1、第九章 平面解析几何第 1 课时 直线的倾斜角与斜率一、 填空题1. 已知过点 P(2，m)和 Q(m，4)的直线的斜率不存在，则 m 的值为_答案：2解析：由题意可知，点 P 和 Q 的横坐标相同，即 m2.2. 若直线过(2 ，9)，(6 ，15)两点，则直线的倾斜角为_3 3答案：120解析：设直线的倾斜角为 ，则 tan ， 15 963 23 3 0180， 120.3. 如果图中的三条直线 l1，l 2，l 3的斜率分别为 k1，k 2，k 3，则 k1，k 2，k 3从小到大的排列顺序为_答案：k 30，k 30.(1) 求证：这三条直线共有三个不同的交点；(2) 求这三条直线围
2、成的三角形的面积的最大值假设直线 l1与 l2交于点 A，直线 l1与 l3交于点 B，直线 l2与 l3交于点 C.(1) 证明：(证法 1)由 ax y a 0，x ay a（ a 1） 0， )解得x aa2 1，y a(a2 a 1)a2 1 ， )所以直线 l1与 l2相交于点 A .(aa2 1， a(a2 a 1)a2 1 )由 解得ax y a 0，（ a 1） x y a 1 0， ) x 1，y 0， )所以直线 l1与 l3相交于点 B(1，0)由 解得x ay a（ a 1） 0，（ a 1） x y a 1 0， ) x 0，y a 1， )所以直线 l2与 l3相交
3、于点 C(0，a1)因为 a0，所以 1，且 0，aa2 1 aa2 1所以 A，B，C 三点不同，即这三条直线共有三个不同的交点(证法 2) 设三条直线 l1，l 2，l 3的斜率分别为 k1，k 2，k 3，则 k1a，k 2 ，k 3a1.1a由 k1k21 得 l1l 2，所以直线 l1与直线 l2相交由 k1k 3，得直线 l1与直线 l3相交由 a(a1)1 0 知 k2k 3，所以直线 l2与直线 l3相交(a12)2 34所以直线 l1，l 2，l 3任何两条均不平行 由 得ax y a 0，（ a 1） x y a 1 0， ) x 1，y 0， )所以直线 l1与 l3相交
4、于点 B(1，0)又1a(a1) 0，(a12)2 34所以直线 l2不过点(1，0)，所以直线 l1，l 2，l 3不可能交于同一点综上，这三条直线共有三个不同的交点(2) 解：(解法 1)由 k1k2a 1 得 l1l 2，所以BAC90.(1a)由两点间距离公式及(1)，得 AB ，AC ，a2 a 11 a2 11 a2所以 SABC ABAC ，12 a2 a 12（ a2 1） 12 12(a 1a) 12 1221 34当且仅当 a1 时取等号所以这三条直线围成的三角形的面积的最大值为 .34(解法 2)由 k1k2a 1 得 l1l 2，所以BAC90.(1a)点 B 到直线
5、l2的距离 d1 ，点 C 到直线 l1的距离 d2 ，1 a（ a 1）1 a2 11 a2所以 SABC d1d2 ，12 a2 a 12（ a2 1）以下同解法 1.第 4 课时 圆 的 方 程一、 填空题1. 若直线 3xya0 过圆 x2y 22x4y0 的圆心，则实数 a 的值为_答案：1解析：因为圆 x2y 22x4y0 的圆心为(1，2)，所以 3(1)2a0，解得a1.2. 圆心在直线 2xy70 上的圆 C 与 y 轴交于两点 A(0，4)，B(0，2)，则圆C 的方程为_答案：(x2) 2(y3) 25解析：由题意知圆心纵坐标 y3，代入直线 2xy70 得圆心 C(2，
6、3)，r22 21 25，所以圆的方程为(x2) 2(y3) 25.3. 若圆 C 的半径为 1，其圆心与点 (1，0)关于直线 yx 对称，则圆 C 的标准方程为_答案：x 2(y1) 21解析：由圆 C 的圆心与点(1，0)关于直线 yx 对称，得圆 C 的圆心为(0，1)因为圆C 的半径为 1，所以圆 C 的标准方程为 x2(y1) 21.4. 若点(1，1)在圆 x2y 2xym0 外，则 m 的取值范围是_答案： (0，12)解析：由题意可知 解得 0m .（ 1） 2 12 4m 0，1 （ 1） 2 1 1 m 0， ) 125. 若圆的方程为 x2y 2kx4yk 20，则当圆
