1、选修 42 矩阵与变换第 1课时 线性变换、二阶矩阵及其乘法1. 已知矩阵 A ， B 满足 AX B，求矩阵 X.1 22 1 31解：设 X ，由 得ab 1 22 1ab 31 a 2b 3，2a b 1， )解得 所以 X .a 1，b 1， ) 112. 已知变换矩阵 A：平面上的点 P(2，1)，Q(1，2)分别变换成点 P1(3，4)，Q1(0，5)，求变换矩阵 A.解：设所求的变换矩阵 A ，依题意，可得abcd 及 ，abcd2 1 3 4 abcd 12 05即 解得2a b 3，2c d 4， a 2b 0， c 2d 5， ) a 2，b 1，c 1，d 2， )所以所
2、求的变换矩阵 A .2 1 123. 已知 M ， N ，求二阶矩阵 X，使 MX N.2 1 4 3 4 1 3 1解：设 X ，xyzw由题意有 ，2 1 4 3xyzw 4 1 3 1根据矩阵乘法法则有 解得2x z 4，2y w 1， 4x 3z 3， 4y 3w 1， ) x 92，y 1，z 5，w 1.) X .92 15 14. 曲线 x24xy2y 21 在二阶矩阵 M 的作用下变换为曲线 x22y 21，求实1ab1数 a，b 的值解：设 P(x，y)为曲线 x22y 21 上任意一点，P(x，y)为曲线x24xy2y 21 上与 P对应的点，则 ，即 代入1ab1xy x
3、y x x ay ，y bx y ， )x22y 21 得(xay) 22(bxy) 21，整理得(12b 2)x 2(2a4b)xy(a 22)y 21，又 x 24xy2y 21，所以 解得1 2b2 1，2a 4b 4，a2 2 2， ) a 2，b 0.)5. (2017扬州中学期初 )已知点 M(3, 1)绕原点按逆时针旋转 90后，在矩阵 A对应的变换作用下，得到点 N(3，5)，求 a，b 的值a02b解：由题意， ，0 11 03 1 13又 ，所以a02b13 35 a 3，2 3b 5， )解得 a 3，b 1.)6. 已知曲线 C: y22x 在矩阵 M 对应的变换作用下
4、得到曲线 C1，C 1在矩阵 N1002对应的变换作用下得到曲线 C2，求曲线 C2的方程0 11 0解：设 A NM，则 A ，设 P(x ，y)是曲线 C上任一点，0 11 01002 0 21 0在两次变换作用下，在曲线 C2上的对应点为 P(x, y)，则 ， xy 0 21 0xy 2yx 即 x 2y ，y x ， ) x y，y 12x.)又点 P(x，y)在曲线 C: y22x 上， 22y，即曲线 C2的方程为 y x2.(12x) 187. 设曲线 2x22xyy 21 在矩阵 A (a0)对应的变换作用下得到的曲线为a0b1x2y 21.求实数 a，b 的值解：设曲线 2
5、x22xyy 21 上任一点 P(x，y)在矩阵 A对应变换作用下得到点P(x，y)，则 ，a0b1xy axbx y xy 所以 ax x ，bx y y .)因为 x 2y 21，所以(ax) 2(bxy) 21，即(a 2b 2)x22bxyy 21，所以 解得a2 b2 2，2b 2. ) a 1，b 1.)8. 求圆 C：x 2y 21 在矩阵 A 对应的变换作用下所得的曲线的方程5002解：设圆 C上任一点(x 1，y 1)在矩阵 A对应的变换作用下得到点(x，y)，则 5002x1y1，则 x1 ， y1 ，代入 x2y 21 得所求曲线的方程为 1.xy x5 y2 x225
6、y249. 已知矩阵 A ， B .若矩阵 AB对应的变换把直线 l：xy20 变为直1002 11201线 l，求直线 l的方程解： A ， B ，1002 11201 AB .100211201 11202在直线 l上任取一点 P(x，y)，设它是由 l上的点 P0(x0，y 0)经矩阵 AB所对应的变换作用所得， 点 P0(x0，y 0)在直线 l：xy20 上， x 0y 020 .又 AB ，即 ，x0y0 xy 11202x0y0 xy .x0 12y0 x，2y0 y， ) x0 x 14y，y0 12y )将代入得 x y y20，即 4xy80，14 12 直线 l的方程为
7、4xy80.10. 在平面直角坐标系 xOy中，设点 P(x，3)在矩阵 M 对应的变换作用下得到1234点 Q(y4，y2)，求 M2 .xy解：依题意， ，1234x3 y 4y 2即 解得x 6 y 4，3x 12 y 2， ) x 0，y 10， )M2 ，12341234 7101522所以 M2 .xy 7101522010 10022011. 已知曲线 C1：x 2y 21，对它先作矩阵 A 对应的变换，再作矩阵 B1002对应的变换，得到曲线 C2： y 21，求实数 m的值0m10 x24解： BA ，设 P(x0，y 0)是曲线 C1上的任一点，它在矩阵 BA变换作0m10
8、1002 02m10用下变成点 P(x，y)，则 ，则 即 又点 P在曲线 C1上，xy 02m10x0y0 2my0x0 x 2my0，y x0， ) x0 y ，y0 12mx .)则 y 2 1，所以 m21，所以 m1.x 24m2第 2课时 逆变换与逆矩阵、矩阵的特征值与特征向量1. 已知变换 T： ，试写出变换 T对应的矩阵 A，并求出其逆矩阵xy xy x 2yy A1 . 解：由 T： ，得 A .xy xy 1201xy 1201设 A 1 ，则 AA 1 ，所以 解得abcd 1201abcd a 2cb 2dc d 1001 a 2c 1，b 2d 0，c 0，d 1，
