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2019版高考数学一轮复习《选修4_4:坐标系与参数方程》课时训练(含答案)

1、选修 44 坐标系与参数方程第 1 课时 坐 标 系1. (1) 将点 M 的极坐标 化成直角坐标;(4,143 )(2) 将点 N 的直角坐标(4,4 )化成极坐标(0,0b0, 为参数),3 3 x acos ,y bsin )得 所以2 acos 3,3 bsin 3, ) a 4,b 2, )所以曲线 C 的普通方程为 1.x216 y24(2) 曲线 C 的极坐标方程为 1,将 A( 1,),B 2cos216 2sin24代入得 1, 1,所以 .( 2, 2) 516第 2 课时 参 数 方 程1. 已知在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 (t 为参数),以坐标x

2、3t 2,y 4t )原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 24cos 30.点 P 在直线 l 上,点 Q 在曲线 C 上,求 PQ 的取值范围解:直线 l 的普通方程为 4x3y80;曲线 C 的直角坐标方程为(x2) 2y 21,曲线 C 是圆心为(2,0),半径为 1 的圆圆心到直线的距离 d ,|42 0 8|5 165所以 PQ 的取值范围是 .115, )2. 已知直线 l 的参数方程为 曲线 C 的极坐标方程为 4sin ,试判断x 1 t2,y t, )直线 l 与曲线 C 的位置关系解:直线 l 的普通方程为 2xy20;曲线 C 的直角坐

3、标方程为 x2(y2) 24,它表示圆由圆心到直线 l 的距离 d 2,得直线 l 与曲线 C 相交45 45 53. 在平面直角坐标系 xOy 中,求过椭圆 ( 为参数)的右焦点,且与直x 5cos ,y 3sin )线 (t 为参数)平行的直线的普通方程x 4 2t,y 3 t )解:由题意知,椭圆的长半轴长为 a5,短半轴长为 b3,从而 c4,所以右焦点为(4,0)将已知直线的参数方程化为普通方程得 x2y20,故所求的直线的斜率为 ,12因此所求的直线方程为 y (x4),即 x2y40.124. 在平面直角坐标系 xOy 中,已知直线 C1: (t 为参数)与椭圆 C2:x t 1

4、,y 7 2t)( 为参数, a0)的一条准线的交点位于 y 轴上,求实数 a 的值x acos ,y 3sin )解:直线 C1:2xy9,椭圆 C2: 1(0a3),y29 x2a2准线:y .99 a2由 9,得 a2 .99 a2 25. 在直角坐标系 xOy 中,已知曲线 C1的参数方程是 (t 为参数),在以坐标x t,y 3t3 )原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C2的极坐标方程是 2,求曲线 C1与 C2的交点在直角坐标系中的直角坐标解:由 x t,y 3t3, )消去 t 得曲线 C1的普通方程为 y x(x0);33由 2,得 24,得曲线 C2的

5、直角坐标方程是 x2y 24.联立 解得y 33x( x 0) ,x2 y2 4, ) x 3,y 1.)故曲线 C1与 C2的交点坐标为( ,1)36. 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1的参数方程为 (t 为参数, a0),x acos t,y 1 asin t)在以坐标原点为极点, x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C24cos .(1)求曲线 C1的普通方程,并将 C1的方程化为极坐标方程;(2)直线 C3的极坐标方程为 0,其中 0满足 tan 02,若曲线 C1与 C2的公共点都在 C3上,求 a.解:(1)消去参数 t 得到 C1的普通方程为 x2(y1) 2a 2,将 x

6、cos ,ysin 代入 C1的普通方程,得到 C1的极坐标方程为 22sin 1a 20.(2)曲线 C1,C 2的公共点的极坐标满足方程组 若 2 2 sin 1 a2 0, 4cos , )0,由方程组得 16cos28sin cos 1a 20,由已知 tan 2,可解得1a 20,根据 a0,得到 a1,当 a1 时,极点也为 C1,C 2的公共点,在 C3上,所以a1.7. 在直角坐标系中,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C的极坐标方程为 2cos 6sin 0,直线 l 的参数方程为 (t 为1 x 3 12t,y 3 32t)参数)(1) 求曲线 C