7、的面积最大时，圆心坐标为_答案：(0，2)解析：将圆的方程 x2y 2kx4yk 20 化为标准方程为 (y2)(xk2)2 24 . r 24 4， k0 时，r 最大，此时圆心坐标为(0，2)3k24 3k246. 已知实数 x，y 满足(x2) 2(y1) 21，则 2xy 的最大值为_答案：5 5解析：令 b2xy，则 b 为直线 2xyb 在 y 轴上的截距的相反数，当直线2xyb 与圆相切时，b 取得最值由 1，解得 b5 ，所以 2xy|22 1 b|5 5的最大值为 5 .57. 已知平面区域 恰好被面积最小的圆 C：(xa) 2(yb) 2r 2及x 0，y 0，x 2y 4
8、 0， )其内部所覆盖，则圆 C 的方程为_答案：(x2) 2(y1) 25解析：由题意知，此平面区域表示的是以 O(0，0)，P(4，0)，Q(0，2)所构成的三角形及其内部，所以覆盖它且面积最小的圆是其外接圆因为OPQ 为直角三角形，所以圆心为斜边 PQ 的中点(2，1)，半径 r ，因此圆 C 的方程为(x2) 2(y1) 25.PQ2 58. 在圆 x2y 22x6y0 内，过点 E(0，1)的最长弦和最短弦分别为 AC 和 BD，则四边形 ABCD 的面积为_答案：10 2解析：由题意可知，圆的圆心坐标是(1，3)，半径是 ，且点 E(0，1)位于该圆内，10故过点 E(0，1)的最
9、短弦长 BD2 2 (注：过圆内一定点的最短弦是以10 （ 12 22） 5该点为中点的弦)，过点 E(0，1)的最长弦长等于该圆的直径，即 AC2 ，且 ACBD，10因此四边形 ABCD 的面积为 ACBD 2 2 10 .12 12 10 5 29. 在平面直角坐标系 xOy 中，点 A(1，0)，B(1，0)若动点 C 满足 AC BC，则2ABC 的面积的最大值是_答案：2 2解析：设满足条件 AC BC 的 C 点坐标为(x，y)，则(x1) 2y 22(x1) 22y 2，2化简得(x3) 2y 28.其中 y0，从而 S 2|y|2 ，所以ABC 的面积的最大值12 2是 2
10、.210. 已知圆 C：(x3) 2(y4) 21 和两点 A(m，0)，B(m，0)(m0)若圆 C 上存在点 P，使得APB90，则 m 的最大值为_答案：6解析：根据题意，画出示意图，如图，则圆心 C 的坐标为(3，4)，半径 r1，且AB2m，因为APB90，连结 OP，易知 OP ABm.要求 m 的最大值，即求圆 C 上的点12P 到原点 O 的最大距离因为 OC 5，所以 OPmaxOCr6，即 m 的最大值为 6.32 42二、 解答题11. 已知以点 P 为圆心的圆经过点 A(1，0)和 B(3，4)，线段 AB 的垂直平分线交圆P 于点 C 和 D，且 CD4 .10(1)
11、 求直线 CD 的方程；(2) 求圆 P 的方程解：(1) 直线 AB 的斜率 k1，AB 的中点坐标为(1，2)则直线 CD 的方程为 y2(x1)，即 xy30.(2) 设圆心 P(a，b)，则由 P 在 CD 上得 ab30 . 直径 CD4 ， PA2 ，10 10 (a1) 2b 240 .由解得 或a 3，b 6 ) a 5，b 2.) 圆心 P(3，6)或 P(5，2) 圆 P 的方程为(x3) 2(y6) 240 或(x5) 2(y2) 240.12. 如图，一隧道内设双行线公路，其截面由一段圆弧和一个长方形构成已知隧道总宽度 AD 为 6 m，行车道总宽度 BC 为 2 m，
