1、九年级下册数学二次函数专项训练姓名：_班级：_学号：_一、单选题1（2022江苏苏州草桥中学九年级阶段练习）如图，二次函数图象的顶点为，其图象与轴的交点、的横坐标分别为，3与轴负半轴交于点，在下面五个结论中：；当时，；若，且，则；使为等腰三角形的值可以有三个其中正确的结论个数是（）A1个B2个C3个D4个2（2022江苏无锡二模）如图，半径为1的O的圆心是坐标原点，P为直线yx2上一点，过点P作O的切线，切点为A，连接OA，OP下列结论：当OAP为等腰直角三角形时，点P坐标为（1，1）；当AOP60时，点P坐标为（2，0）；OAP面积最小值为；APO45其中正确的有（）A4个B3个C2个D1个
2、3（2022江苏扬州一模）二次函数的部分图像如图所示，其对称轴为直线，交y轴于点，有如下结论：；，在该函数的图像上，则；关于x的不等式的解集为或其中结论正确的是（）ABCD4（2022江苏宿迁二模）观察规律，运用你观察到的规律解决以下问题：如图，分别过点作轴的垂线，交的图象于点，交直线于点则的值为（）ABCD5（2022江苏盐城九年级期末）如图，二次函数yax2bxc的图像与x轴交于点A（1，0），与y轴的交点B在（0，2）与（0，3）之间（不包括这两点），对称轴为直线x2，下列结论：abc0；9a3bc0；若点，点是函数图像上的两点，则y1y2；c3a0，其中正确结论有（）A2个B3个C4个
3、D5个6（2022江苏扬州一模）如图，二次函数的图像与x轴相交于A、B两点，点A在点B左侧，顶点在MNR的边上移动，MNy轴，NRx轴，M点坐标为（-6，-2），MN2，NR7若在抛物线移动过程中，点B横坐标的最大值为3，则a-b+c的最大值是（）A15B18C23D327（2022江苏八年级）如图，C是线段AB上一动点，ACD，CBE都是等边三角形，M，N分别是CD，BE的中点，若AB4，则线段MN的最小值为（）ABC2D8（2021江苏南通二模）已知y是关于x的函数，若其函数图象经过点P（t，t），则称点P为函数图象上的“雨花点”，例如：y2x1上存在“雨花点”P（1，1）函数yx2+（n
4、k+1）x+m+k1的图象上存在唯一的一个“雨花点”，且当2n1时，m的最小值为k，则k的值（）A或B或C或2+D或2+9（2021江苏九年级专题练习）如图，抛物线yx2+7x与x轴交于点A，B，把抛物线在x轴及共上方的部分记作C1将C1向左平移得到C2，C2与x轴交于点B，D，若直线yx+m与C1，C2共3个不同的交点，则m的取值范是（）ABCD10（2021江苏苏州市立达中学校九年级期中）设P(x，y1)，Q(x，y2)分别是函数C1，C2图像上的点，当axb时，总有2y1y22恒成立，则称函数C1，C2在axb上是“逼近函数”，axb为“逼近区间”则下列结论：函数y2x5，y3x1在6x
5、2上是“逼近函数”函数yx5，yx24x在3x5上是“逼近函数”0x1是函数yx22，y2x2x的“逼近区间”2x3是函数y2x4，yx23x的“逼近区间”其中，正确的结论有多少个（）A1个B2个C3个D4个11（2021江苏苏州市振华中学校九年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，二次函数yx22xc的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B（0，3），若P是x轴上一动点，点D（0，1）在y轴上，连接PD，则PDPC的最小值是（）A4B22C2D12（2022江苏苏州高新区实验初级中学三模）如图，平面图形由直角边长为1的等腰直角和扇形组成，点在线段上，且交或交于点设，图中阴影部分表示的平面图
6、形（或）的面积为，则函数关于的大致图象是（）ABCD13（2022江苏九年级专题练习）如图，是抛物线（）图象的一部分，抛物线的顶点坐标是A（1，3），与x轴的一个交点B（4，0），直线（）与抛物线交于A，B两点，下列结论：； 抛物线与x轴的另一个交点是（，0）；方程有两个相等的实数根；当时，有；若，且；则则命题正确的个数为（）A5个B4个C3个D2个14（2022江苏苏州高新区第一初级中学校九年级阶段练习）如图，抛物线与直线经过点，且相交于另一点，抛物线与轴交于点，与轴交于另一点，过点的直线交抛物线于点，且轴，连接，当点在线段上移动时（不与、重合），下列结论正确的是（）ABCD四边形的最大面积
