1、第三章 三角函数、三角恒等变换及解三角形第 1课时 任意角和弧度制及任意角的三角函数一、 填空题1. 若 为第二象限角，则 的值是_|sin |sin tan |tan |答案：0解析：因为 为第二象限角，所以 sin 0， 1，tan |sin |sin 0， 1，所以 0.tan |tan | |sin |sin tan |tan |2. 如图，在平面直角坐标系 xOy中，角 的终边与单位圆交于点 A，点 A的纵坐标为 ，则 cos _45答案：35解析：因为点 A的纵坐标 yA ，且点 A在第二象限又圆 O为单位圆，所以点 A的45横坐标 xA .由三角函数的定义可得 cos .35 3
2、53. 已知角 的终边经过点 P(2，1)，则 _sin cos sin cos 答案：3解析：由题意得 sin ，cos ，所以 3.15 25 sin cos sin cos 4. (2017泰州模拟)设 是第二象限角，P(x，4)为其终边上的一点，且 cos x，则 tan _15答案：43解析：因为 是第二象限角，所以 cos x0.22 34 2 2二、 解答题12. 如图所示，动点 P，Q 从点 A(4，0)出发沿圆周运动，点 P按逆时针方向每秒钟转弧度，点 Q按顺时针方向每秒钟转 弧度，求点 P，Q 第一次相遇时所用的时间、相遇点3 6的坐标及 P，Q 点各自走过的弧长解：设点
3、P，Q 第一次相遇时所用的时间是 t，则 t t 2.3 | 6|所以 t4(秒)，即点 P，Q 第一次相遇时所用的时间为 4秒设点 P，Q 第一次相遇点为 C，第一次相遇时点 P和点 Q已运动到终边在 4 的3 43位置，则 xCcos 42，y Csin 42 .3 3 3所以点 C的坐标为(2，2 )3点 P走过的弧长为 4 4 ，点 Q走过的弧长为 4 4 .3 163 6 8313. 如图，在平面直角坐标系 xOy中，角 的始边与 x轴的非负半轴重合且与单位圆相交于 A点，它的终边与单位圆相交于 x轴上方一点 B，始边不动，终边在运动. (1) 若点 B的横坐标为 ，求 tan 的值
4、；45(2) 若AOB 为等边三角形，写出与角 终边相同的角 的集合；(3) 若 ，请写出弓形 AB的面积 S与 的函数关系式(0，23解：(1) 由题意可得 B ，根据三角函数的定义得 tan .(45， 35) yx 34(2) 若AOB 为等边三角形，则AOB .3故与角 终边相同的角 的集合为 2k，kZ| 3)(3) 若 ，则 S 扇形 AOB r 2 ， .(0，23 12 12 (0， 23而 SAOB 11sin sin ，12 12故弓形 AB的面积 SS 扇形 AOBS AOB sin ， .第 2课时 同角12 12 (0， 23三角函数的基本关系式与诱导公式一、 填空题
5、1. sin 750_答案：12解析：sin 750sin (236030)sin 30 .122. 若 ，sin ，则 cos()的值为_(2， 2) 35答案：45解析：因为 ，sin ，所以 cos ，即 cos () .(2， 2) 35 45 453. (2017镇江期末)已知 是第四象限角，sin ，则 tan _1213答案：125解析：因为 是第四象限角，sin ，所以 cos ，故 tan 1213 1 sin2 513 .sin cos 1254. 已知 为锐角，且 2tan()3cos 50，tan()(2 )6sin()1，则 sin 的值是_答案：31010解析：由已
6、知可得2tan 3sin 50，tan 6sin 1，解得 tan 3.又 为锐角，故 sin .310105. (2017射阳县中模拟) 若 f(tan x)sin 2x5sin xcos x, 则 f(5)_答案：0解析：由已知得 f( tan x) ，所以 f(5)sin2x 5 sin x cos xsin2x cos2x tan2x 5tan xtan2x 10.52 5552 16. 已知 是第三象限角，且 sin 2cos ，则 sin cos 25_答案：3125解析：由 sin 2cos ，sin 2cos 21， 是第三象限角，得 sin 25 ，cos ，则 sin co
