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2019版高考数学一轮复习《第九章平面解析几何》课时训练(含答案)

1、第九章 平面解析几何第 1 课时 直线的倾斜角与斜率一、 填空题1. 已知过点 P(2,m)和 Q(m,4)的直线的斜率不存在,则 m 的值为_答案:2解析:由题意可知,点 P 和 Q 的横坐标相同,即 m2.2. 若直线过(2 ,9),(6 ,15)两点,则直线的倾斜角为_3 3答案:120解析:设直线的倾斜角为 ,则 tan , 15 963 23 3 0180, 120.3. 如果图中的三条直线 l1,l 2,l 3的斜率分别为 k1,k 2,k 3,则 k1,k 2,k 3从小到大的排列顺序为_答案:k 30,k 30.(1) 求证:这三条直线共有三个不同的交点;(2) 求这三条直线围

2、成的三角形的面积的最大值假设直线 l1与 l2交于点 A,直线 l1与 l3交于点 B,直线 l2与 l3交于点 C.(1) 证明:(证法 1)由 ax y a 0,x ay a( a 1) 0, )解得x aa2 1,y a(a2 a 1)a2 1 , )所以直线 l1与 l2相交于点 A .(aa2 1, a(a2 a 1)a2 1 )由 解得ax y a 0,( a 1) x y a 1 0, ) x 1,y 0, )所以直线 l1与 l3相交于点 B(1,0)由 解得x ay a( a 1) 0,( a 1) x y a 1 0, ) x 0,y a 1, )所以直线 l2与 l3相交

3、于点 C(0,a1)因为 a0,所以 1,且 0,aa2 1 aa2 1所以 A,B,C 三点不同,即这三条直线共有三个不同的交点(证法 2) 设三条直线 l1,l 2,l 3的斜率分别为 k1,k 2,k 3,则 k1a,k 2 ,k 3a1.1a由 k1k21 得 l1l 2,所以直线 l1与直线 l2相交由 k1k 3,得直线 l1与直线 l3相交由 a(a1)1 0 知 k2k 3,所以直线 l2与直线 l3相交(a12)2 34所以直线 l1,l 2,l 3任何两条均不平行 由 得ax y a 0,( a 1) x y a 1 0, ) x 1,y 0, )所以直线 l1与 l3相交

4、于点 B(1,0)又1a(a1) 0,(a12)2 34所以直线 l2不过点(1,0),所以直线 l1,l 2,l 3不可能交于同一点综上,这三条直线共有三个不同的交点(2) 解:(解法 1)由 k1k2a 1 得 l1l 2,所以BAC90.(1a)由两点间距离公式及(1),得 AB ,AC ,a2 a 11 a2 11 a2所以 SABC ABAC ,12 a2 a 12( a2 1) 12 12(a 1a) 12 1221 34当且仅当 a1 时取等号所以这三条直线围成的三角形的面积的最大值为 .34(解法 2)由 k1k2a 1 得 l1l 2,所以BAC90.(1a)点 B 到直线

5、l2的距离 d1 ,点 C 到直线 l1的距离 d2 ,1 a( a 1)1 a2 11 a2所以 SABC d1d2 ,12 a2 a 12( a2 1)以下同解法 1.第 4 课时 圆 的 方 程一、 填空题1. 若直线 3xya0 过圆 x2y 22x4y0 的圆心,则实数 a 的值为_答案:1解析:因为圆 x2y 22x4y0 的圆心为(1,2),所以 3(1)2a0,解得a1.2. 圆心在直线 2xy70 上的圆 C 与 y 轴交于两点 A(0,4),B(0,2),则圆C 的方程为_答案:(x2) 2(y3) 25解析:由题意知圆心纵坐标 y3,代入直线 2xy70 得圆心 C(2,