12、侧墙 EA，FD 高为 2 m，弧顶高 MN 为 5 m.3 11(1) 建立直角坐标系，求圆弧所在的圆的方程；(2)为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少要有 0.5 m请计算车辆通过隧道的限制高度是多少解：(1) (解法 1)以 EF 所在直线为 x 轴，以 MN 所在直线为 y 轴，以 1 m 为单位长度建立直角坐标系则有 E(3 ，0)，F(3 ，0)，M(0，3)3 3由于所求圆的圆心在 y 轴上，所以设圆的方程为(x0) 2(yb) 2r 2. F(3 ，0)，M(0，3)都在圆上，3 （ 33） 2 b2 r2，02 （ 3 b） 2 r2，
13、 )解得 b3，r 236.圆的方程是 x2(y3) 236.(解法 2)以 EF 所在直线为 x 轴，以 MN 所在直线为 y 轴，以 1 m 为单位长度建立直角坐标系设所求圆的圆心为 G，半径为 r，则点 G 在 y 轴上，在 RtGOE 中，OE3 ，GEr，OGr3.3由勾股定理，得 r2(3 )2(r3) 2，解得 r6，3则圆心 G 的坐标为(0，3)，故圆的方程是 x2(y3) 236.(2) 设限高为 h，作 CPAD，交圆弧于点 P，则 CPh0.5.将点 P 的横坐标 x 代入圆的方程，得( )2(y3) 236，得 y2 或11 11y8(舍)所以 hCP0.5(yDF)
14、0.5(22)0.53.5(m)答：车辆的限制高度为 3.5 m.13. 已知 M 为圆 C：x 2y 24x14y450 上任意一点，且点 Q(2，3)(1) 求 MQ 的最大值和最小值；(2) 若 M(m，n)，求 的最大值和最小值n 3m 2解：(1) 由圆 C：x 2y 24x14y450，化为标准方程得(x2) 2(y7) 28，所以圆心 C 的坐标为(2，7)，半径 r2 .2又 QC 4 ，（ 2 2） 2 （ 7 3） 2 2所以 MQmax4 2 6 ，2 2 2MQmin4 2 2 .2 2 2(2) 由题意可知 表示直线 MQ 的斜率n 3m 2设直线 MQ 的方程为 y
15、3k(x2)，即 kxy2k30，则 k.n 3m 2由直线 MQ 与圆 C 有公共点，所以 2 ，|2k 7 2k 3|1 k2 2解得 2 k2 ，3 3所以 的最大值为 2 ，最小值为 2 .第 5 课时 直线与圆的位置关系n 3m 2 3 3一、 填空题1. 若点 P(1，2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点 P 处的切线方程为_答案：x2y50解析：由点 P(1，2)在以坐标原点为圆心的圆上知，此圆的方程为 x2y 25，所以该圆在点 P 处的切线方程为 1x2y5，即 x2y50.2. 圆 x2y 2x2y200 与圆 x2y 225 相交所得的公共弦长为 _答案：4 5解析：
16、公共弦所在直线的方程为(x 2y 2x2y20)(x 2y 225)0，即x2y50，圆 x2y 225 的圆心到公共弦的距离 d ，而半径为|0 20 5|5 55，故公共弦长为 2 4 .52 （ 5） 2 53. (2017泰州中学月考)直线 ykx3 与圆(x2) 2(y3) 24 相交于 M，N 两点若 MN2 ，则 k 的取值范围是_3答案： 33， 33解析：由圆的方程，得圆心(2，3)，半径 r2， 圆心到直线 ykx3 的距离 d ，MN2 ，|2k 3 3|k2 1 3 2 2 2 ，r2 d24 4k2k2 1 3变形得 4 3，即 4k244k 23k 23，4k2k2
