平行线的性质得到BFCD，BEDF，由AD是BC边上的中线，得到BDCD，于是得到结论；（2）根据全等三角形的性质得到BECF2，求得ABAEBE123，于是得到结论【详解】解：（1），是边上的中线，（2），【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，
21、熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键20. 李先生从家到公司上班，可以乘坐20路或66路公交车，他在乘坐这两路车时，对所需的时间分别做了20次统计，并绘制如下统计图：公交线路20路66路乘车时间统计平均数34中位数30请根据以上信息，解答下列问题（1）完成表中，的数据：（2）李先生从家到公司，除乘车时间外，另需10分钟（含等车，步行等）该公司规定每天8点上班，16点下班某日李先生7点20分从家里出发，乘坐哪路车合适？并说明理由；公司出于人文关怀，允许每个员工每个月迟到两次若李先生每天同一时刻从家里出发，则每天最迟几点出发合适？并说明理由（每月的上班天数按22天计）【答案】（1）34；35
22、 （2）李先生乘66路公交车比较合适理由见解析；李先生每天最迟7点10分出发，乘坐20路公交车比较合适理由见解析【解析】【分析】本题考查了统计表，条形统计图，平均数，中位数的定义及运用平均数，中位数作决策（1）根据平均数的定义和中位数的定义求解即可；（2）根据各路公交车的众数平均数解答即可；根据统计表中数据求出乘坐各路公交车不迟到的天数，结合题意，即可解答【小问1详解】解：66路公交的平均数为：（分钟）将乘坐20路公交的时间从小到大排列，排在第9和第10的数字都是35分钟，则中位数为：35，故答案为：34，35；【小问2详解】解：李先生乘66路公交车比较合适理由如下：由可知，乘坐20路和66路
23、公交车所需时间的平均数都为34，乘坐20路和66路公交车所需时间的中位数分别为35和30，李先生要想按时上班，乘车时间不能超过30分钟，因此，选择66路公交车比较适合李先生每天最迟7点10分出发，乘坐20路公交车比较合适理由如下：若李先生每天7点10分出发，还有40分钟的乘车时间，由统计图可估计乘坐20路公交车不迟到的天数为（天），乘坐66路公交车不迟到的天数为（天），因为一月上班22天，其中公司出于人文关怀允许迟到两次，所以，不迟到的天数应不少于20天，因此，李先生每天7点10分出发，乘坐20路公交车比较适合21. “圆”是中国文化的一个重要精神符号，中式圆的含蓄和韵味，被设计师一一运用在了
24、园林设计中，带来了浓浓的的古典风情如图1，是某园林的一个圆形拱门，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味，图2是其示意图已知拱门圆的半径为，拱门下端为（1）在图2中画出拱门圆的圆心O（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（2）若拱门最高点为点D，求点D到地面的距离【答案】（1）作图见解析 （2）【解析】【分析】本题主要考查了垂径定理的应用，勾股定理，能够准确作出辅助线，根据直角三角形是解决问题的关键（1）在拱门上找任意一点C，连接、，并做垂直平分线，利用垂径定理可确定圆心的位置；（2）连接，设点E为的中点，根据垂径定理，构造直角三角形，然后根据勾股定理解答即可；【小问1详解】解：如图，点O即
25、为所求，【小问2详解】连接， ，设点E为的中点， 点O为圆心，连接并延长交圆于点D，点D即为拱门为最高点， ，在中，点D到地面的距离为22. “粮食生产根本在耕地、出路在科技”为提高农田耕种效率，今年开春某农村合作社计划投入资金购进甲、乙两种农耕设备，已知购进2台甲种农耕设备和1台乙种农耕设备共需4.2万元；购进1台甲种农耕设备和3台乙种农耕设备共需5.1万元（1）求购进1台甲种农耕设备和1台乙种农耕设备各需多少万元；（2）若该合作社购进乙种农耕设备数比甲种农耕设备数的2倍少3台，且购进甲、乙两种农耕设备总资金不超过10万元，求最多可以购进甲种农耕设备多少台？【答案】（1）购进1台甲种农耕设备
