1、选修 44 坐标系与参数方程第 1 课时 坐 标 系1. (1) 将点 M 的极坐标 化成直角坐标；(4，143 )(2) 将点 N 的直角坐标(4，4 )化成极坐标(0，0b0， 为参数)，3 3 x acos ，y bsin )得 所以2 acos 3，3 bsin 3， ) a 4，b 2， )所以曲线 C 的普通方程为 1.x216 y24(2) 曲线 C 的极坐标方程为 1，将 A( 1，)，B 2cos216 2sin24代入得 1， 1，所以 .( 2， 2) 516第 2 课时 参 数 方 程1. 已知在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 (t 为参数)，以坐标x
2、3t 2，y 4t )原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 24cos 30.点 P 在直线 l 上，点 Q 在曲线 C 上，求 PQ 的取值范围解：直线 l 的普通方程为 4x3y80；曲线 C 的直角坐标方程为(x2) 2y 21，曲线 C 是圆心为(2，0)，半径为 1 的圆圆心到直线的距离 d ，|42 0 8|5 165所以 PQ 的取值范围是 .115， )2. 已知直线 l 的参数方程为 曲线 C 的极坐标方程为 4sin ，试判断x 1 t2，y t， )直线 l 与曲线 C 的位置关系解：直线 l 的普通方程为 2xy20；曲线 C 的直角坐
3、标方程为 x2(y2) 24，它表示圆由圆心到直线 l 的距离 d 2，得直线 l 与曲线 C 相交45 45 53. 在平面直角坐标系 xOy 中，求过椭圆 ( 为参数)的右焦点，且与直x 5cos ，y 3sin )线 (t 为参数)平行的直线的普通方程x 4 2t，y 3 t )解：由题意知，椭圆的长半轴长为 a5，短半轴长为 b3，从而 c4，所以右焦点为(4，0)将已知直线的参数方程化为普通方程得 x2y20，故所求的直线的斜率为 ，12因此所求的直线方程为 y (x4)，即 x2y40.124. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 C1： (t 为参数)与椭圆 C2：x t 1
4、，y 7 2t)( 为参数， a0)的一条准线的交点位于 y 轴上，求实数 a 的值x acos ，y 3sin )解：直线 C1：2xy9，椭圆 C2： 1(0a3)，y29 x2a2准线：y .99 a2由 9，得 a2 .99 a2 25. 在直角坐标系 xOy 中，已知曲线 C1的参数方程是 (t 为参数)，在以坐标x t，y 3t3 )原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2的极坐标方程是 2，求曲线 C1与 C2的交点在直角坐标系中的直角坐标解：由 x t，y 3t3， )消去 t 得曲线 C1的普通方程为 y x(x0)；33由 2，得 24，得曲线 C2的
5、直角坐标方程是 x2y 24.联立 解得y 33x（ x 0） ，x2 y2 4， ) x 3，y 1.)故曲线 C1与 C2的交点坐标为( ，1)36. 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为 (t 为参数， a0)，x acos t，y 1 asin t)在以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C24cos .(1)求曲线 C1的普通方程，并将 C1的方程化为极坐标方程；(2)直线 C3的极坐标方程为 0，其中 0满足 tan 02，若曲线 C1与 C2的公共点都在 C3上，求 a.解：(1)消去参数 t 得到 C1的普通方程为 x2(y1) 2a 2，将 x
6、cos ，ysin 代入 C1的普通方程，得到 C1的极坐标方程为 22sin 1a 20.(2)曲线 C1，C 2的公共点的极坐标满足方程组 若 2 2 sin 1 a2 0， 4cos ， )0，由方程组得 16cos28sin cos 1a 20，由已知 tan 2，可解得1a 20，根据 a0，得到 a1，当 a1 时，极点也为 C1，C 2的公共点，在 C3上，所以a1.7. 在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C的极坐标方程为 2cos 6sin 0，直线 l 的参数方程为 (t 为1 x 3 12t，y 3 32t)参数)(1) 求曲线 C
