1、第二章 函数与导数第 1课时 函数及其表示一、 填空题1. 下列五个对应 f，_是从集合 A到集合 B的函数(填序号) A ，B6，3，1，f 6，f(1)3，f 1；12， 1， 32 (12) (32) A1，2，3，B7，8，9，f(1)f(2)7，f(3)8； AB1，2，3，f(x)2x1； ABx|x1，f(x)2x1； AZ，B1，1，n 为奇数时，f(n)1，n 为偶数时，f(n)1.答案：解析：根据函数定义，即看是否是从非空数集 A到非空数集 B的映射中集合 A中的元素 3在集合 B中无元素与之对应，故不是 A到 B的函数其他均满足2. 设 f(x) g(x) 则 f(g()
2、的值为_1， x0，0， x 0， 1， x1 的解集为 x 1（ 1 x1 化为2x21，解得 x1 化为2x21，解得 x1， )所以 0x1 或 3x4； 由 f(x)31，得 f(x)4，所以 x34， x7.综合知，x 的取值范围是0，13，47点评：由于 f(x)是分段函数，所以在探求方程 f(f(x)1 的解时，需要根据分段函数中相应的限制定义域进行分类讨论第 2课时 函数的定义域和值域一、 填空题1. 函数 f(x) 的定义域是_ x2 x 6x 1答案：2，1)(1，3解析：依题意有 解得 所以定义域为2，1) x2 x 6 0，x 1 0， ) 2 x 3，x 1， )(1
3、，32. 已知 f(x) ，则函数 f(f(x)的定义域是_1x 1答案：(，2)(2，1)(1，)解析：f(f(x) ，1f（ x） 1 11x 1 1 解得x 1 0，11 x 1 0， ) x 1，x 2.)所以定义域为(，2)(2，1)(1，)3. 若函数 yf(x)的值域是 ，则函数 F(x)f(x) 的值域是_12， 3 1f（ x）答案： 2，103解析：令 tf(x)，则 t ，由 F(x)t 知，F(x) ，所以函数 F(x)12， 3 1t 2， 103的值域为 .2，1034. 函数 y4 的值域是_3 2x x2答案：2，4解析：y4 ， 0(x1) 244， （ x
4、1） 2 4 0 2， 24 4， （ x 1） 2 4 （ x 1） 2 4 所给函数的值域为2，45. 函数 y x(x1)的值域为_x答案：(，0解析：y .因为 x1，所以 y0.(x12)2 146. 函数 y x 的值域是_|x|x答案：(，1)(1，)解析：由 y 可得值域x 1， x0，x 1， x1，得12 12b2.8. 设 f(x) g(x)是定义在 R上的二次函数，若 f(g(x)的值域是x2， |x| 1，x， |x|0.令函数x1x 3f(x)g(x)h(x)(1) 求函数 f(x)的解析式，并求其定义域；(2) 当 a 时，求函数 f(x)的值域14解：(1) f
5、(x) ，x0，a(a0)x 1x 3(2) 当 a 时，函数 f(x)的定义域为0， 14 14令 1t，则 x(t1) 2，t1， ，x32则 f(x)F(t) .tt2 2t 4 1t 4t 2当 t 时，t21， 又 t1， 时，t 单调递减，F(t)单调递增，F(t)4t 32 32 4t ， ，即函数 f(x)的值域为 ， 13 613 13 61311. 函数 f(x)2x 的定义域为(0，1(aR)ax(1) 当 a1 时，求函数 yf(x)的值域；(2) 若 f(x)5在定义域上恒成立，求 a的取值范围解：(1) 当 a1 时， x(0，1， yf(x)2x 2x 2 2 ，
6、当且仅当 x 时取最小值 函数 yf(x)的值域为ax 1x 2x1x 2 222 ， )2(2) 若 f(x)5在定义域(0，1上恒成立，即 2x25xa 在(0，1上恒成立设 g(x)2x 25x， g(x)2x 2 5x2 2 ， 当 x(0 ，1时，g(x)3，0)而(x54) 258g(x)2x 25xa， 只要 a0，12a 2， )解得 00且 f(x)在(1，)内单调递减，则实数 a的取值xx a范围是_答案：(0，1解析：任取 x1，x 2(1，)，且 x10，所以要使 f(x1)f(x 2)0，只需(x 1a)(x 2a) a（ x1 x2）（ x1 a） （ x2 a）0
