1、2023-2024学年九年级数学下册检测卷第5章二次函数姓名：_ 班级：_ 学号：_注意事项：本试卷满分130分，考试时间120分钟，试题共28题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置。一、选择题（10小题，每小题3分，共30分）1（2023秋江苏南通九年级校考）下列函数中，是二次函数的是（）ABCD2（2023江苏徐州统考）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得拋物线对应的函数表达式为（）ABCD3（2023秋江苏无锡九年级）根据下列表格的对应值：11.11.20.84由此可判断方程必有一个解满足（
2、）ABCD4（2023江苏泰州校考二模）已知抛物线（b为常数）的顶点不在抛物线（c为常数）上，则c应满足（）ABCD5（2023秋江苏南通九年级）如图，二次函数的图象与轴相交于和两点，当函数值时，自变量的取值范围是（）ABCD或6（2023江苏淮安校考三模）关于的方程的两根分别是，若点是二次函数的图象与轴的交点，过作轴交抛物线于另一交点，则的长为（）ABC2D37（2023江苏南京校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于，两点，在线段上取一点，过作轴于，轴于，连接，当最短时，点C的坐标为（）ABCD8（2023秋江苏苏州九年级阶段练习）函数的图象是由函数的图象x轴上方部分不
3、变，下方部分沿x轴向上翻折而成，如图所示，则下列结论正确的是（）；将图象向上平移2个单位后与直线有3个交点ABCD9（2023江苏泰州统考二模）已知点，均在抛物线上，其中若，则的取值范围是（）ABC且D10（2023江苏南通统考一模）二次函数的图象与x轴相交于A，B两点，点C在二次函数图象上，且到x轴距离为4，则a的值为（）A4B2CD二、填空题（8小题，每小题3分，共24分）11（2023江苏镇江统考中考真题）二次函数的最大值为12（2023春江苏南通八年级校联考阶段练习）点，在抛物线上，则，的大小关系是（用连接）13（2023秋江苏南通九年级校考阶段练习）二次函数的顶点在y轴上，则14（2
4、023秋江苏南通九年级校考阶段练习）已知y关于x的二次函数，无论m取何值，函数图象恒过定点A，则点A的坐标为15（2023春江苏南通八年级校联考阶段练习）如图，一块矩形土地由篱笆围着，并且由一条与边平行的篱笆分开已知篱笆的总长为（篱笆的厚度忽略不计），当m时，矩形土地的面积最大16（2023江苏无锡江苏省天一中学校考模拟预测）已知二次函数的图象与轴交于两点，且满足：当时，该函数的最大值与满足的关系式是17（2023秋江苏南通九年级校考阶段练习）在平面直角坐标系中，若点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为完美点已知二次函数的图象上有且只有一个完美点，且当时，函数的最小值为，最大值为1，则m的取值范
5、围是18（2023江苏无锡无锡市校考一模）已知抛物线过点，两点，若线段的长不大于4，则代数式的最小值是三、解答题（10小题，共76分）19（2023春江苏盐城八年级校考期中）已知抛物线y= x2+(m-1)x+m-3（m为常数），求证：无论m为何值，抛物线与x轴总有两个公共点20（2023秋江苏南通九年级校考阶段练习）二次函数yax2+bx+c的图象如图所示，经过（1，0）、（3，0）、（0，3）。（1）求二次函数的解析式；（2）不等式ax2+bx+c0的解集为_；（3）方程ax2+bx+cm有两个实数根，m的取值范围为_21（2023春江苏盐城八年级校考期中）已知二次函数y=x2+bx+c的
6、图像经过A（0,2），B（1,-3）两点（1）求b和c的值；（2）试判断点P（-1,4）是否在此函数图像上？22（2023春江苏盐城八年级校考期中）某商店销售某种特产商品，以每千克12元购进，按每千克16元销售时，每天可售出100千克，经市场调查发现，单价每涨1元，每天的销售量就减少10千克（1）若该商店销售这种特产商品想要每天获利480元，并且尽可能让利于顾客，那么每千克特产商品的售价应为多少元？（2）通过计算说明，每千克特产商品售价为多少元时，每天销售这种特产商品获利最大，最大利润是多少元？23（2023秋江苏南通九年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2-4ax-5交
