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2019版高考数学一轮复习《选修4_2:矩阵与变换》课时训练(含答案)

1、选修 42 矩阵与变换第 1课时 线性变换、二阶矩阵及其乘法1. 已知矩阵 A , B 满足 AX B,求矩阵 X.1 22 1 31解:设 X ,由 得ab 1 22 1ab 31 a 2b 3,2a b 1, )解得 所以 X .a 1,b 1, ) 112. 已知变换矩阵 A:平面上的点 P(2,1),Q(1,2)分别变换成点 P1(3,4),Q1(0,5),求变换矩阵 A.解:设所求的变换矩阵 A ,依题意,可得abcd 及 ,abcd2 1 3 4 abcd 12 05即 解得2a b 3,2c d 4, a 2b 0, c 2d 5, ) a 2,b 1,c 1,d 2, )所以所

2、求的变换矩阵 A .2 1 123. 已知 M , N ,求二阶矩阵 X,使 MX N.2 1 4 3 4 1 3 1解:设 X ,xyzw由题意有 ,2 1 4 3xyzw 4 1 3 1根据矩阵乘法法则有 解得2x z 4,2y w 1, 4x 3z 3, 4y 3w 1, ) x 92,y 1,z 5,w 1.) X .92 15 14. 曲线 x24xy2y 21 在二阶矩阵 M 的作用下变换为曲线 x22y 21,求实1ab1数 a,b 的值解:设 P(x,y)为曲线 x22y 21 上任意一点,P(x,y)为曲线x24xy2y 21 上与 P对应的点,则 ,即 代入1ab1xy x

3、y x x ay ,y bx y , )x22y 21 得(xay) 22(bxy) 21,整理得(12b 2)x 2(2a4b)xy(a 22)y 21,又 x 24xy2y 21,所以 解得1 2b2 1,2a 4b 4,a2 2 2, ) a 2,b 0.)5. (2017扬州中学期初 )已知点 M(3, 1)绕原点按逆时针旋转 90后,在矩阵 A对应的变换作用下,得到点 N(3,5),求 a,b 的值a02b解:由题意, ,0 11 03 1 13又 ,所以a02b13 35 a 3,2 3b 5, )解得 a 3,b 1.)6. 已知曲线 C: y22x 在矩阵 M 对应的变换作用下

4、得到曲线 C1,C 1在矩阵 N1002对应的变换作用下得到曲线 C2,求曲线 C2的方程0 11 0解:设 A NM,则 A ,设 P(x ,y)是曲线 C上任一点,0 11 01002 0 21 0在两次变换作用下,在曲线 C2上的对应点为 P(x, y),则 , xy 0 21 0xy 2yx 即 x 2y ,y x , ) x y,y 12x.)又点 P(x,y)在曲线 C: y22x 上, 22y,即曲线 C2的方程为 y x2.(12x) 187. 设曲线 2x22xyy 21 在矩阵 A (a0)对应的变换作用下得到的曲线为a0b1x2y 21.求实数 a,b 的值解:设曲线 2

5、x22xyy 21 上任一点 P(x,y)在矩阵 A对应变换作用下得到点P(x,y),则 ,a0b1xy axbx y xy 所以 ax x ,bx y y .)因为 x 2y 21,所以(ax) 2(bxy) 21,即(a 2b 2)x22bxyy 21,所以 解得a2 b2 2,2b 2. ) a 1,b 1.)8. 求圆 C:x 2y 21 在矩阵 A 对应的变换作用下所得的曲线的方程5002解:设圆 C上任一点(x 1,y 1)在矩阵 A对应的变换作用下得到点(x,y),则 5002x1y1,则 x1 , y1 ,代入 x2y 21 得所求曲线的方程为 1.xy x5 y2 x225

6、y249. 已知矩阵 A , B .若矩阵 AB对应的变换把直线 l:xy20 变为直1002 11201线 l,求直线 l的方程解: A , B ,1002 11201 AB .100211201 11202在直线 l上任取一点 P(x,y),设它是由 l上的点 P0(x0,y 0)经矩阵 AB所对应的变换作用所得, 点 P0(x0,y 0)在直线 l:xy20 上, x 0y 020 .又 AB ,即 ,x0y0 xy 11202x0y0 xy .x0 12y0 x,2y0 y, ) x0 x 14y,y0 12y )将代入得 x y y20,即 4xy80,14 12 直线 l的方程为

7、4xy80.10. 在平面直角坐标系 xOy中,设点 P(x,3)在矩阵 M 对应的变换作用下得到1234点 Q(y4,y2),求 M2 .xy解:依题意, ,1234x3 y 4y 2即 解得x 6 y 4,3x 12 y 2, ) x 0,y 10, )M2 ,12341234 7101522所以 M2 .xy 7101522010 10022011. 已知曲线 C1:x 2y 21,对它先作矩阵 A 对应的变换,再作矩阵 B1002对应的变换,得到曲线 C2: y 21,求实数 m的值0m10 x24解: BA ,设 P(x0,y 0)是曲线 C1上的任一点,它在矩阵 BA变换作0m10

8、1002 02m10用下变成点 P(x,y),则 ,则 即 又点 P在曲线 C1上,xy 02m10x0y0 2my0x0 x 2my0,y x0, ) x0 y ,y0 12mx .)则 y 2 1,所以 m21,所以 m1.x 24m2第 2课时 逆变换与逆矩阵、矩阵的特征值与特征向量1. 已知变换 T: ,试写出变换 T对应的矩阵 A,并求出其逆矩阵xy xy x 2yy A1 . 解:由 T: ,得 A .xy xy 1201xy 1201设 A 1 ,则 AA 1 ,所以 解得abcd 1201abcd a 2cb 2dc d 1001 a 2c 1,b 2d 0,c 0,d 1,

