1、第9章 中心对称图形-平行四边形9.1.5 中点四边形综合问题（重难点培优）姓名：_ 班级：_ 学号：_注意事项：本试卷试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1顺次连接菱形四边中点形成的四边形是A矩形B菱形C正方形D无法判定2若正方形各边的中点依次为、，则四边形是A平行四边形B矩形C菱形D正方形3顺次连接对角线互相垂直的四边形的各边中点，所形成的新四边形是A菱形B矩形C正方形D三角形4顺次连结对角线相等的
2、四边形各边中点所得到的四边形一定是A菱形B矩形C平行四边形D正方形5若顺次连接一个四边形各边中点所得的四边形是菱形，则原四边形一定是A对角线互相垂直B对角线相等C一组对边相等D一组邻边相等6如图，面积为1的正方形中，点、分别是边、的中点，则四边形的面积是A1BCD7如图，点、分别是四边形边、的中点，则下列说法：若，则四边形为矩形；若，则四边形为菱形；若四边形是平行四边形，则与互相平分；其中正确的个数是A0B1C2D38如图，四边形中，依次是各边中点，是四边形内的一点若四边形，的面积分别为5，6，7，则四边形的面积为A5.5B6C6.5D79如图，点，分别是四边形的边，的中点，则下列说法：若，则
3、四边形为矩形；若，则四边形为菱形；若四边形是菱形，则与互相垂直；若四边形是正方形，则与互相垂直且相等其中正确的个数是A1B2C3D410如图，依次连接第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连接菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去，已知第一个矩形的面积为1，则第个矩形的面积为ABCD二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11四边形中，对角线，则顺次连接四边形各边中点所得的四边形为_形12若顺次连接四边形各边中点所得的四边形是菱形，则原四边形_13顺次连接矩形各边中点得到四边形，它的形状是_14已知：在四边形中，点，分别是，的中点，四边形是_15如
4、图，在菱形中，点、分别是，和的中点，连接，和，则四边形的形状为_16点、分别是任意四边形中、各边的中点，对角线，交于点，当四边形满足_条件时，四边形是正方形17如图，点，为平面内不在同一直线上的三点，点为平面内一个动点，线段，的中点分别为，在点的运动过程中，有下列结论：存在无数个中点四边形是平行四边形；存在无数个中点四边形是菱形；存在无数个中点四边形是矩形；中点四边形不可能是正方形；所有结论正确的序号是_18如图，某小区要在一块矩形的空地上建造一个如图所示的四边形花园，点，分别为边，的中点，若，则四边形的面积为_三、解答题（本大题共6小题，共46分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19
5、已知：如图，在四边形中，点、分别是、的中点，且于点求证：四边形是矩形20如图，四边形的四边中点分别为、，顺次连接、（1）判断四边形形状，并说明理由；（2）若，判断四边形形状，并说明理由21已知：如图，四边形中，、分别是、和的中点（1）求证：四边形是平行四边形（2）若满足试判断与的位置关系（不用说明理由）22在四边形中，、的中点分别为、（1）如图1，试判断四边形怎样的四边形，并证明你的结论；（2）若在上取一点，连结，恰好和都是等边三角形（如图，判断此时四边形的形状，并证明你的结论23如图，在四边形中，点、分别是边、的中点，连接、（1）求证：四边形是平行四边形；（2）再加上条件后，能使得四边形是矩