7、的普通方程；(2) 若直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，点 P 的坐标为(3，3)，求 PAPB 的值解：(1) 曲线 C 的极坐标方程为 2cos 6sin 0，1可得 22cos 6sin 10，可得 x2y 22x6y10，曲线 C 的普通方程：x 2y 22x6y10.(2) 由于直线 l 的参数方程为 (t 为参数)x 3 12t，y 3 32t)把它代入圆的方程整理得 t 22t50， t 1t 22，t 1t25.又 PA|t 1|，PB|t 2|，PAPB|t 1|t 2| 2 .（ t1 t2） 2 4t1t2 6 PAPB 的值为 2 .68. 在平面直角坐标系 x
8、Oy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系直线 l 的极坐标方程为 sin ，椭圆 C 的参数方程为 (t 为( 3 ) 32 x 2cos t，y 3sin t)参数)(1) 求直线 l 的直角坐标方程与椭圆 C 的普通方程；(2) 若直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点，求线段 AB 的长解：(1) 由 sin ，得 ( cos sin ) ，即 x y ，( 3 ) 32 32 12 32 32 12 32化简得 y x ，3 3所以直线 l 的直角坐标方程是 y x .3 3由 cos 2tsin 2t1，得椭圆 C 的普通方程为 1.(x2)2 (y3)2 x24
9、 y23(2) 联立直线方程与椭圆方程，得 y 3x 3，x24 y23 1， )消去 y，得 (x1) 21，x24化简得 5x28x0，解得 x10，x 2 ，85所以 A(0， )，B 或 A ，B(0， )，3 (85， 35 3) (85， 35 3) 3则 AB .(0 85)2 ( 3 35 3)2 1659. 在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C 的参数方程为 ( 为参数，x 22 rcos ，y 22 rsin )r0)，以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 sin1，若圆 C 上的点到直线 l 的最大距离为 3，求 r 的值( 4)解：圆
10、 C 的参数方程为 ( 为参数， r0)，消去参数 得x 22 rcos ，y 22 rsin ) r 2(r0) ，所以圆心 C ，半径为 r.(x22)2 (y 22)2 ( 22， 22)直线 l 的极坐标方程为 sin 1，( 4)化为普通方程为 xy 0.2圆心 C 到直线 xy 0 的距离为 d 2. 圆 C 上的(22， 22) 2 | 22 22 2|2点到直线 l 的最大距离为 3，即 dr3， r3d321.10. 已知动点 P，Q 都在曲线 C： (t 为参数)上，对应参数分别为 tx 2cos t，y 2sin t)与 t2(02)，M 为 PQ 的中点(1) 求 M
11、的轨迹的参数方程；(2) 将 M 到坐标原点的距离 d 表示为 的函数，并判断 M 的轨迹是否过坐标原点解：(1) 由题意有，P(2cos ，2sin )，Q(2cos 2，2sin 2)，因此 M(cos cos 2，sin sin 2)，M 的轨迹的参数方程为 ( 为参数，02)x cos cos 2 ，y sin sin 2 )(2) M 点到坐标原点的距离为 d (02)，x2 y2 2 2cos 当 时，d0，故 M 的轨迹过坐标原点11. 若以直角坐标系 xOy 的原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线 C 的极坐标方程是 sin 26cos .(1) 将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程，并指出曲线是什么曲线；(2) 若直线 l 的参数方程为 (t 为参数)，直线 l 与曲线 C 相交于 A，B 两x 32 12t，y 32t )点，求线段 AB 的长解：(1) 由 sin 26cos ，得 2sin26cos ，所以曲线 C 的直角坐标方程为 y26x，曲线是以原点为顶点， 为焦点的抛物线(32， 0)(2) 化简得 t24t120，则 t1t 24，t 1t212，所以x 32 t2，y 32t，y2 6x， )AB|t 1t 2| 8.（ t1 t2） 2 4t1t2