6、3),r22 21 25,所以圆的方程为(x2) 2(y3) 25.3. 若圆 C 的半径为 1,其圆心与点 (1,0)关于直线 yx 对称,则圆 C 的标准方程为_答案:x 2(y1) 21解析:由圆 C 的圆心与点(1,0)关于直线 yx 对称,得圆 C 的圆心为(0,1)因为圆C 的半径为 1,所以圆 C 的标准方程为 x2(y1) 21.4. 若点(1,1)在圆 x2y 2xym0 外,则 m 的取值范围是_答案: (0,12)解析:由题意可知 解得 0m .( 1) 2 12 4m 0,1 ( 1) 2 1 1 m 0, ) 125. 若圆的方程为 x2y 2kx4yk 20,则当圆

7、的面积最大时,圆心坐标为_答案:(0,2)解析:将圆的方程 x2y 2kx4yk 20 化为标准方程为 (y2)(xk2)2 24 . r 24 4, k0 时,r 最大,此时圆心坐标为(0,2)3k24 3k246. 已知实数 x,y 满足(x2) 2(y1) 21,则 2xy 的最大值为_答案:5 5解析:令 b2xy,则 b 为直线 2xyb 在 y 轴上的截距的相反数,当直线2xyb 与圆相切时,b 取得最值由 1,解得 b5 ,所以 2xy|22 1 b|5 5的最大值为 5 .57. 已知平面区域 恰好被面积最小的圆 C:(xa) 2(yb) 2r 2及x 0,y 0,x 2y 4

8、 0, )其内部所覆盖,则圆 C 的方程为_答案:(x2) 2(y1) 25解析:由题意知,此平面区域表示的是以 O(0,0),P(4,0),Q(0,2)所构成的三角形及其内部,所以覆盖它且面积最小的圆是其外接圆因为OPQ 为直角三角形,所以圆心为斜边 PQ 的中点(2,1),半径 r ,因此圆 C 的方程为(x2) 2(y1) 25.PQ2 58. 在圆 x2y 22x6y0 内,过点 E(0,1)的最长弦和最短弦分别为 AC 和 BD,则四边形 ABCD 的面积为_答案:10 2解析:由题意可知,圆的圆心坐标是(1,3),半径是 ,且点 E(0,1)位于该圆内,10故过点 E(0,1)的最

9、短弦长 BD2 2 (注:过圆内一定点的最短弦是以10 ( 12 22) 5该点为中点的弦),过点 E(0,1)的最长弦长等于该圆的直径,即 AC2 ,且 ACBD,10因此四边形 ABCD 的面积为 ACBD 2 2 10 .12 12 10 5 29. 在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(1,0),B(1,0)若动点 C 满足 AC BC,则2ABC 的面积的最大值是_答案:2 2解析:设满足条件 AC BC 的 C 点坐标为(x,y),则(x1) 2y 22(x1) 22y 2,2化简得(x3) 2y 28.其中 y0,从而 S 2|y|2 ,所以ABC 的面积的最大值12 2是 2

10、.210. 已知圆 C:(x3) 2(y4) 21 和两点 A(m,0),B(m,0)(m0)若圆 C 上存在点 P,使得APB90,则 m 的最大值为_答案:6解析:根据题意,画出示意图,如图,则圆心 C 的坐标为(3,4),半径 r1,且AB2m,因为APB90,连结 OP,易知 OP ABm.要求 m 的最大值,即求圆 C 上的点12P 到原点 O 的最大距离因为 OC 5,所以 OPmaxOCr6,即 m 的最大值为 6.32 42二、 解答题11. 已知以点 P 为圆心的圆经过点 A(1,0)和 B(3,4),线段 AB 的垂直平分线交圆P 于点 C 和 D,且 CD4 .10(1)

11、 求直线 CD 的方程;(2) 求圆 P 的方程解:(1) 直线 AB 的斜率 k1,AB 的中点坐标为(1,2)则直线 CD 的方程为 y2(x1),即 xy30.(2) 设圆心 P(a,b),则由 P 在 CD 上得 ab30 . 直径 CD4 , PA2 ,10 10 (a1) 2b 240 .由解得 或a 3,b 6 ) a 5,b 2.) 圆心 P(3,6)或 P(5,2) 圆 P 的方程为(x3) 2(y6) 240 或(x5) 2(y2) 240.12. 如图,一隧道内设双行线公路,其截面由一段圆弧和一个长方形构成已知隧道总宽度 AD 为 6 m,行车道总宽度 BC 为 2 m,