9、)a 1,b 2,c 0,d 1. )所以 A 1 .1 20 12. (2017苏北四市期末)已知矩阵 A 的一个特征值为 2,其对应的一个特征1 a 1b向量为 .求实数 a,b 的值21解:由条件知, A 2 ,即 2 ,即 ,1 a 1b21 21 2 a 2 b 42所以 解得2 a 4, 2 b 2, ) a 2,b 4.)3. (2017扬州期末)已知 a,bR,若点 M(1,2)在矩阵 A 对应的变换作用a1b4下得到点 N(2,7),求矩阵 A的特征值解:由题意得 ,即 解得a1b41 2 2 7 a 2 2,b 8 7, ) a 4,b 1, )所以 A ,所以矩阵 A的特

10、征多项式为 f() 2815.4114 | 4 1 1 4|令 f()0,解得 5 或 3,即矩阵 A的特征值为 5和 3.4. 已知二阶矩阵 A ,矩阵 A属于特征值 11 的一个特征向量为abcd 1 ,属于特征值 24 的一个特征向量为 2 ,求矩阵 A.1 1 32解:由特征值、特征向量定义可知, A 1 1 1,即 1 ,abcd1 1 1 1得 同理可得a b 1,c d 1. ) 3a 2b 12,3c 2d 8.)解得 因此矩阵 A .a 2,b 3,c 2,d 1.) 23215. 已知矩阵 A , A的逆矩阵 A1 ,求 A的特征值302a 130b1解: AA1 , ,1

11、001 302a130b1 1001则 解得23 ab 0,a 1, ) a 1,b 23, ) A , A的特征多项式 f() (3)(1)3021 | 3 0 2 1|令 f()0,解得 3 或 1. A的特征值为 3和 1.6. 已知矩阵 A .若矩阵 A属于特征值 3的一个特征向量为 ,求该矩阵的a2b1 11另一个特征值解:因为 3 ,则a2b111 11 a 2 3,b 1 3, )解得 所以 A .a 1,b 2, ) 1221由 f() (1) 240,| 1 2 2 1|所以(1)(3)0,解得 11, 23.所以另一个特征值是1.7. 已知 a,bR,矩阵 A ,若矩阵 A

12、属于特征值 1的一个特征向量为 1ab14,属于特征值 5的一个特征向量为 2 .求矩阵 A,并写出 A的逆矩阵3 1 11解:由矩阵 A属于特征值 1的一个特征向量为 1 ,3 1得 ,ab143 1 3 1 3ab3.由矩阵 A属于特征值 5的一个特征向量为 2 ,11得 5 ,ab1411 11 ab5.联立,解得 即 A .a 2,b 3, ) 2314 A的逆矩阵 A1 .45 35 15 258. 设 是矩阵 M 的一个特征向量23 a232(1) 求实数 a的值;(2) 求矩阵 M的特征值解:(1) 设 是矩阵 M属于特征值 的一个特征向量,23则 ,故 解得 a1.a23223

13、 23 2a 6 2 ,12 3 , ) 4,a 1.)(2) 令 f() (1)(2)60,解得 14, 21.| 1 2 3 2|9. 已知矩阵 A 将直线 l:xy10 变换成直线 l.2 1 13(1) 求直线 l的方程;(2) 判断矩阵 A是否可逆若可逆,求出矩阵 A的逆矩阵 A1 ;若不可逆,请说明理由解:(1) 在直线 l上任取一点 P(x0,y 0),设它在矩阵 A 对应的变换作用下变2 1 13为 Q(x,y) ,2 1 13x0y0 xy 即x 2x0 y0,y x0 3y0, ) x0 3x y7 ,y0 x 2y7 .) 点 P(x0,y 0)在直线 l:xy10 上,

14、 10,3x y7 x 2y7即直线 l的方程为 4xy70.(2) det( A) 70,|2 1 13| 矩阵 A可逆设 A1 , AA1 ,acbd 1001解得2a b 1,2c d 0, a 3b 0, c 3d 1, ) a 37,b 17,c 17,d 27, ) A1 .37 1717 2710. 在平面直角坐标系 xOy中,设点 P(x,5)在矩阵 M 对应的变换作用下得到1234点 Q(y2,y),求 M1 .xy解:依题意, ,1234x5 y 2y 即 解得x 10 y 2,3x 20 y, ) x 4,y 8, )由逆矩阵公式知,矩阵 M 的逆矩阵 M1 ,1234

15、2 132 12所以 M1 .xy 2 132 12 48 16 1011. (2017南通、泰州期末)已知向量 是矩阵 A属于特征值1 的一个特征向1 1量在平面直角坐标系 xOy中,点 P(1,1)在矩阵 A对应的变换作用下变为 P(3,3),求矩阵 A.解:设 A ,a bc d因为向量 是矩阵 A的属于特征值1 的一个特征向量,1 1所以 (1) .a bc d1 1 1 1 11所以 a b 1,c d 1. )因为点 P(1,1)在矩阵 A对应的变换作用下变为 P(3,3),所以 ,a bc d11 33所以 解得a b 3,c d 3, ) a 1,b 2,c 2,d 1, )所以 A . 1 22 1