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2019版高考数学一轮复习《选修4_5:不等式选讲》课时训练(含答案)

1、选修 45 不等式选讲第 1 课时 绝对值不等式1. 解不等式 12 时,不等式化为 x1x22x.解:原不等式等价于 x22x42x .解得解集为,解得解集为x|xR 且 x2 原不等式的解集为x|xR 且 x24. 解不等式 x2|x|20)(1) 当 a1 时,求此不等式的解集;(2) 若此不等式的解集为 R,求实数 a 的取值范围解:(1) 当 a1 时,得 2|x1|1, 即|x1| , 12解得 x 或 x ,32 12 不等式的解集为 .( ,12 32, )(2) |ax1|axa|a1|, 原不等式解集为 R 等价于|a1|1. a2 或 a0. a0, a2. 实数 a 的

2、取值范围是2,)10. 设函数 f(x)|2x1|x2|.(1) 求不等式 f(x)2 的解集;(2) xR,f(x)t 2 t,求实数 t 的取值范围112解:(1) f(x) x 3, x2,x2,x1, 12,x1, x2.综上所述,不等式 f(x)2 的解集为x|x1 或 xa 成立,求实数 a 的取值范围3x 2 x解:(1) 当 x1 时,由 f(x)x20 得 x2,所以 x;当1 时,由 f(x)x20 得 x2,所以 x2.12 12综上,不等式 f(x)0 的解集 Dx|0x2(2) ,由柯西不等式得( )2(31)x(2x)3x 2 x 3x 2 x 3x 2 x8, 2

3、 ,当且仅当 x 时取“” , a 的取值范围是(,2 )3x 2 x 232 2第 2 课时 不等式证明的基本方法1. 已知 x1,y1,求证:x 2yxy 21x 2y2xy.证明:左边右边(yy 2)x2(y 21)xy1(1y)yx 2(1y)x1(1y)(xy1)(x1), x1,y1, 1y0,xy10,x10.从而左边右边0, x 2yxy 21x 2y2xy.2. (2017苏州期末)已知 a,b,x,y 都是正数,且 ab1,求证:(axby)(bxay)xy.证明:因为 a,b,x,y 都是正数,所以(axby)(bxay)ab(x 2y 2)xy(a 2b 2)ab2xy

4、xy(a 2b 2)(ab) 2xy.又 ab1,所以(axby)(bxay)xy.当且仅当 xy 时等号成立3. 已知 x,y,zR,且 x2y3z80.求证:(x1) 2(y2) 2(z3) 214.证明:因为(x1) 2(y2) 2(z3) 2(122 23 2)(x1)2(y2)3(z3) 2(x2y3z6) 214 2,当且仅当 ,即 xz0,y4 时,取等号,x 11 y 22 z 33所以(x1) 2(y2) 2(z3) 214.4. 已知函数 f(x)|2x1|x1|,函数 g(x)f(x)|x1|的值域为 M.(1) 求不等式 f(x)3 的解集;(2) 若 tM,求证:t

5、21 3t.3t(1) 解:依题意,得 f(x) 于是得 f(x)3 或 3x, x 1.2 x, 1 x 12,3x, x 12, ) x 1, 3x 3)或 解得1x1.即不等式 f(x)3 的解集为x|1x1 1 x 12,2 x 3) x 12,3x 3, )(2) 证明:g(x)f(x)|x1|2x1|2x2|2x12x2|3,当且仅当(2x1)(2x2)0 时,取等号,M3,)原不等式等价于 t23t1 .3t t3 3t2 t 3t ( t 3) ( t2 1)ttM,t30,t 210. 0.t 21 3t.( t 3) ( t2 1)t 3t5. (2017苏、锡、常、镇二模

6、)已知 a,b,c 为正实数,求证: abc.b2a c2b a2c证明: a,b,c 为正实数, a 2b,b 2c,c 2a,b2a c2b a2c将上面三个式子相加得 abc 2a2b2c,b2a c2b a2c abc.b2a c2b a2c6. 设 a1,a 2,a 3均为正数,且 a1a 2a 31,求证: 9.1a1 1a2 1a3证明:因为 a1,a 2,a 3均为正数,且 a1a 2a 31,所以 (a 1a 2a 3)1a1 1a2 1a33(a 1a2a3) 3 9(当且仅当 a1a 2a 3时等号成立),所以(1a1 1a2 1a3) 13 (1a11a21a3)13

7、9.1a1 1a2 1a37. 已知正数 x,y,z 满足 x2y3z1,求 的最小值1x 2y 3z解: (x2y3z)1x 2y 3z (1x 42y 93z)149 2yx 3zx 4x2y 12z2y 9x3z 18y3z142 2 2 36,2yx4x2y 3zx9x3z 12z2y18y3z当且仅当 xyz 时等号成立,16 的最小值为 36.1x 2y 3z8. 已知 x0,y0,z0 且 xyz1,求证:x 3y 3z 3xyyzzx.证明: x0,y0,z0, x 3y 3z 33xyz.同理 x3y 313xy,y 3z 313yz,x 3z 313xz.将以上各式相加,得

8、 3x33y 33z 333xyz3xy3yz3zx. xyz1, x 3y 3z 3xyyzzx.9. 已知 a,b,c 均为正数,且 a2b4c3.求 的最小值,并指出1a 1 1b 1 1c 1取得最小值时 a,b,c 的值解: a2b4c3, (a1)2(b1)4(c1)10. a,b,c 为正数, 由柯西不等式得(a1)2(b1)4(c1) (1 2) 2.(1a 1 1b 1 1c 1) 2当且仅当(a1) 22(b1) 24(c1) 2时,等式成立 ,1a 1 1b 1 1c 1 11 6210 2(c1)2 (c1)4(c1)10,2 c ,b ,a .8 527 152 17

9、7 23 102710. 已知 abc1,a,b,c0.求证:(1) abc ;127(2) a2b 2c 2 .3abc证明:(1) abc3 ,而 abc1abc ,当且仅当 abc 时取等3abc127 13号(2) 由柯西不等式得 a2b 2c 2 (abc) 2 ,由(1)知 ,13 13 3abc 13 a 2b 2c 2 ,当且仅当 abc 时取等号3abc11. 已知函数 f(x) ,g(x) .若存在实数 x 使 f(x)g(x)a 成立,求3x 6 14 x实数 a 的取值范围解:存在实数 x 使 f(x)g(x)a 成立,等价于 f(x)g(x)的最大值大于 a. f(x)g(x) 3x 6 14 x 1 ,3 x 2 14 x由柯西不等式得,( 1 )2(31)(x214x)64,3 x 2 14 x f(x)g(x) 8,当且仅当 x10 时取等号3x 6 14 x故实数 a 的取值范围是(,8)