12、侧墙 EA,FD 高为 2 m,弧顶高 MN 为 5 m.3 11(1) 建立直角坐标系,求圆弧所在的圆的方程;(2)为保证安全,要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少要有 0.5 m请计算车辆通过隧道的限制高度是多少解:(1) (解法 1)以 EF 所在直线为 x 轴,以 MN 所在直线为 y 轴,以 1 m 为单位长度建立直角坐标系则有 E(3 ,0),F(3 ,0),M(0,3)3 3由于所求圆的圆心在 y 轴上,所以设圆的方程为(x0) 2(yb) 2r 2. F(3 ,0),M(0,3)都在圆上,3 ( 33) 2 b2 r2,02 ( 3 b) 2 r2,

13、 )解得 b3,r 236.圆的方程是 x2(y3) 236.(解法 2)以 EF 所在直线为 x 轴,以 MN 所在直线为 y 轴,以 1 m 为单位长度建立直角坐标系设所求圆的圆心为 G,半径为 r,则点 G 在 y 轴上,在 RtGOE 中,OE3 ,GEr,OGr3.3由勾股定理,得 r2(3 )2(r3) 2,解得 r6,3则圆心 G 的坐标为(0,3),故圆的方程是 x2(y3) 236.(2) 设限高为 h,作 CPAD,交圆弧于点 P,则 CPh0.5.将点 P 的横坐标 x 代入圆的方程,得( )2(y3) 236,得 y2 或11 11y8(舍)所以 hCP0.5(yDF)

14、0.5(22)0.53.5(m)答:车辆的限制高度为 3.5 m.13. 已知 M 为圆 C:x 2y 24x14y450 上任意一点,且点 Q(2,3)(1) 求 MQ 的最大值和最小值;(2) 若 M(m,n),求 的最大值和最小值n 3m 2解:(1) 由圆 C:x 2y 24x14y450,化为标准方程得(x2) 2(y7) 28,所以圆心 C 的坐标为(2,7),半径 r2 .2又 QC 4 ,( 2 2) 2 ( 7 3) 2 2所以 MQmax4 2 6 ,2 2 2MQmin4 2 2 .2 2 2(2) 由题意可知 表示直线 MQ 的斜率n 3m 2设直线 MQ 的方程为 y

15、3k(x2),即 kxy2k30,则 k.n 3m 2由直线 MQ 与圆 C 有公共点,所以 2 ,|2k 7 2k 3|1 k2 2解得 2 k2 ,3 3所以 的最大值为 2 ,最小值为 2 .第 5 课时 直线与圆的位置关系n 3m 2 3 3一、 填空题1. 若点 P(1,2)在以坐标原点为圆心的圆上,则该圆在点 P 处的切线方程为_答案:x2y50解析:由点 P(1,2)在以坐标原点为圆心的圆上知,此圆的方程为 x2y 25,所以该圆在点 P 处的切线方程为 1x2y5,即 x2y50.2. 圆 x2y 2x2y200 与圆 x2y 225 相交所得的公共弦长为 _答案:4 5解析:

16、公共弦所在直线的方程为(x 2y 2x2y20)(x 2y 225)0,即x2y50,圆 x2y 225 的圆心到公共弦的距离 d ,而半径为|0 20 5|5 55,故公共弦长为 2 4 .52 ( 5) 2 53. (2017泰州中学月考)直线 ykx3 与圆(x2) 2(y3) 24 相交于 M,N 两点若 MN2 ,则 k 的取值范围是_3答案: 33, 33解析:由圆的方程,得圆心(2,3),半径 r2, 圆心到直线 ykx3 的距离 d ,MN2 ,|2k 3 3|k2 1 3 2 2 2 ,r2 d24 4k2k2 1 3变形得 4 3,即 4k244k 23k 23,4k2k2