17、 1解得 k ，33 33则 k 的取值范围是 .33， 334. 过点 P(2，4)引圆(x1) 2(y1) 21 的切线，则切线方程为_答案：x2 或 4x3y40解析：当直线的斜率不存在时，直线方程为 x2，此时，圆心到直线的距离等于半径，直线与圆相切，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线方程为 y4k(x2)，即kxy42k0， 直线与圆相切， 圆心到直线的距离等于半径，即 d 1，解得 k ， 所求切线方程为 xy42 0，即|k 1 4 2k|k2 （ 1） 2 |3 k|k2 1 43 43 434x3y40.综上，切线方程为 x2 或 4x3y40.5. (2017扬州期中)
18、已知圆 C：x 2y 24x2y200，直线 l：4x3y150 与圆 C 相交于 A，B 两点，D 为圆 C 上异于 A，B 两点的任一点，则ABD 面积的最大值为_答案：27解析：因为圆 C：x 2y 24x2y200，所以圆心 C(2，1)，半径 r5，所以圆心C 到直线 l：4x3y150 的距离 d 4，所以|42 31 15|42 （ 3） 2AB2 2 6.因为 D 为圆 C 上异于 A， B 两点的任一点，所以 D 到直线r2 d2 25 16AB 即直线 l：4x3y150 的距离的最大值为 dr9，所以ABD 面积的最大值为AB927.126. (2017苏锡常镇二模)已知
19、直线 l：mxy2m10，圆C：x 2y 22x4y0，当直线 l 被圆 C 所截得的弦长最短时，实数 m_答案：1解析：由题意，得 C(1，2)，直线 l：m(x2)y10 恒过定点 A(2，1)当直线 l被圆 C 所截得的弦长最短时，直线 lCA.因为直线 l 的斜率为m，直线 CA 的斜率为1，所以m(1)1，即 m1.1 22 17. 已知圆 O：x 2y 21，直线 x2y50 上动点 P，过点 P 作圆 O 的一条切线，切点为 A，则 PA 的最小值为_答案：2解析：过点 O 作 OP 垂直于直线 x2y50，过点 P 作圆 O 的切线 PA，连结 OA，易知此时 PA 的值最小由
20、点到直线的距离公式，得 OP .又|10 20 5|1 22 5OA1，所以 PA 2.OP2 OA28. 在直角坐标系 xOy 中，已知 A(1，0)，B(0，1)，则满足 PA2PB 24 且在圆x2y 24 上的点 P 的个数为_答案：2解析：设 P(x，y)，由 PA2PB 24 知(x1) 2y 2x 2(y1) 24，整理得xy20.又圆心(0，0)到直线 xy20 距离 d 2，因此直线与圆有两个交22 2点，故符合条件的点 P 有 2 个9. (2017南通三模)在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A(0，2)，点 B(1，1)，P 为圆 x2y 22 上一动点，则 的最大值
21、是_PBPA答案：2解析：(解法 1)设点 P(x，y)，则 x2y 22，所以 PB2PA2 （ x 1） 2 （ y 1） 2x2 （ y 2） 2 x2 y2 2x 2y 2x2 y2 4y 4 . 2x 2y 44y 6 x y 22y 3令 ，所以 x(21)y320， x y 22y 3由题意，直线 x(21)y320 与圆 x2y 22 有公共点，所以 ，解得 04，所以 的最大值为 2.|3 2|1 （ 2 1） 2 2 PBPA(解法 2)当 AP 不与圆相切时，设 AP 与圆的另一个交点为 D，由条件 AB 与圆 C 相切，则ABPADB，所以ABPADB，所以 2，所以
22、的最大值为 2.PBPA BDBA BD2 PBPA10. (2017南京三模)在平面直角坐标系 xOy 中，圆 O：x 2y 21，圆 M：(xa3)2(y2a) 21(a 为实数)若圆 O 与圆 M 上分别存在点 P，Q，使得OQP30 0，则 a 的取值范围是_答案： 65， 0解析：过点 Q 作圆 O 的切线 QR，切点为 R，根据圆的切线性质，有OQROQP30；反过来，如果OQR30，则存在圆 O 上的点 P，使得OQP30.若圆 O 上存在点 P，使得OQP30，则OQR30.因为 OP1，所以 OQ2 时不成立，所以 OQ2，即点 Q 在圆面 x2y 24 上因为点 Q 在圆