7、为1315（2017江苏射阳县实验初级中学九年级阶段练习）定义a，b，c为函数y=ax2+bx+c的特征数，下面给出特征数为m1，1+m，2m的函数的一些结论：当m=3时，函数图象的顶点坐标是（1，8）；当m1时，函数图象截x轴所得的线段长度大于3；当m0时，函数在x时，y随x的增大而减小；不论m取何值，函数图象经过两个定点其中正确的结论有（）A1个B2个C3个D4个16（2021江苏九年级专题练习）在平面直角坐标系中，若点的横坐标和纵坐标相等，则称点为完美点已知二次函数（是常数，）的图象上有且只有一个完美点，且当时，函数的最小值为，最大值为1，则的取值范围是（）ABCD二、填空题17（202
8、2江苏泰州三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，对称轴交x轴于点E点P为抛物线对称轴上一点以为边在的下方作等边三角形，则当点P从点D运动到点E的过程中，点Q经过路径的长度为_18（2022江苏海安市紫石中学九年级阶段练习）新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点若二次函数（c为常数）在的图象上存在两个二倍点，则c的取值范围是_19（2022江苏九年级专题练习）如图，在抛物线（a 0）上有两点P、Q，点P的坐标为（4m，y1），点Q的坐标为（m，y2）（m0），点M在y轴上，M的坐标为（0，1）（1）用
9、含a、m的代数式表示=_（2）连接PM，QM，小磊发现：当直线PM与直线QM关于直线y=对称时，为定值d，则d=_20（2022江苏宜兴市实验中学二模）如图，平面直角坐标系中，点A的坐标为，点为平面内一动点，以AC为直径作，若过点且平行于x轴的直线被所截的弦GH长为则y与x之间的函数关系式是_；经过点A的直线与点C运动形成的图像交于B，D两点（点D在点B的右侧），F为该图像的最高点，若的面积是面积的3倍，则k_21（2022江苏南京九年级期中）已知，是下列函数图像上的点：；其中，使不等式总成立的函数有_（填正确的序号）22（2022江苏苏州模拟预测）平面直角坐标系中有两条抛物线l1：y1ax2
10、+bx+c与l2：y2cx2+bx+a，其中ac0下列三个结论中：如果抛物线l1与x轴的一个交点为（m，0），那么（，0）是抛物线l2与x轴的一个交点；如果当x0时y1随x的增大而增大，那么当x0时y2也随x的增大而增大；如果y1y2，那么x的取值范围为1x1其中正确结论是_23（2022江苏苏州模拟预测）新定义：在平面直角坐标系中，对于点和点，若满足m0时，nn4；m0时，nn，则称点是点的限变点例如：点的限变点是，点P2（2，3）的限变点是（2，3）若点P（m，n）在二次函数yx24x2的图象上，则当1m3时，其限变点P的纵坐标n的取值范围是_24（2022江苏南京九年级专题练习）已知二次
11、函数与x轴有两个交点，把当k取最小整数时的二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新图象，若新图象与直线有三个不同的公共点，则m的值为_25（2022江苏省锡山高级中学实验学校八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，Q是直线上的一个动点，将Q绕点P(0，1)顺时针旋转90，得到点Q，连接OQ，则OQ的最小值为_26（2022江苏南通九年级阶段练习）如图，正方形ABCD的边长为2，E为边AD上一动点，连接CE，以CE为边向右侧作正方形CEFG，连接DF，DG，则面积的最小值为_27（2021江苏南通田家炳中学九年级阶段练习）定义：在平面直角坐标系中，若点满足
12、横、纵坐标都为整数，则把点叫做“整点”如：、都是“整点”当抛物线与其关于轴对称抛物线围成的封闭区域内（包括边界）共有个整点时，a的取值范围_28（2021江苏扬州一模）如图，抛物线y =的图象与坐标轴交于A、B、D，顶点为E，以AB为直径画半圆交y轴的正半轴于点C，圆心为M，P是半圆上的一动点，连接EP，N是PE的中点，当P沿半圆从点A运动至点B时,点N运动的路径长是_29（2019江苏无锡市南长实验中学九年级阶段练习）如图，抛物线与轴交于点，其对称轴为直线，结合图象分析下列结论：；当时，随的增大而增大；一元二次方程的两根分别为，；若，为方程的两个根，则且，其中正确的结论有_（填序号）30（2