7、x轴于点A，B，已知点A的坐标为（-1,0）（1）求点B的坐标和抛物线的表达式（2）将抛物线顶点向上平移m个单位得点P，过点P作AB的平行线交抛物线于点C，D若，求m的值24（2023春江苏南京九年级专题练习）已知二次函数y1=x2-2x-3的图像与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D（1）求点A、B、D的坐标，并在下面直角坐标系中画出该二次函数的大致图像；（2）设一次函数y2=kx+b(k0)的图像经过B、C两点，请直接写出满足y1y2的x的取值范围25（2023春江苏淮安九年级校考阶段练习）某公司生产的某种时令商品每件成本为20元，经过市场调研发现：这种商品在未来4
8、0天内的日销售量m（件）与时间t（天）的关系如下表：时间t（天）13579日销售量m（件）9490868278未来40天内，该商品每天的单价y（元/件）与时间t（天）（t为整数）之间关系的函数图象如图所示：请结合上述信息解决下列问题：（1）经计算得，当0t20时，y关于t的函数关系式为；则当20t40时，y关于t的函数关系式为_观察表格，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的刻画m与t的关系，请写出m关于t的函数关系式为_（2）请预测未来40天中哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少？26（2023秋江苏徐州九年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y= ax2+bx+4交x轴
9、A于A（-4,0）、B（2,0）两点，交y轴于点C，连接AC（1）求抛物线的解析式；（2）点P为线段AC上方的抛物线上一动点，过P作PFAC，当PF最大时，求出此时P点的坐标以及PF的最大值27（2023江苏常州统考一模）已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的正半轴交于点A，与y轴交于点B当x0时，抛物线最高点的纵坐标值为4，当x0时，抛物线最高点的纵坐标值为3（1）求a、b的关系式（用含b的代数式表示a）；（2）若OA=OB，求该抛物线的函数表达式；（3）在（2）的条件下，连接AB，M为抛物线对称轴上一点，过点M作直线CDAB，交抛物线于C、D两点，若线段CD满足3CD6，求M点纵坐标的取值
10、范围28（2023秋江苏苏州九年级阶段练习）已知如图，抛物线y=-x2+2mx+2m+1（m是常数，且m0）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D其对称轴与线段BC交于点E，与x轴交于点F连接OE，CD（1）填空：OBC=_；（2）设h=OC-DE，请写出h关于m的函数表达式，并求出h的最大值；（3）将OCE沿点C到点D的方向平移，使得点C与点D重合设点E的对应点为点E，问点E能否落在二次函数y=-x2+2mx+2m+1的图象上？若能，请求出此时m的值；若不能，请说明理由参考答案一、选择题（10小题，每小题3分，共30分）1B【分析】根据二次函数的定义逐个判断
11、即可【详解】解：A函数是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；B函数是二次函数，故本选项符合题意；C，函数是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；D函数不是二次函数，故本选项不符合题意；故选：B【点睛】本题考查了二次函数的定义，能熟记二次函数的定义是解此题的关键，形如（、为常数，）的函数，叫二次函数2B【分析】根据二次函数图象的平移“左加右减，上加下减”可进行求解【详解】解：由二次函数的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得拋物线对应的函数表达式为；故选B【点睛】本题主要考查二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移是解题的关键3C【分析】利用表中数据得到时，时
12、，则可判断时，有一个根满足【详解】解：时，时，时，有一个根满足，即方程必有一个解x满足故选：C【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解4D【分析】先求出抛物线（b为常数）的顶点为，求出顶点在上时，c的取值范围，即可得到顶点不在抛物线（c为常数）上时c的取值范围【详解】解：由知，抛物线（b为常数）的顶点为，当顶点在上时，则，则，抛物线（b为常数）的顶点不在抛物线（c为常数）上时，则c应满足故选：D【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质，求出抛物线的顶点和准确计算是解题的关键5D【分析】由抛物线与x轴的交点坐标，结合图象即可解决问题【详解】解：
