1、第9章 中心对称图形-平行四边形9.4.1矩形的性质与判定大题专练（重难点培优）姓名：_ 班级：_ 学号：_注意事项：本试卷共24题，解答24道答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置一解答题（共24小题）1已知，如图，在菱形中，对角线、相交于点，（1）求证：四边形是矩形；（2）若，求四边形的面积2如图，在菱形中，对角线、相交于点，过作，过作，与相交于点求证：四边形为矩形3如图，在菱形中，对角线、相交于点，（1）求证：四边形是矩形；（2）若是边长为2的正三角形，求四边形的面积4如图，菱形的对角线交于点，点是菱形外一点，（1）求证：四边形是矩形；（2）连
2、接交于点，当，时，求菱形的面积5如图，菱形的对角线与交于点，（1）求的度数；（2）求证：四边形是矩形6如图，在菱形中，对角线，相交于点，（1）求证：四边形是矩形；（2）若菱形边长为10，面积为96，求矩形周长7如图，在菱形中，点是对角线的中点，过点的直线与边、交于点、，连接、（1）求证：四边形是矩形；（2）若，直接写出四边形的面积8如图，在菱形中，点是边的中点，点是边上一动点（不与点重合），延长交射线于点，连接，（1）求证：四边形是平行四边形；（2）填空：当的值为时，四边形是矩形；当的值为时，四边形是菱形9在平行四边形中，过点作于点，点在边上，连接，（1）求证：四边形是矩形（2）若，求证：平分
3、10如图，在菱形中，对角线、交于点，过点作于点，延长至，使，连接（1）求证：四边形是矩形；（2）若，求的长11已知：如图，在中，直线从点出发，以的速度向点方向运动，并始终与平行，与线段交于点同时，点从点出发，以的速度沿向点运动，设运动时间为（1）当为何值时，四边形是矩形？（2）当面积是的面积的5倍时，求出的值12如图，在平行四边形中，对角线，交于点（1）若，求证：四边形为矩形；（2）若于点，于点，求证：13如图，在四边形中，、相交于点，（1）如图1，求证：四边形为矩形；（2）如图2，是边上任意一点，、分别是垂足，若，求的值14如图，菱形的对角线交于点，点是菱形外一点，（1）求证：四边形是矩形；
4、（2）连接交于点，当，时，求的长度15如图，在中，是边的中线，平分的外角，垂足为（1）求证：四边形是矩形；（2）连接，交于点，若，则的面积是：16如图，在平行四边形中，点是边上一点（不与，重合），过点作，交边于点，连接（1）若，求证：四边形是矩形；（2）在（1）的条件下，当，时，求的长17如图，在菱形中，点是边的中点，点是边上一动点（不与点重合），延长交射线于点，连接，（1）求证：四边形是平行四边形；（2）当的值为时，四边形是矩形；若，求证：四边形是菱形18如图，在矩形中，点从点出发向点运动，运动到点停止，同时，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点、的速度都是每秒1个单位，连接、设点、运动的
5、时间为秒（1）当为何值时，四边形是矩形；（2）当时，判断四边形的形状，并说明理由19如图，平行四边形中，是的中点，是边上的动点，的延长线与的延长线交于点，连接，（1）求证：四边形为平行四边形；（2）若，当时，四边形是矩形；当时，四边形是菱形20如图，平行四边形中，是的中点，是边上的动点，的延长线与的延长线交于点，连接，（1）求证：四边形是平行四边形；（2）时，四边形是矩形；时，四边形是菱形21如图，菱形的对角线、相交于点，与交于点（1）试判断四边形的形状，并说明理由；（2）若，求菱形的面积22如图，菱形的对角线、相交于点，与交于点（1）试判断四边形的形状，并说明理由；（2）若，求菱形的面积23
6、如图，菱形的对角线、相交于点，过点作，且，连接、，连接交于点（1）求证：；（2）若菱形的边长为8，求的长24已知：如图，在菱形中，对角线、相交于点，（1）求证：四边形是矩形；（2）若，求四边形的面积参考答案一、解答题（共24小题）1 【分析】（1）根据菱形的性质得出，再根据平行四边形的判定定理得四边形为平行四边形，由矩形的判定定理得出四边形是矩形；（2）证明是等边三角形，得出，由勾股定理得出，由菱形的性质得出，即可求出四边形的面积【解析】（1）证明：，四边形是平行四边形，在菱形中，平行四边形是矩形，故四边形是矩形；（2）解：，是等边三角形，在菱形中，由勾股定理，四边形是菱形，四边形的面积2 【