7、s .2425 725 31257. 已知 sin()log 8 ，且 ，则 tan(2)的值为_14 ( 2， 0)答案：255解析：sin ()sin log 8 .14 23又 ，得 cos ，(2， 0) 1 sin2 53tan (2)tan ()tan .sin cos 2558. 已知 sin 2cos ，则 sin2sin cos 2cos 2_答案：45解析：由 sin 2cos ，得 tan 2.sin2sin cos 2cos 2 sin2 sin cos 2cos2sin2 cos2 .tan2 tan 2tan2 1 22 2 222 1 459. 设函数 f(x)(
8、x R)满足 f(x)f(x)sin x，当 0x0，0，(0，2)图象的一部分，则 f(0)的值为_答案：322解析：由函数图象得 A3， 23(1)8，解得 ，所以 f(x)3sin2 4.因为 (3，0)为函数 f(x)3sin 的一个下降零点，所以(4x ) (4x )3(2k1)(kZ)，解得 2k(kZ)因为 (0，2)，所以4 4 ，所以 f(x)3sin ，则 f(0)3sin .4 (4x 4) 4 3228. 若 f(x)2sin x(00)在区间 上单调递增，则 的取值范围是( x4) (0， 2)_答案： (0，32解析：由 2kx 2k，kZ，得2 4 2 x ，kZ
9、.取 k0，得 x .因为函数 f(x)sin4 2k 34 2k 4 34(0) 在区间 上单调递增，所以 ，即 .又 0，所以 的( x4) (0， 2) 34 2 32取值范围是 .(0，3211. (原创 )已知函数 f(x)cos 2xsin x，那么下列命题中是真命题的是_(填序号) f(x)既不是奇函数也不是偶函数； f(x)是周期函数； f(x)在，0上恰有一个零点； f(x)在 上是增函数；(2， 56) f(x)的值域为0，2答案：解析： f 1，f 1，即 f(x)f(x)，(2) ( 2) f(x)不是偶函数 xR，f(0)10， f(x)不是奇函数，故为真命题 f(x
10、)f(x2)， T2，故函数 f(x)为周期函数，故 为真命题令 f(x)cos 2xsin x1sin 2xsin x0，则 sin2xsin x10，解得 sin x ，当 x，0时，152sin x ，由正弦函数图象可知函数 f(x)在 ，0上有两个零点，故为假命1 52题 f(x)2cos x(sin x)cos xcos x(12sin x)，当 x 时，(2， 56)cos x0，12 f(x)在 上是增函数，故 为真命题f(x) cos2xsin xsin 2xsin (2， 56)x1 ，由1sin x1 得 f(x)的值域为 ，故为假命题(sin x12)2 54 1， 54
11、二、 解答题12. 已知函数 f(x)Asin(x)(其中 A0，0，0 )的周期为 ，且2图象上有一个最低点为 M .(23， 3)(1) 求 f(x)的解析式；(2) 求使 f(x) 成立的 x的取值集合32解：(1) 由题意知，A3，2，由 3sin 3，得(43 ) 2k，kZ，即 2k，kZ.43 2 116而 0 ，所以 k1， .2 6故 f(x)3sin .(2x6)(2) f(x) 等价于 3sin ，即32 (2x 6) 32sin ，(2x6) 12于是 2k 2x 2k (kZ)，76 6 6解得 k xk(kZ)，23故使 f(x) 成立的 x的取值集合为x|k xk
12、，kZ32 2313. (2017扬州中学质检)如图，函数 y2cos(x) 的( 0， 0 2)部分图象与 y轴交于点(0， )，最小正周期是 .3(1) 求 ， 的值；(2) 已知点 A ，点 P是该函数图象上一点，点 Q(x0，y 0)是 PA的中点，当 y0(2， 0)， x0 时，求 x0的值32 2， 解：(1) 将点(0， )代入 y2cos(x)，得 cos .332 0 ， .2 6 最小正周期 T，且 0， 2.2T(2) 由(1)知 y2cos .(2x6) A ，Q(x 0，y 0)是 PA的中点，y 0 ，(2， 0) 32 P .(2x02， 3) 点 P在 y2c
13、os 的图象上，(2x6) 2cos ， cos .(4x0 6) 3 (4x0 6) 32 x 0 ， 4x 0 ，2， 6 2 6， 4 6 4x 0 2 或 4x0 2 ，6 6 6 6 x 0 或 .第 4课时 两角和与差的正弦、余弦和正切公式23 34一、 填空题1. cos 15的值是_答案：2 64解析：cos15cos(6045) .2 642. 计算：cos 42cos 18cos 48sin 18_答案：12解析：原式sin 48cos 18cos 48sin 18sin (4818)sin 30 .123. 设 ， 为钝角，且 sin ，cos ，则 cos()的值为55