17、 1解得 k ,33 33则 k 的取值范围是 .33, 334. 过点 P(2,4)引圆(x1) 2(y1) 21 的切线,则切线方程为_答案:x2 或 4x3y40解析:当直线的斜率不存在时,直线方程为 x2,此时,圆心到直线的距离等于半径,直线与圆相切,符合题意; 当直线的斜率存在时,设直线方程为 y4k(x2),即kxy42k0, 直线与圆相切, 圆心到直线的距离等于半径,即 d 1,解得 k , 所求切线方程为 xy42 0,即|k 1 4 2k|k2 ( 1) 2 |3 k|k2 1 43 43 434x3y40.综上,切线方程为 x2 或 4x3y40.5. (2017扬州期中)

18、已知圆 C:x 2y 24x2y200,直线 l:4x3y150 与圆 C 相交于 A,B 两点,D 为圆 C 上异于 A,B 两点的任一点,则ABD 面积的最大值为_答案:27解析:因为圆 C:x 2y 24x2y200,所以圆心 C(2,1),半径 r5,所以圆心C 到直线 l:4x3y150 的距离 d 4,所以|42 31 15|42 ( 3) 2AB2 2 6.因为 D 为圆 C 上异于 A, B 两点的任一点,所以 D 到直线r2 d2 25 16AB 即直线 l:4x3y150 的距离的最大值为 dr9,所以ABD 面积的最大值为AB927.126. (2017苏锡常镇二模)已知

19、直线 l:mxy2m10,圆C:x 2y 22x4y0,当直线 l 被圆 C 所截得的弦长最短时,实数 m_答案:1解析:由题意,得 C(1,2),直线 l:m(x2)y10 恒过定点 A(2,1)当直线 l被圆 C 所截得的弦长最短时,直线 lCA.因为直线 l 的斜率为m,直线 CA 的斜率为1,所以m(1)1,即 m1.1 22 17. 已知圆 O:x 2y 21,直线 x2y50 上动点 P,过点 P 作圆 O 的一条切线,切点为 A,则 PA 的最小值为_答案:2解析:过点 O 作 OP 垂直于直线 x2y50,过点 P 作圆 O 的切线 PA,连结 OA,易知此时 PA 的值最小由

20、点到直线的距离公式,得 OP .又|10 20 5|1 22 5OA1,所以 PA 2.OP2 OA28. 在直角坐标系 xOy 中,已知 A(1,0),B(0,1),则满足 PA2PB 24 且在圆x2y 24 上的点 P 的个数为_答案:2解析:设 P(x,y),由 PA2PB 24 知(x1) 2y 2x 2(y1) 24,整理得xy20.又圆心(0,0)到直线 xy20 距离 d 2,因此直线与圆有两个交22 2点,故符合条件的点 P 有 2 个9. (2017南通三模)在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(0,2),点 B(1,1),P 为圆 x2y 22 上一动点,则 的最大值

21、是_PBPA答案:2解析:(解法 1)设点 P(x,y),则 x2y 22,所以 PB2PA2 ( x 1) 2 ( y 1) 2x2 ( y 2) 2 x2 y2 2x 2y 2x2 y2 4y 4 . 2x 2y 44y 6 x y 22y 3令 ,所以 x(21)y320, x y 22y 3由题意,直线 x(21)y320 与圆 x2y 22 有公共点,所以 ,解得 04,所以 的最大值为 2.|3 2|1 ( 2 1) 2 2 PBPA(解法 2)当 AP 不与圆相切时,设 AP 与圆的另一个交点为 D,由条件 AB 与圆 C 相切,则ABPADB,所以ABPADB,所以 2,所以