7、分析】根据平行四边形的判定定理和菱形的性质定理即可得到结论【解析】证明：，四边形是平行四边形，在菱形中，四边形为矩形3 【分析】（1）根据题意可判断出四边形是平行四边形，再由菱形的性质可得出，即，继而可判断出四边形是矩形；（2）由菱形的性质和勾股定理求出，得出，由矩形的面积公式即可得出答案【解析】（1）证明：，四边形是平行四边形，四边形是菱形，四边形是矩形；（2）解：是边长为2的正三角形，四边形为菱形，四边形是矩形，四边形的面积4 【分析】（1）根据菱形的性质求出，根据平行四边形和矩形的判定得出即可；（2）根据矩形和菱形的性质即可得到结论【解析】（1）证明：四边形是菱形，即，四边形是平行四边形
8、，四边形是矩形；（2）解：四边形是菱形，四边形是矩形，菱形的面积5 【分析】（1）由四边形是菱形，得到对边平行，且为角平分线，利用两直线平行得到一对同旁内角互补，根据已知角之比求出相应度数，进而求出度数；（2）由四边形是菱形，得到对角线互相垂直，利用两组对边平行的四边形是平行四边形，再利用有一个角为直角的平行四边形是矩形即可得证【解析】（1）解：四边形是菱形，；（2）证明：，四边形是平行四边形，四边形是菱形，平行四边形是矩形6 【分析】（1）根据题意可判断出四边形是平行四边形，再由菱形的性质可得出，即，可判断出四边形是矩形；（2）由菱形的面积和勾股定理求出，由矩形的性质即可得出答案【解析】（1
9、）证明：，四边形是平行四边形，四边形是菱形，四边形是矩形；（2）解：菱形边长为10，面积为96，四边形是矩形，矩形的周长7 【分析】（1）求出，根据平行四边形的判定得出四边形是平行四边形，再根据矩形的判定得出即可；（2）根据勾股定理得出，即，求出，即得出，根据勾股定理求出，再求出矩形的面积即可【解析】（1）证明：，四边形是菱形，为的中点，四边形是平行四边形，四边形是矩形；（2）解：设，四边形是菱形，四边形是矩形，在和中，由勾股定理得：，即，解得：，即，则，四边形的面积是8 【分析】（1）求出，根据全等及时向的性质得出，根据平行四边形的判定得出即可；（2）根据等边三角形的判定得出是等边三角形，根
10、据等边三角形的性质求出，根据矩形的判定得出即可；求出是等边三角形，求出和重合，根据菱形的判定得出即可【解析】（1）证明：点是边的中点，四边形是菱形，在和中，四边形是平行四边形；（2）解：当时，四边形是矩形，理由是：连接，四边形是菱形，是等边三角形，即，四边形是平行四边形，四边形是矩形，即当时，四边形是矩形，故答案为：1.5；当时，四边形是菱形，理由是，此时，即和重合，由知：是等边三角形，四边形是平行四边形，四边形是菱形，故答案为：39 【分析】（1）根据平行四边形的性质得出，即，根据平行四边形的判定得出四边形为平行四边形，根据矩形的判定得出即可；（2）根据矩形的性质求出，根据勾股定理求出，求出
11、，推出，求出，即可得出答案【解析】证明：（1）四边形为平行四边形，即，又，四边形为平行四边形，又，四边形为矩形；（2）四边形为矩形，平分10 【分析】（1）根据菱形的性质得到且，等量代换得到，推出四边形是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论；（2）设，则根据勾股定理即可得到结论【解析】（1）证明：在菱形中，且，四边形是平行四边形，四边形是矩形；（2）解：设，则在中，11 【分析】（1）由，可得，可求的长，当时，四边形是矩形，列出方程即可解决问题；（2）根据计算即可【解析】（1）在中，当时，四边形是矩形，解得（2）当面积是的面积的5倍时，12 【分析】（1）根据平行四边形的性质和矩形的判定
12、解答即可；（2）根据矩形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可【解析】证明：（1）四边形是平行四边形，平行四边形是矩形；（2）四边形是平行四边形，于点，于点，在与中，13 【分析】（1）先证四边形是平行四边形，得出，再证出，即可得出结论；（2）由勾股定理可求，由面积法可求解【解析】证明：（1），四边形是平行四边形，四边形是矩形；（2）如图，连接，14 【分析】（1）先证四边形是平行四边形，再根据菱形的性质求出，即可得出结论；（2）证，得，由直角三角形的性质得，则，再根据勾股定理求出即可【解析】（1）证明：，四边形是平行四边形，四边形是菱形，四边形是矩形；（2）解：如图，四边形是菱形，四边形是矩