14、 31010_答案：22解析： ， 为钝角，sin ，cos ，55 31010 cos ，sin ， 255 1010 cos()cos cos sin sin .224. (2017苏锡常镇四市调研(二)已知 是第二象限角，且 sin ，tan()2 ，则 tan _310答案：17解析：由 是第二象限角，且 sin ，得 cos ，tan 3，所以310 110tan tan() .tan（ ） tan 1 tan（ ） tan 2 31 6 175. 已知 ， ，若 sin ，cos ，则 sin()(3， 56) ( 6) 45 ( 56) 513_答案：1665解析：由题意可得 ，
15、 ，所以6 (2， ) 56 ( 2， 0)cos ，sin( ) ，( 6) 35 56 1213所以 sin()sin( )( ) .6 56 45 513 ( 35) ( 1213) 16656. 已知 sin sin ，则 sin _.(3 ) 435 ( 76)答案：45解析：sin sin sin cos cos sin sin (3 ) 435 3 3 sin cos sin cos ，故 sin sin 435 32 32 435 32 12 45 ( 76)cos cos sin ( sin cos ) .76 76 32 12 457. 若锐角 ， 满足 tan tan t
16、an tan ，则3 3_答案：3解析：由已知可得 ，即 tan () .tan tan 1 tan tan 3 3又 (0，)，所以 .38. 计算： _2sin 50 3sin 20cos 20答案：1解析：原式2sin（ 30 20） 3sin 20cos 202sin 30cos 20 2cos 30sin 20 3sin 20cos 20 1.cos 20 3sin 20 3sin 20cos 209. 若 ， 都是锐角，且 cos ，sin() ，则 _55 1010答案：4解析： ， 都是锐角，且 cos ，sin() ，55 1010 sin ，cos() ，从而 cos co
17、s ()cos 255 31010cos()sin sin() . 是锐角， .22 410. 如图所示，正方形 ABCD的边长为 1，延长 BA至 E，使 AE1，连结 EC，ED，则sinCED_答案：1010解析：因为四边形 ABCD是正方形，且 AEAD1，所以AED .4在 RtEBC 中，EB2，BC1，所以 sin BEC ，cos BEC .55 255sin CEDsin (4 BEC) cos BEC sin BEC22 22 .22 (255 55) 1010二、 解答题11. 在ABC 中，已知 sin(AB)2sin(AB)(1) 若 B ，求 A；6(2) 若 ta
18、n A2，求 tan B的值解：(1) 由条件，得 sin 2sin(A )，(A6) 6 sin A cos A2 .32 12 (32sin A 12cos A)化简，得 sin A cos A， tan A .3 3又 A(0，)， A .3(2) sin(AB)2sin(AB)， sin Acos Bcos Asin B2(sin Acos Bcos Asin B)化简，得 3cos Asin Bsin Acos B.又 cos Acos B0， tan A3tan B.又 tan A2， tan B .2312. 已知 ，且 sin cos .(2， ) 2 2 62(1) 求 co
19、s 的值；(2) 若 sin() ， ，求 cos 的值35 (2， )解：(1) 已知 sin cos ，两边同时平方，2 2 62得 12sin cos ，则 sin .2 2 32 12又 0， 2 2) 3为 .(1) 求 和 的值；(2) 若 f ，求 cos 的值(2) 34(6 23) ( 32)解：(1) 由已知得 f(x) sin (x)，3因为 f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为 ，所以 f(x)的最小正周期 T，从而 2.2T又 f(x)的图象关于直线 x 对称，3所以 2 k ，kZ.3 2由 得 k0，2 2所以 .2 23 6(2) 由(1)得 f(x) sin