22、的最大值为 2.PBPA BDBA BD2 PBPA10. (2017南京三模)在平面直角坐标系 xOy 中,圆 O:x 2y 21,圆 M:(xa3)2(y2a) 21(a 为实数)若圆 O 与圆 M 上分别存在点 P,Q,使得OQP30 0,则 a 的取值范围是_答案: 65, 0解析:过点 Q 作圆 O 的切线 QR,切点为 R,根据圆的切线性质,有OQROQP30;反过来,如果OQR30,则存在圆 O 上的点 P,使得OQP30.若圆 O 上存在点 P,使得OQP30,则OQR30.因为 OP1,所以 OQ2 时不成立,所以 OQ2,即点 Q 在圆面 x2y 24 上因为点 Q 在圆

23、M 上,所以圆 M:(xa3)2(y2a) 21(a 为实数)与圆面 x2y 24 有公共点,所以 OM3.因为 OM2(0a3)2(02a) 2,所以(0a3) 2(02a) 29,解得 a0.65二、 解答题11. 已知圆 C:x 2y 28y120,直线 l:axy2a0.(1) 当 a 为何值时,直线 l 与圆 C 相切;(2) 当直线 l 与圆 C 相交于 A,B 两点,且 AB2 时,求直线 l 的方程2解:将圆 C 的方程 x2y 28y120 化成标准方程为 x2(y4) 24,则此圆的圆心为(0,4),半径为 2.(1) 若直线 l 与圆 C 相切,则有 2,解得 a .|4

24、 2a|a2 1 34(2) 过圆心 C 作 CDAB,垂足为 D,则根据题意和圆的性质,得CD |4 2a|a2 1,CD2 DA2 AC2 22,DA 12AB 2, )解得 a7 或1.故所求直线方程为 7xy140 或 xy20.12. (2017苏北四市期中)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆C:x 2y 24x0 及点 A(1,0),B(1,2)(1) 若直线 l 平行于 AB,与圆 C 相交于 M,N 两点,MNAB,求直线 l 的方程;(2) 在圆 C 上是否存在点 P,使得 PA2PB 212?若存在,求点 P 的个数;若不存在,说明理由解:(1) 圆 C 的标准方程

25、为(x2) 2y 24,所以圆心 C(2,0),半径为 2.因为lAB,A(1,0),B(1,2),所以直线 l 的斜率为 1.设直线 l 的方程为2 01 ( 1)xym0,则圆心 C 到直线 l 的距离 d .因为 MNAB 2|2 0 m|2 |2 m|2 22 22,而 CM2d 2 ,所以 4 2,解得 m0 或 m4,故直线 l 的方程为2 (MN2)2 ( 2 m) 22xy0 或 xy40.(2) 假设圆 C 上存在点 P,设 P(x,y),则(x2) 2y 24,PA2PB 2(x1) 2(y0) 2(x1) 2(y2) 212,即 x2y 22y30,即 x2(y1) 24

26、.因为 22 22,( 2 0) 2 ( 0 1) 2所以圆(x2) 2y 24 与圆 x2(y1) 24 相交,所以点 P 的个数为 2.13. 平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 C1:(x3) 2y 24 和圆 C2:(x4) 2(y4)24.(1) 若直线 l 过点 A(4,1),且被圆 C1截得的弦长为 2 ,求直线 l 的方程;3(2) 是否存在一个定点 P,使过 P 点有无数条直线 l 与圆 C1和圆 C2都相交,且 l 被两圆截得的弦长相等?若存在,求点 P 的坐标;若不存在,请说明理由解:(1) 由于直线 x4 与圆 C1不相交,所以直线 l 的斜率存在设直线 l 的方程为

27、yk(x4)1,即 kxy4k10,由垂径定理,得圆心 C1到直线 l 的距离 d 1,22 (232)2结合点到直线距离公式,得 1, | 3k 1 4k|k2 1化简得 24k27k0,所以 k0 或 k .724故直线 l 的方程为 y1 或 y (x4)1,即 y1 或 7x24y40.724(2) 假设存在,设点 P(a,b),l 的方程为 ybk(xa),即 kxybak0.因为圆 C1和圆 C2的半径相等,被 l 截得的弦长也相等,所以圆 C1和圆 C2的圆心到直线 l 的距离也相等,即 ,| 3k b ak|1 k2 |4k 4 b ak|1 k2整理得(14a7)k 2(8a