13、二次函数的图象与轴相交于和两点，函数开口向下，函数值时，自变量x的取值范围是或，故选：D【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，以及这些点代表的意义及函数特征6C【分析】将，代入方程，求得，的值，得到二次函数解析式，进而求得点和点的坐标，即可求得答案【详解】解：将，代入方程，得解得二次函数解析式为点坐标为将代入二次函数，得，解得，点坐标为的长为故选：C【点睛】本题主要考查一元二次方程的根与系数的关系，以及二次函数的图象和性质，牢记一元二次方程及二次函数的有关知识是解题的关键7C【分析】设点的坐标为，则，根据
14、勾股定理表示出的长度，通过配方可以求出当最小时，的值，据此即可求解【详解】解：设点的坐标为，当时，最短，此时点的坐标为，故选：C【点睛】本题考查了一次函数点的特征，勾股定理，二次函数的性质，表示出的长度是解题的关键8B【分析】根据函数图象与x轴交点的横坐标求出对称轴为，进而可得，故正确；由函数图象与y轴的交点坐标为，的图象轴上方部分不变，下方部分沿轴向上翻折而成可知，故错误；根据对称轴求出，进而可得，故正确；求出翻折前的二次函数的顶点坐标，然后根据平移的性质可得错误【详解】解：由函数图象可得：与x轴交点的横坐标为和3，对称轴为，即，整理得：，故正确；与y轴的交点坐标为，可知，开口向上，图中函数
15、图象是由原函数下方部分沿轴向上翻折而成，故错误；中，又，故正确；设抛物线的解析式为，代入得：，解得：，顶点坐标为，点向上平移1个单位后的坐标为，将图象向上平移1个单位后与直线有3个交点，故错误；故选：B【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数的对称轴公式，顶点坐标的求法是解题的关键9C【分析】先证得点是该抛物线的顶点，根据点，均在抛物线上，可知该抛物线开口向上，对称轴是直线，然后分再分类讨论，分，讨论，从而可以求得的取值范围，本题得以解决【详解】解：由得，直线是抛物线的对称轴，且此时，且，为抛物线的顶点，且抛物线开口向上，当时，到对称轴的距离大于到对称轴的距离，不符合题意，当时，关
16、于直线对称，此时，不符合题意，故；当时，点，重合，不符合题意，故；当时，到对称轴的距离小于到对称轴的距离，符合题意，当时，到对称轴的距离小于到对称轴的距离，符合题意，综上所述：且故选：C【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是分类讨论的思想方法10D【分析】作轴，交x轴于点D，设A、B两点横坐标为x1和x2，设点，根据勾股定理进行线段之间的转换，列出方程，再根据韦达定理，即可解答【详解】解：如图，作轴，设A、B两点横坐标为x1和x2，设点，轴，整理得，二次函数的图象与x轴相交于A，B两点，是的解，点在抛物线上，故选：D【点睛】本题考查了二次函数的关系式与系数
17、的关系，结合题意绘图解答是解题的关键二、填空题（8小题，每小题3分，共24分）119【分析】根据二次函数的顶点式确定二次函数的最大值【详解】解：二次函数的表达式为，当时，二次函数取得最大值，为故答案为：【点睛】本题考查了二次函数的最值，掌握二次函数的性质是解题的关键12【分析】由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，根据，三点到对称轴的距离大小求解【详解】解：，抛物线开口向下，对称轴为直线，距离对称轴越近的点的纵坐标越大，故答案为：【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数的性质13【分析】根据二次函数的顶点坐标公式结合y轴上点的横坐标为0求解即可【详解】解：二次函数
18、的顶点在y轴上，解得，故答案为：【点睛】本题考查了二次函数的顶点坐标公式和y轴上点的坐标特点，熟记二次函数的顶点坐标公式是解题的关键14【分析】将抛物线整理成的形式，可得当时，无论m取何值，函数图象恒过定点，据此求解【详解】解：，当时，无论m取何值，函数图象恒过定点，此时，即定点A的坐标为；故答案为：【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特点，掌握求解的方法是关键1550【分析】设，求出的长度关系，然后求出四边形的面积关系式，利用二次函数的性质即可求解【详解】解：设，则，所以四边形的面积为，开口向下，当时，S取得最大值为3750平方米，故答案为：50【点睛】本题考查了二次函数函数的实际应用，