20、 ，3 (2x6)所以 f sin ，(2) 3 (22 6) 34即 sin .( 6) 14由 得 0 ，6 23 62所以 cos ( 6) 1 sin2( 6) 1 (14)2 .154因此 cos sin sin ( 32) ( 6) 6sin cos cos sin ( 6) 6 ( 6) 6 .14 32 154 12 3 158第 5课时 二倍角的正弦、余弦和正切公式一、 填空题1. sin 2 的值为_12 12答案：34解析： sin 2 cos .12 12 12(1 2sin212) 12 6 12 32 342. 函数 y(sin xcos x) 2的最小正周期为_答
21、案：解析：y(sin xcos x) 212sin xcos x1sin 2x，最小正周期 T.3. 若 ，则 sin cos _cos 2sin( 74) 22答案：12解析：由已知得 ，整理得 sin cos .cos2 sin222（ sin cos ） 22 124. 已知 sin(45) ，且 090，则 cos 2 的值为_210答案：725解析：由 sin (45) ，展开得 sin cos .又210 15sin2cos 21，得 sin ，cos ，则 cos 2cos 2sin 2 .35 45 7255. 若函数 f(x)sin 2 cos 2 1，则函数 f(x)的单调
22、增区间是(x4) (x 4)_答案： (kZ)4 k ， 4 k 解析：f(x)sin 2( x)sin 2( x)12sin 2( x)1cos sin 4 4 4 (2 2x)2x.易得函数 f(x)的单调增区间是 (kZ)4 k ， 4 k 6. (2017苏州调研)已知 是第二象限角，且 tan ，则 sin 132_答案：35解析：因为 是第二象限角，且 tan ，所以 sin ，cos 13 1010 ，所以 sin 2 2sin cos 2 ( ) .31010 1010 31010 357. 已知 sin 2 ，则 cos2 _13 ( 4)答案：23解析：cos 2 .( 4
23、) 1 cos(2 2)2 1 sin 22 1 132 238. 若 2 017，则 tan 2 _1 tan 1 tan 1cos 2答案：2 017解析：tan 2 1cos 2 2tan 1 tan2 cos2 sin2cos2 sin2 （ 1 tan ） 21 tan22 017.1 tan 1 tan 9. 设 f(x) sin xa 2sin 的最大值为 3，则常数1 cos 2x2sin(2 x) (x 4) 2a_答案： 3解析：f(x) sin xa 2sin cos xsin 1 2cos2x 12cos x (x 4)xa 2sin sin a 2sin ( a 2)
24、sin(x )依题意有 a 2(x4) 2 (x 4) (x 4) 2 4 2 3，2 a .310. 已知 ，且 sin ，则 tan 2 _(0，2) ( 4) 210答案：247解析：由 sin ，得 sin cos ， ，平方得 2sin ( 4) 210 15 (0， 2)cos ，可求得 sin cos ， sin ，cos ， tan 2425 75 45 35 ，tan 2 .43 2tan 1 tan 2 24711. 已知函数 f(x) sin 2xsin cos 2xcos sin (0)，将函12 12 (2 )数 f(x)的图象向左平移 个单位后得到函数 g(x)的图
25、象，且 g ，则12 (4) 12_答案：23解析： f(x) sin 2xsin cos 2xcos sin12 12 (2 ) sin 2xsin cos cos 12 cos 2x 12 12 sin 2xsin cos 2xcos 12 12 cos(2x)，12 g(x) cos cos .12 2(x 12) 12 (2x 6 ) g ，(4) 12 2 2k(kZ)，即 2k(kZ)4 6 23 0， .23二、 解答题12. (2017江阴期初)已知函数 f(x)sin sin 2cos 2x1，xR.(2x3) (2x 3)(1) 求函数 f(x)的最小正周期；(2) 求函数