7、恒成立又 x(1，)，所以 a1.综上，实数 a的取值范围是 0x21，则 x2x 1x21，x 110，x 210，x 2x 10)在 x(1，1)上的单调性axx2 1解：设10，x 1x210，(x 1)(x 1)0.21 2 a0， f(x 1)f(x 2)0，即 f(x1)f(x 2) 函数 f(x)在(1，1)上为减函数12. 已知函数 f(x) (a0，x0)1a 1x(1) 求证：f(x)在(0，)上是单调递增函数；(2) 若 f(x)在 上的值域是 ，求 a的值12， 2 12， 2(1) 证明：设 x2x10，则 x2x 10，x 1x20. f(x2)f(x 1) 0，
8、f(x2)f(x1)， f(x)(1a 1x2) (1a 1x1) 1x1 1x2 x2 x1x1x2在(0，)上是单调递增函数(2) 解： f(x)在 上的值域是 ，12， 2 12， 2又 f(x)在 上单调递增，12， 2 f ，f(2)2，解得 a .(12) 12 2513. 已知函数 f(x)对任意的 m，nR，都有 f(mn)f(m)f(n)1，并且 x0时，恒有 f(x)1.(1) 求证：f(x)在 R上是增函数；(2) 若 f(3)4，解不等式 f(a2a5)0. 当 x0时，f(x)1， f(x 2x 1)1.f(x2)f(x 2x 1)x 1f(x 2x 1)f(x 1)
9、1， f(x 2)f(x 1)f(x 2x 1)10，f(x 1)0 时，f(x)x2，则 x1x 20，而 f(ab)f(a)f(b)， f(x 1)f(x 1x 2x 2)f(x 1x 2)f(x 2)0，则 3a 3a0；若 a .故 cab.2 68 33 69 33 2二、 解答题10. 已知 a2 ，b5 ，求 的值7 2a32 b2 9b43a32 b 2 6a34 b 13 9b43 b3a34 3b53 解：由于 a b2 6a b 9b (a b1 3b )2，且 a 1，y1，且 2logxy2log yx30，求 Tx 24y 2的最小值解：因为 x1，y1，所以 lo
10、gxy0.令 tlog xy，则 logyx .所以原式可化为1t2t 30，解得 t 或 t2(舍去)，即 logxy ，所以 y .所以2t 12 12 xTx 24y 2x 24x(x2) 24，由于 x1，所以当 x2，y 时，T 取最小值，最小2值为4.13. 设 logaC，log bC是方程 x23x10 的两根，求 log C的值ab解：依题意，得 logaC logbC 3，logaClogbC 1， )从而 即1logCa 1logCb 3，1logCa 1logCb 1.) logCa logCb 3，logCalogCb 1.)所以(log Calog Cb)2(log
11、 Calog Cb)24log CalogCb3 245，所以 logCalog Cb .又 log C ，所以 log C的值为 .5ab1logCab 1logCa logCb 55 ab 55点评：本题将对数运算、换底公式、根与系数的关系综合于一起，是对学生数学运算能力、应用能力的综合考查如何利用对数的运算性质，在已知条件和待求的式子间建立联系是解决本题的关键第 6课时 指 数 函 数一、 填空题1. 函数 f(x) 的定义域为_2x 4答案：2，)解析：由 2x40，得 x2.2. 函数 y3 |x2| 的单调递增区间是_答案：(，2解析：y ，t|x2|的单调减区间(，2就是所给函数
