1、第9章 中心对称图形-平行四边形9.4.2菱形的性质与判定大题专练（重难点培优）姓名：_ 班级：_ 学号：_注意事项：本试卷共24题，解答24道答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置一、解答题（共24小题）1如图，已知，分别以、为圆心，以长度10为半径作弧，两条弧分别相交于点和依次连接、，连接交于点（1）判断四边形的形状，并说明理由；（2）求的长2如图，在平行四边形中，的平分线交于点，交的延长线于，以、为邻边作平行四边形，如图1所示（1）证明平行四边形是菱形；（2）若，连接、，如图2所示，求证：；求的度数（3）若，是的中点，如图3所示，求的长3如图，
2、在菱形中，为对角线上一点，且，连接（1）求证：；（2）当，时，求菱形的边长4已知：如图，在中，、分别是、的中点，、分别是对角线上的四等分点，顺次连接、（1）求证：四边形是平行四边形；（2）当满足条件时，四边形是菱形；（3）若，探究四边形的形状，并说明理由；当，时，直接写出四边形的面积5已知：如图，在四边形中，对角线的垂直平分线与边、分别相交于点、（1）求证：四边形是菱形；（2）若，求的长6如图，菱形中，对角线，相交于点，在对角线上（1）若判断四边形的形状并说明理由；若，求线段的长；（2）将（1）中的线段从当前位置沿射线的方向平移，若平移过程中，求此时的长7如图，在菱形中，对角线和交于点，为上一
3、动点，过点作交于点，连接、（1）若，求的度数；（2）求证：8如图，四边形是菱形，交的延长线于点，交的延长线于点（1）求证：；（2）若，求菱形的面积9如图，菱形中，分别为，上的点，且，连接并延长，交的延长线于点，连接（1）求证：四边形是平行四边形；（2）连接，若，求的长10如图，在四边形中，对角线，交于点，平分过点作交的延长线于点连接（1）求证；四边形是菱形；（2）若，求的长11如图，菱形的边长是10厘米，对角线，相交于点，且厘米，点，分别在，上，点从点出发，以每秒2厘米的速度向终点运动，点从点出发，以每秒1厘米的速度向点运动，点移动到点后，点，停止运动（1）当运动多少秒时，的面积是8平方厘米；
4、（2）如果的面积为，请你写出关于时间的函数表达式12如图所示，在菱形中，为正三角形，点、分别在菱形的边、上滑动，且、不与、重合（1）证明不论、在、上如何滑动，总有；（2）当点、在、上滑动时，分别探讨四边形的面积和的周长是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最小值13如图，已知菱形的对角线，相交于点，延长至点，使，连接（1）求证：四边形是平行四边形；（2）若，求菱形的面积14如图，在菱形中，点、分别在边、上，连接、（1）求证：；（2）点、分别是、上的点，若，试判断四边形是什么图形，并证明你的结论15如图，菱形的对角线、相交于点，过点作，且，连接、，连接交于点（1）求证：；（2）若菱
5、形的边长为2，求的长16已知：在菱形中，点和点分别在边和边上，连接、，（1）如图1，求证：；（2）如图2，当点是边中点时，连接对角线分别交、于点、，连接交对角线于点，在不添加任何辅助线和字母的情况下，请直接写出图2中面积等于面积3倍的三角形或四边形17菱形中，点在边上，点在边上（1）如图1，若是的中点，求证：是的中点（2）如图2，若，求的度数18已知，四边形是菱形，的两边分别与射线，相交于点，且（1）如图1，当点是线段上任意一点时（点不与，重合），求证：；（2）如图2，当点在线段的延长线上，连接，在不添加任何辅助线的情况下，直接写出图2中三对相等的线段（菱形相等的边除外）19【猜想】如图1，在