26、 f(x)在区间 上的最大值和最小值4， 4解：(1) f(x)sin2xcos cos2xsin sin2xcos cos2xsin cos2xsin2xcos2x sin3 3 3 3 2，(2x4) 函数 f(x)的最小正周期 T .22(2) 函数 f(x)在区间 上是增函数，在区间 上是减函数，4， 8 8， 4又 f 1，f ，f 1，(4) (8) 2 (4) 函数 f(x)在 上的最大值为 ，最小值为1.4， 4 213. 已知函数 f(x)(2cos 2x1)sin 2x cos 4x.12(1) 求 f(x)的最小正周期及单调递减区间；(2) 若 (0，)，且 f ，求 t
27、an 的值(4 8) 22 ( 3)解：(1) f(x)(2cos 2x1)sin 2x cos 4xcos 2xsin 2x cos 4x (sin 12 12 124xcos 4x) sin ，22 (4x 4) f(x)的最小正周期 T .2令 2k 4x 2k ，kZ，2 4 32得 x ，kZ.k2 16 k2 516 f(x)的单调递减区间为 ，kZ.k2 16， k2 516(2) f ，即 sin 1，(4 8) 22 ( 4)又 (0，)， ，4 434 ，故 .4 2 34因此 tan 2 .( 3)tan 34 tan 31 tan 34tan 3 1 31 3 3第 6
28、课时 简单的三角恒等变换一、 填空题1. 已知 cos4sin 4 ，则 cos 4_23答案：19解析： cos4sin 4(sin 2cos 2)(cos 2sin 2)cos 2 ， cos 2342cos 2212 1 .(23)2 192. 若 sin ，则 cos 2_2 33答案：79解析：cos12sin 2 12 ，cos22cos 212 1 .2 (33)2 13 (13)2 793. 在ABC 中，若 2cos Bsin Asin C，则ABC 的形状一定是_答案：等腰三角形解析：在ABC 中，C(AB)， 2cos Bsin Asin(AB)sin(AB)sin A
29、cos B cos Asin B sin Acos Bcos Asin B0，即 sin(BA)0. AB，故ABC 的形状一定是等腰三角形4. 在ABC 中，tan Atan B tan Atan B，则 C_3 3答案：3解析：由已知可得 tan Atan B (tan Atan B1)，3 tan(AB) .又 0AB，tan A tan B1 tan Atan B 3 AB ， C .23 35. 若 2cos 2sin ，且 ，则 sin 2_(4 ) (2， )答案：78解析：由 2cos 2sin ，得 2(cos2sin 2) (cos sin )，所(4 ) 22以 cos
30、sin .又(cos sin ) 212sin cos 1sin 2 ，24 18所以 sin 2 .786. 若 0 ，2)，则满足 sin cos 的 的取值范围是1 sin 2_答案： 0，34 74， 2 )解析：由 sin cos ，得 sin cos sin 0.因1 sin 2 2 ( 4)为 0，2)，所以 的取值范围为 .0，34 74， 2 )7. _2cos 10 sin 20sin 70答案： 3解析：原式2cos（ 30 20） sin 20sin 702（ cos 30cos 20 sin 30sin 20） sin 20sin 70 .3cos 20cos 20
31、38. 已知 sin 2 ，且 ，则 sin _2425 (34， )答案：35解析： ， cos 0，sin 0 ，且|cos |sin |.又(34， )(sin cos ) 21sin 21 ，2425 125 sin cos ，同理可得 sin cos ，15 75 sin .359. sin 18cos 36_答案：14解析：原式2sin 18cos 18cos 362cos 18 .2sin 36cos 364cos 18 sin 724cos 181410. 已知 sin cos ，且 ，则 的值为_12 (0， 2) cos 2sin( 4)答案：142解析：由 sin cos
32、 ，得 sin cos ，12 12 (sin cos ) 2 ， 2sin cos ，14 34 (sin cos ) 212sin cos .74又 ， sin cos ，(0，2) 72 (sin cos )cos 2sin( 4)cos2 sin222（ sin cos ） 2 .142二、 解答题11. 已知ABC 是锐角三角形，且 sin cos .(B6) (B 3) 12(1) 求角 B的值；(2) 若 tan Atan C3，求角 A，C 的值解：(1) sin cos(B6) (B 3) (32sin B 12cos B)(12cos B 32sin B) sin2B co