28、14b32)k8b160.因为 k 的个数有无数多个,所以 解得14a 7 0,8a 14b 32 0,8b 16 0, ) a 12,b 2.)综上所述,存在满足条件的定点 P,且点 P 的坐标为 .(12, 2)第 6 课时 椭 圆(1)一、 填空题1. 经过点(0,4)且焦距为 10 的椭圆的标准方程为_答案: 1x241 y216解析:因为焦距为 10,所以 2c10,c5.因为 45,所以 b4,且焦点在 x 轴上,a2b 2c 2162541,故椭圆的标准方程为 1.x241 y2162. 已知椭圆方程为 1,则 k 的取值范围是_x2k 3 y25 k答案:(3,4)(4,5)解

29、析:由题意得 k(3,4)(4,5)k 30,5 k 0,k 3 5 k, )3. 已知 F1,F 2是椭圆 1 的两焦点,过点 F2的直线交椭圆于 A,B 两点在x216 y29AF1B 中,若有两边之和是 10,则第三边的长度为_答案:6解析:根据椭圆定义,知AF 1B 的周长为 4a16,故所求的第三边的长度为16106.4. 已知 F1(1,0),F 2(1,0)是椭圆 C 的两个焦点,过 F2且垂直于 x 轴的直线交 C于 A,B 两点,且 AB3,则椭圆 C 的方程为_答案: 1x24 y23解析:由题意知椭圆焦点在 x 轴上,且 c1,可设椭圆 C 的方程为 1(a1),由过 F

30、2且垂直于 x 轴的直线被椭圆 C 截得的弦长 AB3 知,点x2a2 y2a2 1必在椭圆上,代入椭圆方程化简得 4a417a 240,所以 a24 或 a2 (舍去),故(1,32) 14椭圆 C 的方程为 1.x24 y235. 若椭圆 C: 1 的焦点为 F1,F 2,点 P 在椭圆 C 上,且 PF14,则x29 y22F 1PF2_答案:23解析:由题意得 a3,c ,则 PF22.7在F 2PF1中,由余弦定理可得 cosF 2PF1 .42 22 ( 27) 2242 12 F 2PF1(0,), F 1PF2 .236. (2017淮阴高级中学模考)已知过椭圆 1 的中心任作

31、一直线交椭圆于x225 y216P,Q 两点,F 是椭圆的一个焦点,则PQF 周长的最小值是_答案:18解析:如图,设 F 为椭圆的左焦点,右焦点为 F2,根据椭圆的对称性可知FQPF 2,OPOQ,所以PQF 的周长为 PFFQPQPFPF 22PO2a2PO102PO,易知 2PO 的最小值为椭圆的短轴长,即点 P,Q 为椭圆的上下顶点时,PQF 的周长取得最小值,最小值是 18.7. 已知椭圆 y 21 的左、右焦点分别为 F1,F 2,点 M 在该椭圆上,x24且 0,则点 M 到 y 轴的距离为_MF1 MF2 答案:263解析:由题意,得 F1( ,0),F 2( ,0)3 3设

32、M(x,y),则 ( x,y)( x,y)0,整理得 x2y 23 MF1 MF2 3 3.因为点 M 在椭圆上,故 y 21,即 y21 .x24 x24将代入,得 x22,解得 x .故点 M 到 y 轴的距离为 .34 263 2638. (2017苏北四市期中)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知 A,B 1,B 2分别为椭圆 C: 1(ab0)的右、下、上顶点,F 是椭圆 C 的右焦点若 B2FAB 1,则椭圆x2a2 y2b2C 的离心率是_答案:5 12解析:由题意得,A(a,0),B 1(0,b),B 2(0,b),F(c,0),所以 (c,b), (a,b)B2F AB1

