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2019版高考数学一轮复习《第三章三角函数三角恒等变换及解三角形》课时训练(含答案)

1、第三章 三角函数、三角恒等变换及解三角形第 1课时 任意角和弧度制及任意角的三角函数一、 填空题1. 若 为第二象限角,则 的值是_|sin |sin tan |tan |答案:0解析:因为 为第二象限角,所以 sin 0, 1,tan |sin |sin 0, 1,所以 0.tan |tan | |sin |sin tan |tan |2. 如图,在平面直角坐标系 xOy中,角 的终边与单位圆交于点 A,点 A的纵坐标为 ,则 cos _45答案:35解析:因为点 A的纵坐标 yA ,且点 A在第二象限又圆 O为单位圆,所以点 A的45横坐标 xA .由三角函数的定义可得 cos .35 3

2、53. 已知角 的终边经过点 P(2,1),则 _sin cos sin cos 答案:3解析:由题意得 sin ,cos ,所以 3.15 25 sin cos sin cos 4. (2017泰州模拟)设 是第二象限角,P(x,4)为其终边上的一点,且 cos x,则 tan _15答案:43解析:因为 是第二象限角,所以 cos x0.22 34 2 2二、 解答题12. 如图所示,动点 P,Q 从点 A(4,0)出发沿圆周运动,点 P按逆时针方向每秒钟转弧度,点 Q按顺时针方向每秒钟转 弧度,求点 P,Q 第一次相遇时所用的时间、相遇点3 6的坐标及 P,Q 点各自走过的弧长解:设点

3、P,Q 第一次相遇时所用的时间是 t,则 t t 2.3 | 6|所以 t4(秒),即点 P,Q 第一次相遇时所用的时间为 4秒设点 P,Q 第一次相遇点为 C,第一次相遇时点 P和点 Q已运动到终边在 4 的3 43位置,则 xCcos 42,y Csin 42 .3 3 3所以点 C的坐标为(2,2 )3点 P走过的弧长为 4 4 ,点 Q走过的弧长为 4 4 .3 163 6 8313. 如图,在平面直角坐标系 xOy中,角 的始边与 x轴的非负半轴重合且与单位圆相交于 A点,它的终边与单位圆相交于 x轴上方一点 B,始边不动,终边在运动. (1) 若点 B的横坐标为 ,求 tan 的值

4、;45(2) 若AOB 为等边三角形,写出与角 终边相同的角 的集合;(3) 若 ,请写出弓形 AB的面积 S与 的函数关系式(0,23解:(1) 由题意可得 B ,根据三角函数的定义得 tan .(45, 35) yx 34(2) 若AOB 为等边三角形,则AOB .3故与角 终边相同的角 的集合为 2k,kZ| 3)(3) 若 ,则 S 扇形 AOB r 2 , .(0,23 12 12 (0, 23而 SAOB 11sin sin ,12 12故弓形 AB的面积 SS 扇形 AOBS AOB sin , .第 2课时 同角12 12 (0, 23三角函数的基本关系式与诱导公式一、 填空题

5、1. sin 750_答案:12解析:sin 750sin (236030)sin 30 .122. 若 ,sin ,则 cos()的值为_(2, 2) 35答案:45解析:因为 ,sin ,所以 cos ,即 cos () .(2, 2) 35 45 453. (2017镇江期末)已知 是第四象限角,sin ,则 tan _1213答案:125解析:因为 是第四象限角,sin ,所以 cos ,故 tan 1213 1 sin2 513 .sin cos 1254. 已知 为锐角,且 2tan()3cos 50,tan()(2 )6sin()1,则 sin 的值是_答案:31010解析:由已

6、知可得2tan 3sin 50,tan 6sin 1,解得 tan 3.又 为锐角,故 sin .310105. (2017射阳县中模拟) 若 f(tan x)sin 2x5sin xcos x, 则 f(5)_答案:0解析:由已知得 f( tan x) ,所以 f(5)sin2x 5 sin x cos xsin2x cos2x tan2x 5tan xtan2x 10.52 5552 16. 已知 是第三象限角,且 sin 2cos ,则 sin cos 25_答案:3125解析:由 sin 2cos ,sin 2cos 21, 是第三象限角,得 sin 25 ,cos ,则 sin co