7、的普通方程;(2) 若直线 l 与曲线 C 交于 A,B 两点,点 P 的坐标为(3,3),求 PAPB 的值解:(1) 曲线 C 的极坐标方程为 2cos 6sin 0,1可得 22cos 6sin 10,可得 x2y 22x6y10,曲线 C 的普通方程:x 2y 22x6y10.(2) 由于直线 l 的参数方程为 (t 为参数)x 3 12t,y 3 32t)把它代入圆的方程整理得 t 22t50, t 1t 22,t 1t25.又 PA|t 1|,PB|t 2|,PAPB|t 1|t 2| 2 .( t1 t2) 2 4t1t2 6 PAPB 的值为 2 .68. 在平面直角坐标系 x

8、Oy 中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系直线 l 的极坐标方程为 sin ,椭圆 C 的参数方程为 (t 为( 3 ) 32 x 2cos t,y 3sin t)参数)(1) 求直线 l 的直角坐标方程与椭圆 C 的普通方程;(2) 若直线 l 与椭圆 C 交于 A,B 两点,求线段 AB 的长解:(1) 由 sin ,得 ( cos sin ) ,即 x y ,( 3 ) 32 32 12 32 32 12 32化简得 y x ,3 3所以直线 l 的直角坐标方程是 y x .3 3由 cos 2tsin 2t1,得椭圆 C 的普通方程为 1.(x2)2 (y3)2 x24

9、 y23(2) 联立直线方程与椭圆方程,得 y 3x 3,x24 y23 1, )消去 y,得 (x1) 21,x24化简得 5x28x0,解得 x10,x 2 ,85所以 A(0, ),B 或 A ,B(0, ),3 (85, 35 3) (85, 35 3) 3则 AB .(0 85)2 ( 3 35 3)2 1659. 在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的参数方程为 ( 为参数,x 22 rcos ,y 22 rsin )r0),以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为 sin1,若圆 C 上的点到直线 l 的最大距离为 3,求 r 的值( 4)解:圆

10、 C 的参数方程为 ( 为参数, r0),消去参数 得x 22 rcos ,y 22 rsin ) r 2(r0) ,所以圆心 C ,半径为 r.(x22)2 (y 22)2 ( 22, 22)直线 l 的极坐标方程为 sin 1,( 4)化为普通方程为 xy 0.2圆心 C 到直线 xy 0 的距离为 d 2. 圆 C 上的(22, 22) 2 | 22 22 2|2点到直线 l 的最大距离为 3,即 dr3, r3d321.10. 已知动点 P,Q 都在曲线 C: (t 为参数)上,对应参数分别为 tx 2cos t,y 2sin t)与 t2(02),M 为 PQ 的中点(1) 求 M

11、的轨迹的参数方程;(2) 将 M 到坐标原点的距离 d 表示为 的函数,并判断 M 的轨迹是否过坐标原点解:(1) 由题意有,P(2cos ,2sin ),Q(2cos 2,2sin 2),因此 M(cos cos 2,sin sin 2),M 的轨迹的参数方程为 ( 为参数,02)x cos cos 2 ,y sin sin 2 )(2) M 点到坐标原点的距离为 d (02),x2 y2 2 2cos 当 时,d0,故 M 的轨迹过坐标原点11. 若以直角坐标系 xOy 的原点 O 为极点,x 轴正半轴为极轴,选择相同的长度单位建立极坐标系,得曲线 C 的极坐标方程是 sin 26cos .(1) 将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程,并指出曲线是什么曲线;(2) 若直线 l 的参数方程为 (t 为参数),直线 l 与曲线 C 相交于 A,B 两x 32 12t,y 32t )点,求线段 AB 的长解:(1) 由 sin 26cos ,得 2sin26cos ,所以曲线 C 的直角坐标方程为 y26x,曲线是以原点为顶点, 为焦点的抛物线(32, 0)(2) 化简得 t24t120,则 t1t 24,t 1t212,所以x 32 t2,y 32t,y2 6x, )AB|t 1t 2| 8.( t1 t2) 2 4t1t2