33、 因为 B2FAB 1,所以 0,即 b2ac,B2F AB1 所以 c2aca 20,e 2e10.又椭圆的离心率 e(0,1),所以 e .5 129. 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,F 是椭圆 1(ab0)的右焦点,直线x2a2 y2b2y 与椭圆交于 B,C 两点,且BFC90,则椭圆的离心率是_b2答案:63解析:由题意得,B ,C ,因为 FBFC , 0, (32a, b2) (32a, b2) FB FC FB , ,因此 c2 0,3c 22a 2,解得 e .(3a2 c, b2) FC (32a c, b2) (32a)2 (b2)2 6310. 如图,A,B 是椭

34、圆的两个顶点,点 C 是 AB 的中点,F 为椭圆的右焦点,OC 的延长线交椭圆于点 M,且 OF .若 MFOA,则椭圆的方程为_2答案: 1x24 y22解析:设所求的椭圆方程为 1(ab0),则 A(a,0),B(0,b),C ,F(x2a2 y2b2 (a2, b2),0)依题意得 ,FM 的直线方程是 x ,所以 M .由于a2 b2 a2 b2 2 2 (2,baa2 2)O,C,M 三点共线,所以 ,即 a222,所以 a24,b 22,所以所求椭圆的ba2 2a2b2a2方程是 1.x24 y22二、 解答题11. 分别求下列椭圆的标准方程(1) 经过点 P(2 ,0),Q(0

35、,2)两点;3(2) 长轴长是短轴长的 3 倍,且经过 M(3,2);(3) 与椭圆 4x29y 236 有相同焦点,且过点(3,2)解:(1) 由题意,P,Q 分别是椭圆长轴和短轴上的端点,且椭圆的焦点在 x 轴上,所以 a2 ,b2,所以椭圆的标准方程为 1.3x212 y24(2) 当焦点在 x 轴上时,设椭圆的标准方程为 1(ab0),x2a2 y2b2又点 M(3,2)在椭圆上,由题意,得 解得a 3b,32a2 22b2 1, ) a2 45,b2 5, )所以椭圆的标准方程为 1.x245 y25当焦点在 y 轴上时,设椭圆的标准方程为 1(ab0),y2a2 x2b2又点 M(

36、3,2)在椭圆上,由题意,得 所以 椭圆的标准方程为a 3b,22a2 32b2 1, ) a2 85,b2 859, ) 1.x2859 y285综上,椭圆的标准方程为 1 或 1.x245 y25 x2859 y285(3) 由椭圆 4x29y 236 得 c ,5所以设所求椭圆的标准方程为 1(ab0)x2a2 y2b2由题意,得 所以a2 5 b2,32a2 ( 2) 2b2 1, ) a2 15,b2 10, )所以椭圆的标准方程为 1.x215 y21012. 在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 的标准方程为 1(ab0),右焦点为x2a2 y2b2F,右准线为 l,短轴的一个

37、端点为 B.设原点到直线 BF 的距离为 d1,F 到 l 的距离为 d2,若 d2 d1,求椭圆 C 的离心率6解: 右准线 l:x ,d 2 c ,a2c a2c b2c在 RtBOF 中,由面积法得 d1 ,bca若 d2 d1,则 ,6b2c 6 bca整理得 a2ab b20,6 6两边同除以 a2,得 0,6(ba)2 ba 6解得 或 (舍),ba 63 62 e .1 (ba)2 3313. 如图,已知椭圆 1(ab0),F 1,F 2分别为椭圆的左、右焦点,A 为椭圆x2a2 y2b2的上顶点,直线 AF2交椭圆于另一点 B.(1) 若F 1AB90,求椭圆的离心率;(2)

38、若椭圆的焦距为 2,且 2 ,求椭圆的方程AF2 F2B 解:(1) 若F 1AB90,则AOF 2为等腰直角三角形,所以有 OAOF 2,即 bc.所以 a c,e .2ca 22(2) 由题意知 A(0,b),F 2(1,0),设 B(x,y)由 2 ,解得 x ,y .AF2 F2B 32 b2代入 1,即 1,解得 a23,b 2a 2c 22.x2a2 y2b2 94a2 14所以椭圆的方程为 1.第 7 课时 椭 圆(2) x23 y22一、 填空题1. 已知椭圆 1 的焦距为 2,则 m 的值为_x2m y24答案:5 或 3解析:当焦点在 x 轴上时,a 2m,b 24, c