12、的单调增区(13)|x 2| 间3. 函数 y 的值域是_ex 1ex 1答案：(1，1)解析：y ，则 ex 0，则11，(34)x (34)x 3a 25 a 3a 25 a解得 0.(1) 解：f(x)x ，(12x 1 12) x2 2x 12x 1f(x) f(x)，x2 2 x 12 x 1 x2 2x 12x 1 f(x)为偶函数(2) 证明：f(x) ，当 x0时，2 x10，即 f(x)0；当 x0， f(x)0.12. 已知 9x103 x90，求函数 y 4 2 的最大值和最小值(14)x 1 (12)x 解：由 9x103 x90 得(3 x1)(3 x9)0，解得 1
13、3 x9， 0x2.令 t，则 t1，y4t 24t24 1，(12)x 14 (t 12)2 当 t 时，y min1，此时，x1；12当 t1 时，y max2，此时，x0.13. 已知函数 f(x)2 x(xR)，且 f(x)g(x)h(x)，其中 g(x)为奇函数，h(x)为偶函数(1) 求 g(x)，h(x)的解析式；(2) 若不等式 2ag(x)h(2x)0 对任意 x1，2恒成立，求实数 a的取值范围解：(1) 由 f（ x） g（ x） h（ x） 2x，f（ x） g（ x） h（ x） 2 x， )得 g（ x） h（ x） 2x， g（ x） h（ x） 2 x， )解得
14、 g(x) (2x2 x )，h(x) (2x2 x )12 12(2) 由 2ag(x)h(2x)0，得 a(2x2 x ) (22x2 2x )0 对任意 x1，2恒成12立令 t2 x2 x ，由于 t在 x1，2上单调递增，所以 t2 x2 x .因为32， 15422x2 2x (2 x2 x )22t 22，所以 a 在 t 上恒成t2 22t 12(t 2t) 32， 154立设 (t) ，t ，由 (t) 0，a1)在同一坐标系中的图象的是_(填序号)答案：解析：将 ylog ax(a0，a1)首先改为 ylog x(a0，a1)，结合函数的定义域1a首先排除，当 a1时，01
15、，函数 ya x单调递减，ylog x单调递增，中图象错1a 1a误2. 函数 yln(x 2x2)的定义域是_答案：(，1)(2，)解析：由 x2x20，解得 x2 或 x0，知 x0， 3解得 22 a2.a2 1 3，g（ 1 3） 0， ) 3二、 解答题10. 已知函数 f(x)log (x22ax3)12(1) 若函数 f(x)的定义域为(，1)(3，)，求实数 a的值；(2) 若函数 f(x)的定义域为 R，值域为(，1，求实数 a的值；(3) 若函数 f(x)在(，1上为单调增函数，求实数 a的取值范围解：(1) 由 x22ax30 的解集为(，1)(3，)，得 2a13，所以
16、a2，即实数 a的值为 2.(2) 因为 f(x)的定义域为 R，所以 yx 22ax30 在 R上恒成立由 0，得 a ，又 f(x)的值域为(，1，则 f(x)max 1，所以 yx 22ax3 的最小3 3值为 ymin2，由 yx 22ax3(xa) 23a 2，得 3a 22，所以 a21，所以 a1.(3) f(x)在(，1上为单调增函数，则 yx 22ax3 在(，1上为单调减函数，且 y0，所以 即 即 1a0， ) a 1，a0且 a1)如果对于任意的 x 都有|f(x)|1 成立，13， 2试求 a的取值范围解：因为 f(x)log ax，所以 y|f(x)|的图象如图由图
17、知，要使 x 时恒有|f(x)|1，13， 2只需 1，即1log a 1，|f(13)| 13即 logaa1 log a log aa.13当 a1时，得 a1 a，即 a3；13当 00 且 a1.(1) 求 f(x)的定义域；(2) 判断 f(x)的奇偶性并予以证明；(3) 若 a1，求使 f(x)0的 x的解集解：(1) f(x)log a(x1)log a(1x)，则 解得10，1 x0， )f(x)的定义域为x|11时，f(x)在定义域x|10，即 x 11 x1，解得 00的 x的解集是x|0 ，则 n的值为_(12)n ( 15)n 答案：1 或 2解析：可以逐一进行检验，也