13、形，在和中，15 【分析】（1）证出四边形有三个直角即可；（2）由矩形的性质得，由勾股定理求出，再由三角形面积公式即可得答案【解析】（1）证明：在中，是边的中线，为的外角的平分线，四边形为矩形；（2）解：是边的中线，由（1）得：四边形是矩形，在中，的面积；故答案为：1216 【分析】（1）证出即可；（2）由证明，得出，设，则，由勾股定理得出方程，解方程即可【解析】（1）证明：，平行四边形是矩形；（2）解：四边形是矩形，在和中，设，则，在中，解得：，的长是17 【分析】（1）由菱形的性质可得，再由点是边的中点，可得，从而可证明，则，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得答案；（2）当的值为3
14、时，四边形是矩形根据对角线相等的平行四边形是矩形即可判定；根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可判定【解析】（1）证明：四边形是菱形，点是边的中点，在和中，四边形是平行四边形；（2）解：当的值为3时，四边形是矩形理由如下：四边形为菱形，点是边的中点，是等边三角形，四边形是平行四边形，四边形是矩形故答案为：3；证明：，是等边三角形，四边形是平行四边形，四边形是菱形18 【分析】（1）由矩形性质得出，由已知可得，当时，四边形为矩形，得出方程，解方程即可；（2）时，得出，则四边形为平行四边形，由勾股定理求出，得出，即可得出结论【解析】（1）在矩形中，由已知可得，在矩形中，当时，四边形为矩形，解得：
15、，当时，四边形为矩形；（2）四边形为菱形；理由如下：，四边形为平行四边形，在中，平行四边形为菱形，即当时，四边形为菱形19 【分析】（1）证，推出，根据平行四边形的判定推出即可；（2）求出，推出，根据矩形的判定推出即可；求出是等边三角形，推出，根据菱形的判定推出即可【解析】（1）证明：四边形是平行四边形，是的中点，在和中，四边形是平行四边形；（2）解：当时，平行四边形是矩形，理由是：过作于，四边形是平行四边形，在和中，四边形是平行四边形，四边形是矩形，故答案为：7；当时，四边形是菱形，理由是：，是等边三角形，四边形是平行四边形，四边形是菱形，故答案为：420 【分析】（1）证，推出，根据平行四
16、边形的判定推出即可；（2）证明，推出，即可得出结论；证明是等边三角形，推出，即可得出结论【解析】（1）证明：四边形是平行四边形，是的中点，在和中，又，四边形是平行四边形，（2）解：当时，四边形是矩形；理由如下：过作于，如图所示：，四边形是平行四边形，在和中，平行四边形是矩形，故答案为：8；当时，四边形是菱形，理由如下：，是等边三角形，平行四边形是菱形，故答案为：421 【分析】（1）先证四边形为平行四边形，再由菱形的性质得，从而可得四边形是矩形；（2）根据勾股定理和菱形的面积公式解答即可【解析】（1）四边形是矩形，理由如下：，四边形是平行四边形又菱形对角线交于点，即四边形是矩形；（2）四边形是
17、菱形，四边形是矩形，菱形的面积22 【分析】（1）由菱形的性质可证明，然后再证明四边形为平行四边形，从而可证明四边形是矩形；（2）根据勾股定理和三角形的面积公式解答即可【解析】（1）四边形是矩形证明：，四边形是平行四边形又菱形对角线交于点，即四边形是矩形（2）菱形，的面积，菱形的面积的面积23 【分析】（1）先求出四边形是平行四边形，再根据菱形的对角线互相垂直求出，证明是矩形，可得；（2）根据菱形的性质以及勾股定理，得出与的长，再根据勾股定理得出的长度即可【解析】（1）在菱形中，又，四边形是平行四边形，平行四边形是矩形（2）在菱形中，是等边三角形，在矩形中，又矩形中，在中，24 【分析】（1）根据菱形的性质得出，再根据平行四边形的判定定理得四边形为平行四边形，由矩形的判定定理得出四边形是矩形；（2）证明是等边三角形，得出，由勾股定理得出，由菱形的性质得出，即可求出四边形的面积【解析】（1）证明：，四边形是平行四边形，在菱形中，平行四边形是矩形，故四边形是矩形；（2）解：，是等边三角形，在菱形中，由勾股定理，四边形是菱形，四边形的面积