1、第9章 中心对称图形-平行四边形9.4.3 正方形综合问题大题专练（重难点培优）姓名：_ 班级：_ 学号：_注意事项：本试卷共24题，解答24道答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置一、解答题（共24小题）1如图，点是正方形对角线上一点，垂足分别为，若正方形的周长是（1）求证：四边形是矩形；（2）求四边形的周长；（3）当的长为多少时，四边形是正方形？2如图，中，若动点从点开始，按的路径运动，且速度为每秒，设出发的时间为秒（1）出发2秒后，求以为边的正方形面积；（2）当为等腰三角形时，求的值3（1）如图，在正方形中，、分别是、上的点，且，连接，探究、之
2、间的数量关系，并说明理由；（2）如图，在四边形中，、分别是、上的点，且，此时（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由4如图，正方形与等腰直角三角形的一边在同一条水平直线上，现保持三角形不动，正方形以2厘米秒的速度向右匀速运动（1）在图中画出第8秒时，正方形所在的位置；（2）计算第11秒时，正方形与等腰直角三角形重叠部分的面积5如图，一张正方形纸片的边长为，将它剪去4个全等的直角三角形，四边形的面积可能为吗？请说明理由6已知：如图，在平行四边形中，点、在对角线上，且（1）求证：；（2）若四边形是正方形，且，则四边形的面积为7如图，在正方形中，点、分别在、上，且，垂足为（1）求证：；（2）若是的中点
3、，且，求的长8如图，在矩形中，点在边上，连接，以为边向右上方作正方形，作，垂足为，连接（1）求证：；（2）若，当时，求的度数9如图，在正方形中，与相交于点（1）求证：；（2）写出线段、的数量和位置关系，并说明理由10如图，四边形是正方形，点是边上的动点（不与点、重合），将射线绕点按逆时针方向旋转后交边于点，、分别交于、两点（1）当时，求的度数；（2）设，试用含的代数式表示的大小；（3）点运动的过程中，试探究与有怎样的数量关系，并说明理由11如图，正方形的对角线、相交于点，将向两个方向延长，分别至点和点，且使（1）判断四边形的形状，并证明你的猜想；（2）若，求四边形的周长12已知：，平行线与、与
4、、与之间的距离分别为，且，我们把四个顶点分别在，这四条平行线上的四边形称为“线上四边形”（1）如图1，正方形为“线上四边形”，于点，的延长线交直线于点，求正方形的边长（2）如图2，菱形为“线上四边形”且，是等边三角形，点在直线上，连接，且的延长线分别交直线、于点、，求证：13如图，在正方形中，、分别是、边上的点，（1）如图（1），试判断，间的数量关系，并说明理由；（2）如图（2），若于点，试判断线段与的数量关系，并说明理由14如图，边长为8的正方形的对角线，交于点，是边上一动点，（1）求证：四边形为矩形；（2）连接，求的最小值15如图1，在正方形中，点、分别在边、上，且（1）若直线与、的延长线
5、分别交于点、，求证：；（2）如图2，将正方形改为矩形，若其余条件不变，请写出线段、之间的数量关系，并说明理由16（1）如图，点、分别在正方形的边、上，连接，求证：（2）如图，点，在正方形的对角线上，猜想、的数量关系，并说明理由17（1）如图1，点、分别在正方形的边、上，求证：；（2）如图2，四边形中，点、分别在边、上，则当与满足什么关系时，仍有，说明理由18如图，在正方形中，点在对角线上（不与点，点重合），于点，于点，连接，（1）写出线段，长度之间的数量关系，并说明理由（2）若正方形的边长为，求线段的长19如图，四边形是正方形，点，分别在，上，点在的延长线上，且，于（1）求证：四边形为平行四边
6、形（2）在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有与互余的角20如图，已知正方形的边长为6，点在边上，以线段为边长在正方形的外部作正方形，以线段和为邻边作矩形，若（1）求线段的长；（2）若点为边的中点，连接，求证：21如图，为正方形的对角线上任一点，于，于（1）判断与的关系，并证明；（2）若正方形的边长为6，求的长22如图，正方形的对角线交于点，点、分别在、上，且，、的延长线交于点，、的延长线交于点，连接（1）求证：（2）若正方形的边长为8，为的中点，求的长23如图，是正方形的对角线，边在其所在的直线上平移，经通过平移得到的线段记为，连接、，并过点作，垂足为，连接、（1）请直接写出线段在平