6、平行四边形中，点是对角线的中点，过点的直线分别交于点若平行四边形的面积是8，则四边形的面积是【探究】如图2，在菱形中，对角线相交于点，过点的直线分别交，于点，若，求四边形的面积【应用】如图3，在中，延长到点，使，连接，若，则的面积是20如图，是的角平分线，过点作交于点，交于点（1）求证：四边形是菱形；（2）如果，求的度数21如图，是的角平分线，过点作交于点，交于点（1）求证：四边形为菱形；（2）如果，求的度数22在中，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点（1）求证：；（2）证明四边形是菱形；（3）若，求菱形的面积23如图，已知菱形的对角线、相交于点，延长至点，使，连接（1）求证：四边形是平
7、行四边形；（2）若，求菱形的面积24在中，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点，连接（1）求证：（2）求证：四边形是菱形参考答案一、解答题（共24小题）1 【分析】（1）根据菱形的判定定理解答；（2）根据菱形的性质得到，根据勾股定理求出，得到答案【解析】（1）四边形是菱形，理由如下：由题意得，四边形是菱形；（2）四边形是菱形，在中，2 【分析】（1）平行四边形的性质可得，再根据平行线的性质证明，根据等角对等边可得，再有条件四边形是平行四边形，可得四边形为菱形，即可解决问题；（2）先判断出，再判断出，进而得出，即可判断出，再判断出，进而得出是等边三角形，即可得出结论；（3）首先证明四边形为正
8、方形，再证明可得，再根据可得到是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质即可得到结论【解析】（1）证明：平分，四边形是平行四边形，又四边形是平行四边形，四边形为菱形；（2）四边形是平行四边形，由（1）知，四边形是菱形，是的平分线，；，是等边三角形，是等边三角形，；（3）方法一：如图3中，连接，四边形是平行四边形，四边形是矩形，又由（1）可知四边形为菱形，四边形为正方形，为中点，在和中，是等腰直角三角形，方法二：过作于，四边形是平行四边形，四边形是矩形，又由（1）可知四边形为菱形，四边形为正方形，3 【分析】（1）由“”可证，即可得出结论；（2）连接交于，先由菱形的性质可得，求出、的长，由勾股定理
9、求出的长，再由勾股定理求出的长，即可得出结果【解析】（1）证明：四边形是菱形，在和中，；（2）解：如图，连接交于，四边形是菱形，菱形的边长为4 【分析】（1）连接，由平行四边形的性质和已知条件得出、分别为、的中点，证出为的中位线，由三角形中位线定理得出，同理：，得出，即可得出结论；（2）连接，证出四边形是平行四边形，再证明，即可得出四边形是菱形；（3）由（2）得：四边形是平行四边形，得出，证出，即可得出四边形是矩形；作于，于，则，证出是的中位线，得出，证出，由直角三角形的性质得出，得出，求出的面积，即可得出结果【解析】（1）证明：连接，如图1所示：四边形是平行四边形，的中点在上，、分别是对角线
10、上的四等分点，、分别为、的中点，是的中点，为的中位线，同理：，四边形是平行四边形；（2）解：当满足条件时，四边形是菱形；理由如下：连接，如图2所示：则，四边形是平行四边形，四边形是菱形；故答案为：；（3）解：四边形是矩形；理由如下：由（2）得：四边形是平行四边形，四边形是矩形；作于，于，如图3所示：则，是的中点，是的中位线，的面积，四边形的面积的面积5 【分析】（1）由于知道了垂直平分，因此只要证出四边形是平行四边形即可得出是菱形的结论（2）根据勾股定理得出，进而利用勾股定理解答即可【解析】证明：（1）是对角线的垂直平分线，在和中，四边形是平行四边形，又，四边形是菱形；（2），四边形是菱形，在