23、M 上，所以圆 M：(xa3)2(y2a) 21(a 为实数)与圆面 x2y 24 有公共点，所以 OM3.因为 OM2(0a3)2(02a) 2，所以(0a3) 2(02a) 29，解得 a0.65二、 解答题11. 已知圆 C：x 2y 28y120，直线 l：axy2a0.(1) 当 a 为何值时，直线 l 与圆 C 相切；(2) 当直线 l 与圆 C 相交于 A，B 两点，且 AB2 时，求直线 l 的方程2解：将圆 C 的方程 x2y 28y120 化成标准方程为 x2(y4) 24，则此圆的圆心为(0，4)，半径为 2.(1) 若直线 l 与圆 C 相切，则有 2，解得 a .|4
24、 2a|a2 1 34(2) 过圆心 C 作 CDAB，垂足为 D，则根据题意和圆的性质，得CD |4 2a|a2 1，CD2 DA2 AC2 22，DA 12AB 2， )解得 a7 或1.故所求直线方程为 7xy140 或 xy20.12. (2017苏北四市期中)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆C：x 2y 24x0 及点 A(1，0)，B(1，2)(1) 若直线 l 平行于 AB，与圆 C 相交于 M，N 两点，MNAB，求直线 l 的方程；(2) 在圆 C 上是否存在点 P，使得 PA2PB 212？若存在，求点 P 的个数；若不存在，说明理由解：(1) 圆 C 的标准方程
25、为(x2) 2y 24，所以圆心 C(2，0)，半径为 2.因为lAB，A(1，0)，B(1，2)，所以直线 l 的斜率为 1.设直线 l 的方程为2 01 （ 1）xym0，则圆心 C 到直线 l 的距离 d .因为 MNAB 2|2 0 m|2 |2 m|2 22 22，而 CM2d 2 ，所以 4 2，解得 m0 或 m4，故直线 l 的方程为2 (MN2)2 （ 2 m） 22xy0 或 xy40.(2) 假设圆 C 上存在点 P，设 P(x，y)，则(x2) 2y 24，PA2PB 2(x1) 2(y0) 2(x1) 2(y2) 212，即 x2y 22y30，即 x2(y1) 24
26、.因为 22 22，（ 2 0） 2 （ 0 1） 2所以圆(x2) 2y 24 与圆 x2(y1) 24 相交，所以点 P 的个数为 2.13. 平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 C1：(x3) 2y 24 和圆 C2：(x4) 2(y4)24.(1) 若直线 l 过点 A(4，1)，且被圆 C1截得的弦长为 2 ，求直线 l 的方程；3(2) 是否存在一个定点 P，使过 P 点有无数条直线 l 与圆 C1和圆 C2都相交，且 l 被两圆截得的弦长相等？若存在，求点 P 的坐标；若不存在，请说明理由解：(1) 由于直线 x4 与圆 C1不相交，所以直线 l 的斜率存在设直线 l 的方程为
27、yk(x4)1，即 kxy4k10，由垂径定理，得圆心 C1到直线 l 的距离 d 1，22 (232)2结合点到直线距离公式，得 1, | 3k 1 4k|k2 1化简得 24k27k0，所以 k0 或 k .724故直线 l 的方程为 y1 或 y (x4)1，即 y1 或 7x24y40.724(2) 假设存在，设点 P(a，b)，l 的方程为 ybk(xa)，即 kxybak0.因为圆 C1和圆 C2的半径相等，被 l 截得的弦长也相等，所以圆 C1和圆 C2的圆心到直线 l 的距离也相等，即 ，| 3k b ak|1 k2 |4k 4 b ak|1 k2整理得(14a7)k 2(8a