18、可利用幂函数的单调性求解4. 已知函数 f(x)ax 2(13a)xa 在区间1，)上单调递增，则实数 a的取值范围是_答案：0，1解析：若 a0，则 f(x)x，满足题意；若 a0，则 a0 且 1，解得1 3a2a0a1，所以 0a1. 5. 已知 ax ，bx ，cx ，x(0，1)，(0，1)，则 a，b，c 的大小顺序21是_答案：c .又 x(0，1)， x 0解析：由 f(4)f(0)，得 b4.又 f(2)0，可得 c4， 或x 0，x2 4x 4 1)可得 3x 1或 x0.x 0， 2 1， )9. 如图，已知二次函数 yax 2bxc(a，b，c 为实数，a0)的图象过点
19、 C(t，2)，且与 x轴交于 A，B 两点若 ACBC，则 a_答案：12解析：设 ya(xx 1)(xx 2)，由图象过点 C(t，2)可得 a(tx 1)(tx 2)2.又ACBC，利用斜率关系得 1，所以 a .2t x1 2t x2 12二、 解答题10. 已知函数 h(x)(m 25m1)x m1 为幂函数，且为奇函数(1)求 m的值；(2)求函数 g(x)h(x) 在 x 上的值域1 2h（ x） 0，12解：(1) 函数 h(x)(m 25m1)x m1 为幂函数，m 25m11，解得 m0 或 5.函数 h(x)为奇函数，m0.(2)由(1)可知 h(x)x， g(x)x ，
20、x .1 2x 0，12令 t，则 t0，1，g(x)f(t) t2t ，可求得其值域为 .从1 2x12 12 12， 1而函数 g(x)在 x 上的值域为 .0，12 12， 111. 已知关于 x的函数 y(m6)x 22(m1)xm1 的图象与 x轴总有交点(1) 求 m的取值范围；(2) 若函数图象与 x轴的两个交点的横坐标的倒数和等于4，求 m的值解：(1) 当 m60，即 m6 时，函数 y14x5 与 x轴有一个交点；当m60，即 m6 时，有 4(m1) 24(m6)(m1)4(9m5)0，解得m ，即当 m 且 m6 时，函数图象与 x轴有一个或两个交点59 59综上可知，
21、当 m 时，此函数的图象与 x轴总有交点59(2) 设 x1，x 2是方程(m6)x 22(m1)xm10 的两个根，则 x1x 2，x 1x2 . 4，即 4， 4，解得2（ m 1）m 6 m 1m 6 1x1 1x2 x1 x2x1x2 2（ m 1）m 1m3.当 m3 时，m60，0，符合题意， m 的值是3.12. 已知函数 f(x)ax x2的最大值不大于 ，又当 x 时，f(x) ，求实数32 16 14， 12 18a的值解：f(x) a2，f(x) max a2 ，得1a1，函数 f(x)的对称轴是直32(x a3)2 16 16 16线 x .当1a0，即 k 时，方程有
22、两个不等实根，且32 12 m 2 21 2k，n 2 21 2k.)综上，当 k 时，不存在这样的 m，n；当 k 时，方程有两不等实根，12 32 12且 m 2 21 2k，n 2 21 2k.)综上，当 k 时，不存在这样的 m，n；当 k 时，方程有两不等实根，且12 32 12第 9课时 函数的图象m 2 21 2k，n 2 21 2k.)一、 填空题1. 已知 f(x)的图象恒过(1，1)点，则 f(x4)的图象恒过_答案：(5，1)解析：(解法 1)由 f(x)的图象恒过(1，1)点知 f(1)1，即 f(54)1，故函数f(x4)的图象恒过点(5，1)(解法 2)f(x4)的