11、中，设，则，6 【分析】（1）证明与互相垂直平分便可根据菱形的判定定理得出结论；设，在中，由勾股定理列出的方程，便可求得结果；（2）分两种情况：点在点左边；在点右边分别通过相似三角形的性质列出的方程，进行解答便可【解析】（1）四边形是菱形理由如下：四边形是菱形，四边形是菱形；菱形中，不妨设，则，在中，由勾股定理得，解得，；（2）当点在点的右边时，如图，解得，（小于4，不合题意，舍去），或，当点在点右边时，如图，即，解得，（舍，或，综上，或7 【分析】（1）由菱形的性质得，则，即可得出；（2）先证，得，再证，即可得出结论【解析】（1）解：四边形是菱形，；（2）证明：四边形是菱形，在和中，8 【分
12、析】（1）由菱形的性质即可得到是的平分线，再根据角平分线的性质可得（2）由勾股定理即可得到菱形的边长，再根据菱形的面积计算公式，即可得出结论【解析】（1）四边形是菱形，是的平分线，又，（2）设，则，中，即，解得，菱形的面积9 【分析】（1）连接，再根据菱形的性质得出，根据对边分别平行证明是平行四边形即可（2）过点作，再根据直角三角形的性质和勾股定理解答即可【解析】（1）证明：连接，如图四边形是菱形，平分，且，又菱形中，四边形是平行四边形（2）解：过点作于，在中，在中，根据勾股定理得，10 【分析】（1）先证出，进而判断出，得出，即可得出结论；（2）先证出，再求出，利用勾股定理求出，得出，由直角
13、三角形的性质即可得出结论【解析】（1）证明：，为的平分线，四边形是平行四边形，是菱形；（2）解：四边形是菱形，在中，11 【分析】（1）根据菱形的边长是10厘米，厘米，可得厘米，厘米，设运动秒时，根据的面积是8平方厘米，列出方程即可得结论；（2）分三种情况讨论：根据点和点运动的位置确定的取值范围进而可得关于时间的函数表达式【解析】（1）菱形的边长是10厘米，厘米，厘米，厘米，设运动秒时，的面积是8平方厘米，根据题意，得，解方程得，均符合题意，答：当运动2秒或8秒时，的面积是8平方厘米；（2）根据题意，得当时，；当时，；当时，12 【分析】（1）（1）先求证，进而求证、为等边三角形，得，进而求证
14、，即可求得；（2）根据可得，故根据即可解题；由“垂线段最短”可知：当正三角形的边与垂直时，边最短的周长会随着的变化而变化，求出当最短时，的周长即可【解析】（1）如图，连接，四边形为菱形，是等边三角形，和为等边三角形，在和中，；（2）四边形的面积不变，的周长发生变化理由如下：由（1）得，则，故，是定值，作于点，则，的周长由“垂线段最短”可知：当正三角形的边与垂直时，边最短故的周长会随着的变化而变化，且当最短时，的周长会最小13 【分析】（1）根据菱形的对边平行且相等可得，然后证明得到，从而证明四边形是平行四边形；（2）欲求菱形的面积，求得、的长度即可【解析】（1）证明：四边形是菱形，又，四边形是
15、平行四边形；（2）解：四边形是平行四边形，四边形是菱形，是等边三角形，菱形的面积14 【分析】（1）根据菱形的性质得出，根据全等三角形的判定推出，根据全等三角形的性质得出即可；（2）根据全等三角形的性质得出，求出，求出，求出，根据平行四边形的判定和矩形的判定得出即可【解析】（1）证明：四边形是菱形，在和中，；（2）四边形是矩形，证明：四边形是菱形，即，四边形是平行四边形，四边形是矩形15 【分析】（1）先求出四边形是平行四边形，再根据菱形的对角线互相垂直求出，证明是矩形，可得即可；（2）根据菱形的性质得出，再根据勾股定理得出的长度即可【解析】（1）证明：在菱形中，四边形是平行四边形，平行四边形