13、020江苏苏州九年级阶段练习）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，B的圆心为B，半径是1，点P是直线AC上的动点，过点P作B的切线，切点是Q，则切线长PQ的最小值是_31（2022江苏南京二模）如图，抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（1）将抛物线沿y轴平移t（t0）个单位，当平移后的抛物线与线段OB有且只有一个交点时，则t的取值范围是_（2）抛物线上存在点P，使BCP=BACACO，则点P的坐标为_32（2020江苏靖江市实验学校九年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边长为2，AOC60，点D为AB边上的一点，经
14、过O，A，D三点的抛物线与x轴的正半轴交于点E，连结AE交BC于点F，当DFAB时，CE的长为_参考答案一、单选题1C【分析】根据对称轴，可得答案；根据点坐标，可得答案；根据顶点是函数的最值，可得答案；根据函数值相等两点关于对称轴对称，可得答案；分类讨论：时，当时，根据点坐标，对称轴，可得方程组，根据解方程组，可得答案；，根据勾股定理你，可得答案【解析】解：图象与轴的交点，的横坐标分别为，3，对称轴，即故错误；点坐标为，而，即故正确；由，顶点是函数的最小值，时，得，两边都减，得，故正确；，得，且，则，故正确；要使为等腰三角形，则必须保证或或，当时，为直角三角形，又的长即为，由抛物线与轴的交点在
15、轴的负半轴上，解得；同理当时，为直角三角形，又的长即为，由抛物线与轴的交点在轴的负半轴上，解得；同理当时在中，在中，此方程无解经解方程组可知只有两个值满足条件，故错误，故正确的有共3个正确故选：C【点睛】本题考查了二次函数综合题，利用了对称轴公式，顶点是函数的最值，函数值相等两点关于对称轴对称，等腰三角形的判定，要分类讨论，以防遗漏2B【分析】由勾股定理和30直角三角形的特征求得OP的长，设P（a，-a+2）由两点距离公式建立方程求解可得结论；由OP的表达式结合二次函数的性质可得OP最小值，可得结论；根据AP的长度范围，根据三角形外角的性质可得结论；【解析】解：当OAP为等腰直角三角形时，AO
16、=AP=1，则OP=，P点在直线yx2上，设P（a，-a+2），则，OP=，解得：a=1，P（1，1），故正确；当AOP60时，APO=30，则OP=2，设P（a，-a+2），同理可得：OP=，解得：a=0或a=2，P（0，2）或P（2，0），故错误；设P（a，-a+2），则OP=，AP2=OP2-OA2=，AP的最小值为1，OAP面积最小值为11=，故正确；如图，设AC=1，则ACO=45，AP1，APOACO，APO45，故正确；正确，故选：B【点睛】本题考查了切线的性质、一次函数解析式、两点距离公式、二次函数的性质等知识；掌握二次函数的性质是解题关键3A【分析】根据二次函数图象与系数的关
17、系判断出、的正负即可判断，利用对称轴和-1的关系即可判断，根据A、B两点到对称轴的距离即可判断，利用函数图象与直线的关系即可判断【解析】解：二次函数图象开口向上，所以a0；对称轴在y轴左侧，所以b0；图象交y轴负半轴，所以c0，故正确；二次函数对称轴为，整理得，故正确；A点到对称轴的距离为2，B点到对称轴的距离为，且图象开口向上，所以，故错误；由题意可知，关于对称轴对称点的坐标为，不等式变形得，可看做二次函数函数值高于直线对应的x的范围，所以或，故正确故选：A【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数与不等式，二次函数对称轴以及二次函数图象上点的大小比较，熟练掌握二次函数图象与系数的
18、关系，理解二次函数与不等式的关系是解题关键4D【分析】由可得：，则可得，则可得，再利用，进行计算即可【解析】过点的垂线，交的图象于点，交直线于点；令x=n，可得纵坐标为，纵坐标为，故选D【点睛】本题考查了一次函数和二次函数与垂直于x轴直线交点坐标问题，以及由特殊到一般的归纳总结方法，掌握归纳总结的方法是解题的关键5C【分析】根据抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与y轴交点位置可判断，由抛物线与x轴交点（-1，0）及抛物线对称轴可得抛物线与x轴另一交点坐标，从而可得x=3时y0，进而判断，根据M，N两点与抛物线对称轴的距离判断，由抛物线对称轴可得b=-4a，再根据x=-1时y=0及2c3可判断，