6、形请从四边形是菱形，四边形是矩形这两个条件中选择1个条件填空（写序号），重新画图并写出证明过程24已知：如图，在四边形中，与不平行，分别是，的中点（1）求证：四边形是平行四边形；（2）当，四边形是怎样的四边形？证明你的结论参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1A 【分析】根据三角形的中位线定理以及菱形的性质即可证得【解析】，是中点，同理，则四边形是平行四边形又，平行四边形是矩形故选：2 D【分析】连接、，根据三角形中位线定理得到，得到四边形为平行四边形，根据正方形的判定定理解答【解析】连接、分别是正方形各边的中点，四边
7、形为平行四边形，四边形是正方形，是正方形，故选：3B 【分析】根据三角形中位线定理得到所得四边形的对边都平行且相等，那么其必为平行四边形，若邻边互相垂直，那么所得四边形是矩形【解析】、分别是、的中点，四边形是平行四边形，四边形是矩形，故选：4A 【分析】根据题意画出图形，根据三角形的中位线性质得出，求出，根据平行四边形的判定得出四边形是平行四边形，求出，再根据菱形的判定得出即可【解析】点、分别是边、的中点，四边形是平行四边形，四边形是菱形，即顺次连结对角线相等的四边形各边中点所得到的四边形一定是菱形，故选：5B 【分析】首先根据题意画出图形，由四边形是菱形，点，分别是边，的中点，利用三角形中位
8、线的性质与菱形的性质，即可判定原四边形一定是对角线相等的四边形【解析】如图，根据题意得：四边形是菱形，点，分别是边，的中点，原四边形一定是对角线相等的四边形故选：6B 【分析】根据正方形的性质得到，根据线段中点的概念得到，根据三角形的面积公式计算，得到答案【解析】正方形的面积为1，点、分别是边、的中点，同理可得：，四边形的面积，故选：7A【分析】根据“一般四边形的中点四边形是平行四边形，当对角线时，中点四边形是菱形，当对角线时，中点四边形是矩形”进行判断即可【解析】因为一般四边形的中点四边形是平行四边形，故错误；当对角线时，中点四边形是菱形，当对角线时，中点四边形是矩形，故错误，所以正确的有0
9、个，故选：8B【分析】连接，易证，所以，所以可以求出【解析】连接，、依次是各边中点，和等底等高，同理可证，解得，故选：9A【分析】先证四边形是平行四边形，再由菱形、矩形以及正方形的判定分别对各个说法进行判断即可【解析】、分别是、的中点，是的中位线，是的中位线，是的中位线，四边形是平行四边形，平行四边形是菱形，故错误；，平行四边形是矩形，故错误；若四边形是菱形，则，故错误；对角线，且时，中点四边形是正方形，故正确，故选：10D 【分析】易得第二个矩形的面积为，第三个矩形的面积为，依此类推，第个矩形的面积为【解析】已知第一个矩形的面积为1；第二个矩形的面积为原来的；第三个矩形的面积是；故第个矩形的
10、面积为：故选：二、填空题（共8小题）11 【分析】根据三角形的中位线性质得出，求出，根据平行四边形的判定得出四边形是平行四边形，根据、和求出，再根据矩形的判定得出答案即可【解析】点、分别是边、的中点，四边形是平行四边形，即，四边形是矩形，即当时，顺次连接四边形各边中点所得的四边形为矩形，故答案为：矩12 【分析】根据三角形中位线定理、菱形的判定定理解答即可【解析】点，分别是边，的中点，当时，四边形是菱形，顺次连接四边形各边中点所得的四边形是菱形，则原四边形的对角线相等，故答案为：对角线相等13 【分析】连接，根据矩形的性质得到，根据三角形中位线定理得到，进而证明，根据菱形的判定定理得出结论【解
11、析】连接，四边形是矩形，、分别是、的中点，四边形是菱形，故答案为：菱形14 【分析】由已知条件得出是的中位线，是的中位线，是的中位线，由三角形中位线定理得出，得出四边形是平行四边形，再证出，即可得出四边形是菱形【解析】证明：点、分别是、的中点，是的中位线，是的中位线，是的中位线，四边形是平行四边形，又，四边形是菱形故答案是：菱形15 【分析】根据菱形的性质得到，根据三角形中位线定理、矩形的判定定理证明边形为矩形【解析】如图，连接、，四边形为菱形，、分别是、边上的中点，、分别为、的中位线，四边形是矩形故答案是：矩形16 【分析】根据三角形中位线定理得到，进而证明四边形为平行四边形，再根据正方形的