39、, 1, m5;当m 4 m 4焦点在 y 轴上时,a 24,b 2m, c , 1, m3.4 m 4 m2. 已知以椭圆两焦点 F1,F 2所连线段为直径的圆,恰好过短轴两端点,则此椭圆的离心率 e 等于_答案:22解析:由题意得 bc, a 2b 2c 22c 2, e .ca 223. 已知椭圆的中心在原点,焦距为 4,一条准线为 x4,则该椭圆的方程为_答案: 1x28 y24解析:由 2c4, 4,a 2b 2c 2,得 a28,b 24,则该椭圆的方程为 1.a2c x28 y244. 中心在原点,焦点在 x 轴上,若长轴长为 18,且两个焦点恰好将长轴三等分,则此椭圆的方程是_

40、答案: 1x281 y272解析:依题意知 2a18, a9, 2c 2a,c3,13 b 2a 2c 281972, 椭圆的方程为 1.x281 y2725. 已知椭圆 1 上有一点 P,F 1,F 2是椭圆的左、右焦点若F 1PF2为直角三x24 y22角形,则这样的点 P 有_个答案:6解析:当PF 1F2为直角时,根据椭圆的对称性知,这样的点 P 有 2 个;同理当PF 2F1为直角时,这样的点 P 有 2 个;当 P 点为椭圆的短轴端点时,F 1PF2最大,且为直角,此时这样的点 P 有 2 个故符合要求的点 P 有 6 个6. 设 F1,F 2分别是椭圆 C: 1(ab0)的左、右

41、焦点,点 P 在椭圆 C 上若x2a2 y2b2P 到两焦点的距离之比为 21,则椭圆的离心率的取值范围是_答案: 13, 1)解析:设 P 到两个焦点的距离分别是 2k,k,根据椭圆定义可知 3k2a.又由椭圆的性质可知,椭圆上的点到两个焦点距离之差的最大值为 2c,即 k2c,所以 2a6c,即 e .13因为 0e1,所以 e1.13故椭圆的离心率的取值范围是 .13, 1)7. 已知椭圆 M: 1(ab0)的左、右焦点分别为 F1,F 2,P 为椭圆 M 上一x2a2 y2b2点若| | |的最大值为 3c2,其中 c ,则椭圆 M 的离心率为_PF1 PF2 a2 b2答案:33解析

42、: | | |2a, | | | a 2, PF1 PF2 PF1 PF2 (|PF1 | |PF2 |2 )2 a23c 2, e 2 , e .13 338. 已知椭圆 1(ab0),点 A,B 1,B 2,F 依次为其左顶点、下顶点、上顶点x2a2 y2b2和右焦点若直线 AB2与直线 B1F 的交点恰在椭圆的右准线上,则椭圆的离心率为_答案:12解析:直线 AB2的方程为 1,直线 B1F 的方程为 1,则它们的交点的x a yb xc y b横坐标满足 2,而 x ,可得 a2ac2c 2,即 2e2e10,解得 e .xc xa a2c 129. 已知椭圆 1(0b2)的左、右焦点分别为 F1,F 2,过 F1的直线 l 交椭圆x24 y2b2于 A,B 两点若 BF2AF 2的最大值为 5,则 b 的值是_答案: 3解析:由题意知 a2,所以 BF2AF 2AB4a8,因为 BF2AF 2的最大值为 5,所以|AB|的最小值为 3,当且仅当 ABx 轴时,取得最小值,此时 A ,B(c, ),( c,32) 32代入椭圆方程得 1.又 c2a 2b 24b 2,所以 1,所以 ,c24 94b2 4 b24 94b2 b24 94b2解得 b2