19、涉及到二次函数的性质，属于基础题16【分析】首先确定该函数的对称轴为直线为，结合可得，故当时，该函数的最大值为其顶点的纵坐标，即可获得答案【详解】解：二次函数的图象与轴交于两点，该函数的对称轴为直线，当时，该函数的最大值是时故答案为：【点睛】本题主要考查了二次函数图象的性质，根据确定二次函数对称轴的位置是解题的关键17【分析】由完美点的概念可得：，即，由只有一个完美点可得判别式，得方程根为2，从而求得，所以得出函数解析式，由此解析式可求得此抛物线的顶点坐标以及与坐标轴的交点坐标，根据函数值，可求得x的取值范围【详解】由题意可得，即图象上有且只有一个完美点，则，方程根为函数该二次函数顶点坐标为，
20、与y轴交点为，根据对称规律，点也是该二次函数图象上的点，在左侧，随的增大而增大;在右侧，随的增大而减小;且当时，函数的最小值为，最大值为1，则故答案为：【点睛】本题考查了二次函数图象上的点的坐标特征，二次函数的性质以及根的判别式的知识，利用数形结合和分类讨论是解题关键18【分析】根据抛物线过点，两点，得轴，且m、n是方程的两根，所以，又根据线段AB的长不大于4，得，从而得，解得，再根据当时，的值随a的增大而增大，当时，的值最小，最小值【详解】解：又抛物线过点，两点，轴，且m、n是方程的两根，线段AB的长不大于4，当时，的值随a的增大而增大，当时，的值最小，最小值故答案为：【点睛】本题考查了二次
21、函数的性质，抛物线与一元二次方程的联系，一元二次方程根与系数的关系，根据题意求得是解题的关键三、解答题（10小题，共76分）19见解析【分析】求得判别式并分解得到平方与正数的和，得到判别式大于0即可证明【详解】证明：，无论为何值，抛物线与轴总有两个公共点【点睛】本题主要考查了抛物线与x轴的交点问题，把抛物线与x轴的交点问题转化为一元二次方程的问题是解题的关键20（1）yx22x3；（2）x1或x3；（3）m4【分析】（1）把（1，0）、（3，0）、（0，3）代入yax2+bx+c解方程组即可得到结论；（2）根据图象即可得到结论；（3）设yax2+bx+c和ym，方程ax2+bx+cm有两个实数
22、根，即二次函数图象与直线ym有两个交点或一个交点，结合一元二次方程根的判别式即可求出m的取值范围【详解】解：（1）把（1，0）、（3，0）、（0，3）代入yax2+bx+c得，解得：，二次函数的解析式为yx22x3；（2）由函数图象可知抛物线和x轴的两个交点横坐标为1，3，所以不等式ax2+bx+c0的解集为x1或x3；（3）设yax2+bx+c和ym，方程ax2+bx+cm有两个实数根，则二次函数图象与直线ym有两个交点或一个交点，即有两个实数根，即，解得m4【点睛】本题考查二次函数与不等式，抛物线与x轴的交点问题，数形结合是数学中的重要思想之一，解决函数问题更是如此，同学们要引起重视21（
23、1）；（2）不在【分析】（1）已知了抛物线上两点的坐标，可将其代入抛物线中，通过联立方程组求得、的值；（2）将点坐标代入抛物线的解析式中，即可判断出点是否在抛物线的图象上【详解】（1）解：把，两点代入二次函数得，解得，；（2）解：由（1）得，把代入，得，点在不在此函数图象上【点睛】本题考查了用待定系数法求函数表达式的方法，掌握待定系数法求函数解析式的方法与步骤是解决问题的关键22（1）18元（2）销售价格定为19时，才能使平均每天获得的利润最大，最大利润是490元【分析】（1）设每千克水果应涨价x元，根据题意列出一元二次方程即可求出结果；（2）设销售价格为x，用含x的式子表示所获利润，然后配方
24、，利用平方的非负性即可求出最值【详解】（1）解：设每千克水果应涨价x元，根据题意，得：，解得：，要尽可能让利于顾客，只能取，售价应为（元），答：每千克特产商品的售价应为18元；（2）解：设每天获得的利润为W，销售价格为x，则销售价格定为19时，才能使平均每天获得的利润最大，最大利润是490元【点睛】本题考查一元二次方程和配方法的应用，掌握实际问题中的等量关系和配方法是解题的关键23（1）点坐标为；抛物线解析式为；（2）【分析】（1）把点坐标代入中求出得到抛物线解析式；解方程得点坐标；（2）利用配方法得到，则抛物线的顶点坐标为，则，利用和抛物线的对称性得到点坐标为，然后把代入得，最后解关于的方程
25、即可【详解】（1）把代入得，解得，抛物线解析式为，当时，解得，点坐标为；（2），抛物线的顶点坐标为，抛物线顶点向上平移个单位得点，而点与点关于直线对称，点坐标为，即，把代入得，解得【点睛】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数，是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程也考查了二次函数的性质和最短路径问题24（1），图见解析；（2）【分析】（1）根据二次函数与坐标轴有交点的计算方法，将二次函数一般式变为顶点式即可求解；（2）根据题意分别求出点的坐标，运用待定系数法可求出一次函数解析式，再与二次函数联立方程组求解，可得交点坐标，并绘图，根据图示即可求解【详解】（1）解：根据题意，令时