28、14b32)k8b160.因为 k 的个数有无数多个，所以 解得14a 7 0，8a 14b 32 0，8b 16 0， ) a 12，b 2.)综上所述，存在满足条件的定点 P，且点 P 的坐标为 .(12， 2)第 6 课时 椭 圆(1)一、 填空题1. 经过点(0，4)且焦距为 10 的椭圆的标准方程为_答案： 1x241 y216解析：因为焦距为 10，所以 2c10，c5.因为 45，所以 b4，且焦点在 x 轴上，a2b 2c 2162541，故椭圆的标准方程为 1.x241 y2162. 已知椭圆方程为 1，则 k 的取值范围是_x2k 3 y25 k答案：(3，4)(4，5)解
29、析：由题意得 k(3，4)(4，5)k 30，5 k 0，k 3 5 k， )3. 已知 F1，F 2是椭圆 1 的两焦点，过点 F2的直线交椭圆于 A，B 两点在x216 y29AF1B 中，若有两边之和是 10，则第三边的长度为_答案：6解析：根据椭圆定义，知AF 1B 的周长为 4a16，故所求的第三边的长度为16106.4. 已知 F1(1，0)，F 2(1，0)是椭圆 C 的两个焦点，过 F2且垂直于 x 轴的直线交 C于 A，B 两点，且 AB3，则椭圆 C 的方程为_答案： 1x24 y23解析：由题意知椭圆焦点在 x 轴上，且 c1，可设椭圆 C 的方程为 1(a1)，由过 F
30、2且垂直于 x 轴的直线被椭圆 C 截得的弦长 AB3 知，点x2a2 y2a2 1必在椭圆上，代入椭圆方程化简得 4a417a 240，所以 a24 或 a2 (舍去)，故(1，32) 14椭圆 C 的方程为 1.x24 y235. 若椭圆 C： 1 的焦点为 F1，F 2，点 P 在椭圆 C 上，且 PF14，则x29 y22F 1PF2_答案：23解析：由题意得 a3，c ，则 PF22.7在F 2PF1中，由余弦定理可得 cosF 2PF1 .42 22 （ 27） 2242 12 F 2PF1(0，)， F 1PF2 .236. (2017淮阴高级中学模考)已知过椭圆 1 的中心任作
31、一直线交椭圆于x225 y216P，Q 两点，F 是椭圆的一个焦点，则PQF 周长的最小值是_答案：18解析：如图，设 F 为椭圆的左焦点，右焦点为 F2，根据椭圆的对称性可知FQPF 2，OPOQ，所以PQF 的周长为 PFFQPQPFPF 22PO2a2PO102PO，易知 2PO 的最小值为椭圆的短轴长，即点 P，Q 为椭圆的上下顶点时，PQF 的周长取得最小值，最小值是 18.7. 已知椭圆 y 21 的左、右焦点分别为 F1，F 2，点 M 在该椭圆上，x24且 0，则点 M 到 y 轴的距离为_MF1 MF2 答案：263解析：由题意，得 F1( ，0)，F 2( ，0)3 3设
32、M(x，y)，则 ( x，y)( x，y)0，整理得 x2y 23 MF1 MF2 3 3.因为点 M 在椭圆上，故 y 21，即 y21 .x24 x24将代入，得 x22，解得 x .故点 M 到 y 轴的距离为 .34 263 2638. (2017苏北四市期中)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知 A，B 1，B 2分别为椭圆 C： 1(ab0)的右、下、上顶点，F 是椭圆 C 的右焦点若 B2FAB 1，则椭圆x2a2 y2b2C 的离心率是_答案：5 12解析：由题意得，A(a，0)，B 1(0，b)，B 2(0，b)，F(c，0)，所以 (c，b)， (a，b)B2F AB1