7、s .2425 725 31257. 已知 sin()log 8 ,且 ,则 tan(2)的值为_14 ( 2, 0)答案:255解析:sin ()sin log 8 .14 23又 ,得 cos ,(2, 0) 1 sin2 53tan (2)tan ()tan .sin cos 2558. 已知 sin 2cos ,则 sin2sin cos 2cos 2_答案:45解析:由 sin 2cos ,得 tan 2.sin2sin cos 2cos 2 sin2 sin cos 2cos2sin2 cos2 .tan2 tan 2tan2 1 22 2 222 1 459. 设函数 f(x)(

8、x R)满足 f(x)f(x)sin x,当 0x0,0,(0,2)图象的一部分,则 f(0)的值为_答案:322解析:由函数图象得 A3, 23(1)8,解得 ,所以 f(x)3sin2 4.因为 (3,0)为函数 f(x)3sin 的一个下降零点,所以(4x ) (4x )3(2k1)(kZ),解得 2k(kZ)因为 (0,2),所以4 4 ,所以 f(x)3sin ,则 f(0)3sin .4 (4x 4) 4 3228. 若 f(x)2sin x(00)在区间 上单调递增,则 的取值范围是( x4) (0, 2)_答案: (0,32解析:由 2kx 2k,kZ,得2 4 2 x ,kZ

9、.取 k0,得 x .因为函数 f(x)sin4 2k 34 2k 4 34(0) 在区间 上单调递增,所以 ,即 .又 0,所以 的( x4) (0, 2) 34 2 32取值范围是 .(0,3211. (原创 )已知函数 f(x)cos 2xsin x,那么下列命题中是真命题的是_(填序号) f(x)既不是奇函数也不是偶函数; f(x)是周期函数; f(x)在,0上恰有一个零点; f(x)在 上是增函数;(2, 56) f(x)的值域为0,2答案:解析: f 1,f 1,即 f(x)f(x),(2) ( 2) f(x)不是偶函数 xR,f(0)10, f(x)不是奇函数,故为真命题 f(x

10、)f(x2), T2,故函数 f(x)为周期函数,故 为真命题令 f(x)cos 2xsin x1sin 2xsin x0,则 sin2xsin x10,解得 sin x ,当 x,0时,152sin x ,由正弦函数图象可知函数 f(x)在 ,0上有两个零点,故为假命1 52题 f(x)2cos x(sin x)cos xcos x(12sin x),当 x 时,(2, 56)cos x0,12 f(x)在 上是增函数,故 为真命题f(x) cos2xsin xsin 2xsin (2, 56)x1 ,由1sin x1 得 f(x)的值域为 ,故为假命题(sin x12)2 54 1, 54

11、二、 解答题12. 已知函数 f(x)Asin(x)(其中 A0,0,0 )的周期为 ,且2图象上有一个最低点为 M .(23, 3)(1) 求 f(x)的解析式;(2) 求使 f(x) 成立的 x的取值集合32解:(1) 由题意知,A3,2,由 3sin 3,得(43 ) 2k,kZ,即 2k,kZ.43 2 116而 0 ,所以 k1, .2 6故 f(x)3sin .(2x6)(2) f(x) 等价于 3sin ,即32 (2x 6) 32sin ,(2x6) 12于是 2k 2x 2k (kZ),76 6 6解得 k xk(kZ),23故使 f(x) 成立的 x的取值集合为x|k xk

12、,kZ32 2313. (2017扬州中学质检)如图,函数 y2cos(x) 的( 0, 0 2)部分图象与 y轴交于点(0, ),最小正周期是 .3(1) 求 , 的值;(2) 已知点 A ,点 P是该函数图象上一点,点 Q(x0,y 0)是 PA的中点,当 y0(2, 0), x0 时,求 x0的值32 2, 解:(1) 将点(0, )代入 y2cos(x),得 cos .332 0 , .2 6 最小正周期 T,且 0, 2.2T(2) 由(1)知 y2cos .(2x6) A ,Q(x 0,y 0)是 PA的中点,y 0 ,(2, 0) 32 P .(2x02, 3) 点 P在 y2c