9、)a 1，b 2，c 0，d 1. )所以 A 1 .1 20 12. (2017苏北四市期末)已知矩阵 A 的一个特征值为 2，其对应的一个特征1 a 1b向量为 .求实数 a，b 的值21解：由条件知， A 2 ，即 2 ，即 ，1 a 1b21 21 2 a 2 b 42所以 解得2 a 4， 2 b 2， ) a 2，b 4.)3. (2017扬州期末)已知 a，bR，若点 M(1，2)在矩阵 A 对应的变换作用a1b4下得到点 N(2，7)，求矩阵 A的特征值解：由题意得 ，即 解得a1b41 2 2 7 a 2 2，b 8 7， ) a 4，b 1， )所以 A ，所以矩阵 A的特
10、征多项式为 f() 2815.4114 | 4 1 1 4|令 f()0，解得 5 或 3，即矩阵 A的特征值为 5和 3.4. 已知二阶矩阵 A ，矩阵 A属于特征值 11 的一个特征向量为abcd 1 ，属于特征值 24 的一个特征向量为 2 ，求矩阵 A.1 1 32解：由特征值、特征向量定义可知， A 1 1 1，即 1 ，abcd1 1 1 1得 同理可得a b 1，c d 1. ) 3a 2b 12，3c 2d 8.)解得 因此矩阵 A .a 2，b 3，c 2，d 1.) 23215. 已知矩阵 A ， A的逆矩阵 A1 ，求 A的特征值302a 130b1解： AA1 , ，1
11、001 302a130b1 1001则 解得23 ab 0，a 1， ) a 1，b 23， ) A ， A的特征多项式 f() (3)(1)3021 | 3 0 2 1|令 f()0，解得 3 或 1. A的特征值为 3和 1.6. 已知矩阵 A .若矩阵 A属于特征值 3的一个特征向量为 ，求该矩阵的a2b1 11另一个特征值解：因为 3 ，则a2b111 11 a 2 3，b 1 3， )解得 所以 A .a 1，b 2， ) 1221由 f() (1) 240，| 1 2 2 1|所以(1)(3)0，解得 11， 23.所以另一个特征值是1.7. 已知 a，bR，矩阵 A ，若矩阵 A
12、属于特征值 1的一个特征向量为 1ab14，属于特征值 5的一个特征向量为 2 .求矩阵 A，并写出 A的逆矩阵3 1 11解：由矩阵 A属于特征值 1的一个特征向量为 1 ，3 1得 ，ab143 1 3 1 3ab3.由矩阵 A属于特征值 5的一个特征向量为 2 ，11得 5 ，ab1411 11 ab5.联立，解得 即 A .a 2，b 3， ) 2314 A的逆矩阵 A1 .45 35 15 258. 设 是矩阵 M 的一个特征向量23 a232(1) 求实数 a的值；(2) 求矩阵 M的特征值解：(1) 设 是矩阵 M属于特征值 的一个特征向量，23则 ，故 解得 a1.a23223
13、 23 2a 6 2 ，12 3 ， ) 4，a 1.)(2) 令 f() (1)(2)60，解得 14， 21.| 1 2 3 2|9. 已知矩阵 A 将直线 l：xy10 变换成直线 l.2 1 13(1) 求直线 l的方程；(2) 判断矩阵 A是否可逆若可逆，求出矩阵 A的逆矩阵 A1 ；若不可逆，请说明理由解：(1) 在直线 l上任取一点 P(x0，y 0)，设它在矩阵 A 对应的变换作用下变2 1 13为 Q(x，y) ，2 1 13x0y0 xy 即x 2x0 y0，y x0 3y0， ) x0 3x y7 ，y0 x 2y7 .) 点 P(x0，y 0)在直线 l：xy10 上，
14、 10，3x y7 x 2y7即直线 l的方程为 4xy70.(2) det( A) 70，|2 1 13| 矩阵 A可逆设 A1 ， AA1 ，acbd 1001解得2a b 1，2c d 0， a 3b 0， c 3d 1， ) a 37，b 17，c 17，d 27， ) A1 .37 1717 2710. 在平面直角坐标系 xOy中，设点 P(x，5)在矩阵 M 对应的变换作用下得到1234点 Q(y2，y)，求 M1 .xy解：依题意， ，1234x5 y 2y 即 解得x 10 y 2，3x 20 y， ) x 4，y 8， )由逆矩阵公式知，矩阵 M 的逆矩阵 M1 ，1234
15、2 132 12所以 M1 .xy 2 132 12 48 16 1011. (2017南通、泰州期末)已知向量 是矩阵 A属于特征值1 的一个特征向1 1量在平面直角坐标系 xOy中，点 P(1，1)在矩阵 A对应的变换作用下变为 P(3，3)，求矩阵 A.解：设 A ，a bc d因为向量 是矩阵 A的属于特征值1 的一个特征向量，1 1所以 (1) .a bc d1 1 1 1 11所以 a b 1，c d 1. )因为点 P(1，1)在矩阵 A对应的变换作用下变为 P(3，3)，所以 ，a bc d11 33所以 解得a b 3，c d 3， ) a 1，b 2，c 2，d 1， )所以 A . 1 22 1