33、 因为 B2FAB 1，所以 0，即 b2ac，B2F AB1 所以 c2aca 20，e 2e10.又椭圆的离心率 e(0，1)，所以 e .5 129. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，F 是椭圆 1(ab0)的右焦点，直线x2a2 y2b2y 与椭圆交于 B，C 两点，且BFC90，则椭圆的离心率是_b2答案：63解析：由题意得，B ，C ，因为 FBFC ， 0， (32a， b2) (32a， b2) FB FC FB ， ，因此 c2 0，3c 22a 2，解得 e .(3a2 c， b2) FC (32a c， b2) (32a)2 (b2)2 6310. 如图，A，B 是椭
34、圆的两个顶点，点 C 是 AB 的中点，F 为椭圆的右焦点，OC 的延长线交椭圆于点 M，且 OF .若 MFOA，则椭圆的方程为_2答案： 1x24 y22解析：设所求的椭圆方程为 1(ab0)，则 A(a，0)，B(0，b)，C ，F(x2a2 y2b2 (a2， b2)，0)依题意得 ，FM 的直线方程是 x ，所以 M .由于a2 b2 a2 b2 2 2 (2，baa2 2)O，C，M 三点共线，所以 ，即 a222，所以 a24，b 22，所以所求椭圆的ba2 2a2b2a2方程是 1.x24 y22二、 解答题11. 分别求下列椭圆的标准方程(1) 经过点 P(2 ，0)，Q(0
35、，2)两点；3(2) 长轴长是短轴长的 3 倍，且经过 M(3，2)；(3) 与椭圆 4x29y 236 有相同焦点，且过点(3，2)解：(1) 由题意，P，Q 分别是椭圆长轴和短轴上的端点，且椭圆的焦点在 x 轴上，所以 a2 ，b2，所以椭圆的标准方程为 1.3x212 y24(2) 当焦点在 x 轴上时，设椭圆的标准方程为 1(ab0)，x2a2 y2b2又点 M(3，2)在椭圆上，由题意，得 解得a 3b，32a2 22b2 1， ) a2 45，b2 5， )所以椭圆的标准方程为 1.x245 y25当焦点在 y 轴上时，设椭圆的标准方程为 1(ab0)，y2a2 x2b2又点 M(
36、3，2)在椭圆上，由题意，得 所以 椭圆的标准方程为a 3b，22a2 32b2 1， ) a2 85，b2 859， ) 1.x2859 y285综上，椭圆的标准方程为 1 或 1.x245 y25 x2859 y285(3) 由椭圆 4x29y 236 得 c ，5所以设所求椭圆的标准方程为 1(ab0)x2a2 y2b2由题意，得 所以a2 5 b2，32a2 （ 2） 2b2 1， ) a2 15，b2 10， )所以椭圆的标准方程为 1.x215 y21012. 在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C 的标准方程为 1(ab0)，右焦点为x2a2 y2b2F，右准线为 l，短轴的一个
37、端点为 B.设原点到直线 BF 的距离为 d1，F 到 l 的距离为 d2，若 d2 d1，求椭圆 C 的离心率6解： 右准线 l：x ，d 2 c ，a2c a2c b2c在 RtBOF 中，由面积法得 d1 ，bca若 d2 d1，则 ，6b2c 6 bca整理得 a2ab b20，6 6两边同除以 a2，得 0，6(ba)2 ba 6解得 或 (舍)，ba 63 62 e .1 (ba)2 3313. 如图，已知椭圆 1(ab0)，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，A 为椭圆x2a2 y2b2的上顶点，直线 AF2交椭圆于另一点 B.(1) 若F 1AB90，求椭圆的离心率；(2)
