1、选修 45 不等式选讲第 1 课时 绝对值不等式1. 解不等式 12 时，不等式化为 x1x22x.解：原不等式等价于 x22x42x .解得解集为，解得解集为x|xR 且 x2 原不等式的解集为x|xR 且 x24. 解不等式 x2|x|20)(1) 当 a1 时，求此不等式的解集；(2) 若此不等式的解集为 R，求实数 a 的取值范围解：(1) 当 a1 时，得 2|x1|1, 即|x1| ， 12解得 x 或 x ，32 12 不等式的解集为 .( ，12 32， )(2) |ax1|axa|a1|， 原不等式解集为 R 等价于|a1|1. a2 或 a0. a0， a2. 实数 a 的
2、取值范围是2，)10. 设函数 f(x)|2x1|x2|.(1) 求不等式 f(x)2 的解集；(2) xR，f(x)t 2 t，求实数 t 的取值范围112解：(1) f(x) x 3， x2，x2，x1， 12，x1， x2.综上所述，不等式 f(x)2 的解集为x|x1 或 xa 成立，求实数 a 的取值范围3x 2 x解：(1) 当 x1 时，由 f(x)x20 得 x2，所以 x；当1 时，由 f(x)x20 得 x2，所以 x2.12 12综上，不等式 f(x)0 的解集 Dx|0x2(2) ，由柯西不等式得( )2(31)x(2x)3x 2 x 3x 2 x 3x 2 x8， 2
3、 ，当且仅当 x 时取“” ， a 的取值范围是(，2 )3x 2 x 232 2第 2 课时 不等式证明的基本方法1. 已知 x1，y1，求证：x 2yxy 21x 2y2xy.证明：左边右边(yy 2)x2(y 21)xy1(1y)yx 2(1y)x1(1y)(xy1)(x1)， x1，y1， 1y0，xy10，x10.从而左边右边0， x 2yxy 21x 2y2xy.2. (2017苏州期末)已知 a，b，x，y 都是正数，且 ab1，求证：(axby)(bxay)xy.证明：因为 a，b，x，y 都是正数，所以(axby)(bxay)ab(x 2y 2)xy(a 2b 2)ab2xy
4、xy(a 2b 2)(ab) 2xy.又 ab1，所以(axby)(bxay)xy.当且仅当 xy 时等号成立3. 已知 x，y，zR，且 x2y3z80.求证：(x1) 2(y2) 2(z3) 214.证明：因为(x1) 2(y2) 2(z3) 2(122 23 2)(x1)2(y2)3(z3) 2(x2y3z6) 214 2，当且仅当 ，即 xz0，y4 时，取等号，x 11 y 22 z 33所以(x1) 2(y2) 2(z3) 214.4. 已知函数 f(x)|2x1|x1|，函数 g(x)f(x)|x1|的值域为 M.(1) 求不等式 f(x)3 的解集；(2) 若 tM，求证：t
5、21 3t.3t(1) 解：依题意，得 f(x) 于是得 f(x)3 或 3x， x 1.2 x， 1 x 12，3x， x 12， ) x 1， 3x 3)或 解得1x1.即不等式 f(x)3 的解集为x|1x1 1 x 12，2 x 3) x 12，3x 3， )(2) 证明：g(x)f(x)|x1|2x1|2x2|2x12x2|3，当且仅当(2x1)(2x2)0 时，取等号，M3，)原不等式等价于 t23t1 .3t t3 3t2 t 3t （ t 3） （ t2 1）ttM，t30，t 210. 0.t 21 3t.（ t 3） （ t2 1）t 3t5. (2017苏、锡、常、镇二模
6、)已知 a，b，c 为正实数，求证： abc.b2a c2b a2c证明： a，b，c 为正实数， a 2b，b 2c，c 2a，b2a c2b a2c将上面三个式子相加得 abc 2a2b2c，b2a c2b a2c abc.b2a c2b a2c6. 设 a1，a 2，a 3均为正数，且 a1a 2a 31，求证： 9.1a1 1a2 1a3证明：因为 a1，a 2，a 3均为正数，且 a1a 2a 31，所以 (a 1a 2a 3)1a1 1a2 1a33(a 1a2a3) 3 9(当且仅当 a1a 2a 3时等号成立)，所以(1a1 1a2 1a3) 13 (1a11a21a3)13
7、9.1a1 1a2 1a37. 已知正数 x，y，z 满足 x2y3z1，求 的最小值1x 2y 3z解： (x2y3z)1x 2y 3z (1x 42y 93z)149 2yx 3zx 4x2y 12z2y 9x3z 18y3z142 2 2 36，2yx4x2y 3zx9x3z 12z2y18y3z当且仅当 xyz 时等号成立，16 的最小值为 36.1x 2y 3z8. 已知 x0，y0，z0 且 xyz1，求证：x 3y 3z 3xyyzzx.证明： x0，y0，z0， x 3y 3z 33xyz.同理 x3y 313xy，y 3z 313yz，x 3z 313xz.将以上各式相加，得
8、 3x33y 33z 333xyz3xy3yz3zx. xyz1， x 3y 3z 3xyyzzx.9. 已知 a，b，c 均为正数，且 a2b4c3.求 的最小值，并指出1a 1 1b 1 1c 1取得最小值时 a，b，c 的值解： a2b4c3， (a1)2(b1)4(c1)10. a，b，c 为正数， 由柯西不等式得(a1)2(b1)4(c1) (1 2) 2.(1a 1 1b 1 1c 1) 2当且仅当(a1) 22(b1) 24(c1) 2时，等式成立 ，1a 1 1b 1 1c 1 11 6210 2(c1)2 (c1)4(c1)10，2 c ，b ，a .8 527 152 17
9、7 23 102710. 已知 abc1，a，b，c0.求证：(1) abc ；127(2) a2b 2c 2 .3abc证明：(1) abc3 ，而 abc1abc ，当且仅当 abc 时取等3abc127 13号(2) 由柯西不等式得 a2b 2c 2 (abc) 2 ，由(1)知 ，13 13 3abc 13 a 2b 2c 2 ，当且仅当 abc 时取等号3abc11. 已知函数 f(x) ，g(x) .若存在实数 x 使 f(x)g(x)a 成立，求3x 6 14 x实数 a 的取值范围解：存在实数 x 使 f(x)g(x)a 成立，等价于 f(x)g(x)的最大值大于 a. f(x)g(x) 3x 6 14 x 1 ，3 x 2 14 x由柯西不等式得，( 1 )2(31)(x214x)64，3 x 2 14 x f(x)g(x) 8，当且仅当 x10 时取等号3x 6 14 x故实数 a 的取值范围是(，8)