19、根据x=1时y0可判断【解析】解：抛物线开口向下，a0，抛物线对称轴为直线x=-0，b0抛物线与y轴交点在x轴上方，c0，abc0，正确抛物线与x轴交点坐标为（-1，0），对称轴为直线x=2，抛物线与x轴另一交点为（5，0），当x=3时，y=9a+3b+c0，正确，抛物线开口向下，y1y2，错误-=2，b=-4a，x=-1时，y=a+4a+c=5a+c=0，2c3，-35a-2，解得，正确，x=1时，y=a+b+c=-3a+c0，c-3a0，正确故选：C【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图像与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系6C【分析】先求出N，R的坐标，观察图
20、形可知，当顶点在R处时，点B的横坐标为3，由此求出a值，当时，当顶点在M处时取最大值，求此可解【解析】解：，MN2，NR7，由题意可知，当顶点在R处时，点B的横坐标为3，则抛物线的解析式为，将点B坐标代入上式得，解得，当时，观察图形可知，顶点在M处时，取最大值，此时抛物线的解析式为：，将代入得，故选：C【点睛】本题考查二次函数图像的性质，解题关键时利用数形结合的思想，判断出抛物线顶点在R处时点B的横坐标取最大值，由此求出a值7B【分析】连接CN首先证明MCN90，设ACa，则BC4a，构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题【解析】解：连接CN，ACD和BCE为等边三角形，ACCD，BCC
21、E，ACDBCEB60，DCE60，N是BE的中点，CNBE，ECN30，DCN90，设ACa，AB4，CMa，CN（4a），MN，当a3时，MN的值最小为故选：B【点睛】本题考查了勾股定理，等边三角形的性质，二次函数的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构建二次函数解决最值问题8C【分析】由题意得：y=x2+（n-k+1）x+m+k-1=x，由题意=0得：m=（n-k）2-（k-1），分当-2n=k1、当n=k-2、n=k1三种情况，求解即可【解析】解：y=x2+（n-k+1）x+m+k-1=x，整理得：x2+（n-k）x+m+k-1=0，由题意得：=（n-k）2-（m+k-1）=0
22、，m=（n-k）2-（k-1），当-2n=k1时，n=k时，m取得最小值，即：-（k-1）=k，解得：k=；当n=k-2时，n=-2，m取得最小值，即：（-2-k）2-（k-1）=k，解得：无解；当n=k1时，n=1，m取得最小值，即：（1-k）2-（k-1）=k，解得：k=2即k1=2+，k2=2- 1 时， 1+3，所以正确函数对称轴为x=，当m0时，对称轴x=，a=m-1时y随x的增大而减小，又因为x=，所以当m时，y随x的增大而减小，正确 不论m取何值，函数图象经过两个定点（1,0）和（-2，-6），所以正确故选D点睛：本题主要考查二次函数y=ax2+bx+c的性质：二次项系数a决定抛
23、物线的开口方向和大小当a0时，抛物线向上开口；当a0时，抛物线向下开口抛物线是轴对称图形,对称轴为直线x = -b/2a，当a0时x时，y随x的增大而增大当a0时，x时，y随x的增大而减小函数图像与x轴交点坐标为（），所以函数图像截x轴所得的线段长为等二次函数的性质极为重要，是易考点，及难点16C【分析】把代入，可得到，再利用和建立方程组即可求出二次函数的解析式，画出图像即可求解【解析】解：令，则由题意可得：解得：如图所示：若最小值为最大值为，结合图像可得：故答案选：C【点睛】本题主要考察了待定系数法求二次函数，一元二次方程根的判别式，二次函数的图像性质，利用待定系数法和根的判别式建立方程求出
24、二次函数解析式作出图像是解题的关键二、填空题174【分析】当点P在D时，等边三角形为，当点P在点E时，等边三角形为，连接、，证明，则，则，即可求解【解析】如图，当点P在D时，等边三角形为，当点P在点E时，等边三角形为，连接、，则，对于，令，则，令，解得或，故点A、B、C的坐标分别为、，函数的对称轴为，点，由B、D的坐标知，而，则，即点Q经过路径的长度是4故答案为：4【点睛】此题主要考查二次函数和几何综合，解题的关键熟练掌握二次函数的图象和性质18【分析】由点的纵坐标是横坐标的2倍可得二倍点在直线上，由可得二倍点所在线段的端点坐标，结合图象，通过求抛物线与线段交点求解【解析】解：由题意可得二倍点