12、判定定理解答即可【解析】点、分别是任意四边形中、各边的中点，四边形为平行四边形，当时，平行四边形为菱形，当时，菱形为正方形，当四边形的对角线垂直且相等时，四边形是正方形，故答案为：对角线垂直且相等17 【分析】根据中点四边形的性质：一般中点四边形是平行四边形，对角线相等的四边形的中点四边形是菱形，对角线垂线的中点四边形是矩形，对角线相等且垂直的四边形的中点四边形是正方形解答【解析】中点四边形都是平行四边形，对角线相等的四边形的中点四边形是菱形，对角线垂线的中点四边形是矩形，对角线相等且垂直的四边形的中点四边形是正方形，存在无数个中点四边形是平行四边形，存在无数个中点四边形是菱形，存在无数个中点
13、四边形是矩形故答案为：18 【分析】根据矩形的性质推出，得到平行四边形，推出，同理得到，推出，根据三角形的面积公式求出即可【解析】连接、，四边形是矩形，、分别为边、的中点，四边形是平行四边形，同理，四边形的面积是故答案为：100三、解答题（共6小题）19 【分析】首先利用三角形的中位线定理证得四边形为平行四边形，然后利用有一个角是直角的平行四边形是矩形判定即可【解析】证明：点、分别是边、的中点，同理四边形是平行四边形又对角线、互相垂直，与垂直四边形是矩形20 【分析】（1）连接，根据三角形的中位线定理得到，推出，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形是平行四边形；（2）根据三角形
14、的中位线定理可得，平行且等于的一半，平行且等于的一半，根据等量代换和平行于同一条直线的两直线平行，得到和平行且相等，所以为平行四边形，又等于的一半且，所以得到所证四边形的邻边与相等，所以四边形为菱形【解析】（1）四边形的形状是平行四边形理由如下：如图，连接、分别是、中点，同理，四边形是平行四边形；（2）若，四边形是菱形理由如下：证明：，分别是边、的中点，在中，为的中位线，所以且；同理且，同理可得，则且，四边形为平行四边形，又，所以，四边形为菱形21 【分析】（1）根据三角形中位线定理得到，根据平行四边形的判定定理证明四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质定理证明结论；（2）根据菱形的判定定理
15、和性质定理解答即可【解析】（1）证明：、分别是、的中点，同理，四边形是平行四边形；（2），理由如下：由（1）知，当时，平行四边形是菱形，22 【分析】（1）连接、利用三角形中位线定理判定四边形的对边平行且相等，易证该四边形是平行四边形；（2）设的边长是，的边长是，由于，可得平行四边形的对角线相等，从而得出平行四边形是菱形；【解析】四边形为平行四边形；（1）连接、为的中位线，同理，四边形为平行四边形；（2）四边形是菱形；理由如下：设的边长是，的边长是，平行四边形的对角线相等，平行四边形是菱形；23 【分析】（1）根据三角形中位线定理得到，进而得到，根据平行四边形的判定定理证明结论；（2）连接、，
16、根据三角形中位线定理得到，根据菱形的性质得到，根据矩形的判定定理证明结论【解析】（1）证明：如图1，连接，点、分别是边、的中点，四边形是平行四边形；（2）解：加上条件后，能使得四边形是矩形，理由如下：如图2，连接、，、分别为、中点，为中位线，同理可得：，四边形为平行四边形，四边形是菱形，四边形是矩形，故答案为：24 【分析】（1）根据三角形中位线定理得到，根据平行四边形的判定定理证明结论；（2）依据四边形是平行四边形，再运用三角形中位线定理证明邻边相等，从而证明它是菱形【解析】（1）证明：，分别是，的中点，是的中位线，同理，四边形是平行四边形；（2）菱形理由：，分别是，的中点，是的中位线，又，当时，平行四边形是菱形