13、os 的图象上,(2x6) 2cos , cos .(4x0 6) 3 (4x0 6) 32 x 0 , 4x 0 ,2, 6 2 6, 4 6 4x 0 2 或 4x0 2 ,6 6 6 6 x 0 或 .第 4课时 两角和与差的正弦、余弦和正切公式23 34一、 填空题1. cos 15的值是_答案:2 64解析:cos15cos(6045) .2 642. 计算:cos 42cos 18cos 48sin 18_答案:12解析:原式sin 48cos 18cos 48sin 18sin (4818)sin 30 .123. 设 , 为钝角,且 sin ,cos ,则 cos()的值为55

14、 31010_答案:22解析: , 为钝角,sin ,cos ,55 31010 cos ,sin , 255 1010 cos()cos cos sin sin .224. (2017苏锡常镇四市调研(二)已知 是第二象限角,且 sin ,tan()2 ,则 tan _310答案:17解析:由 是第二象限角,且 sin ,得 cos ,tan 3,所以310 110tan tan() .tan( ) tan 1 tan( ) tan 2 31 6 175. 已知 , ,若 sin ,cos ,则 sin()(3, 56) ( 6) 45 ( 56) 513_答案:1665解析:由题意可得 ,

15、 ,所以6 (2, ) 56 ( 2, 0)cos ,sin( ) ,( 6) 35 56 1213所以 sin()sin( )( ) .6 56 45 513 ( 35) ( 1213) 16656. 已知 sin sin ,则 sin _.(3 ) 435 ( 76)答案:45解析:sin sin sin cos cos sin sin (3 ) 435 3 3 sin cos sin cos ,故 sin sin 435 32 32 435 32 12 45 ( 76)cos cos sin ( sin cos ) .76 76 32 12 457. 若锐角 , 满足 tan tan t

16、an tan ,则3 3_答案:3解析:由已知可得 ,即 tan () .tan tan 1 tan tan 3 3又 (0,),所以 .38. 计算: _2sin 50 3sin 20cos 20答案:1解析:原式2sin( 30 20) 3sin 20cos 202sin 30cos 20 2cos 30sin 20 3sin 20cos 20 1.cos 20 3sin 20 3sin 20cos 209. 若 , 都是锐角,且 cos ,sin() ,则 _55 1010答案:4解析: , 都是锐角,且 cos ,sin() ,55 1010 sin ,cos() ,从而 cos co

17、s ()cos 255 31010cos()sin sin() . 是锐角, .22 410. 如图所示,正方形 ABCD的边长为 1,延长 BA至 E,使 AE1,连结 EC,ED,则sinCED_答案:1010解析:因为四边形 ABCD是正方形,且 AEAD1,所以AED .4在 RtEBC 中,EB2,BC1,所以 sin BEC ,cos BEC .55 255sin CEDsin (4 BEC) cos BEC sin BEC22 22 .22 (255 55) 1010二、 解答题11. 在ABC 中,已知 sin(AB)2sin(AB)(1) 若 B ,求 A;6(2) 若 ta

18、n A2,求 tan B的值解:(1) 由条件,得 sin 2sin(A ),(A6) 6 sin A cos A2 .32 12 (32sin A 12cos A)化简,得 sin A cos A, tan A .3 3又 A(0,), A .3(2) sin(AB)2sin(AB), sin Acos Bcos Asin B2(sin Acos Bcos Asin B)化简,得 3cos Asin Bsin Acos B.又 cos Acos B0, tan A3tan B.又 tan A2, tan B .2312. 已知 ,且 sin cos .(2, ) 2 2 62(1) 求 co

19、s 的值;(2) 若 sin() , ,求 cos 的值35 (2, )解:(1) 已知 sin cos ,两边同时平方,2 2 62得 12sin cos ,则 sin .2 2 32 12又 0, 2 2) 3为 .(1) 求 和 的值;(2) 若 f ,求 cos 的值(2) 34(6 23) ( 32)解:(1) 由已知得 f(x) sin (x),3因为 f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为 ,所以 f(x)的最小正周期 T,从而 2.2T又 f(x)的图象关于直线 x 对称,3所以 2 k ,kZ.3 2由 得 k0,2 2所以 .2 23 6(2) 由(1)得 f(x) sin