16、是矩形（2）解：在菱形中，在矩形中，在中，16 【分析】（1）证，即可得出；（2）证出是的中位线，得出，由直角三角形的性质得出，设，则，求出的面积，的面积，得出的面积的面积，同理的面积的面积；证，得出的面积的面积，则四边形的面积的面积，同理四边形的面积的面积【解析】（1）证明：四边形是菱形，平分，是等边三角形，在和中，；（2）解：图2中面积等于面积3倍的三角形为和，四边形为四边形和四边形；理由如下：由（1）得：，是等边三角形，点是边中点，是的中点，是的中位线，是的中位线，设，则，的面积，的面积，的面积的面积，的面积的面积，同理：的面积的面积；，的面积的面积，四边形的面积的面积，同理：四边形的面
17、积的面积17 【分析】（1）连接，根据菱形的性质和含的直角三角形的性质解答即可；（2）根据菱形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可【解析】证明：（1）如图1所示：连接在菱形中，等边三角形是的中点，是的中点；（2）如图2所示：连接是等边三角形，在和中，是等边三角形，18 【分析】（1）得出，是等边三角形，证明即可得出结论；（2）同（1）证明，可得出答案【解析】（1）证明：四边形是菱形，是等边三角形，在和中，（2）解：，由（1）知，是等边三角形，即19 【探究】如图2，在菱形中，对角线相交于点，过点的直线分别交，于点，若，求四边形的面积【应用】如图3，在中，延长到点，使，连接，若，则的面积是【分
18、析】猜想：首先根据平行四边形的性质可得，根据平行线的性质可得，进而可根据定理证明，再根据全等三角形的性质可得结论；探究：根据菱形的性质得到，根据全等三角形的判定定理得到，由于，于是得到结果；应用：延长到使，根据全等三角形的判定定理得到，由全等三角形的性质得到，根据勾股定理得到，即可得到结论【解析】猜想：四边形是平行四边形，在与中，四边形的面积的面积；故答案为：4；探究：四边形是菱形，在与中，由菱形的对称性，得，应用：延长到使，在与中，故答案为：620 【分析】（1）由题意可证，四边形是平行四边形，即可证四边形为菱形；（2）由三角形内角和定理求出，由菱形的性质即可得出答案【解析】（1）证明：，四
19、边形是平行四边形平分且四边形为平行四边形四边形为菱形；（2）解：，四边形为菱形，21 【分析】（1）由题意可证，四边形是平行四边形，即可证四边形为菱形；（2）由三角形内角和定理求出，由菱形的性质即可得出答案【解析】（1）证明：，四边形是平行四边形平分且四边形为平行四边形四边形为菱形；（2）解：，四边形为菱形，22 【分析】（1）利用平行线的性质及中点的定义，可利用证得结论；（2）由（1）可得，结合条件可求得，则可证明四边形为平行四边形，再利用直角三角形的性质可证得，可证得四边形为菱形；（3）连接，可证得四边形为平行四边形，则可求得的长，利用菱形的面积公式可求得答案【解析】（1）证明：，是的中点
20、，在和中，；（2）证明：由（1）知，则为边上的中线，四边形是平行四边形，是的中点，是的中点，四边形是菱形；（3）连接，四边形是平行四边形，四边形是菱形，23 【分析】（1）根据菱形的对边平行且相等可得，然后证明得到，从而证明四边形是平行四边形；（2）欲求菱形的面积，已知，只需求得的长度即可（利用平行四边形以及菱形的性质可得，再利用勾股定理可求出的长度）最后利用菱形的面积等于两对角线乘积的一半即可求解【解析】（1）证明：四边形是菱形，又，四边形是平行四边形；（2）四边形是平行四边形，四边形是菱形，中，设，由题意得，解得（负值舍去），四边形是平行四边形，菱形的面积24 【分析】（1）由“”可证，可得；（2）由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可得四边形是平行四边形，由直角三角形的性质可得，即可得四边形是菱形【解析】证明：（1），是直角三角形，是边上的中线，是的中点，在和中，（2）由（1）知，且，且，四边形是平行四边形，是的中点，四边形是菱形