23、图象可由 f(x)的图象向右平移 4个单位而得到，(1，1)向右平移 4个单位后变为(5，1)2. 为了得到函数 ylg 的图象，只需把函数 ylg x的图象上所有的点x 310_答案：向左平移 3个单位长度，再向下平移 1个单位长度解析： ylg lg(x3)1，x 310 将 ylg x 的图象上所有的点向左平移 3个单位长度得到 ylg(x3)的图象，再将 ylg(x3)的图象上所有的点向下平移 1个单位长度得到 ylg(x3)1 的图象3. 下列函数图象中，正确的有_(填序号)答案：解析：对于，由 yxa 知 a1，可知图象不正确；对于，由 yxa知 00，且 a1)有两个零点，则实数
24、 a的取值范围是_答案：(1，)解析：函数 f(x)的零点的个数就是函数 ya x与函数 yxa 交点的个数，由函数的图象可知 a1时两函数图象有两个交点，01. 9. 设函数 f(x) 若 f(f(a)2，则实数 a的取值范围是x2 x， x0 在 R上恒成立，求 m的取值范围解：(1) 令 F(x)|f(x)2|2 x2|，G(x)m，画出 F(x)的图象如图所示从图象看出，当 m0 或 m2 时，函数 F(x)与 G(x)的图象只有一个交点，即原方程有一个解；当 00)，H(t)t 2t，因为 H(t) 在区间(0，)上是增(t12)2 14函数，所以 H(t)H(0)0.因此要使 t2
25、tm 在区间(0，)上恒成立，应有 m0，即所求 m的取值范围是(，012. 已知函数 f(x)x|mx|(xR)，且 f(4)0.(1) 求实数 m的值；(2) 作出函数 f(x)的图象；(3) 根据图象指出 f(x)的单调递减区间；(4) 若方程 f(x)a 只有一个实数根，求 a的取值范围解：(1) f(4)0， 4|m4|0，即 m4.(2) f(x)x|x4| x（ x 4） （ x 2） 2 4， x 4， x（ x 4） （ x 2） 2 4， x4或 a0， f(2)f(3)0，ln（ 1 x） 4， x 0， )实根的个数为_答案：4解析：函数 f(x)的图象如图所示，令 t
26、x 24x(x2) 24 ，由图象可知，当4t0 时， f(t)6 无解，当 t0 时， f(t)6 有 2个解，对应 tx 24x，各有2个解，故关于 x的方程 f(x24x)6 的不同实根的个数为 4 .9. 已知函数 yf(x)是 R上的偶函数，满足 f(x2)f(x2)f(2)，且当x0，2时， f(x)2 x4，令函数 g(x)f(x)m，若 g(x)在区间10，2上有 6个零点，分别记为 x1，x 2，x 3，x 4，x 5，x 6，则 x1x 2x 3x 4x 5x 6_答案：24解析：因为函数 yf(x)是 R上的偶函数，所以 f(2)f(2)由 f(x2)f(x2)f(2)，
27、令 x0，可得 f(2)0，因此 f(x2)f(x2)，即 f(x4)f(x)， f(4x)f(x)f(x)， x2 是函数 f(x)的对称轴，周期 T4.又函数 f(x)是偶函数，关于y轴对称，因此 x0 也是其对称轴g(x)在区间10，2上有 6个零点，即函数yf(x)和 ym 的图象有 6个交点因为当 x0，2时， yf(x)单调递增，f(x)在区间2，0上单调递减，所以当 x0，2时，只有一个零点设为 x1，同理在区间2，0)上只有一个零点设为 x2，则 x1x 20，同理 x3x 48，x 5x 616， x1x 2x 3x 4x 5x 624.二、 解答题10. 若二次函数 yx
28、2mx1 的图象与两端点为 A(0，3)，B(3，0)的线段 AB有两个不同的交点，求 m的取值范围解：线段 AB的方程为 xy3(0x3)，由题意得方程组 x y 3（ 0 x 3）y x2 mx 1 )Error!有两组实解，将代入得，x 2(m1)x40(0x3)有两个实根令 f(x)x 2(m1)x4，在 x0，3上有两个实根，有解得 30，00，f（ 3） 9 3（ m 1） 4 0， ) 103 (3， 10311. 已知关于 x的二次函数 f(x)x 2(2t1)x12t.(1) 求证：对于任意 tR，方程 f(x)1 必有实数根；(2) 若 t ，求证：方程 f(x)0 在区间