20、 ,3 (2x6)所以 f sin ,(2) 3 (22 6) 34即 sin .( 6) 14由 得 0 ,6 23 62所以 cos ( 6) 1 sin2( 6) 1 (14)2 .154因此 cos sin sin ( 32) ( 6) 6sin cos cos sin ( 6) 6 ( 6) 6 .14 32 154 12 3 158第 5课时 二倍角的正弦、余弦和正切公式一、 填空题1. sin 2 的值为_12 12答案:34解析: sin 2 cos .12 12 12(1 2sin212) 12 6 12 32 342. 函数 y(sin xcos x) 2的最小正周期为_答

21、案:解析:y(sin xcos x) 212sin xcos x1sin 2x,最小正周期 T.3. 若 ,则 sin cos _cos 2sin( 74) 22答案:12解析:由已知得 ,整理得 sin cos .cos2 sin222( sin cos ) 22 124. 已知 sin(45) ,且 090,则 cos 2 的值为_210答案:725解析:由 sin (45) ,展开得 sin cos .又210 15sin2cos 21,得 sin ,cos ,则 cos 2cos 2sin 2 .35 45 7255. 若函数 f(x)sin 2 cos 2 1,则函数 f(x)的单调

22、增区间是(x4) (x 4)_答案: (kZ)4 k , 4 k 解析:f(x)sin 2( x)sin 2( x)12sin 2( x)1cos sin 4 4 4 (2 2x)2x.易得函数 f(x)的单调增区间是 (kZ)4 k , 4 k 6. (2017苏州调研)已知 是第二象限角,且 tan ,则 sin 132_答案:35解析:因为 是第二象限角,且 tan ,所以 sin ,cos 13 1010 ,所以 sin 2 2sin cos 2 ( ) .31010 1010 31010 357. 已知 sin 2 ,则 cos2 _13 ( 4)答案:23解析:cos 2 .( 4

23、) 1 cos(2 2)2 1 sin 22 1 132 238. 若 2 017,则 tan 2 _1 tan 1 tan 1cos 2答案:2 017解析:tan 2 1cos 2 2tan 1 tan2 cos2 sin2cos2 sin2 ( 1 tan ) 21 tan22 017.1 tan 1 tan 9. 设 f(x) sin xa 2sin 的最大值为 3,则常数1 cos 2x2sin(2 x) (x 4) 2a_答案: 3解析:f(x) sin xa 2sin cos xsin 1 2cos2x 12cos x (x 4)xa 2sin sin a 2sin ( a 2)

24、sin(x )依题意有 a 2(x4) 2 (x 4) (x 4) 2 4 2 3,2 a .310. 已知 ,且 sin ,则 tan 2 _(0,2) ( 4) 210答案:247解析:由 sin ,得 sin cos , ,平方得 2sin ( 4) 210 15 (0, 2)cos ,可求得 sin cos , sin ,cos , tan 2425 75 45 35 ,tan 2 .43 2tan 1 tan 2 24711. 已知函数 f(x) sin 2xsin cos 2xcos sin (0),将函12 12 (2 )数 f(x)的图象向左平移 个单位后得到函数 g(x)的图

25、象,且 g ,则12 (4) 12_答案:23解析: f(x) sin 2xsin cos 2xcos sin12 12 (2 ) sin 2xsin cos cos 12 cos 2x 12 12 sin 2xsin cos 2xcos 12 12 cos(2x),12 g(x) cos cos .12 2(x 12) 12 (2x 6 ) g ,(4) 12 2 2k(kZ),即 2k(kZ)4 6 23 0, .23二、 解答题12. (2017江阴期初)已知函数 f(x)sin sin 2cos 2x1,xR.(2x3) (2x 3)(1) 求函数 f(x)的最小正周期;(2) 求函数