26、，则有，解得，由二次函数可得顶点式为，图像如图所示：（2）解：由（1）可知，二次函数与轴交于点，一次函数的图像经过两点，解得，一次函数解析式为，一次函数与二次函数联立方程组，解得，或，一次函数与二次函数的交点坐标为，由题意画出直线的图像，如图所示，由图像可得，当时，【点睛】本题主要考查一次函数与二次函数的综合，掌握待定系数求解析式，联立方程组求交点坐标，根据交点坐标求不等式的解集是解题的关键25（1）；（2）第14天利润最大，最大利润为578元【分析】（1）当时，y是t的一次函数，先设出函数解析式，再用待定系数法求解即可；通过表中数据知，m与t成一次函数关系，先设出函数解析式，再用待定系数法求
27、解即可；（2）前20天的销售利润为元，后20天的销售利润为元，根据利润=单件利润销售量，列出函数关系式，再根据函数的性质分别求出最大值，然后比较求最大值时的t的值即可【详解】（1）当时，y关于t的函数关系式为，则，解得：，y关于t的函数关系式为；通过表中数据知，m与t成一次函数关系，设,将代入，得：，解得：，m与t的函数关系为故答案为：；（2）前20天的日销售利润为元，后20天的日销售利润为元，则，当时，有最大值，为元；，当时，随t的增大而减小，当时，最大，为513元，第14天利润最大，最大利润为578元【点睛】本题考查二次函数的应用以及待定系数法求函数解析式，关键是根据题意分两种情况列出函数
28、关系式26（1）抛物线的解析式为；（2）当时，取得最大值，最大值为，此时点P的坐标为【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；（2）过P点作轴交于于E点，直线的解析式为，设，则，可得，运用二次函数性质即可求得答案【详解】（1）解：抛物线交x轴于、两点，解得：，该抛物线的解析式为；（2）过点P作轴，交于点E，如图，抛物线交y轴于点C，设直线的解析式为，则，解得：，直线的解析式为，设，则，是等腰直角三角形，轴，是等腰直角三角形，当时，取得最大值，最大值为，此时点P的坐标为【点睛】本题考查了待定系数法，二次函数的图象及性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理的应用，熟练掌握二次函数的图象及性质
29、，等腰直角三角形的性质是解题的关键27（1）；（2）；（3）【分析】（1）由题意得：，整理即可求解；（2）由待定系数法即可求解；（3）由，得到，即可求解【详解】（1）解：抛物线最高点的纵坐标值为4，当时，抛物线最高点的纵坐标值为3，即抛物线与y轴交点的纵坐标为3，整理得：；（2）由（1）知，抛物线的表达式为：，则点，将点的坐标代入抛物线表达式得：，解得：或（舍去），故抛物线的表达式为：；（3）由点、的坐标知，直线和轴负半轴的夹角为，则直线和轴负半轴的夹角为，设点，则直线的表达式为：，联立并整理得：，设点、的横坐标分别为：，则，则，则，即，解得：，即点纵坐标的取值范围为：【点睛】本题是二次函数的
30、综合题，考查了求二次函数的解析式，求一次函数的解析式等知识，解决问题的关键是设点的坐标，表示出有关线段的长28（1）45；（2），的最大值为；（3）【分析】（1）先求出点的坐标，得出，根据，即可得到答案；（2）先求出顶点的坐标，然后求出直线的解析式，求出点的坐标，根据，得出，并求出的最大值即可；（3）根据平移求出点的坐标，把点代入抛物线，得出关于的方程，解方程即可得出答案【详解】（1）解：把代入得：，解得：，点在点的左侧，点的坐标为，点的坐标为，把代入得：，点的坐标为，为等腰直角三角形，故答案为：45；（2）解：抛物线解析式为，抛物线的对称轴为直线，把代入，得，设直线的解析式为：，把，代入得：，解得：，直线的解析式为，把代入得：，当时，有最大值，且最大值为；（3）解：，点向右平移个单位长度，向上平移个单位长度，可以得到点，根据平移可知，点的横坐标为，点的纵坐标为，当在抛物线上时，解得：或（舍去）【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求一次函数的解析式，平移的性质，等腰直角三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，求出二次函数与轴、轴的交点及定点坐标。