29、(1，0)及 内各有一个实数根12 34 (0， 12)证明：(1) 由 f(1)1 知 f(x)1 必有实数根(2) 当 t 时，因为 f(1)34t4 0，f(0)12t2 0，f12 34 (34 t) (12 t) (2t 1)12t t0，所以方程 f(x)0 在区间(1，0)及 内各有一(12) 14 12 34 (0， 12)个实数根12. 已知 a是实数，函数 f(x)2ax 22x3a，如果函数 yf(x)在区间1，1上有零点，求 a的取值范围解：若 a0，则 f(x)2x3，显然在1，1上没有零点，所以 a0.令 48a(3a)8a 224a40，解得 a . 372 当
30、a 时，f(x)0 的重根 x 1，1； 3 72 3 72当 a 时，f(x)0 的重根 x 1，1， 3 72 3 72 yf(x)恰有一个零点在1，1上 当 f(1)f(1)(a1)(a5)0(f(1)和 f(1)不同时为 0)，即 1a5 时，yf(x)在1，1上也恰有一个零点 当 yf(x)在1，1上有两个零点时，则或a0， 8a2 24a 40， 10， 10， 若存在实数 a满足条件，则只需 f(1)f(3)0 即可f(1)f(3)(13a2a1)(99a6a1)4(1a)(5a1)0. a 或 a1.15检验： 当 f(1)0 时，a1.所以 f(x)x 2x.令 f(x)0，
31、x 2x0，解得 x0 或 x1.方程在1，3上有两根，不合题意，故 a1. 当 f(3)0 时，a ，此时 f(x)x 2 x ；15 135 65令 f(x)0，x 2 x 0，解得 x 或 x3.135 65 25方程在1，3上有两根，不合题意，故 a .15综上所述，a 的取值范围是 (1，)( ， 15)第 11课时 导数的概念与运算一、 填空题1. 设 yx 2ex，则 y_答案：(2xx 2)ex解析：y2xe xx 2ex(2xx 2)ex.2. 若函数 f(x) ，则 f(2)_ln xx答案：1 ln 24解析： f(x) ， f(2) .1 ln xx2 1 ln 243
32、. 设曲线 yax 2在点(1，a)处的切线与直线 2xy60 平行，则 a_答案：1解析：y2ax，点(1，a)在曲线 yax 2上，依题意得 ky| x1 2a2，解得a1.4. 曲线 yxcos x 在点 处的切线方程为_ (2， 2)答案：2xy 02解析：ky(1sin x)|x 2，切线过点 ，切线方程为 y 22 (2， 2) 2，即 2xy 0.(x2) 25. 设 f(x)ae xbln x，且 f(1)e，f(1) ，则实数 ab_1e答案：1解析：因为 f(x)ae x ，由已知得 解得 所以 ab1.bx ae b e，ae b 1e， ) a 1，b 0.)6. 曲线
33、 ye 2x 1 在点(0，2)处的切线与直线 y0 和 yx 围成的三角形的面积为_答案：13解析：y| x0 (2e 2x )|x0 2，故曲线 ye 2x 1 在点(0，2)处的切线方程为y2x2，易得切线与直线 y0 和 yx 的交点坐标分别为(1，0)和 ，故围成的(23， 23)三角形的面积为 1 .12 23 137. 设函数 f(x)g(x)x 2，曲线 yg(x)在点(1，g(1)处的切线方程为 y2x1，则曲线 yf(x)在点(1，f(1)处切线的斜率为_答案：4解析： 曲线 yg(x)在点(1，g(1)处的切线方程为 y2x1， g(1)k2.又 f(x)g(x)2x， f(1)g(1)24，故切线的斜率为 4.8. 曲线 y 在点 M 处的切线的斜率为_sin xsin x cos x 12 (4， 0)答案：12解析：ycos x（ sin x cos x） sin x（ cos x sin x）（ sin x cos x） 2 ，1（ sin x cos x） 2