38、若椭圆的焦距为 2，且 2 ，求椭圆的方程AF2 F2B 解：(1) 若F 1AB90，则AOF 2为等腰直角三角形，所以有 OAOF 2，即 bc.所以 a c，e .2ca 22(2) 由题意知 A(0，b)，F 2(1，0)，设 B(x，y)由 2 ，解得 x ，y .AF2 F2B 32 b2代入 1，即 1，解得 a23，b 2a 2c 22.x2a2 y2b2 94a2 14所以椭圆的方程为 1.第 7 课时 椭 圆(2) x23 y22一、 填空题1. 已知椭圆 1 的焦距为 2，则 m 的值为_x2m y24答案：5 或 3解析：当焦点在 x 轴上时，a 2m，b 24， c
39、， 1， m5；当m 4 m 4焦点在 y 轴上时，a 24，b 2m， c ， 1， m3.4 m 4 m2. 已知以椭圆两焦点 F1，F 2所连线段为直径的圆，恰好过短轴两端点，则此椭圆的离心率 e 等于_答案：22解析：由题意得 bc， a 2b 2c 22c 2， e .ca 223. 已知椭圆的中心在原点，焦距为 4，一条准线为 x4，则该椭圆的方程为_答案： 1x28 y24解析：由 2c4， 4，a 2b 2c 2，得 a28，b 24，则该椭圆的方程为 1.a2c x28 y244. 中心在原点，焦点在 x 轴上，若长轴长为 18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是_
40、答案： 1x281 y272解析：依题意知 2a18， a9， 2c 2a，c3，13 b 2a 2c 281972， 椭圆的方程为 1.x281 y2725. 已知椭圆 1 上有一点 P，F 1，F 2是椭圆的左、右焦点若F 1PF2为直角三x24 y22角形，则这样的点 P 有_个答案：6解析：当PF 1F2为直角时，根据椭圆的对称性知，这样的点 P 有 2 个；同理当PF 2F1为直角时，这样的点 P 有 2 个；当 P 点为椭圆的短轴端点时，F 1PF2最大，且为直角，此时这样的点 P 有 2 个故符合要求的点 P 有 6 个6. 设 F1，F 2分别是椭圆 C： 1(ab0)的左、右
41、焦点，点 P 在椭圆 C 上若x2a2 y2b2P 到两焦点的距离之比为 21，则椭圆的离心率的取值范围是_答案： 13， 1)解析：设 P 到两个焦点的距离分别是 2k，k，根据椭圆定义可知 3k2a.又由椭圆的性质可知，椭圆上的点到两个焦点距离之差的最大值为 2c，即 k2c，所以 2a6c，即 e .13因为 0e1，所以 e1.13故椭圆的离心率的取值范围是 .13， 1)7. 已知椭圆 M： 1(ab0)的左、右焦点分别为 F1，F 2，P 为椭圆 M 上一x2a2 y2b2点若| | |的最大值为 3c2，其中 c ，则椭圆 M 的离心率为_PF1 PF2 a2 b2答案：33解析
42、： | | |2a， | | | a 2， PF1 PF2 PF1 PF2 (|PF1 | |PF2 |2 )2 a23c 2， e 2 ， e .13 338. 已知椭圆 1(ab0)，点 A，B 1，B 2，F 依次为其左顶点、下顶点、上顶点x2a2 y2b2和右焦点若直线 AB2与直线 B1F 的交点恰在椭圆的右准线上，则椭圆的离心率为_答案：12解析：直线 AB2的方程为 1，直线 B1F 的方程为 1，则它们的交点的x a yb xc y b横坐标满足 2，而 x ，可得 a2ac2c 2，即 2e2e10，解得 e .xc xa a2c 129. 已知椭圆 1(0b2)的左、右焦点分别为 F1，F 2，过 F1的直线 l 交椭圆x24 y2b2于 A，B 两点若 BF2AF 2的最大值为 5，则 b 的值是_答案： 3解析：由题意知 a2，所以 BF2AF 2AB4a8，因为 BF2AF 2的最大值为 5，所以|AB|的最小值为 3，当且仅当 ABx 轴时，取得最小值，此时 A ，B(c， )，( c，32) 32代入椭圆方程得 1.又 c2a 2b 24b 2，所以 1，所以 ，c24 94b2 4 b24 94b2 b24 94b2解得 b2