7、移过程中，四边形是什么四边形？（2）请判断、之间的数量关系和位置关系，并加以证明24（1）如图1，已知正方形，点在上，点在上，且，则有若，则的周长为（2）如图2，四边形中，点，分别在，上，且，试判断，之间的数量关系，并说明理由参考答案一、解答题（共24小题）1 【分析】（1）由正方形的性质可得出、，根据、可得出，再结合，即可证出四边形是矩形；（2）由正方形的周长可求出正方形的边长，根据正方形的性质可得出为等腰直角三角形，进而可得出，再根据矩形的周长公式即可求出结论；（3）由正方形的判定可知：若要四边形是正方形，只需，结合、，即可得出结论【解析】（1）证明：四边形为正方形，又，四边形是矩形；（2
8、）正方形的周长是，四边形为正方形，为等腰直角三角形，四边形的周长（3）若要四边形是正方形，只需，当时，四边形是正方形2 【分析】（1）求出时，的长，由勾股定理可得的长，进而可求得该正方形的面积；（2）分类讨论：当时，为等腰三角形，若点在上得，若点在上，则；当时，为等腰三角形，作于，根据等腰三角形的性质得，则可判断为的中位线，则，易得；当时，为等腰三角形，则，易得【解析】（1）出发2秒后，由勾股定理可得，以为边的正方形面积为（2）当时，为等腰三角，若点在上，如图：则，解得；当时，为等腰三角形，如图：，；若点在上，作于，如图：，在中，由勾股定理得，此时；当时，为等腰三角形，作于，则，为的中位线，；
9、综上所述，为3或5.4或6或时，为等腰三角形3 【分析】（1）延长到，使得，连接，证明，然后再证明，进而得证；（2）延长到，使得，连接，先证明，再证明，进而得证【解析】（1）如图1，理由如下：延长到，使得，连接，四边形是正方形，又，又，又，（2）如图2，仍然成立，理由如下：延长到，使得，连接，又，又，又，4 【分析】（1）先计算8秒的运动距离，然后画出第8秒时正方形的位置；（2）先计算11秒的运动距离，画出第11秒时的位置，然后求得重叠部分的面积【解析】（1）正方形运动8秒时，运动的距离为，第8秒时正方形的位置如图1所示（2）正方形运动11秒时，运动的距离为，第11秒时正方形的位置如图2所示，
10、记正方形与等腰直角三角形的交点分别为、，为等腰直角三角形，且，重叠部分的面积为5 【分析】根据全等三角形的性质得到，推出四边形是正方形，设，根据勾股定理即可得到结论【解析】四边形的面积不可能为，理由：，四边形是正方形，设，则，整理得，方程无实数根，四边形的面积不可能为6 【分析】（1）由平行四边形的性质得到，即得，根据判定，得到，再根据平角的定义得出，即可判定；（2）根据正方形的性质证出四边形是菱形，根据勾股定理求出，可得，再根据菱形的面积公式求解即可【解析】（1）证明：四边形是平行四边形，在和中，；（2）解：连接，交于点，四边形是正方形，在正方形中，四边形是平行四边形，四边形是菱形，四边形的
11、面积，故答案为：87 【分析】（1）作交于，于根据正方形的性质证明可得再证明四边形为平行四边形即可得结论；（2）连接、，设，则，根据勾股定理即可求出的长【解析】（1）证明：作交于，于在正方形中，在和中，四边形为平行四边形，（2）如图，连接、，是的中点，在正方形中，设，则，在中，由勾股定理得：在中，由勾股定理得：，即，解得：8 【分析】（1）根据正方形的性质，可得，再根据，进而可得，结合已知条件，利用“”即可证明，由全等三角形的性质可得；（2）根据矩形的性质得到，求得，根据全等三角形的性质得到，得到，根据等腰直角三角形的性质得到结论【解析】（1）证明：四边形是正方形，在和中，；（2）解：在矩形中
12、，9 【分析】（1）根据正方形得性质很容易得到，再根据，即可证明（2）根据第一问得到的全等，可以很容易得到与的数量关系，而要根据图形可以猜测其位置关系为垂直，因此只需要证明到即可，因此可以转化到算的度数【解析】（1）四边形是正方形，；（2），理由如下：由（1）得：，10 【分析】（1）根据正方形的性质和三角形的内角和解答即可；（2）根据正方形的性质和三角形内角和解答即可；（3）延长至，使，根据全等三角形的判定和性质解答即可【解析】（1）四边形是正方形，；（2）四边形是正方形，；（3），理由如下：延长至，使，连接四边形是正方形，又，又是与的公共边，11 【分析】（1）根据正方形的性质和菱形的判定
13、解答即可；（2）根据正方形和菱形的性质以及勾股定理解答即可【解析】（1）证明：正方形的对角线，相交于点，即四边形是平行四边形，四边形是菱形（2）四边形是正方形，在直角中，由勾股定理知：，在中，四边形是菱形，四边形的周长四边形的周长是12 【分析】（1）由“”可证，可得，由勾股定理可求解；（2）如图2，连接，由菱形的性质和等边三角形的性质可得，由“”可证，可得【解析】（1）如图1，正方形为“线上四边形”，；（2）如图2，连接，四边形是菱形，是等边三角形，是等边三角形，13 【分析】（1）延长到，使，连接，证，根据全等三角形的性质得出进而求出即可；（2）把绕点顺时针旋转得到，如图，根据旋转的性质得