26、 f(x)在区间 上的最大值和最小值4, 4解:(1) f(x)sin2xcos cos2xsin sin2xcos cos2xsin cos2xsin2xcos2x sin3 3 3 3 2,(2x4) 函数 f(x)的最小正周期 T .22(2) 函数 f(x)在区间 上是增函数,在区间 上是减函数,4, 8 8, 4又 f 1,f ,f 1,(4) (8) 2 (4) 函数 f(x)在 上的最大值为 ,最小值为1.4, 4 213. 已知函数 f(x)(2cos 2x1)sin 2x cos 4x.12(1) 求 f(x)的最小正周期及单调递减区间;(2) 若 (0,),且 f ,求 t

27、an 的值(4 8) 22 ( 3)解:(1) f(x)(2cos 2x1)sin 2x cos 4xcos 2xsin 2x cos 4x (sin 12 12 124xcos 4x) sin ,22 (4x 4) f(x)的最小正周期 T .2令 2k 4x 2k ,kZ,2 4 32得 x ,kZ.k2 16 k2 516 f(x)的单调递减区间为 ,kZ.k2 16, k2 516(2) f ,即 sin 1,(4 8) 22 ( 4)又 (0,), ,4 434 ,故 .4 2 34因此 tan 2 .( 3)tan 34 tan 31 tan 34tan 3 1 31 3 3第 6

28、课时 简单的三角恒等变换一、 填空题1. 已知 cos4sin 4 ,则 cos 4_23答案:19解析: cos4sin 4(sin 2cos 2)(cos 2sin 2)cos 2 , cos 2342cos 2212 1 .(23)2 192. 若 sin ,则 cos 2_2 33答案:79解析:cos12sin 2 12 ,cos22cos 212 1 .2 (33)2 13 (13)2 793. 在ABC 中,若 2cos Bsin Asin C,则ABC 的形状一定是_答案:等腰三角形解析:在ABC 中,C(AB), 2cos Bsin Asin(AB)sin(AB)sin A

29、cos B cos Asin B sin Acos Bcos Asin B0,即 sin(BA)0. AB,故ABC 的形状一定是等腰三角形4. 在ABC 中,tan Atan B tan Atan B,则 C_3 3答案:3解析:由已知可得 tan Atan B (tan Atan B1),3 tan(AB) .又 0AB,tan A tan B1 tan Atan B 3 AB , C .23 35. 若 2cos 2sin ,且 ,则 sin 2_(4 ) (2, )答案:78解析:由 2cos 2sin ,得 2(cos2sin 2) (cos sin ),所(4 ) 22以 cos

30、sin .又(cos sin ) 212sin cos 1sin 2 ,24 18所以 sin 2 .786. 若 0 ,2),则满足 sin cos 的 的取值范围是1 sin 2_答案: 0,34 74, 2 )解析:由 sin cos ,得 sin cos sin 0.因1 sin 2 2 ( 4)为 0,2),所以 的取值范围为 .0,34 74, 2 )7. _2cos 10 sin 20sin 70答案: 3解析:原式2cos( 30 20) sin 20sin 702( cos 30cos 20 sin 30sin 20) sin 20sin 70 .3cos 20cos 20

31、38. 已知 sin 2 ,且 ,则 sin _2425 (34, )答案:35解析: , cos 0,sin 0 ,且|cos |sin |.又(34, )(sin cos ) 21sin 21 ,2425 125 sin cos ,同理可得 sin cos ,15 75 sin .359. sin 18cos 36_答案:14解析:原式2sin 18cos 18cos 362cos 18 .2sin 36cos 364cos 18 sin 724cos 181410. 已知 sin cos ,且 ,则 的值为_12 (0, 2) cos 2sin( 4)答案:142解析:由 sin cos

32、 ,得 sin cos ,12 12 (sin cos ) 2 , 2sin cos ,14 34 (sin cos ) 212sin cos .74又 , sin cos ,(0,2) 72 (sin cos )cos 2sin( 4)cos2 sin222( sin cos ) 2 .142二、 解答题11. 已知ABC 是锐角三角形,且 sin cos .(B6) (B 3) 12(1) 求角 B的值;(2) 若 tan Atan C3,求角 A,C 的值解:(1) sin cos(B6) (B 3) (32sin B 12cos B)(12cos B 32sin B) sin2B co