25、所在直线为，将代入得，将代入得，设，如图，联立方程，当时，抛物线与直线有两个交点，即，解得，此时，直线和直线与抛物线交点在点A，上方时，抛物线与线段有两个交点，把代入得，把代入得，解得，满足题意故答案为：【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键掌握函数与方程及不等式的关系，将代数问题转化为图形问题求解1915am2 【分析】（1）把P、Q的坐标分别代入yax24，求得y116am24，y2am24，即可得到|y1y2|15m2a（2）根据待定系数法求得直线PM的解析式，然后半轴xm代入求得对应的函数值，直线PM与直线QM关于直线y1对称，即可得出 +（am24）2（1），解得am2，
26、由（1）可知，|y1y2|15m2a，即可得出d【解析】解：（1）抛物线yax24（a0）上有两点P、Q，点P的坐标为（4m，y1），点Q的坐标为（m，y2）（m0），y116am24，y2am24，|y1y2|15m2a|，a0，m0，|y1y2|15m2a故答案为：15m2a（2）设直线PM的解析式为ykx+b，点P的坐标为（4m，16am24），M（0，1），解得，直线PM为yx1，当xm时，ym1，直线PM与直线QM关于直线y1对称，+（am24）2（1），am2，|y1y2|为定值d，|y1y2|15m2a，d，故答案为：【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图像上点的坐标特征，
27、待定系数法求一次函数的解析式，轴对称的性质，根据题意得到关于am2的方程是解题的关键20 -2【分析】先由中点坐标公式求出点E的坐标，设点E到G点的距离为d，求出d，过点E作，利用垂径定理求出GD，再利用股定理求解；利用抛物线解析式求出顶点F的坐标，过BD作FA的垂线，垂足为M、N，设B、C的横坐标分别为x1，x2，根据三角形面积关系求出，联立直线与抛物线解析式组成方程组求出交点B，C横坐标，进行求出k的值【解析】解：，设点E到G点的距离为d，则过点E作，则在中，GE为的半径，y与x之间的函数关系式为故答案为：由可知点C的运动轨迹的函数解析式为，抛物线的顶点F的坐标为过BD作FA的垂线，垂足为
28、M、N，设B、C的横坐标分别为x1，x2，联立得，解得，解得或（舍去），故答案为：【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的综合，理解勾股定理，中点坐标公式，垂径定理等相关知识，画出图形是解答关键21【分析】将代入函数表达式，根据题意求得，比较大小，逐项判断即可【解析】解：，是下列函数图像上的点，故不合题意，不合题意当即时，不合题意故正确故答案为：【点睛】本题考查了一次函数，反比例函数，二次函数的性质，分别求得是解题的关键22【分析】将（m,0）代入y1ax2+bx+c得到，推导出，得到是抛物线l2与x轴的一个交点；当x0时y1随x的增大而增大，推出，从而得到，得到当x0时y2也随x的增大而增大；
29、如果y1y2，那么，得到，推出，得到-1x0，-1x1，正确故答案为【点睛】本题综合考查了二次函数与一元二次方程，函数与不等式，函数值的增减性，解决此类问题的关键是熟练掌握函数与方程，函数与不等式的关系，函数值随自变量的变化关系232n3【分析】根据新定义得到当m0时，nm24m24（m2）22，在0m3时，得到2n2；当m0时，nm24m2（m2）26，在1m0时，得到2n3，即可得到限变点P的纵坐标n的取值范围是2n3【解析】解：由题意可知，当m0时，nm24m24（m2）22，当0m3时，2n2，当m0时，nm24m2（m2）26，当1m0时，2n3，综上，当1m3时，其限变点P的纵坐标
30、n的取值范围是2n3，故答案为：2n3【点睛】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据限变点的定义得到n关于m的函数241或【分析】先运用根的判别式求得k的取值范围，进而确定k的值，得到抛物线的解析式，再根据折叠得到新图像的解析式，可求出函数图象与x轴的交点坐标，画出函数图象，可发现，若直线与新函数有3个交点，可以有两种情况：过交点（-1，0），根据待定系数法可得m的值；不过点（一1，0），与相切时，根据判别式解答即可【解析】解：函数与x轴有两个交点，解得，当k取最小整数时，抛物线为，将该二次函数图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新图象，所以新图象的解析式为（或）：因为为的，所以它的图象从左到右是上升的，当它与新图象有3