14、，则可判断点在的延长线上，由得到，然后根据“”判断，得到，再根据全等三角形对应边上的高相等得到结论【解析】（1）解：；理由如下：如图1，延长到，使，连接，在和中，故，在和中，即；（2），理由如下：四边形为正方形，把绕点顺时针旋转得到，如图2，而，点在的延长线上，在和中，14 【分析】（1）根据正方形的性质和矩形判定解答即可；（2）根据等腰直角三角形的性质解答即可【解析】（1），正方形的对角线，交于点，四边形为矩形；（2）边长为8的正方形的对角线，交于点，当在的中点时，有最小值，最小值15 【分析】（1）将绕着点顺时针旋转，得到，连接证明，则再由、均为等腰直角三角形，得出，然后证明，利用勾股定理
15、得出，等量代换即可证明；（2）延长交延长线于点，交延长线于点，将绕着点顺时针旋转，得到，连接，由（1）知，结合勾股定理以及相等线段可得，所以【解析】（1）证明：如图1，设正方形的边长为将绕着点顺时针旋转，得到，连接则，在与中，；，、均为等腰直角三角形，；（2）解：如图2所示，延长交延长线于点，交延长线于点，将绕着点顺时针旋转，得到，连接，由（1）知，则由勾股定理有，即又，所以有，即，16 【分析】（1）延长，使，由题意可证，可得，即可得，即可证，可得，则可得；（2）将绕点顺时针旋转，可得，由旋转的性质可得，由“”可证，可得，即可得结论【解析】证明：（1）四边形是正方形，如图：延长，使，连接，在
16、和中，在和中，；（2），理由如下：如图，将绕点顺时针旋转，可得，由旋转的性质可得，在和中，17 【分析】（1）根据旋转的性质可以得到，则，只要再证明即可；（2）延长至，使，连接，证，再证，即可得出答案【解析】证明：（1）如图1：把绕点逆时针旋转至，则，又，即，在和中，又，；（2）当时，仍有，理由如下：如图2，延长至，使，连接，在和中，在和中，即18 【分析】（1）连接由正方形的性质得到、关于对角线对称，求得，根据矩形的判定定理得到四边形是矩形，求得，根据勾股定理即可得到结论；（2）过点作，在、中，求出、即可求得结果【解析】（1）结论：理由：连接四边形是正方形，、关于对角线对称，点在上，于点，于
17、点，四边形是矩形，在中，；（2）过点作于，四边形是正方形，在中，在中，解得：，19 【分析】（1）根据正方形性质求出，根据全等三角形判定可得，再根据平行线的判定可得，进而可得即可四边形为平行四边形；（2）根据直角三角形两个锐角互余，再结合（1）可得图中所有与互余的角【解析】（1）证明：四边形是正方形，在和中，即，在和中，和，四边形为平行四边形；（2），与互余；，与互余；，与互余；，与互余；与互余的角有：、20 【分析】（1）设，利用正方形的性质和矩形的性质得到，再证明，则，然后解方程得到的长；（2）利用勾股定理计算出，再计算，从而得到结论【解析】（1）解：设，则，即，解得，（舍去），即的长为；
18、（2）证明：点为边的中点，在中，21 【分析】（1）如图1，连接，由正方形的性质得到，接下来证明，于是得到，然后证明四边形是矩形，由矩形的对角线相等可得到，从而等量代换可证得；如图2，延长交于，延长交于，连接，由，依据全等三角形对应角相等可得到，由四边形是矩形可证明，从而得到，由可证明，从而可得到；（2）先根据勾股定理计算，根据和三角形内角和定理可得，计算，由是等腰直角三角形，可得的长【解析】（1），且，理由是：如图1所示：连接，四边形是正方形，在和中，四边形是矩形，；如图2所示：延长交于，延长交于，连接，四边形是矩形，又，即，即；（2）中，是等腰直角三角形，22 【分析】（1）证即可得；（2
19、）作，由正方形的边长为8且为的中点知、，再根据勾股定理得的长，由直角三角形性质知问题得解【解析】（1）证明：四边形是正方形，在和中，；（2）如图，过点作于点，正方形的边长为8，为的中点，则，23 【分析】（1）根据正方形性质和平移得：，根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得：是平行四边形；（2），理由是：根据证明，得，再根据，得，得出结论【解析】证明：（1）四边形是平行四边形，理由是：四边形为正方形，由平移得：，四边形是平行四边形；（2），理由是：四边形为正方形，在和中，24 【分析】（1）延长至，使，连接，证，根据全等三角形的性质得出进而求出即可；（2）延长至，使，连接，证，证，即可得出答案【解析】（1）延长至，使，连接，如图1，在正方形中，在和中，在和中，的周长故答案为：；8（2），理由如下：延长至，使，连接，如图2，在和中，即，在和中，即