33、s2Bsin 2B ，34 14 14 12所以 sin2B .34因为 B为锐角三角形的内角，所以 sin B ，即 B .32 3(2) 因为 B ，所以 AC .3 23又ABC 是锐角三角形，所以 tan A0，tan C0.而 tan(AC) ，tan A tan C1 tan Atan C 3所以 tan Atan C tan Atan C 2 .3 3 3又 tan Atan C3 ，由解得 tan Atan C ，所以 AC .3312. (2017南通、扬州、泰州、苏北四市二模)已知 sin ， .( 4) 210 (2， )(1) 求 cos 的值；(2) 求 sin 的值
34、(2 4)解：(1) (解法 1)因为 ，所以 .(2， ) 4 (34， 54)又 sin ，所以 cos .( 4) 210 ( 4) 1 sin2( 4) 1 (210)2 7210所以 cos cos cos cos sin sin ( 4) 4 ( 4) 4 ( 4) 4 7210 .22 210 22 35(解法 2)由 sin 得， sin cos cos sin ，( 4) 210 4 4 210即 sin cos .15又 sin2cos 21 .由解得 cos 或 cos .35 45因为 ，所以 cos .(2， ) 35(2) 因为 ，cos ，(2， ) 35所以 s
35、in .1 cos21 ( 35)2 45所以 sin 22sin cos 2 ，45 ( 35) 2425cos 22cos 212 1 .(35)2 725所以 sin sin 2cos cos 2sin (2 4) 4 4 ( 2425) 22 ( 725) 22.1725013. (2017泰州模拟 )如图，现要在一块半径为 1 m，圆心角为 的扇形白铁片 AOB3上剪出一个平行四边形 MNPQ，使点 P在弧 AB上，点 Q在 OA上，点 M，N 在 OB上，设BOP，平行四边形 MNPQ的面积为 S.(1) 求 S关于 的函数关系式；(2) 求 S的最大值及相应的 值解：(1) 分别
36、过 P，Q 作 PDOB 于点 D，QEOB 于点 E，则四边形 QEDP为矩形由扇形半径为 1 m，得 PDsin ，ODcos .在 RtOEQ 中，OE QE PD，MNQPDEODOEcos sin ，所以33 33 33SMNPD sin sin cos sin2， .(cos 33sin ) 33 (0， 3)(2) 由(1)得 S sin 2 (1cos 2)12 36 sin 2 cos 212 36 36 sin ，33 (2 6) 36因为 ，所以 2 ，(0，3) 6 (6， 56)所以 sin .(2 6) (12， 1当 时，S max (m2)6 36第 7课时 正
37、弦定理和余弦定理一、 填空题1. (2017江阴期初)在ABC 中，若 A60，B45，BC3 ，则2AC_答案：2 3解析：由已知及正弦定理得 ，即 AC 2 .ACsin B BCsin A BCsin Bsin A 32sin 45sin 60 32. 在ABC 中，AC ，A45，C75，则 BC_3答案： 2解析：由题意得 B180AC60.由正弦定理得 ，则 BCACsin B BCsin A，所以 BC .ACsin Asin B32232 23. 在ABC 中，A60，AB2，且ABC 的面积为 ，则 BC的长为_32答案： 3解析：S ABACsin 60 2 AC ，所以
38、AC1，所以12 12 32 32BC2AB 2AC 22ABACcos 603，所以 BC .34. 已知在ABC 中，内角 A，B，C 所对边的长分别为a，b，c，a 2b 2c 2bc，bc4，则ABC 的面积为_答案： 3解析： a 2b 2c 2bc， cos A .12 A .又 bc4， ABC 的面积为 bcsin A .3 12 35. (2017苏锡常镇调研(二)在ABC 中，角 A，B，C 所对边的长分别是 a，b，c，若满足 2bcos A2c a，则角 B的大小为_3答案：6解析：由正弦定理得 2sin Bcos A2sin C sin A2sin Bcos A2sin(AB)3sin A2sin Acos B sin A A(0，)， cos B . B(0，)， 3 332B .66. 在ABC 中