26、需要1.5万元，购进1台乙种农耕设备需要1.2万 （2）该合作社最多可以购进甲种农耕设备3台【解析】【分析】（1）设购进1台甲种农耕设备需要x万元，购进1台乙种农耕设备需要y万元，根据题意列出二元一次方程组，据此即可作答；（2）设购进甲种农耕设备m台，则购进乙种农耕设备台，列出一元一不等式，即可求解【小问1详解】解：设购进1台甲种农耕设备需要x万元，购进1台乙种农耕设备需要y万元，根据题意，得，解得：，答：购进1台甲种农耕设备需要15万元，购进1台乙种农耕设备需要1.2万元【小问2详解】设购进甲种农耕设备m台，则购进乙种农耕设备台，根据题意得：，解得：，m为整数，m最大值，答：该合作社最多可以
27、购进甲种农耕设备3台【点睛】本题考查了二元一次方程组以及一元一次不等式的应用，明确题意，正确列出二元一次方程组以及一元一次不等式，是解答本题的关键23. 如图所示，是的直径，点在上，点在上，的延长线交于点（1）在的延长线上取一点，使，求证：是的切线；（2）若，求图中阴影部分的面积【答案】（1）见解析 （2）【解析】【分析】此题考查了切线的判定、扇形面积公式、圆周角定理等知识，熟练掌握相关定理正确进行推理是解题的关键（1）根据圆周角定理、等边对等角、对顶角相等、三角形内角和定理等知识可以证明，又由是的半径，即可得到结论；（2）连接，证明，则，根据扇形面积公式和直角三角形面积公式即可得到图中阴影部
28、分的面积【小问1详解】证明：是的直径，且是的半径，是的切线【小问2详解】解：如图所示，连接，图中阴影部分的面积为：24. 如图，抛物线与轴分别交于、两点点在点的左侧与轴交于点 （1）直接写出、三点的坐标；（2）如图(1)，是抛物线上异于，一点，将点绕点顺时针旋转得到点，若点恰好在直线上，求点的坐标；（3）如图(2)，是抛物线上异于，的两个动点，直线与直线 交于点，若直线 经过定点，求证：点的运动轨迹是一条定直线【答案】（1）， （2）或 （3）见解析【解析】【分析】（1）分别令，即可求解；（2）以为斜边向上作等腰直角三角形，得出，依题意，是半径为的与抛物线的交点，设，其中，根据勾股定理建立方程
29、，解方程，即可求解；（3）设，分别表示出直线的解析式，进而联立抛物线解析式，得出，依题意，直线的解析式为，即，联立抛物线解析式，根据一元二次方程根与系数的关系可得，进而得出关于的恒等式，即可求解【小问1详解】解：对于抛物线，当时，则，当，即解得：，【小问2详解】解：如图所示，以为斜边向上作等腰直角三角形， ，则，依题意，是半径为与抛物线的交点，设，其中，整理得解得：或则或；【小问3详解】解：设，设直线的解析式分别为，解得：，联立，消去得：， ，即由可得依题意，直线的解析式为即联立则，消去得：解得：（与直线重合，故舍去）或即点的运动轨迹是一条定直线【点睛】本题考查了二次函数综合运用，一次函数与二
30、次函数交点问题，一元二次方程根与系数的关系，圆周角定理，二次函数与坐标轴交点问题，熟练掌握以上知识是解题的关键25. 如图，矩形中，点E在折线上运动，将绕点A顺时针旋转得到，旋转角等于，连接（1）当点E在上时，作，垂足为M，求证；（2）当时，求的长；（3）连接，点E从点B运动到点D的过程中，试探究的最小值【答案】（1）见详解 （2）或 （3）【解析】【分析】（1）证明即可得证（2）分情况讨论，当点EBC上时，借助，在中求解；当点E在CD上时，过点E作EGAB于点G，FHAC于点H，借助并利用勾股定理求解即可（3）分别讨论当点E在BC和CD上时，点F所在位置不同，DF的最小值也不同，综合比较取最
31、小即可【小问1详解】如图所示，由题意可知，由旋转性质知：AE=AF，在和中，【小问2详解】当点E在BC上时，中，则，在中，则，由（1）可得，在中，则，当点E在CD上时，如图，过点E作EGAB于点G，FHAC于点H，同（1）可得，由勾股定理得；故CF的长为或【小问3详解】如图1所示，当点E在BC边上时，过点D作于点H，由（1）知，故点F在射线MF上运动，且点F与点H重合时，DH的值最小在与中，即，在与中，即，故的最小值；如图2所示，当点E在线段CD上时，将线段AD绕点A顺时针旋转的度数，得到线段AR，连接FR，过点D作，由题意可知，在与中，故点F在RF上运动，当点F与点K重合时，DF的值最小；由于，故四边形DQRK是矩形；，故此时DF的最小值为；由于，故DF的最小值为【点睛】本题考查矩形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的性质和判定、勾股定理、解直角三角形，解决本题的关键是各性质定理的综合应用第31页/共31页学科网（北京）股份有限公司