33、s2Bsin 2B ,34 14 14 12所以 sin2B .34因为 B为锐角三角形的内角,所以 sin B ,即 B .32 3(2) 因为 B ,所以 AC .3 23又ABC 是锐角三角形,所以 tan A0,tan C0.而 tan(AC) ,tan A tan C1 tan Atan C 3所以 tan Atan C tan Atan C 2 .3 3 3又 tan Atan C3 ,由解得 tan Atan C ,所以 AC .3312. (2017南通、扬州、泰州、苏北四市二模)已知 sin , .( 4) 210 (2, )(1) 求 cos 的值;(2) 求 sin 的值

34、(2 4)解:(1) (解法 1)因为 ,所以 .(2, ) 4 (34, 54)又 sin ,所以 cos .( 4) 210 ( 4) 1 sin2( 4) 1 (210)2 7210所以 cos cos cos cos sin sin ( 4) 4 ( 4) 4 ( 4) 4 7210 .22 210 22 35(解法 2)由 sin 得, sin cos cos sin ,( 4) 210 4 4 210即 sin cos .15又 sin2cos 21 .由解得 cos 或 cos .35 45因为 ,所以 cos .(2, ) 35(2) 因为 ,cos ,(2, ) 35所以 s

35、in .1 cos21 ( 35)2 45所以 sin 22sin cos 2 ,45 ( 35) 2425cos 22cos 212 1 .(35)2 725所以 sin sin 2cos cos 2sin (2 4) 4 4 ( 2425) 22 ( 725) 22.1725013. (2017泰州模拟 )如图,现要在一块半径为 1 m,圆心角为 的扇形白铁片 AOB3上剪出一个平行四边形 MNPQ,使点 P在弧 AB上,点 Q在 OA上,点 M,N 在 OB上,设BOP,平行四边形 MNPQ的面积为 S.(1) 求 S关于 的函数关系式;(2) 求 S的最大值及相应的 值解:(1) 分别

36、过 P,Q 作 PDOB 于点 D,QEOB 于点 E,则四边形 QEDP为矩形由扇形半径为 1 m,得 PDsin ,ODcos .在 RtOEQ 中,OE QE PD,MNQPDEODOEcos sin ,所以33 33 33SMNPD sin sin cos sin2, .(cos 33sin ) 33 (0, 3)(2) 由(1)得 S sin 2 (1cos 2)12 36 sin 2 cos 212 36 36 sin ,33 (2 6) 36因为 ,所以 2 ,(0,3) 6 (6, 56)所以 sin .(2 6) (12, 1当 时,S max (m2)6 36第 7课时 正

37、弦定理和余弦定理一、 填空题1. (2017江阴期初)在ABC 中,若 A60,B45,BC3 ,则2AC_答案:2 3解析:由已知及正弦定理得 ,即 AC 2 .ACsin B BCsin A BCsin Bsin A 32sin 45sin 60 32. 在ABC 中,AC ,A45,C75,则 BC_3答案: 2解析:由题意得 B180AC60.由正弦定理得 ,则 BCACsin B BCsin A,所以 BC .ACsin Asin B32232 23. 在ABC 中,A60,AB2,且ABC 的面积为 ,则 BC的长为_32答案: 3解析:S ABACsin 60 2 AC ,所以

38、AC1,所以12 12 32 32BC2AB 2AC 22ABACcos 603,所以 BC .34. 已知在ABC 中,内角 A,B,C 所对边的长分别为a,b,c,a 2b 2c 2bc,bc4,则ABC 的面积为_答案: 3解析: a 2b 2c 2bc, cos A .12 A .又 bc4, ABC 的面积为 bcsin A .3 12 35. (2017苏锡常镇调研(二)在ABC 中,角 A,B,C 所对边的长分别是 a,b,c,若满足 2bcos A2c a,则角 B的大小为_3答案:6解析:由正弦定理得 2sin Bcos A2sin C sin A2sin Bcos A2sin(AB)3sin A2sin Acos B sin A A(0,), cos B . B(0,), 3 332B .66. 在ABC 中